江苏南京六校2024年高一12月联合调研数学试题+答案

2024-2025学年第一学期12月南京市六校联合调研试题
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数()()ln 3f x x =+ ）
A ．]0,3[−
B ．)0,3[−
C ．]0,3(−
D ．)0,3(−
2. 已知α是第二象限角，(,8)P x 为其终边上的一点，且4
sin 5
α
，则x =（ ） A ．6− B ．6± C ．323±
D ．323
−
3. 若扇形面积为2cm 1，圆心角为rad 2，那么该扇形的弧长为（ ）
A ．1cm B
C ．2cm
D ．
4. 函数2
1
x y x =
−的图象大致为（ ）
A B C D 5. 设()2.5
0.4a =， 2.5log 0.4b =，()
0.4
2.5c =，则a b c 、、的大小关系为（ ）
A ．c a b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．a c b <<
6. 函数)2(log )(23
2+−−=x x x f 的单调递减区间为（ ）
A ．)21,(−−∞
B ．)21,2(−−
C ．),21(+∞−
D ．)1,2
1
(− 7. 已知函数()21log 1,3
27,3x x x f x x − −<= −≥ 且()1f a =，则()3f a −的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．3−
D ．0或1
8. 已知幂函数
)(3
22
Z m x y m m
∈=−−的图象关于y 轴对称，且在),0(+∞上单调递减，则满
足5
5
)
23()
1(m m
a a −
−
−>+的实数a 的取值范围为（ ）
A ．)23,32()1,( −−∞
B ．)3
2,(−∞
C ．),23()32,1(+∞−
D ．)2
3,0(
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A ．命题043,:2<++∈∃x x R x p ，则命题p 的否定是043,2
>++∈∀x x R x B ．()2f x x =−与()()
2x x g x x
−=
不是同一个函数 C ．定义在R 上的函数()y f x =为奇函数的充要条件是(0)0f = D ．“1a >且1b >”是“1ab >”的充分不必要条件
10. 若0a >，0b >，且
12
1a b
+=，则下列说法正确的有（ ） A ．ab 的最小值是8 B ．a b +
的最大值是3+ C ．
2214
a b +的最小值是12
D ．(1)a b −
的最小值是3+
11. 若定义在()1,1−上不恒为0的()f x ，对于(),1,1x y ∀∈−都满足()()1x y f x f y f xy
++=
+
，且当()1,0x ∈−时，()0f x >，则下列说法正确的有（ ） A ．(0)0f = B. ()f x 为奇函数 C ．)2
1()41()31(f f f >+ D. ()f x 在()0,1上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知0cos <α
，且0tan >α，则角α是第________象限角．
13. 若函数()log a y x m n =++()0,1a a >≠且的图象恒过定点()52，，则m n +=
________．
14. 已知函数()()22log 1,13
1108,3
33x x f x x x x −<≤
= −+> ，若关于x 的方程()f x m =有4个不同的实根x 1、
2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则
()1234
12
x x x x x x +的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13分）
已知集合{
}
3813
31
<<=−x x A ，{}
.322−<<−=a x a x B （1）当3=a 时，求A B 与()R A B ； （2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.
16. （15分）
已知函数x x f a log )(=)1,0(≠>a a 且，若函数)(x f 在区间[]4,1上的最大值与最小值之和为2.
（1）求函数)(x f 解析式，并求出关于x 的不等式1)1
1
(
<+−x x f 的解集； （2）求函数)2(4)(x f x f x g ⋅
=，[]4,1∈x 的值域，并求出取得最值时对应的x 的值.
17. （15分）
为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y （单位：分）与当天阅读时间x （单位：分钟）的函数关系，要求如下：
（i ）函数的部分图象接近图示；
（ii ）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii ）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分； （iiii ）每天最多得分不超过100分. 现有以下三个函数模型供选择： ①)0(>+=k m kx y ； ②)0(2
15
>+⋅=k m k y x
；
③)0(25
log 2>+
+=k m x
k y . （1）请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由； （2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式； （3）已知学校要求每天的得分不少于75分，求每天至少阅读多少分钟？
18. （17分）
已知定义在R 上的函数1
2()21
x x
b f x +−=+是奇函数. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若存在0x >，使得关于x 的不等式2
21()()0k f x f kx x x
+
+−−>能成立，求实数k 的取值范围.
