广东省佛山市升高中数学讲义第二讲指数函数和对数函数新人教A版必修1

广东省佛山市升高中数学讲义 第二讲 指数函数和对数函数 新人教A 版必修1
知识要点：复习“指数函数、对数函数以及幕函数的图像与性质 一、指数函数： (1) 指数、根式的概念： 1、根式的定义：
般地，若x n a(n 1,n
N*)则x 叫做a 的n 次方根.
n
a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数，
2.根式的运算性质：
①当n 为任意正整数时，(n a ) n = a .
⑶根式的基本性质：np a mp
n a m
, (a 0)
3•分数指数幕的运算性质：
m n m n /
a a a (m, n Q)
(a ) a (m, n Q) (ab)n a n b n (n Q)
(2) 指数函数：
1•指数函数的定义:
函数y a x (a 0且a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是 R
2.指数函数的图象和性质：
y a x (a 0且a 1)的图象和性质•
a>1
0<a<1
②当n 为奇数时,
a(a 0) a(a 0)
例1、计算:
(噺5 012
10 (2
27)
n
a n
=a ;当n 为偶数时,
图
象
/
/
\
1 -'
2
性 质
(1)定义域：R
(2)值域：(0, +R )
(3)过点(0, 1),即 x=0 时，y=1 (4)在R 上是增函数
(4)在R 上是减函数
例3、求下列函数的定义域、值域:
1
⑴y 0.4门 二对数函数： (1)、对数的概念：
1.定义：一般地，如果a a 0,a
1的b 次幕等于N,就是a b N ，那么数b 叫做 以a 为底N 的对
数，记作log a N b ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数•
2.对数的运算性质:
① 1.72'5 , 1.73;
② 0.8 0.1, 0.8 0.2 ；
③ 1.70.3 ,0.9
3.1
⑵ y 3 5x 1
1、积、商、幕的对数运算法则： 如果 a 0, a 1, M 0,N
0 有:
log a (MN) log a M log a N (1)
. M log a
-
a
N
log a M log a N ⑵ log a M n nlog a M(n R)
⑶
(2)、重要公式：
⑴负数与零没有对数； ⑵log a 1 0 , log a a 1.
⑶对数恒等式a log a N N.
1
例 4、 计算(1)log 2.56.25 + lg + In . e + 21log 2
'=
.
100
(2) lg 25 lg 2 lg 50 (Ig2)2= _______________ 。

(3) 、对数的换底公式及推论： 1.对数换底公式：
log a N
log m N
(a > 0 ,a
1 ,m > 0 ,m
1,N>0).
log m a
2.两个常用的推论：
① log a b log b a 1 , log a b log b C log c a 1
*
②log
a m
b n —log a b (a, b > 0 且均不为1) +
m
例5、计算:
①5
1
log 0.2 3
② log 4 3 log 9 2
log 1 4
32.
2
(4) 、对数函数的定义、图象及其性质
1•对数函数的定义：
函数y log a x (a 0且a 1)叫做对数函数；它是指数函数
y a x (a 0且a
对数函数y log a X (a 0且a 1)的定义域为(0,)，值域为(， 卜
2•对数函数的性质
1)的反函数+
由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质
0<a<1
—
■ ■
1 -
0..
彳
2-
1
r
_
定义域：（0, +8） 值域：R
质
x (0,1)时 y 0 x (0,1)时 y 0
x (1,)时 y 0
x (1,)时 y 0
在（0, +8）上是增函数
在（0 , +8）上是减函数
例6、求下列函数的定义域:
例7、比较下列各组数中两个值的大小：
⑴ log 2 3.4, log 2 8.5 ；
⑵ log 0.31.8, log 0.3 2.7 ；
⑶ log a 5.1,log a 5.9(a 0,a 1).
变式训练:
a>1
：1 x
(2) y
log ! (2x 1) 1
2
3
1.比较下列数的大小6
0.7
,O.76,log 0.76
2.已知下列不等式，比较正数
m n 的大小：
(1) log 3m < log 3 n
(2)
log a m< log a n
例8.已知函数f (x) log a 2 x
(0 a 1).
2 x
(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(n )解不等式f(x) log a 3x .
巩固习题： 一、选择题：
1、已知3a 2，那么log 38 2log 3 6用a 表示是(
)
2、2log a (M 2N ) log a M log a N ，则 M 的值为(
)
N
A
1 B
、4
C 、1 D
、4或1
4
1
n,则log a y 等于 3
、
已知x 2 y 2 1,x 0, y
0，且 log a (1 x)
m,log a ’
1
C
、 m 1 x
A
m n
B
、m n
n
D
1 、一 m n
2
2
1
4、已知 log 7[log 3(log 2 x)]
0 ,那么 x 2 等于(
)
A 、1 3 B
1
C
、2,3
5、函数y log (2x 1
p- 3x 2的定义域是(
)
1 2,2
1 3.3
A 、2,1 U 1,
3
B 、丄,1 U 1,
2
、5a 2
2 2
、3a (1 a) D 、 3a a
6、若log m 9 log n 9
0，那么m,n 满足的条件是(
0'I U1
,
13、函数y log (x_1)(3- x)的定义域是 _____________
14、 函数f(x) lg . x 2 1 x 是 ____________________ (奇、偶)函数。

