井陉矿区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

井陉矿区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m 在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：
①；②f（3.4）=﹣0.4；
③；④y=f（x）的定义域为R，值域是；
则其中真命题的序号是（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
2．已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）
A．B． C．5 D．25
3．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（）
A．B．
C．D．
4．已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（）
A．4 B．2 C．D．2
5．过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（）
A．30°B．45°C．60°D．135°
6．函数f（x）=tan（2x+），则（）
A．函数最小正周期为π，且在（﹣，）是增函数
B．函数最小正周期为，且在（﹣，）是减函数
C．函数最小正周期为π，且在（，）是减函数
D．函数最小正周期为，且在（，）是增函数
7．命题：“∀x＞0，都有x2﹣x≥0”的否定是（）
A．∀x≤0，都有x2﹣x＞0 B．∀x＞0，都有x2﹣x≤0
C．∃x＞0，使得x2﹣x＜0 D．∃x≤0，使得x2﹣x＞0
8．如图，该程序运行后输出的结果为（）
A．7 B．15 C．31 D．63
9．“a＞0”是“方程y2=ax表示的曲线为抛物线”的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
10．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，++=，且||=||，在方向上的投影为（）
A．﹣3 B．﹣C．D．3
11．函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴方程为（）
A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=
12．设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a﹣5|，9}，∁U A={5，7}，则实数a的值是（）
A．2 B．8 C．﹣2或8 D．2或8
二、填空题
13．已知x，y满足条件，则函数z=﹣2x+y的最大值是．
14．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，且bc=4，则△ABC 的面积为．
15．过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则
椭圆的离心率为 ．
16．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1
2
12
||z z z +在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．
17．已知f （x+1）=f （x ﹣1），f （x ）=f （2﹣x ），方程f （x ）=0在[0，1]内只有一个根x=，则f （x ）=0在区间[0，2016]内根的个数 ．
18
由表中数据算出线性回归方程为=
x+
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为 万元．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于E ，过E 的切线与AC 交于D .
（1）求证：CD ＝DA ；
（2）若CE ＝1，AB ＝2，求DE 的长．
20．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．
（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；
（Ⅱ）求证：BF=FG．
21．已知函数f（x）=a﹣，
（1）若a=1，求f（0）的值；
（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若函数f（x）为奇函数，判断|f（ax）|与f（2）的大小．
22．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．
（1）证明：平面MNE⊥平面D1DE；
（2）证明：MN∥平面D1DE．
23．设f（x）=ax2﹣（a+1）x+1
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．
24．已知等差数列的公差，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列前n项的乘积为，求的最大值．
井陉矿区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+
∴{﹣}=﹣1
∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=
∴①正确；
②∵3﹣＜3.4≤3+
∴{3.4}=3
∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4
∴②错误；
③∵0﹣＜﹣≤0+
∴{﹣}=0
∴f（﹣）=|﹣﹣0|=，
∵0﹣＜≤0+
∴{}=0
∴f（）=|﹣0|=，
∴f（﹣）=f（）
∴③正确；
④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，]
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．2．【答案】C
【解析】解：∵|+|=，||=
∴（+）2=2+2+2=50，
得||=5
故选C．
【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．
3．【答案】A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c2=132﹣122=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上，
∴双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
4．【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），
∴AB是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x，
则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
5．【答案】B
【解析】解：y=x2的导数为y′=2x，
在点的切线的斜率为k=2×=1，
设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
由k=tanα=1，
解得α=45°．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．6．【答案】D
【解析】解：对于函数f（x）=tan（2x+），它的最小正周期为，
在（，）上，2x+∈（，），函数f（x）=tan（2x+）单调递增，
故选：D．
7．【答案】C
【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
∃x＞0，使得x2﹣x＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
8．【答案】如图，该程序运行后输出的结果为（）
D
【解析】解：因为A=1，s=1
判断框内的条件1≤5成立，执行s=2×1+1=3，i=1+1=2；
判断框内的条件2≤5成立，执行s=2×3+1=7，i=2+1=3；
判断框内的条件3≤5成立，执行s=2×7+1=15，i=3+1=4；
判断框内的条件4≤5成立，执行s=2×15+1=31，i=4+1=5；
判断框内的条件5≤5成立，执行s=2×31+1=63，i=5+1=6；
