高考数学一轮复习速解与n个二项式和有关的问题

＝（－a）rC8 x8

－2r.对于A，令8－2r＝2，解得r＝3，所以展开式中含x2的项的系数是（－a）
3C 3 ＝－7，解得a＝1，故A正确.对于B，二项式
8
2
项为Tr＋1＝
数是
1
−
2
1
−
2
8
−
即

1 8
−
的展开式的通
2
C8 x8－2r，令8－2r＝6，解得r＝1，所以展开式中含x6的项的系
11.（多选）已知

1
2
−
（a＜2）的展开式中第3项的二项式系数为45，且

展开式中各项系数和为1 024，则下列说法正确的是
A.a＝1
B.展开式中偶数项的二项式系数和为512
C.展开式中第6项的系数最大
D.展开式中的常数项为45
（
）
解析：BCD
(−1)
2
由题意，C ＝
＝45，所以n＝10（负值舍去），又展开式中
2
2
10＋15＋21＋28＋36＝120.故选D.
点评 利用二项式定理破解本题是很多考生在考场中经常采用的一种基本方
法，关系式的规律或性质公式不能准确应用，而数又不太大，运算量不是太繁
杂，“硬算”是一种不错的应对措施.
二、等比数列转化法
解析 结合等比数列的求和公式，可得（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9
则
（
）
A.a0＝－32
B.a2＝－80
C.a3＋4a4＝0
D.a0＋a1＋…＋a5＝1
解析：ABC 令x＝－1得（－1－1）5＝a0，即a0＝－32，故A正确.令x＝0得
（－1）5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确.令x＋1＝y，
则（x－1）5＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a5（x＋1）5就变为（y－2）5
x2的系数是 （
）
A.60
B.80
C.84
D.120
一、运用二项式思维直接求解
解析 由于（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中x2的系数是C22 ＋C32
3×2 4×3
9×8
2
2
2
2
2
2
＋C4 ＋…＋C9 ，所以C2 ＋C3 ＋C4 ＋…＋C9 ＝1＋ ＋ ＋…＋ ＝1＋3＋6＋
2

1 6
2− 2 展开式的通项公式为Tk＋1＝C6 （2x）6－k

1
− 2 ＝（－1）kC6 ·
26－k·
x6－

3k，令6－3k＝3，解得k＝1，所以x3项的系数为（－1）1×C1 ×25＝－192.
6
答案：－192
13.在二项式（ 2＋x）9的展开式中，常数项是
个数是
，系数为有理数的项的
微专题12
速解与n个二项式和
有关的问题
数学一轮备考复习，不但要对必备知识进行系统梳理，更重要的是掌握解
决问题的方法.灵活运用各类基本的数学思想与方法构建数学思维体系，促进学
生理性思维习惯形成，提升解决问题的关键能力，本微专题就求解与n个二项式
和有关的问题从三种思维角度进行例析.
【例】 （2022·八省联考）（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中
2(2 −1)
＋…＋（1＋1）n＝2＋22＋23＋…＋2n＝
1＝32，∴n＝4.
2−1
＝2n＋1－2，∴2n＋1－2＝30，2n＋
3.已知（1＋2x）11＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10＋a11x11，求a1－2a2＋…－10a10＋
11a11的值.
解：对等式（1＋2x）11＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10＋a11x11两边求导，得22（1
9
1
×C8 ＝－4，故B正确.令8－2r＝－1，解得r＝ ，此时r不为整数，所
2
以展开式中不含x－1项，故C错误.令8－2r＝0，解得r＝4，所以展开式中的常数
项为
1 4 4 35
−
C8 ＝ ，故D错误.故选A、B.
2
8
9.（多选）已知（x－1）5＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a5（x＋1）5，
−

)
−
5


2r
2
2
的展开式的通项Tr＋1＝C10
·
x ＝C10
，令 －
2
5＝0，解得r＝2，所以常数项为C10
＝45，故D正确.故选B、C、D.
2
12.若
1
2− 2 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x3项的系数

为
解析：
.（用数字作答）
⁠
1
2− 2 展开式的二项式系数之和为64，即2n＝64，所以n＝6，则
4
1
+ −2 的展开式，下列结论中正确的有

A.各项系数之和为0
B.各项系数的绝对值之和为256
C.存在常数项
D.含x的项的系数为－40
（
）
解析：ABC 选项A：令x＝1代入多项式，可得各项系数和为（1＋1－2）4＝
1

