第6章命题

① (P∧ Q ) ∨(P∧Q) ② P Q也可： P Q 或 (P Q ) ③ PQ
§6.2 命题公式与真值表
定义6.2 命题公式(简称公式)
(1)命题常元、命题变元都是公式； (2)若P、Q是公式，则 P、P∧Q、P∨Q、PQ、PQ 都是公式； (3) 只有有限次使用上述法则所得的才是公式。
定理6.3
A<=>B 的充要条件是：A=>B 且 B =>A
由定理6.3可知，要证明 A<=>B，可以使用分别证明 A=>B 和 B=>A 实现。
如何证明 A=>B ？ 即如何证明 AB 永真？
证明A=>B 的方法： 假设A为真，推出B为真。 假设B为假，推出A为假。
§6.5 命题演算的推理理论
6.5.1 推理形式
推理形式： (1)永真推理 (2)假设推理。
假设推理方法简洁、方便，是最基本的推理形式。
H1∧H2∧…∧Hn => C ( H1, H2, … , Hn => C )
前题
结论
6.5.2 推理规则
每个(永真)蕴涵式对应一个推理规则 E规则(置换规则)、I规则(代入规则) 3个常用规则
6.3.2 命题公式的蕴涵关系
6.3.2 命题公式的蕴涵关系
定义6.7
证明:
若 AB 是永真式，则称A(永真)蕴涵B，记成 A => B
例. 证明 (AB) => A
(AB) A <=> ((AB))∨A <=> (AB)∨A <=> (A∨B)∨A <=> ( A∨A)∨B <=> 1∨A <=> 1
1 0 0 0
∴ (P∨Q) 与 P∧Q 相等
基本等式
(1) A∨B <=> B∨A (A,B,C是一个公式) A∧B <=> B∧A (2) (A∨B)∨C <=> A∨(B∨C) (A∧B)∧C <=> A∧(B∧C) (3) A∧(B∨C) <=> (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) <=> (A∨B)∧(A∨C) (4) A∨0 <=> A A∧1 <=> A 基本等式
§6.3 命题公式的等价关系和蕴涵关系
6.3.1 命题公式的等价关系
若 AB 是永真式，即A、B对任何指派同真假，则称 公式A和B (逻辑)相等，记成 A<=>B
定义6.7
例. 判断公式 (P∨Q) 与 P∧Q 相等否？
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1
(P∨Q)
1 0 0 0
P∧Q
2.合取 —— ∧（且） P∧Q 是个命题, 表示 “P且Q”, 读成“P且Q” (或读成“P合取Q”)
例. P: 今天下雨。 Q: 今天下雪。
则 “今天下雨并且下雪。” 可表示为：P∧Q
P∧Q的真值表 P∧Q 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1
合取是语言中并且、而且、与、同、和、既…又、以及、不但…而且、 虽然…依旧、尽管…仍然等词的逻辑抽象，是命题的二元运算。
由代入规则可知： A C∧D <=> A∨ C∧D （这是对 AB <=> A∨B 中的B用C∧D代入而得） 例2. 证明吸收律：(1) A∧(A∨B) <=> A; (2) A∨(A∧B) <=> A 证明： (1) A∧(A∨B) <=> (A∨0)∧(A∨B) 由同一律 <=> A∨(0∧B) 由分配律 <=> A∨0 由零一律 <=> A 由同一律 (2) A∨(A∧B) <=> (A∨A)∧(A∨B) <=> A∧(A∨B) <=> A 由分配律 由幂等律 由(1)
4.蕴涵 —— （若…则） PQ是个命题, 表示 “若P则Q”, 读成“若P则Q” (或读成“P蕴涵
例.
