(典型题)高中数学选修1-2第一章《统计案例》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛
结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为2
3
，乙队获胜的概率
为1
3
．若前两局中乙队以20：领先，则下列说法中错误的是（）
A．甲队获胜的概率为8
27
B．乙队以30：获胜的概率为
1
3
C．乙队以三比一获胜的概率为2
9
D．乙队以32：获胜的概率为
4
9
2．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（）
A．1
4
B．
8
9
C．
1
16
D．
5
32
3．某射手射击一次命中的概率为0.8，连续两次射击均命中的概率是0.6，已知该射击手某次射中，则随后一次射中的概率是（）
A．3
4
B．
4
5
C．
3
5
D．
7
10
4．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（）．
A．0.378B．0.3C．0.58D．0.958
5．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）
A．1
5
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
2
6．某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的
高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：由
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
并参照
附表，得到的正确结论是（）
A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”
C ．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”
D ．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关” 7．根据如下样本数据：
x
3 5 7 9 y 6
a
3
2
得到回归方程 1.412.ˆ4y
x =-+，则 A ．5a =
B ．变量x 与y 线性正相关
C ．当x ＝11时，可以确定y ＝3
D ．变量x 与y 之间是函数关系
8．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为21
33
、，则小球落入A 袋中的概率为 （ ）
A ．
34
B ．
14
C ．
13
D ．
23
9．下面是22⨯列联表：
则表中a b ，的值分别为（ ） A ．84，60 B ．42，64
C ．42, 74
D ．74, 42
10．某商品的售价x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表所示：
由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是
3.ˆ2y
x a =-+，则实数a =( ) A ．30
B ．35
C ．38
D ．40
11．在5道题中有3道代数题和2道几何题.如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到代数题的概率为 ( ) A ．
1
5
B ．
25
C ．
12
D ．
35
12．下面给出四种说法：
①用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好； ②命题P ：“∃x 0∈R ，x 02﹣x 0﹣1＞0”的否定是￢P ：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0”； ③设随机变量X 服从正态分布N （0，1），若P （x ＞1）=p 则P （﹣1＜X ＜0）=1
2
﹣p ④回归直线一定过样本点的中心（,x y ）． 其中正确的说法有（ ） A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
二、填空题
13．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是2
5
，既刮风又下雨的概率为
1
10
，设A 为下雨，B 为刮风，那么(|)P B A 等于__________． 14．掷三个骰子,出现的三个点数的乘积为偶数的概率是________.
15．已知下列命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是系统抽样；
②两个变量的线性相关程度越强，则相关系数的值越接近于1；
③两个分类变量X 与Y 的观测值2k ，若2k 越小，则说明“X 与Y 有关系”的把握程度越大；
④随机变量X ～(0,1)N ，则(1)2(1)1P X P X <=<-. 其中为真命题的是__________． 16．下列4个命题：
①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；
②四边形ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为12
π-
； ③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π
个单位，可得到3sin 2y x =的图象；
④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为
1.230.08y x =+.
其中正确的命题有__________．(填上所有正确命题的编号) 17．下列说法正确的个数有_________
（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点
(),x y ；
（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.