2
5
一
15、 若函数y=lg ［x +(k+2)x+ ］的定义域为R,贝U k 的取值范围是
4
三、解答题：
e x e x
16、已知函数f (x)
- x ，判断f (x)的奇偶性和单调性。

e e
1 x
17、已知 f (x) loga^,(a
0,a 1)
1 x
(I )求f(x)的定义域；
(n )证明f(x)的图象关于原点对称
7
、
2
log a 3 1 , 则a 的取值范围是(
已知不等式为 3x
27
， 则x 的取值范围
9、 (A ) (B )
x 3 ( C )
R
(D )
函数y 1( a 0,且 a 1)的图象必经过点(
(A)(0 , 1) 10、已知函数 (A ) (0 二、填空题： (B)(1 y=log 1) (2-ax) al ，1) (C) (2 ，0) (D) (2 在［0，1］上是x 的减函数，贝U (B ) (1, 2) 2) a 的取值范围是( (C ) (0, 2) (D ) [2 , + 1 11、0.064 3 16 0.75 1 o.o2 12、若 log a 2 m,log a 3
2m
n, a
0't
(川)求使f(x)>0的x取值范围
2 v y
18、已知x满足不等式2(log 2x) -7log 2X+3 0,求函数f(x)=log 2 |og2的最大值和最小值。

2 4
参考答案
4
例1、100—例2、< < > 例3、( 1)定义域：(,1) (1,)；
9
1 1
值域：(0,1) (1, ) ( 2)定义域：［一，)；值域：［1,)例4、( 1) 6-；
5 2
综上要使f(x) 0的X 取值范围为：(1,0)
(0,1)
f (x)为奇函数
2+x
2
(2)因为0<a<1 ,
原不等式等价于0v 3x ，解得：
x 1 2 x
3
巩固练习：
一、 选择：1、A 2、B 3、D 4、C 5、A 6、C 7、A 8、A 9、D 10、B
二、
填空：11、143 12、12 13、(1,2) (2,3) 14、奇 15、- ■ 5 2 k . 5
2
80
三、 解答：
(2) f (x)的定义域为R ,证明：取任意X 1,X 2 R,且X 1
f (xj f (X 2) 0，即即 f (xj
f (X 2)
17、解：(1) f (X)的定义域为(-1,1 (2)证明:
f( x) .1 ( x) ,
1 X
g
lO
ga ；
1 ( x)
1 X
log a (4 )
1 X
1 X
lOg a ,
1 X
f(x)
f(x)为奇函数，
f (X)的图象关于原点对称
(3)当0
a 1时， f(x) 0要满足：0<
1+X
1 X
1且 1 X 1， 解得：1 X
当a 1 时,f(x)
0要满足血1且-1<x
1 X
1， 解得：0
X 1
2 1
18、解：由 2 (log 2X ) -7log 2X+3 0 解得 log 2x 3。

16、解：(1)因为 f( x)
e x e ( x)
(x)
x x
e e
x
x
e e
/ x
x (e e )
x
x
e e
f (x) f (x)为奇函数 f (X 1)
f (X 2)
e
X 2
2
为
e 2X 2
e e 51
X
1
e X 2
2为
e 1
e 2X 2
(e" 1)(e 2X 2
1) (e 2X 2
1)(e 2X 2
1)
(e 2X 1
1)(e 2X 2
1)
2(e 2X 1
e 2X 2
)
(e 2X 1
1)(e 2X 2
1)
2x 1 2X 2
，
(e 2X 1
1)(e 2X 2
1) 0
(2) 2 例 5、( 1) 15 ; (2) 例 6、(1)
；(2)
例 7、⑴ < ⑵ > (3)当0 a 1 时,log a 5.1
log a 5.9 ；当 a 1 时,log a 5.1 log a 5.9
0 7
6
变式训练：1. 6 ■ 0.7 log 0.7 6
2.
( 1) m n
；(2)当0 a 1 时,m n ；当 a 1 时,m n
例 8、(1因为 f ( x)
lOg a 2 ( x) 2 ( x)
log a
log
a
(尖)1
lO
g a |
f (x)，
X 2，则
f (x)在R 上为增函数
xx 3 2 1 3 1 ••• f(x)=log 2 log 2 (log 2 x 1) (log 2x-2)=(log 2X-)-，二当log 2X= 时，f(x)取得最小值-一；
2 4 2 4 2 4 当log 2x=3时，f(x)取得最大值2。