数学结论在椭圆中的应用探究

数学结论在椭圆中的应用探究
作者：徐飞翔
来源：《成才之路》2015年第27期
摘要：数学在高考中占有重要的地位，考试说明指出要重视发现研究数学对象的本质，抽象概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断。

学习数学更重要的是数学实践与运用，椭圆是解析几何的一个重要内容，但考查中计算量比较烦琐，要通过一些数学结论来简化数学思维，提升解题效率。

关键词：数学结论；椭圆；应用；反思
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2015）27-0066-02
本文就高考中出现比较频繁的题型，通过掌握一些有规律性的实用结论，解决烦琐的实际问题，既省时又快捷而且准确无误，可达到事半功倍的效果。

同时可以有效提高数学基本技能，创造性地解决问题，避免题海战术，为高考赢得时间，赢得胜利。

数学结论1：椭圆上任意一点P到一焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离a+c和最小距离a-c，即PF∈[a-c，a+c]。

已知椭圆的方程为+=1（a>b>0），右焦点F的坐标为（c，0），求椭圆上一点P到焦点F 的距离PF的取值范围。

解：设点P的坐标为（x0，y0），由椭圆的第二定义可知=e，PF=a-ex0。

∵-a≤x0≤a，∵-c≤ex0≤c，∴a-c≤PF≤a+c。

所以焦半径PF的取值范围是[a-c，a+c]。

当然还有其他证法，我们可以利用这个结论，求解与焦半径取值范围有关的问题。

例1.已知椭圆+=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使=，求椭圆的离心率e的取值范围。

解：在△PF1F2中，由正弦定理知=，由=，因此有=，又椭圆的定义知PF1+PF2=2aa，所以PF2=。

根据题意可知a-c-1，又椭圆中e
练习：已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是________。

解：显然当PF=PF时，=0。

由椭圆定义得PF=4-PF1，从而==
-2。

而2-2≤PF1≤2+2，所以≤≤，故
-2≤2+2。

综上所述，∈[0，2+2]。

点评：本题结合椭圆的定义用PF1表示PF2，从而==
-2。

又因为函数y=
-2在区间[2-2，2+2]上单调递减，从而求出的取值范围为[0，2+2]。

反思感悟：从例1可以看出，我们在解题时可以先利用有关知识（包括椭圆的定义）表示出PF1或PF2，再利用结论PF∈[a-c，a+c]建立关系，从而解决问题。

利用数学结论1解题有条理且思路清晰，因此在解题时能启发我们认真去提炼问题、研究问题、讨论问题，认真体会它们的生成，体会它们的应用给我们解题带来的方便。

数学结论2：经过椭圆+=1（a>b>0）中心的任意弦的两端点与椭圆上除这两个端点外的任意一点P连线的斜率之积为定值-。

证明：设经过椭圆中心的弦的两个端点分别为A、B，由椭圆的对称性可得A、B关于原点对称，所以A、B的坐标可以设为A（m，n），B（-m，-n）。

点P（x0，y0）是椭圆+=1上任意点，
当椭圆涉及到过中心弦有关的问题时力求活用这个结论，从中找出规律与方法，达到解一题、通一类、带一串的效果。

例2. （2011江苏高考改编）在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆+=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k。

对任意k>0，求证：PA⊥PB。

解：设点P的坐标为（-m，-n）则A（-m，-n），C（m，0）直线PA的斜率为
kAP==k。

kAB=kAC==，又AB为椭圆的直径，由结论2知kPB·kAB=-，所以kPB=-。

∴kAP·kPB=-1，所以PA⊥PB。

点评：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线的方程与垂直关系的判断。

要证PA⊥PB，只需证直线PB、AB的斜率之积为-1，再利用数学结论2很容易得出结果。

因此，有效挖掘数学结论且能合理利用，可以拓展学生的广度与深度，激发学
生的探索发现能力，拓宽学生的数学视野。

练习：（2015届南京二模改编）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为+=1，直线l：y=x与椭圆E相交于A、B两点，C、D是椭圆E上异于A、B两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N。

求证：直线MN的斜率为定值。

（x1x2+2x1-2x2-4）两式相减得，即2（y2-y1）=-（4x2-4x1）即kMN==-1，直线MN的斜率为定值-1。

点评：由kMB·kNA=-，kNB·kMA=-，利用斜率公式表示后，两式相减就可以得出结果。

根据已知条件，可以利用数学结论2求解，结合斜率公式整体代入，把问题变得明朗，使解题过程得到了优化，避免了大量烦琐的计算，能够快速、简捷地解决问题。

在分析思路时，要注意识别问题的类型，然后用相应的解法作为解题的方向引导整个解题的进行。

遇到困难时如果能冷静思考是否使用一点小技巧，那么常常可以达到一种曲径通幽的解题效果。

反思：为突破难关，解题时首先要围绕解题目标选择适当的方法，设计合理的路径，然后深入细致地进行运算。

数学思想与思维贯穿数学课堂始终，一些题目如果采用常规方法去解决，往往会做得很累很苦。

如果我们能记住数学中一些有规律的、简洁的结论，搞清其数学本
质，势必带来解题的方便、解题速度的提高，从而让我们的学生更加灵活从容地去解题。

在探究过程中可以看出，如果用常规方法解题会烦琐无比，但是巧妙地利用数学结论，就会有意想不到的效果，一些题目本来繁杂的思考计算步骤会变得简明轻松。

数学作为一门艺术，是奥秘无穷的，它不仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更是一种重要的思维模式，我们只有不断去探究并合理去利用一些结论，才能解决一些实际问题。

每一个新知识、每一种新方法必然会有它的用武之地。

因此，要改善课堂教学生态，就要充分利用教材中的潜在素材，充分挖掘知识的内涵，让学生在解题中掌握知识的过程与真谛。

参考文献：
[1]孙立群.高中数学研究性学习内容的构建与实施[J].数学通讯，2001（11）.
[2]刘琛.培养中学生数学探究能力的研究[D].湖南师范大学，2006.。