4
0，故A正确；选项B：取多项式 + + 2 ，令x＝1代入多项式可得：（1＋1
确定a2的值.
⁠
1.若x8＝a0＋a1（x＋1）＋…＋a7（x＋1）7＋a8（x＋1）8，则a3＝
A.56
B.28
C.－28
D.－56
（
）
解析：D 因为x8＝[（x＋1）－1]8，所以[（x＋1）－1]8＝a0＋a1（x＋1）＋…
＋a7（x＋1）7＋a8（x＋1）8，所以a3（x＋1）3＝C85 （x＋1）3·
＋3×2（1＋x）＋…＋9×8（1＋x）7＝2a2＋3×2a3x＋…＋9×8a9x7，令x＝0，
1
可得2＋3×2＋…＋9×8＝2a2，即a2＝ ×（2×1＋3×2＋4×3＋5×4＋6×5＋
2
7×6＋8×7＋9×8）＝120.故选D.
点评 利用等式两边同时取导数处理，求导解决，再用特殊值赋值处理，进而
答案：16 2 5
14.设（x2＋1）（4x－3）8＝a0＋a1（2x－1）＋a2（2x－1）2＋…＋a10（2x－
1）10，则a1＋a2＋…＋a10＝
1
解析：令x＝ ，得a0＝
2
1 2
2
.
⁠
+1 × 4×
8 5
1
−3 ＝ ，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…
2
4
＋a10＝（12＋1）×（4×1－3）8＝2，所以a1＋a2＋…＋a10＝a0＋a1＋a2＋…＋
7 ，
则82 023除以7的余数为1，所以是星期四.
5.在（x2＋2x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（
A.60
B.30
C.15
D.12
）
解析：A （x2＋2x＋y）5＝[（x2＋2x）＋y]5，由通项公式可得 +1 ＝C5 （x2＋
2x）5－kyk，∵要求x5y2的系数，故k＝2，此时（x2＋2x）3＝x3·
＋2x）10＝a1＋2a2x＋…＋10a10x9＋11a11x10，
令x＝－1，则a1－2a2＋…－10a10＋11a11＝22×（1－2）10＝22.
⁠
1.在 2
1 6
+
的展开式中，含x4项的系数为

A.160
B.192
C.184
D.186
解析：B 二项式 2
2r，当r＝1时，T
（
）

1 6
2
各项系数之和为1 024，所以（1－a）10＝1 024，因为a＜2，所以a＝－1，故A
1
1
10
错误；偶数项的二项式系数和为 ×2 ＝ ×1
2
2
024＝512，故B正确；
1

10
+ 2
展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，
故C正确；
1

+ 2
10
1
5
5
−
(
10
⁠
.
⁠
解析：由二项展开式的通项公式可知Tr＋1 ＝C 9 ·（ 2） 9－r ·x r ，r∈N，
0≤r≤9，当项为常数项时，r＝0，T 1 ＝C 90 ·（ 2） 9 ·x0 ＝（ 2） 9 ＝16 2.当
项的系数为有理数时，9－r为偶数，可得r＝1，3，5，7，9，即系数为有
理数的项的个数是5.
1

+
的展开式的通项Tr＋1＝C6 （2x）6－r
＝C6 26－rx6－


1
5
4
4
4
＝C
6 ×2 ×x ＝192x ，含x 项的系数为192.故选B.
2
2.（x－y）n的二项展开式中，第m项的系数是
A.C
C.C −1
（
）
B.C+1
D.（－1）m－1C−1

解析：D （x－y）n的展开式中，第m项为Tm＝C−1 xn－m＋1（－y）m－1＝（－
－aC10
＝30，解得a＝2.

