河北省衡水市安平中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题(附答案及解析)

1
河北省衡水市安平中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题
一、选择题 本大题共12道小题。

1.
已知数列{a n }，{b n }满足111a b ==，1
12n n n n
b a a b ++-=
=，*n N ∈，则数列{}
n
a b 的前10项的和为
A.
()
9
4413- B.
()
10
4413-
C. ()
91413
-
D. ()
101413
-
2.
甲乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A. 13
B.
14
C.
15
D.
16
3.
已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为2
π，将函数()y f x =的图
象向左平移
3
π
个单位，得到的图象关于y 轴对称，则（ ） A. 函数f (x )的周期为2π
B. 函数f (x )图象关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C. 函数f (x )图象关于直线12
x π
=对称
D. 函数f (x )在,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调 4.
已知等比数列{a n }满足11a =，1357a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A. 7
B. 14
C. 21
D. 26
2
5.
某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为，4
5
ˆˆ
y
x a =+,若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为( ) A. 9.2 B. 9.5
C. 9.8
D. 10
6.
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin cos sin C C B A +=，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
a =1
cos 3
B =，则b =（）
A. 2
B.
53
C.
125
D. 4
7.
已知函数()9
411
y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则+a b 等于（） A. -3 B. 2
C. 3
D. 8
8.
同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫
⎪⎝⎭对称；③在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
π上是增函数的一个函数可以是（ ） A. 4sin 23y x π⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭ B. sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C. 2cos 23
y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
D. sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
9.
在△ABC 中，222a b c bc =+-，则角A 为（） A. 30° B. 150° C. 120° D. 60°
10.
供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)， [10,20)， [20,30)， [30,40)，[40,50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是
3
A. 12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B. 12月份人均用电量不低于20度的有500人
C. 12月份人均用电量为25度
D. 在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30,40)一组的概率为110
11.
在等差数列{a n }中，46a =，3510a a a +=，则公差d =（） A.－1 B. 0
C. 1
D. 2
12. 若
11
0a b
<<，则下列结论不正确的是( ) A. 22a b < B. 2ab b <
C.
2b a a b +> D. a b a b -=-
评卷人 得分
一、填空题 本大题共4道小题。

13.
已知关于x 的不等式()22
4300x ax a a -+<>的解集为()12,x x ，则1212
a
x x x x ++
的最小值是______．
14.
已知向量()2,1a =-r 与(),2b x =r
互相垂直，则x =________．
15.
△ABC 中，1
cos ,4,24
A A
B A
C ===，则BC 边上中线A
D 的长为_____． 16.
某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的
4
人数为____．
二、解答题 本大题共6道小题。

17.
已知数列{a n }的前n 项和S n 满足()()212n n n S a a =-+，且(
)*
0n a n N >∈。

（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若()
()*321
n n n
n b n N na -=∈，求数列{b n }的前n 项和T n . 18.
已知函数()2
sin cos f x x x x =.
（1）求f (x )的最小正周期；
（2）求f (x )的最大值，并说明取最大值时对应的x 的值. 19.
在△ABC 中，已知∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，2BA BC =. （1）求BDC ∆与BDA ∆的面积之比；
（2）若120ABC ∠=o ，3BC =，求AD 和DC . 20.
已知数列{a n }的前n 项和S n 满足22
n n n
S +=,*n N ∈. （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设()21n n
a
n n b a =+-，*n N ∈，求数列{b n
}的前2n 项和2n T .
21.
△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()
m a =r
与()cos ,sin n A B =r
平行． （1）求A ； （2）若a =2b =求△ABC 的面积．
22.
已知函数()22x
x
f x -=+.
（1）解不等式()52
f x >
；
5
（2）若对任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值．
试卷答案
1.D 【分析】
由等差数列和等比数列的通项公式求得a n 和b n ，从而得n a b ，进而利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】由a n +1﹣a n 1
n n
b b +=
=2， 所以数列{a n }是等差数列，且公差是2，{b n }是等比数列，且公比是2． 又因为1a ＝1，所以a n ＝1a +（n ﹣1）d ＝2n ﹣1． 所以n a b =b 2n ﹣1＝1b •22n ﹣2＝22n ﹣2．
设n n a c b =，所以n c ＝22n ﹣
2，
所以
1
n
n c c -=4，所以数列{∁n }是等比数列，且公比为4，首项为1． 由等比数列的前n 项和的公式得：
其前10项的和为10141
143
-=-（410﹣1）
． 故选：D ．
【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，属于基础题. 2.A
依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193
=. 3.D 【分析】
根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得ω；再平移后，根据关于y 轴对称可求得ϕ的值，进而求得解析式。