18．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A =“至少出现一次反面”，事件B =“恰好出现一次正面”，则(/)P B A =__________． 19．已知下列说法： ①分类变量A 与B 的随机变量越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大；
②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线
性方程
，则
的值分别是和
；
③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为
，若
，
，
，则
．
其中说法正确的为_____________．（填序号）
20．若10件产品包含2件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为__________．
三、解答题
21．某医院治疗白血病有甲、乙两套方案，现就70名患者治疗后复发的情况进行了统计，得到其等高条形图如图所示（其中采用甲、乙两种治疗方案的患者人数之比为5:2)．
（1）补充完整22⨯列联表中的数据，并判断是否有99%把握认为甲乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响；
复发 未复发 总计
甲方案
乙方案 2
总计
70
（2）为改进“甲方案”，按分层抽样组成了由5名患者构成的样本，求随机抽取2名患者恰好是复发患者和未复发患者各1名的概率． 附：
20()P K k 0.05 0.01 0.005 0.001 0k
3.841
6.635
7.879
10.828
n a b c d =+++，2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++． 22．随着运动App 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健康达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共400人）的走路步数，并整理成下表： 分组（单位：千步） [)0,4 [)4,8 [)8,12 [)12,16 [)16,20 [)20,24 [)24,28 []28,32
频数
60
140
100
60
20
18
2
间中点值作代表）；
（2）若用A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A 发生的概率；
（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人有200人，其中健步达人恰有150人，请填写下面22⨯列联表.根据列联表判断有多大把握认为，健步达人与年龄有关？
附：()
()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
23．支付宝作为一款移动支付工具，在日常生活中起到了重要的作用．
（1）通过现场调查12位市民得知，其中有10人使用支付宝．现从这12位市民中随机抽取3人，求至少抽到2位使用支付宝的市民的概率；
（2）为了鼓励市民使用支付宝，支付宝推出了“奖励金”活动，每使用支付宝支付一次，分别有
1
2，13，16
的概率获得0.1，0.2，0.3元奖励金，每次支付获得的奖励金情况互不影响．若某位市民在一天内使用了2次支付宝，记X 为这一天他获得的奖励金数，求X 的概率分布和数学期望．
24．某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是1
2，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是13
，开黄花的概率是
23；若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是35，开黄花的概率是2
5
.记第n 代开红花的概率为n p ，第n 代开黄花的概率为n q . （1）求2p ；
（2）①证明：数列9()19n p n N *
⎧
⎫-
∈⎨⎬⎩⎭
为等比数列； ②第*(,2)n n N n ∈≥代开哪种颜色花的概率更大？
25．2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X 服从正态分布
(110,144)N ，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，
并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：
（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；
（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有
90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？
（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．
附：若随机变量X 服从正态分布2
(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，
(2P X μσμ-<≤+2)0.9544σ=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．
参考公式与临界值表：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20()P K k ≥
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
26．某科研单位研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，发现该细菌繁殖的个数y （单位：个）随时间x （单位：天）的变化情况如表l ：
x 1 2
3 4 5 6
y 5 10 26 50 96 195 表1
令ln w y =，w 与y 对应关系如表2：
y 5
10 26 50 96 195
w 1.61 2.30 3.26 3.91 4.56 5.27
表2
根据表1绘制散点图如下：
（1）根据散点图判断，y bx a =+与dx
y ce =，哪一个更适合作为细菌的繁殖数量y 关于
时间x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （3）若要使细菌的繁殖数量不超过4030个，请根据（2）的结果预测细菌繁殖的天数不超过多少天？
参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率
和截距的最小二乘估计分别为()()
()
1
2
1
n
i
i i n
i
i u
u v v u
u β==--=
-∑∑，v u αβ=-.
参考数据： 3.50x =，63.67y =， 3.49w =，
()
6
2
11
17.50i x x =-=∑，
()
6
2
1
1
9.49i w w =-=∑，()()6
1
12.87i i i w w x x =--=∑，()()61
519.01i i i x x y y =--=∑，
ln 40308.30≈，ln16407.40≈
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
A ，在乙队以2:0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜；
B ，乙队以3:0获胜，即第4局乙获胜；
C ，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜；
D ，若乙队以3:2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输． 【详解】
解：对于A ，在乙队以2:0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，
所以甲队获胜的概率为3
12
8
()3
27
P ==
，故正确； 对于B ，乙队以3:0获胜，即第4局乙获胜，概率为
1
3
，故正确； 对于C ，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为212
339
⨯=，故正确；
对于D ，若乙队以3:2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输， 所以乙队以3:2获胜的概率为221433327
⨯⨯=，故错． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．
2．D
解析：D 【分析】
首先确定是条件概率，在出现数字乘积为偶数的前提下，乘积为非零偶数的概率， 首先求两次数字乘积为偶数的概率， 然后两次为非零偶数的概率，再按照条件概率的公式求解. 【详解】
两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，概率是2
2169
⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以两次数字乘积为偶数的概率P =2
28169
⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ； 若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，
P =111152366636
⨯⨯+⨯=,
.故所求条件概率为5
5
368329
P ==.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了条件概率的计算和独立事件，考查了学生的计算能力，属于基础题.