8.（多选）二项式
的是 （
8
−
的展开式中含x2的项的系数是－7，则下列说法中正确

）
1
A.a＝
2
B.展开式中含x6的项的系数是－4
C.展开式中含x－1项
D.展开式中的常数项为40
解析：AB 二项式
8
−
的展开式的通项为Tr＋1＝C8 x8－r


−
6
4
n－4
2
）
−
＝16C
是常数

4.如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82 023天后是 （
A.星期二
B.星期三
C.星期四
D.星期五
）
023 2 023
解析：C 82 023＝（1＋7）2 023＝C20 023 70＋C21 023 7＋C22 023 72＋…＋C22 023
通过确定相关二项展开式的系数来达到转化的目的.
三、导数法
解析 设二项式（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3
＋…＋a9x9，以上等式两边同时取导数，可得2（1＋x）＋3（1＋x）2＋…＋9
（1＋x）8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋9a9x8，以上等式两边再次同时取导数，可得2
2
0

C80 −
＝1，T3＝C82
2
T9＝C88
1
1
1−
＝ ，∴n＝8，∴
2
256
2
−
＝7x2，T5＝C84
2
8
1 8
−
＝ x ，故选C.
2
256
4 35 4
−
＝ x ，T7＝C86
2
8
6
7 6
−
＝ x，
2
16
7.若（x2－a） +
1
A.
3
1
B.
2
C.1
D.2
解析：D
+
1 10
＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式（y－2）5展开式中
y2项的系数， +1 ＝C5 y5－k（－2）k，故a2＝C53 （－2）3＝－80，故B正确.a4＝
C51 （－2）1＝－10，a3＝C52 （－2）2＝40，所以a3＋4a4＝0，故C正确.
10.（多选）关于多项式
1）m－1C −1 xn－m＋1·
ym－1.所以第m项的系数为（－1）m－1C −1 .故选D.


3.若
2
−
的展开式中第5项是常数项，则自然数n＝

A.6
解析：C 由
B.10
C.12
2
−
的展开式中第5项C4 （


项，可得 －6＝0，解得n＝12.故选C.
2
（
）
D.15

4
2
−
1−(1+)
2
＝（1＋x） ·
8
1−(1+)
(1+)10 −(1+)2
＝
，则展开式中x2的系数是（1＋x）10展开式

10×9×8
＝120.故选D.
3×2×1
3
中x3的系数C10
＝
点评 利用等比数列转化法破解本题的关键是巧妙借助二项式中各项的通项公
式规律，结合等比数列的定义及求和公式进行求和处理，再结合和式的特征，
（－1）5＝－56
（x＋1）3，即a3＝－56，故选D.
2.若（1＋a）＋（1＋a）2＋（1＋a）3＋…＋（1＋a）n＝b0＋b1a＋b2a2＋…＋
bnan，且b0＋b1＋b2＋…＋bn＝30，则自然数n的值是
A.3
B.4
C.5
D.6
（
）
解析：B 令a＝1，则b0＋b1＋b2＋…＋bn＝（1＋1）＋（1＋1）2＋（1＋1）3
的展开式中x6的系数为30，则a＝

（
）

1 10
10－r 1
10－2r
的展开式的通项为Tr＋1＝C10 x
＝C10
x
，令10－2r


3
＝4，解得r＝3，所以x4的系数为C10
；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系数为
2
C10
，所以（x2－a）
故选D.

1 10
3
2
+
的展开式中x6的系数为C10
（x＋2）3，其对
应x5的系数为C31 ×21＝6.∴x5y2的系数为C52 ×6＝60.
6.已知

1
1−
的展开式中所有项的系数和等于 ，则展开式中项的系数的最大
2
256
值是 （
）
7
A.
2
35
B.8C.7源自D.70解析：C 令x＝1得，
Tr＋1＝C8
8
1−
的展开式的通项公式为
2

−
，要求展开式中项的系数的最大值，则r必为偶数，∴T1＝
＝48，当r＝4时，常数项为（－2）4＝16，故原多项式的展开式的常数项为6＋
48＋16＝70，故C正确；选项D：当r＝1时，展开式中含x的项为C41 C31 x（－2）1
＝－24x，当r＝3时，含x的项为C43 x（－2）3＝－32x，故原多项式的展开式中含
x的项的系数为－56，故D错误，故选A、B、C.
＋2）4＝256，所以原多项式各项系数的绝对值之和为256，故B正确；选项C：
4
4−
1
1
多项式可化为 + −2 ，则展开式的通项公式为Tr＋1＝C4 +
（－


4−
4
1
1
2）r，当4－r＝0，2，4即r＝4，2，0时， +
有常数项，即 + −2 有


常数项且当r＝0时，常数项为C40 C42 ＝6，当r＝2时，常数项为C42 ×2×（－2）2