19. （17分）
对于两个定义域相同的函数()f x 和()g x ，若存在实数m ,n ，使()()()h x mf x ng x =
+，则称函数()h x 是由“基函数()f x 和()g x ”生成的.
（1）若()49h x x x =+是由“基函数()1
2f x x a x
=−+和()1422g x x x =
+−”生成的，求a 的值；
（2）试利用“基函数
()()2log 41x f x =+和()1
12
g x x =+”生成一个函数()h x ，满足()h x 为偶函数，且()01h =−. ①求函数()h x 的解析式；
②已知*
03,,1,1n n n N x x ≥∈=
−=，对于()1,1−上的任意值12,,x x ，()1121n n x x x x −−<<< ，记1
1
()()n
i
i i M
h x h x
−==−∑，求M 的最大值.（注：121
n
i n i x x x x ==+++∑ .）
2024-2025学年第一学期12月南京市六校联合调研试题
高一数学参考答案及评分标准
1、【答案】C
2、【答案】A
3、【答案】C
4、【答案】B
5、【答案】C
6、【答案】B
7、【答案】B
8、【答案】C
9、【答案】BD 10、【答案】ACD 11、【答案】ABD 12、【答案】三 13、【答案】2− 14、【答案】)24,21(
15、【答案】（1）
<
<=2112x x A
{}31<<=x x B .................................................2分 B A ={}
32<<x x .................................................................................4分
R B A ),2(]1,(+∞−∞= .....................................................................6分
（2）若φ=B ，322−≥−a a ，1≤a 满足题意 ................................................................8分
若φ≠B ，322−<−a a ，1>a ................................................................................9分
由
≤−≥−211
3222a a ，得4174≤≤a ..............................................................................................12分 综上：1≤a 或 4
17
4≤≤a ......................................................................................................13分
16、【答案】（1）()x x f 2log = （0>x ）..........................................................................3分
由1)11(
<+−x x f ，得111log 2<
+−x x ，则2110<+−<
x x ......................................4分 解之得3−<x 或1>x ............................................................................................6分 故不等式解集为{}
13>−<x x x 或........................................................................7分
（2）()()x f x f x 24g ⋅
==)2(log )4
(log 22x x ⋅=)1(log )2(log 22+⋅−x x
=2log )(log 222−−x x ..............................................................................9分
令t x =2log ，[]2,0∈t
记()
−∈− −=−−=049492122
2
，t t t t g ........................................................................12分
综上()x g 的值域为
−049，.....................................................................................................13分
2
1
=
t 时函数取到最小值，此时2=x .................................................................................14分 2=t 时函数取到最大值，此时4=x ......................................................................................15分
17、【答案】（1）从题图看应选择先快后慢增长的函数模型， 故选2log 25x y
k m
++
；.....................................................................................................3分
（2）将()0,0，()30,50代入解析式得到2+=0log 8+=50k m k m ，即+=0
3+=50k m k m
,............................5分 解得=25k ，25m =−，即225log 2255x y
+−
. ...................................................................7分
当150x =时，()225log 30225100y
+−=,.............................................................................9分
满足每天得分最高不超过100分的条件.