3．A
解析：A 【解析】
分析：某次射中，设随后一次射中的概率为p ，利用相互独立事件概率乘法公式能求出p
的值．
详解：某次射中，设随后一次射中的概率为p ，
∵某射击手射击一次命中的概率为0.8，连续两次均射中的概率是0.5，0.80.6p ，∴= 解得
34
p =．
故选：A ．
点睛：本题考查概率的求法，涉及到相互独立事件概率乘法公式的合理运用，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是基础题．
4．D
解析：D 【详解】
分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.
详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．
点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
5．D
解析：D 【解析】
分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.
详解：111
22312
241
2
C C C P C A ==. 点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑
球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为11
323
533
10
C C A ⨯=. 6．A
解析：A 【解析】
()
()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++2
110(1200400)7.82 6.63560506050
-=≈>⨯⨯⨯
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”,选A. 7．A
解析：A
【解析】
由题意可得：
3579
6
4
x
+++
==,
63211
44
a a
y
++++
==，
回归方程过样本中心点，则：11
1.461
2.4
4
a
+
=-⨯+，
求解关于实数a的方程可得：5
a=，
由 1.40
ˆb=-<可知变量x与y线性负相关；
当x＝11时，无法确定y的值；
变量x与y之间是相关关系，不是函数关系.
本题选择A选项.
点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
8．D
解析：D
【分析】
小球落入A袋中的概率为P（A）1P
=-（B），由此利用对立事件概率计算公式能求出小球落入A袋中的概率．
【详解】
解：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，
小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，
小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为21 ,
33
，
小球落入A袋中的概率为：
P（A）1P
=-（B）
111222
1()
333333
=-⨯⨯+⨯⨯
2
3
=．
故选：D．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
9．B
解析：B 【解析】
因2163a +=，故42a =,又22a b +=，则64b = ，应选答案B 。

10．D
解析：D 【解析】
由表中数据知，199.51010.511105x =
⨯++++=（），1111086585
y =⨯++++=（），代入回归直线方程 3.ˆ2y
x a =-+中，求得实数 3.28 3.21040a y x =+=+⨯=，故选D. 11．C
解析：C 【解析】
记事件A: 第1次抽到代数题，事件B:第2次抽到代数题，P(A)=
35,63
()2010
P AB =
=,r 则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到代数题的概率为3
P(AB)1
10P(B |A)3P(A)25
=
==.选C. 12．C
解析：C 【解析】
对于①，用相关指数2R 刻画回归效果时，2R 越大，说明模型的拟合效果越好，∴①错
误；对于②，命题2000P:"x ,10"R x x ∃∈--> 的否定是2
:",10"P x R x x ⌝∀∈--≤ ，
②正确；对于③，根据正态分布()0,1N 的性质可得，若()1,P X p >= 则
()1P X p <-= ，()()1
1112,102
P X p P X p ∴-<<=-∴-<<=
- ，③正确；对于④，回归直线一定过样本点的中心(),x y ，④正确；综上所述②③④正确，故选C .
