【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(215)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（215）
______年______月______日
____________________部门
第一试
一、填空题
1。

已知数列满足对于任意正整数，均有。

则
{}n
a n 3
1
n
k
k a
n ==∑
2017
21
1k k
a ==-∑
2。

已知实数满足则的最大值为
x y 、22
12x y xy +-=22x y -
3。

若从1，2，…，14这14个整数中同时取三个数，使得任何两数之差的绝对值不小于3，则不同的取法数为 。

4。

在中，CA=2,CB=6,,若点O 在的平分线上，满足,且，则的取值范围
是 。

ABC ∆0
60ACB ∠=ACB ∠()OC mOA nOB m n R =+∈、11420n -≤-OC
5。

如图1，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为边BC 、AD 的中点，将沿BF 所在直线进行翻折，将沿DE 所在直线进行翻折，则在翻折的过程中，点A 与C 之间的最大距离为 。

ABF
∆CDE ∆
6。

已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A 、B ，过右焦点F2的直线与椭圆C 交于点。

若,则实数= 。

22
:1
98
x y C +=:1l x my =+112212(,)(,)(0,0)M x y N x y y y ><、1MA NF ⊥m 7。

已知函数，对于任意的恒有。

则实数的取值范围
是 。

2
()2ln f x x x a x =++1t ≥(21)2()3f t f t -≥-a
8。

若的展开式，则 。

403422017
()(2)k k k f x a x x x ==++∑与1344331320
=
k
k k k a a a ++=--∑
（2）
二、解答题
9。

在数列中，。

证明：
{}n a 2
112,2n
n n a a a a +==+1242n
k
k k
ka a =<+∑
10。

在中，所对的边分别为。

若,求的度数。

ABC ∆A B C
∠∠∠、、a b c 、、0=39A ∠，
222222()()a b a ac b b c -+-=C ∠ 11。

如图2，椭圆，抛物线，过抛物线上一点P （异于原点O ）作切线，
与椭圆交于A 、B 两点。

22
1:143x y C +=22:4C y x =2C l 1C
（1）切线在轴上的截取的取值范围；l x （2）面积S 的最大值。

AOB ∆
加试
一、求所有的整数数对，使得为形如(
)a b c 、、()()()
2
2a b b c c a N ---=
+
1729()m m N ∈的正整数。

二、已知为非零复数，且。

证明：a b c
、、a b
a b
≠{}max ,ac b bc a ++≥
12a b
a b a b
+-。

三、如图3，在锐角中，D 为平分线上一点，延长CD 、BD ，分别与AB 、
AC 交于点E 、F ，直线EF 与的外接圆交于M 、N 两点，O 为的外心。

证明：。

ABC ∆BAC ∠ABC ∆ΓDMN ∆OD BC ⊥
四、将圆周上的所有点进行三染色。

证明：存在无穷多个等腰三角形，其顶点均为圆周上的同色点。