所以函数的解析式为225log +225, 0150
=5100 , >150x x y x
−≤≤
,....................................................11分 （3）由225log 225755x y
+−≥
.......................................................................................13分
得70x ≥,...................................................................................................................................14分 所以每天得分不少于75分，至少需要阅读70分钟. ..........................................................15分
18、【答案】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴2
(0)011
b f
−==+，∴2b =,...............2分 此时2(1)2()12x x
f x −=+，()()2(122(1)
221)21x x x x f x f x −−−−−===−++，()f x 是奇函数，满足题意，
1
22()12x x f x +−∴=+...........................................................................................................................5分
（2）1222
()2(1)1212x x x
f x +−==−++，()f x 在R 上是减函数..........................................................7分 证明：设12,x x R ∈且12x x <，
则212121124
44(22)
()()12(12)(12)
12x x
x x x x
f x f x −−=−=++++
∵12x x <，∴2122x x >，1120x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x −>，
即12()()f x f x >，∴()f x 在R 上是减函数.............................................................................10分 （3）因为()f x 是奇函数，
故不等式2
21()()0k f x f kx x x +
+−−>即2
21()()()k k f x f kx f kx x x x
+>−−−=+......................11分 又()f x 是R 上的减函数，故2
211
()k x kx k x x x x
+
<+=+在0x >时能成立...........................12分 令)0(,1
>+
=x x
x t ，则21≥+=x x t ，当且仅当1=x 时取等号.
故x x x x k 11
22+
+>=x
x x x 12)1(2+−+=t t t t 222
−=−在2≥t 时能成立.......................................15分
易得函数t
t t h 2
)(−=在),2[+∞为增函数（仅需说明单调性即可，不必再次证明）.....16分
则1)(min =t h ，故1>k ............................................................................................................17分
19．【答案】（1）由已知，得()4114
9(2)(2)2h x x m x a n x x x x
=+
=−+++−， 则449222n n m x m x ma n x x − +=++
+− ，则2924420n m n m ma n
+= −= −=
，得421m n a =
= = 故a =1................3分 （2）①设
21
()log (41)(1)2x h x m n x =+++， 因为()h x 为偶函数，所以
2()log (41)2
x n
h x m x n −−=+−+， 由()()h x h x −=
，可得22log (41)log (41)22
x x n n
m x n m x n −+++=+−+， 整理可得241log ()41
x x m nx −+=+，即2log 4x
m nx −=，所以24nx mx −=，
所以2nx mx =−对任意x 恒成立，所以2n m =−....................................................................... 7分 所以
22()log (41)2(1)[log (41)]22
x x x
h x m m m x m =+−+=+−−， 又因为()01h =−，所以2log 221m m −=
−，所以1m =， 故函数()h x 的解析式为2()log (41)2x h x x =
+−−. ..................................................................9分
②由①知2241
()log (41)2log 22
x x
x h x x +=+−−=−.在[0,1]内任取12,x x ，且12x x <，
则1212
1221122224141(41)2()()log 2log 2log 22(41)2x x x x x x x x h x h x +++−=−−+=+，
因为122121121222(41)2(41)2(22)(22)x x x x x x x x x x +++−+=−+− 2112122112(22)2(22)(22)(12)x x x x x x x x x x ++=−+−=−−，12x x <，
所以21220x x −>，1221x x +>，所以12120x x +−<，所以2112(22)(12)0x x x x +−−<，即
12
2
1
(41)201(41)2x x x x +<<+，所以12212(41)2log 0(41)2x x x x +<+，即12()()h x h x <，所以函数()h x 在[0,1]上是增函数，同理可证，函数()h x 在[1,0]−上是减函数. .....................................................................13分 设110(),0,1,2,3,,1k k k k x x x x k n ++≤≤≠=
− ， 则0112()()(),()()()k k k n h x h x h x h x h x h x ++>>><<< ，
所以()()10112111
()()()()()()()()n
i i k k k k i h x h x h x h x h x h x h x h x h x h x −−+=−=
−+−++−+−∑ 21321()()()()()()
k k k k n n h x h x h x h x h x h x ++++−+−+−++− 011()()()()()()k k k n k h x h x h x h x h x h x ++=−+−+−11(1)(1)()()()()k k k k h h h x h x h x h x ++=−+−−+−，
当且仅当0k x =或10k x +=时，()()11
n
i i i h x h x −=−∑有最大值25
2(1)2(0)2log 4h h −=
，故M 的最大值为25
2log 4
. ........................................................................................................................17分。