二、填空题
13．【解析】由题意可知故答案为 解析：38
【解析】
由题意可知()()()()()14
3,,|10158
P AB P AB P A P B A P A =
=∴==，故答案为38. 14．【分析】若点数的乘积为偶数此至少有一个骰子的点数为偶数考虑反面情
况：三个骰子全部是奇数的概率用减去此概率即可得到结果【详解】因为三个点数的乘积为偶数时则至少有一个点数为偶数若三个点数均为奇数此时对应
解析：7
8
【分析】
若点数的乘积为偶数，此至少有一个骰子的点数为偶数，考虑反面情况：三个骰子全部是奇数的概率，用1减去此概率即可得到结果. 【详解】
因为三个点数的乘积为偶数时，则至少有一个点数为偶数，
若三个点数均为奇数，此时对应的概率为：3
1128
⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以至少有一个点数为偶数的概率为：17188
P =-=. 故答案为：78
. 【点睛】
本题考查相互独立事件的概率计算，难度一般.概率计算时，若出现至多、至少这样的描述，可考虑从问题的反面解决问题.
15．①④【解析】对于①从匀速传递的产品生产流水线上质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测这样的抽样方法是系统抽样故①正确；对于②两个变量的线性相关程度越强则相关系数的绝对值越接近于1
解析：①④ 【解析】
对于①，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是系统抽样，故①正确；
对于②，两个变量的线性相关程度越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故②错误； 对于③,两个分类变量X 与Y 的观测值2k ,若2k 越小，则说明“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③错误；
对于④,∵随机变量X ∼N (0,1),设P (|X |<1)=p ,则1(1)(1)2
p
P X P X ->=<-=， ∴11(1)1(1)122
p p
P X P X -+<=->=-
=， ∴2(1)1P X p <-=,即(1)2(1)1P X P X <=<-，故④正确。

故选：A.
16．③④【解析】①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见打算从中抽取一个容量为40的样本考虑用系统抽样则分段的间隔为800÷40=20故①错误；②已知如图所示：长方形面积为2以O 为圆心1为半径作圆
解析：③④ 【解析】
①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见， 打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样， 则分段的间隔为800÷40=20，故①错误； ②已知如图所示：
长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆， 在矩形内部的部分（半圆）面积为
π2
. 因此取到的点到O 的距离大于1的概率
22P 124
π
π-=
=-; 故②错误； ③把函数3sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
6
π
个单位，可得到3sin 23sin263y x x ππ⎡⎤
⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的图象, 故③正确，
④∵回归直线为ˆy
bx a =+, 的斜率的值为1.23， ∴方程为 1.23ˆy
x a =+, ∵直线过样本点的中心（4，5）， ∴a=0.08，
∴回归直线方程是为=1.23x+0.08； ∴故④正确． 故答案为：③④．
17．3个【分析】直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果【详解】（1）已知变量x 和y 满足关系y=-2x+3则x 与y 正相关；应该是：x 与y 负相关故错误（2）线性回归直线必过点线性回归直线必过中心点
解析：3个 【分析】
直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果． 【详解】
（1）已知变量x 和y 满足关系y=-2x+3，则x 与y 正相关；应该是：x 与y 负相关．故错误. （2）线性回归直线必过点()
,x y ，线性回归直线必过中心点．故正确．
（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大．
根据课本上有原句，故正确．
（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数R 2的值越大，说明拟合的效果越好．故正确，根据课本上有原句． 故填3个． 【点睛】
本题主要考查了线性回归直线的应用，学生对知识的记忆能力，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题.
18．【解析】表示在已经发生事件的情况下事件发生的概率又事件恰有一次出现正面包含于事件至少一次出现反面所以所以
解析：3
7
【解析】
(/)P B A 表示在已经发生事件A 的情况下，事件B 发生的概率，又事件B = “恰有一次出
现正面”包含于事件A =“至少一次出现反面”，所以
()()(/)()()P AB P B P B A P A P A =
=,37
(),()88
P B P A ==，所以
()3()7P B P A =. 19．①②③【解析】①正确因为k2越大说明A 和B 有关系的把握性就越大；②正确因为y=cekx 那么lny=lncekx=kx+lnc 即z=kx+lnc=03x+4解得k=03lnc=4解得：k=03c=e4
解析：①②③ 【解析】
①正确，因为越大，说明“和有关系”的把握性就越大；②正确，因为
，那么
，即
，解得
，解得： 所以正确；③
在回归直线上，所以
，解得：
，所以正确，那么正确的有①②③.