Q ”)
P: 上午天气好。 Q: 我去公园。 则 “如果上午天气好, 我就去公园。” 可表为: PQ
PQ的真值表
PQ
0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1
蕴涵是语言中如果(若)… 则、假如…就、倘若…那么、 当…则等词的逻辑抽象，是命 题的二元运算。
真值：命题的真、假。用1表示真，0表示假 命题表示：通常用大写字母表示(可带下标) 例. P: 雪是白的。 Q1: 煤是白的。 显然有: P=1, Q1=0 命题常元：具有确定真值(值不变的)的命题 命题变元：没赋予具体内容的抽象命题 命题常元
例. R: x+1=10。
S是个命题。
R,S 没赋予具体内容， 都是命题变元
n个变元共有2n组指派
公式真值表：公式所有指派及对应值构成的表
例. P∨QQ
的真值表:
P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
P∨Q 0 1 1 1
P∨QQ 1 1 0 1
定义6.5 称n元公式是其式中变元的n元真值函数
观察二元公式 (PQ)P P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 (PQ) P 1 1 1 1
注意：(1) 1,0 也都是命题常元。 (2) 命题变元值是不确定的。
考虑：下列命题之间的关系？
雪是白的。 煤是黑的。 雪是白的并且煤是黑的。
(简单陈述句对应的命题)
原子命题：不能分解成更简单命题的命题
(简单命题)
复合命题：由原子命题和联结词组合成的命题
6.1.2 命题联结词
设P、Q都是命题 1. 否定—— (不) P是个命题, 表示“P的否定”, 读成“非P”
P Q (R S)
命题符号化举例：
例1.设有：P:他聪明。Q:他用功。R:他的成绩好。
用P、Q、R符号化下面的语句。
1.他既聪明又用功，他的成绩也好。 (P∧Q)∧R 2. 如果他聪明但不用功，则他的成绩不会好。 (P∧ Q) R 3. 并非聪明的人就成绩好，也并非用功的人就成绩好。
例.
P: 雪是白的。 则 “雪不是白的。” 可表示为：P
P的真值？
0 1
P的真值表
1 0
思考：P: 小王在看书。则P 表示语句——？ 小王不在看书。
Q: 他们都在看书。则Q表示语句——？
并非他们都在看书。？ 他们都不在看书。 ？ 他们不是都在看书。？
否定是语言中不、不是、非、并非、没有等词的逻辑抽象，是命题的一元运算。
(P R) ∧ (Q R)
4. 若他聪明, 则他的成绩好不好将看他是否用功而定。 P (R Q) 5. 他只有用功，才可能取得好成绩。 QR { 或 R Q }
6. 除非他用功，否则他的成绩不会好。 QR { 或 R Q }
例2. P：他数学得了80分。 Q：他数学得了90分。 如何表示“他数学得了80分或90分”。
例如： “雪是白的。” 是真的。
“确定的” —— 要么是真，要么是假，二者必居其一！
例. 下面的陈述句是命题吗？
1. 南京是江苏的省城。
2. 1+1=10。 3. 我学英语，或者学德语。 4. 如果天气好，我就去公园。 5. 地球是唯一有生物的星球。 6. x+1=10。 思考：“我正在说假话。”是命题吗？
3.析取 —— ∨（或） P∨Q是个命题, 表示 “P或Q”, 读成“P或Q” (或读成“P析取Q”)
例.
P: 今天下雨。 Q: 今天下雪。 则 “今天下雨或下雪。” 可表示为：P∨Q
P∨Q的真值表 P∨ Q 0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
析取是语言中或、或者、也许、 可能等词的逻辑抽象，是命题的 二元运算。
交换律 结合律 分配律 同一律 互补律
(5) A∨A <=> 1 A∧A <=> 0 (6) A <=> A (7) A∨A <=> A A∧A <=> A (8) A∨1 <=> 1 A∧0 <=> 0 (9) A∧(A∨B)<=>A A∨ (A∧B )<=>A (10) (A∨B)<=> A∧B (A∧B)<=> A∨B (11) AB <=> A∨B (12) AB <=> B A (13) AB <=> (AB)∧(BA) <=> (A∨B)∧(B∨A) <=> (A∧B)∨(A∧B) (AB) <=> AB <=> AB (14) (AB)∧(AB) <=> A
注意：对应PQ的蕴涵语句有两种表示方式： 先说P后说Q：若P则Q、当P时有Q、由P推出Q、P对Q充分 先说Q后说P：必须Q才可能P、只当Q时才有P、除非Q才可能P、 Q对P必要
5.等价 —— （当且仅当） PQ 是个命题，表示 “P等价Q”
例.
P: 两个三角形全等。 Q: 两个三角形的三组对应边相等。 则 “两个三角形全等，当且仅当两个三角形的三 组对应边相等。” 可表示为：PQ
PQ的真值表 PQ
0 0 1 1 0 1 0 1 0
0
1
1
等价是语言中相等、一样、充分必要、当且仅当等词的逻辑 抽象，是命题的优先级：
高
• • •

∧ ∨
低
相同运算从左至右(否定从右至左)； 不同运算按优先级顺序； 符合上述原则时可省略括号 如右式可省略多重括号： 简化为： ((PQ) ( R S ) )
例3. 证明下面的等式：PQ∧R <=> (PQ)∧(PR) （对∧可分配） 证明：PQ∧R <=> P∨(Q∧R) 由蕴涵等值式