高考数学二轮复习 专题限时集训(二十一)函数与方程和数形结合思想(解析版)

专题限时集训(二十一)
[第21讲 函数与方程和数形结合思想]
(时间：45分钟)
1．已知向量a 与b 的夹角为2π
3，且|a |＝1，|b |＝2，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝( )
A ．3
B ．－3 C.32 D ．－32
2．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，则数列的前n 项和最大时，n ＝( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15
3．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1>0，y ≥－1，
且u ＝x 2＋y 2
－4x －4y ＋8，则u 的最小值为( )
A.
322 B.92 C.
22 D.12
4．方程sin 2
x ＋2sin x ＋a ＝0一定有解，则a 的取值范围是( ) A ．[－3，1] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞) D ．[－1，1]
5．已知公差不为0的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，a 5＝10，则S 5等于( )
A ．30
B ．40
C ．50
D ．60
6．F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，且∠PF 1F 2＝
30°，则椭圆的离心率为( )
A.33
B.22
C.12
D.32
7．若从区间(0，e)内随机取两个数，则这两个数之积不小于．．．e 的概率为( ) A ．1－1e B ．1－2e
C.1e
D.2
e
8．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )满足当x ≤2时，f ′(x )≤3；当x ≥2时，f ′(x )≥3，则下列结论：
①f ′(2)＝0； ②f (4)－f (3)≥3； ③f 23－f 1
3≤1； ④f (0)＋f (4)≥2f (2)． 其中正确的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
9．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2
＋(y －2)2
＝4相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则实数k 的值是________．
10．长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →
，则m ＋n 的最大值是________．
11．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边长，S 表示该三角形的面积，且2cos 2
B ＝cos2B ＋2cos B .
(1)求角B 的大小；
(2)若a ＝2，S ＝23，求b 的值．
12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .
(1)求{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝3b n －λ·2a n
3(λ∈R )，若{c n }满足：c n ＋1>c n 对任意的n ∈N *
恒成立，求λ的取
值范围．
13．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2
－10x 的一个极值点． (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图像有3个交点，求b 的取值范围．
专题限时集训(二十一)
【基础演练】
1．A [解析] 因为(3a ＋λb )⊥a ，所以(3a ＋λb )·a ＝3a 2
＋λa ·b ＝3×12
＋λ×1×2×cos 2π
3
＝0，解得λ＝3.
2．B [解析] 因为S 17＝S 9，所以17×25＋17×（17－1）2d ＝9×25＋9×（9－1）
2d ，解
得d ＝－2，所以S n ＝－n 2
＋26n ＝－(n －13)2
＋169，当n ＝13时S n 有最大值．
3．B [解析] 不等式组所表示的平面区域是如下图中的△ABC ，u ＝x 2
＋y 2
－4x －4y ＋8＝(x －2)2
＋(y －2)2
，根据题意只能是点(2，2)到直线x ＋y －1＝0的距离最小，这个最小值是32
，
故所求的最小值是9
2
.
4．A [解析] 构造函数f (x )＝sin 2
x ＋2sin x ，则函数f (x )的值域是[－1，3]，因为方程sin 2
x ＋2sin x ＋a ＝0一定有解，所以－1≤－a ≤3，∴－3≤a ≤1.
【提升训练】
5．A [解析] 设公差为d (d ≠0)，则lg a 1＋lg a 4＝2lg a 2，得a 2
2＝a 1·a 4， (a 1＋d )2
＝a 1(a 1＋3d )⇒a 1＝d .
又a 5＝a 1＋4d ＝10，∴a 1＝d ＝2，∴S 5＝5a 1＋5×4
2
d ＝30.
6．A [解析] 设|PF 2|＝r ，则|PF 1|＝2r ，|F 1F 2|＝3r .由椭圆的定义得2a ＝3r ，2c ＝3
r ，故椭圆的离心率为e ＝c a ＝3
3
.故选A.