【点睛】本题是以命题形式考查了回归方程和独立性检验的相关知识，样本中心点必
在回归直线上，独立性检验中越大，说明犯错误的概率越小，即认为两个变量有关的把
握性就越大.
20．【解析】设事件A={两件中有一件不是废品}事件B={两件中恰有一件为废品}则 解析：
411
【解析】
设事件A={两件中有一件不是废品}，事件B={两件中恰有一件为废品}，则
1128
210211
828210
()()4
()()()11C C C P AB P B P B A C C C P A P A C ====+. 三、解答题
21．（1）见解析；（2）35
P = 【分析】
（1）根据条件确定对应项数据，填入表格得列联表，根据卡方公式得2K 值，对照参考数据确定把握率，（2）先根据分层抽样确定样本数，再根据枚举法确定样本总数以及所求事件包含的样本数，最后根据古典概型概率公式得结果. 【详解】
（1）根据题意知，70名患者中采用甲种治疗方案的患者人数为50人，采用乙种治疗方案的患者人数为20人，
补充完整22⨯列联表中的数据，如图所示；
计算观测值得，2
70(2018302) 5.966 6.63522485020
K ⨯⨯-⨯=
≈<⨯⨯⨯， 所以没有99%的把握认为甲、乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响； （2）在甲种治疗方案中按分层抽样抽取5名患者，复发的抽取2人，即为A 、B ； 未复发的抽取3人，记为c 、d 、e ，从这5人中随机抽取2人，基本事件为：
AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Bc 、Bd 、Be 、cd 、ce 、de 共10种， 其中2人恰好是复发患者和未复发患者各1名的基本事件为： Ac 、Ad 、Ae 、Bc 、Bd 、Be 共6种，
则所求的概率为63=105
P =． 【点睛】
本题考查列联表、卡方计算、分层抽样以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属中档题.
22．（1）9.04千步（2）0.565（3）答案见解析，有99.9%的把握认为，健步达人与年龄有关. 【分析】
（1）由260614010100146018202218260302
400
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯计算可得
解；
（2）根据频数分布表列式19.048()(60140100)400128
P A -=
++⨯-可求得结果； （3）根据题得22⨯列联表，计算2K ，根据临界值表可得答案. 【详解】
（1）这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数为
260614010100146018202218260302
400
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=9.04千步.
（2）由频率约等于概率可得19.048()(60140100)0.565400128
P A -=
++⨯=-. （3）根据题意可得22⨯列联表如下：
()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(1501505050)200200200200⨯-⨯=
⨯⨯⨯100=10.828>， 所以有99.9%的把握认为，健步达人与年龄有关. 【点睛】
本题考查了根据频数分布表求平均数，求频率，考查了独立性检验，属于中档题. 23．（1）2122；（2）分布列见解析，数学期望为13
． 【分析】
（1）“至少抽到2位”包括“抽到2位”或“抽到3位”，结合古典概型概率计算公式、组合数的计算，计算出至少抽到2位使用支付宝的市民的概率.
（2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出X 的分布列和数学期望. 【详解】
（1）“至少抽到2位”包括“抽到2位”或“抽到3位”，所以至少抽到2位使用支付宝的市民
的概率为：213
102103
1221
22
C C C C += （2）X 的可能取值有：0.2,0.3,0.4,0.5,0.6.
()111
0.2224
P X ==
⨯=；
()11111
0.323323
P X ==⨯+⨯=；
()111111115
0.43326629618
P X ==⨯+⨯+⨯=+=；
()11111
0.536639P X ==⨯+⨯=；
()111
0.66636
P X ==⨯=.