根据解析式判断各选项是否正确。

【详解】因为函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
图象相邻两条对称轴之间距离为
2
π
6
所以周期T π= ，则22T
π
ω=
= 所以函数()()sin 2f x x ϕ=+ 函数()y f x =的图象向左平移3π单位，得到的解析式为()2sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
因为图象关于y 轴对称，所以
2232k ππϕπ+=+，即26
k π
ϕπ=-+，k ∈ Z 因为2
π
ϕ<
所以6
π
ϕ=-
即()sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
所以周期T π=，所以A 错误 对称中心满足226x k π
π-=，解得12
x k π
π=
+，所以B 错误 对称轴满足226
2
x k π
π
π-
=
+，解得6
x k π
π=
+，所以C 错误
单调增区间满足2?222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，解得2 3
3k x k π
πππ-
+≤≤
+，而,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
在2 3
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+内，所以D 正确 所以选D
【点睛】本题考查了三角函数的综合应用，周期、平移变化及单调区间的求法，属于基础题。

4.B 【分析】
根据等比数列的通项公式可求出公比，即可求解.
【详解】因为2413517a a a q q ++=++=，可解的2
2q =， 所以357a a a ++=623
76+66()14a q q =+=+=，
故选B.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题. 5.B
7
试题分析：468103568117,442x y ++++++=
===Q ˆ11417251ˆ0a
a ∴=⨯+∴=-41
510
ˆy x ∴=- 当12x =时9.5y = 考点：回归方程 6.C 【分析】
先利用正弦定理解出c ，再利用cos B 的余弦定理解出b 【详解】sin 2sin cos sin +2cos =C C B A c c B a +=
⇔c ⇒=
222541144
2cos 625325
b a
c ac B =+-=+
-=
所以12
5
b =
【点睛】本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题。

7.C 【分析】
配凑成可用基本不等式的形式。

计算出最值与取最值时的x 值。

【详解】9+15511y x x =+-≥=+ 当且仅当9
+1=1
x x +即=2x 时取等号， 即+b=3a
【点睛】在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可。

8.B 【分析】
利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】把6
x π
=代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6
x π
=
代入B 选项可得sin 00y ==，符
合；把6
x π
=
代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6
x π
=
代入D 选项可得sin
12
y π
==，不符合，排除D ；
8
当0,
4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，πππ2[,]336x -∈-，此时为增函数；故选B.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养. 9.D 【分析】
利用余弦定理解出即可。

【详解】2221
cos ==6022
b c a A A bc +-=
⇒︒ 【点睛】本题考查余弦定理的基本应用，属于基础题。

10.C
根据频率分布直方图知，
12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A 正确；
12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B 正确； 12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C 错误； 在这1000位居民中任选1位协助收费,用电量在[30,40)一组的频率为0.1， 估计所求的概率为1
10
，∴D 正确. 故选：C. 11.C 【分析】
全部用1,a d 表示，联立方程组，解出d 【详解】10354==2=12a a a a +
104661a a d d -==⇒=
【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属于基础题。

12.D 【分析】
9
不妨令12a b =-=-， ，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项． 【详解】由题
11
0a b
<<，不妨令12a b =-=-，，可得a 2＜b 2，故A 正确； 2ab b <，故B 正确；1
222
b a a b +=+＞，故C 正确．
11a b a b -=--=，， 故D 不正确．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题
【分析】
由韦达定理求出12x x +与12x x ，带入计算即可。

【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道2243=0x ax a -+的解为12,x x ， 由韦达定理知12=4x x a +，2
12=3x x a ，
所以12121=433a x x a x x a ++
+≥
当且仅当a 取等号。

【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题。

14.1 【分析】
两向量垂直，其数量积的等于0. 【详解】2201a b x x ⋅=-+=⇒=r r
【点睛】本题考查两向量垂直的数量积表示，属于基础题。

【分析】
通过余弦定理可以求出BC 的长，而cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，用余弦定理求出
10
cos ,cos ADB ADC ∠∠的表达式，代入上式可以直接求出AD 的长。

【详解】由余弦定理可知：4,BC =
=
2BD DC ∴==,设AD x =，由余弦定理可知：
222212
cos 222AD DB AB x ADB AD DB x
+--∠==
⋅⨯ 2222
cos 222AD DC AC x ADC AD DC x +-∠==
⋅⨯而cos cos 0ADB ADC ∠+∠=， 即22
120,2222x x x x
-+=⨯⨯
解得x =BC 边上中线AD。