7．B [解析] 设取出的两数为x ，y ，则0<x <e ，0<y <e ，xy ≥e ⇔y ≥e
x
，满足条件的(x ，
y )的区域如图中的阴影，在[1，e]上位于区域下方的面积为⎠⎛1e e
x
d x ＝eln x
⎪
⎪⎪ )e
1＝e ，故阴影区域的面积为e (e －1)－e ＝e 2
－2e ，所以所求的概率为e 2－2e e 2＝1－2
e
.
8．B [解析] 令g(x)＝f(x)－3x ，则当x≤2时有g′(x)＝f′(x)－3≤0；当x≥2时，有g′(x)＝f ′(x)－3≥0，因此g′(2)＝0，即f′(2)－3＝0，f′(2)＝3，①错；由g(4)≥g(3)得，f(4)－12≥f(3)－9，故f(4)－f(3)≥3，②对；由g 23≤g 13得f 23－f 1
3≤1，③对；又g(0)≥g(2)
且g(4)≥g(2)，所以g(0)＋g(4)≥2g(2)，即f(0)－0＋f(4)－12≥2[f(2)－6]，故f(0)＋f(4)≥2f(2)，④对．所以②，③，④正确．
9．－3
4或0 [解析] 圆的半径为2，弦长|AB|＝23，可得圆心到直线的距离为1，故
|3k －2＋3|1＋k
2
＝1，即(3k ＋1)2＝1＋k 2
，解得k ＝0或－34. 10.233 [解析] 建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2，0)，向量OB →
＝(1，3)．设向量
OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3
.由OC →＝mOA →＋nOB →
，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n)，
即2cos α＝2m ＋n ，2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－
13
sin α，n ＝
23
sin α.
故m ＋n ＝cos α＋13
sin α＝
233sin α＋π3≤23
3
. 11．解：(1)由2cos 2
B ＝cos 2B ＋2cos B ， 可得2cos 2B ＝2cos 2
B －1＋2cos B ，∴cos B ＝12.
∵0<B<π，∴B＝π
3
.
(2)∵S＝1
2
ac sin B ＝23，又a ＝2，∴c＝4.
∴b 2＝a 2＋c 2
－2ac cos B ＝4＋16－2×2×4×12
＝12，故b ＝2 3.
12．解：(1)由已知可得⎩
⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2
，消去a 2得：q 2
＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍)，∴a 2＝6，d ＝3，从而a n ＝3n ，b n ＝3
n －1
.
(2)由(1)知：c n ＝3b n －λ·2a n 3＝3n －λ2n
.
∵c n ＋1>c n 对任意的n∈N *
恒成立，即3
n ＋1
－λ·2
n ＋1
>3n －λ·2n
恒成立，整理得：
λ·2n
<2·3n
对任意的n ∈N *
恒成立，即λ<2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n
对任意的n ∈N *
恒成立．
∵y ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x
在区间[1，＋∞)上单调递增，∴y min ＝2·32＝3，∴λ<3. ∴λ的取值范围为(－∞，3)．
13．解：(1)因为f ′(x )＝a 1＋x ＋2x －10，由题意有f ′(3)＝a
4＋6－10＝0，解得a ＝16，
所以f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2
－10x ，x ∈(－1，＋∞)， f ′(x )＝2（x 2
－4x ＋3）1＋x ＝2（x －1）（x －3）
1＋x .
当x ∈(－1，1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈(1，3)时，f ′(x )<0，
所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，(3，＋∞)，单调递减区间是(1，3)．
(2)由(1)知，f (x )在(－1，1)内单调增加，在(1，3)内单调减少，在(3，＋∞)上单调增加，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0，
所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln2－9，极小值为f (3)＝32ln2－21，
所以在f (x )的三个单调区间(－1，1)，(1，3)，(3，＋∞)上直线y ＝b 与y ＝f (x )的图像各有一个交点，当且仅当f (3)<b <f (1)．
因此，b 的取值范围为(32ln2－21，16ln2－9)．。