所以X 的概率分布如下：
0.20.30.40.50.643189363
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本小题主要考查古典概型概率计算，考查随机变量分布列和数学期望的求法，属于中档题. 24．（1）7
15
.（2）①证明见解析；②开黄花的概率更大 【分析】
（1）由题可知可能的情况有第一代开红花后第二代也开红花；第一代开黄花而第二代开红花,故分别计算再求和即可；
（2）①根据题意可求出{}n p 的递推公式143155n n p p -=-+,再构造数列919n p ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭证明
即可；
②根据①中的递推公式可得1
2
n p ≤即可知开黄花的概率更大. 【详解】
（1）第二代开红花包含两个互斥事件：
即第一代开红花后第二代也开红花；第一代开黄花而第二代开红花,
故由112p =
,得()21113713515
p p p =⋅+-⋅=； （2）①由题意可知,第n 代开红花的概率与第1n -代的开花的情况相关，
故有()1111343
135155
n n n n p p p p ---=⋅+-⋅=-+，则有1949191519n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，
又19191
1921938
p -
=-=. 所以数列919n p ⎧⎫-
⎨⎬⎩
⎭是以138为首项，以4
15
-为公比的等比数列.
②由①知1
914193815n n p -⎛⎫
-=⨯- ⎪
⎝⎭
，故1
91491119381519382
n n p -⎛⎫
=+⨯-≤
+= ⎪
⎝⎭
， 故有当*n ∈N 时,12
n p ≤
. 因此,第(
)
*
,2n n n ∈≥N 代开黄花的概率更大. 【点睛】
本题主要考查了根据递推公式构造等比数列求通项公式的方法.需要根据题意找到数列的后项与前项的关系，再构造数列求解通项公式.属于中档题.
25．（1）甲131.5，乙128.5；（2）没有90％的把握；（3）0.0684. 【分析】
（1）由茎叶图的中位数计算即可；
（2）得2×2列联表，再根据表中数据计算K 2，结合临界值表可得； （3）因为~(110,144)X N ，所以10.9544
(134)0.02282
P X ->=
=，,由题意可知~(3,0.0228)B ξ，计算E ξ即可.
【详解】
（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128135
131.52
+=，乙校学生数学成绩的中位数为
128129
128.52
+=，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高． （2）由题意，作出22⨯列联表如下：
计算得2K
的观测值40(1013107)0.9207 2.70620201723
k
⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，
所以没有9000的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．
（3）因为~(110,144)X N ，所以110μ=，12σ=， 所以(86134)0.9544P X <≤=，所以10.9544
(134)0.02282
P X ->=
=， 由题意可知~(3,0.0228)B ξ，所以30.02280.0684E ξ=⨯=． 【点睛】
本题考查了茎叶图的中位数，独立性检验和正态分布与二项分布的综合，属于中档题.
26．（1）dx y ce =更适合；（2）0.740.90x y e +=；（3）细菌繁殖的天数不超过10天. 【分析】
（1）根据散点图的形状可直接得到结果.
（2）利用还原法，将非线性的转化为线性的ln w c dx =+，然后根据线性回归系数计算公式计算即可.
（3）根据（2）的结论，计算0.740.90
4030x y e
+=≤即可. 【详解】
（1）根据散点图判断，dx
y ce =更适合作为细菌的繁殖数量y 关于时间x 的回归方程类型
（2）设ln w y =，
变换后可得ln w c dx =+，设ln p c =，建立w 关于x 的回归方程
w p dx =+，()()
()
6
1
6
2
1
12.87
0.7417.50
i
i
i i i w w x x d x x ==--=
=
=-∑∑，3.490.74 3.500.90p w d x =-=-⨯=
所以w 关于x 的回归方程为0.740.90w x =+， 所以0.740.90
x y e
+=
（3）当0.740.90
4030x y e
+=≤时，即0.740.90ln 40308.30x +≤= 所以0.748.300.907.4x ≤-=，所以10x ≤ 故细菌繁殖的天数不超过10天 【点睛】
本题考查非线性回归方程的应用，熟练使用等价转化的思想将非线性的转化为线性的，考查计算能力，属中档题.。