【点睛】本题考查了利用余弦定理求三角形中线长的问题。

本题也可以应用中点三角形来求解，过程如下：延长AD 至E ，使得AD DE =,易证出BE AC P ,BE AC = ABE BAC π∴∠+∠=,由余弦定理可得：
. 12AD AE === 16.35 【分析】
由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．
【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7， 抽样的比列为 5612805=，故该学校的行政人员人数是71
5
÷=35， 故答案为 35．
【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．
17.(1) (
)
*
1n a n n N =+∈ (2) 1
331
n n T n +=-+
【分析】 （1）利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n b 的前n
项和n T .
【详解】解：（1）当1n =时，()()11112122S a a a =-+=，∵10a >，∴12a =，
当2n ≥时，()()()()()111221212n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+--+，
∴()()1110n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴110n n a a ---=，∴11n n a a --=，
∴{}n a 是以12a =为首项，1d =为公差的等差数列，∴()
*1n a n n N =+∈； （2）由（1）得1n a n =+，∴()()13213311n n n
n n b n n n n
+-==-++， ∴232111213333333323211n n n n n n n T b b b b n n n n -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭L L 1
331
n n +=-+。

【点睛】本小题主要考查利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题. 18.（1）f (x )的最小正周期为T π=（2）3x π=
时，f (x )取得最大值32
【分析】
降次化为()sin()f x A ωx φB =++的形式再通过2T πω=
求出最小正周期。

根据()sin()f x A ωx φB =++的性质求出最大值即可。

【详解】（1）(
)1cos 21122cos 2222
x f x x x x -==-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ=
=. （2）由（1）知()1sin 262f x x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭. 当226x ππ-=时，即3x π=时，()f x 取得最大值32
. 【点睛】本题考查三角函数的基本性质，属于基础题。

19.（1）
12（2
）AD =
DC =
【分析】 由三角形面积公式in 12s S ab C =
解出即可。

利用余弦定理解出AC ，再根据比值求出AD 和DC 。

【详解】（1）设BDC ∆与BDA ∆的面积分别为1S ，2S ，则11sin 2
S BC BD CBD =
⋅∠，21sin 2
S BA BD ABD =⋅∠， 因为BD 平分ABC ∠，所以ABD CBD ∠=∠，
又因2BA BC =，所以212S S =，∴1212
S S =. （2）在ABC ∆中，由余弦定理得，2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅⋅o 1369236632
=++⨯⨯⨯=，
∴AC =
由（1）得12
2S AD DC S ==，
∴DC =
，AD =【点睛】本题考查三角形的面积公式、余弦定理。

属于基础题。

20.（1）n a n =（2）2122n n ++-
【分析】
根据公式11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 解出n a 即可。

写出n b ，再分组求和。

【详解】（1）当1n =时，111a S ==；
当2n ≥时，()()2
211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=， 综上n a n =.
（2）由（1）知()21n
n n b n =+- ()()122222212342n n T n =++⋅⋅⋅++-+-+-⋅⋅⋅+
()
221212n n -=+-
2122n n +=+-
【点睛】本题考查数列通项的求法及分组求法求前n 项和。

属于基础题。

21.（1）
3π；（2
）2．
【详解】试题分析：（1）根据平面向量//m n r r ，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值. 试题解析：（1
）因为向量()m a =r 与()cos ,sin n =A B r 平行，
所以0asinB ＝，
由正弦定理得sinAsinB
－0sinBcosA ＝，
又sin 0B ≠，从而tanA
0<A<π，所以A ＝3
π. （2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a
，b ＝2，A ＝
3π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，
因为c>0，所以c ＝3.
故△ABC 的面积为12bcsinA
＝2
. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.
22.（1）{}|11x x x <->或（2）4
【分析】
换元法，先换元再解不等式。

令22x x t -=+换元后参变分离，求最值。

【详解】解：（1）设20x t =>，则12
x t -=，∴152
t t +>， 即22520t t -+>，
解得12
t <
或2t >， 即122x <或22x >， ∴1x <-或1x >.
∴()52
f x >的解集为{}|11x x x <->或. （2）()22x x f x -=+，
令22x x t -=+，则2t ≥（当且仅当0x =时，等号成立）． 又()2222222x x f x t -=+=-，
故()()26f x mf x ≥-可化为226t mt -≥-， 即4m t t
≤+， 又2t ≥
，44t t +
≥=（当且仅当2t =，即0x =时等号成立）． ∴min
44m t t ⎛
⎫≤+= ⎪⎝⎭，即m 的最大值为4. 【点睛】本题考查换元法、不等式、函数的恒成立问题，属于中档题。