此时6＞5，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m值应是5．
故答案为5．
【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束．
9．【答案】A
【解析】解：若方程y2=ax表示的曲线为抛物线，则a≠0．
∴“a＞0”是“方程y2=ax表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件．
故选A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义是解决本题的关键，比较基础．10．【答案】C
【解析】解：由题意，++=，得到，又||=||=||，△OAB是等边三角形，所以四边形OCAB是边长为2的菱形，
所以在方向上的投影为ACcos30°=2×=；
故选C．
【点评】本题考查了向量的投影；解得本题的关键是由题意，画出图形，明确四边形OBAC的形状，利用向量解答．
11．【答案】A
【解析】解：对于函数y=sin（2x+），令2x+=kπ+，k∈z，
求得x=π，可得它的图象的对称轴方程为x=π，k∈z，
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
12．【答案】D
【解析】解：由题意可得3∈A，|a﹣5|=3，
∴a=2，或a=8，
故选D．
二、填空题
13．【答案】4．
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．【答案】．
【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，
∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，
∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
15．【答案】．
【解析】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2=60°，
∴=，
即2ac=b2
=（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣=0，
∴e=或e=﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．
16．【答案】D
【解析】
17．【答案】2016．
【解析】解：∵f（x）=f（2﹣x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1﹣x）=f（1+x）．
∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=，
∴由对称性得，f（）=f（）=0，
∴函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，
即函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
∴f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016，
故答案为：2016．
18．【答案】．
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8，=（2+3+7+12）=6，
代入回归方程，可得a=﹣，所以=x﹣，
当x=8时，y=，
估计他的年推销金额为万元．
故答案为：．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
AC，DE均为⊙O的切线，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∠DAE＝∠DEA＝∠B，
∴DA＝DE.
∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC，
∴DC＝DE，
∴CD＝DA.
（2）∵CA是⊙O的切线，AB是直径，∴∠CAB＝90°，
由勾股定理得CA2＝CB2－AB2，
又CA2＝CE×CB，CE＝1，AB＝2，∴1·CB＝CB2－2，
即CB2－CB－2＝0，解得CB＝2，
∴CA2＝1×2＝2，∴CA＝ 2.
由（1）知DE＝1
2CA＝
2 2，
所以DE的长为2
2.
20．【答案】
【解析】解：（I）∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圆O的直径
∴
∵CE⊥AB
∴
∵
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∴
∴∠CAB=∠DAC
∴C为劣弧BD的中点
（II）∵
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可证：CF=GF
∴BF=FG
【点评】本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE ⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（1）a=1时：f（0）=1﹣=；
（2）∵f（x）的定义域为R∴任取x1x2∈R且x1＜x2
则f（x1）﹣f（x2）=a﹣﹣a+=．
∵y=2x在R是单调递增且x1＜x2
∴0＜2x1＜2x2，∴2x1﹣2x2＜0，
2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上单调递增．
（3）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），
即a﹣=﹣a+，
解得：a=1．
∴f（ax）=f（x）
又∵f（x）在R上单调递增
∴x＞2或x＜﹣2时：|f（x）|＞f（2），
x=±2时：|f（x）|=f（2），
﹣2＜x＜2时：|f（x）|＜f（2）．
【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题．在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．
22．【答案】
【解析】证明：（1）由等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴NE⊥DE，
又NE⊥DD1，且DD1∩DE=D，
∴NE⊥平面D1DE，
又NE⊂平面MNE，
∴平面MNE⊥平面D1DE．…
（2）等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴AB∥DE，∴AB∥平面D1DE，
又DD1∥BB1，则BB1∥平面D1DE，
又AB∩BB1=B，∴平面ABB1A1∥平面D1DE，
又MN⊂平面ABB1A1，∴MN∥平面D1DE．…
23．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＞0，即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，即有（ax﹣1）（x﹣1）＞0，
当a=0时，即有1﹣x＞0，解得x＜1；
当a＜0时，即有（x﹣1）（x﹣）＜0，
由1＞可得＜x＜1；
当a=1时，（x﹣1）2＞0，即有x∈R，x≠1；
当a＞1时，1＞，可得x＞1或x＜；
当0＜a＜1时，1＜，可得x＜1或x＞．
综上可得，a=0时，解集为{x|x＜1}；
a＜0时，解集为{x|＜x＜1}；
a=1时，解集为{x|x∈R，x≠1}；
a＞1时，解集为{x|x＞1或x＜}；
0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x＞}．
（2）对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，
即a（x2﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．
设g（a）=a（x2﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．
则g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，
即﹣（x2﹣1）﹣x+1＞0，且（x2﹣1）﹣x+1＞0，
即（x﹣1）（x+2）＜0，且x（x﹣1）＞0，
解得﹣2＜x＜1，且x＞1或x＜0．
可得﹣2＜x＜0．
故x的取值范围是（﹣2，0）．
24．【答案】
【解析】【知识点】等差数列
【试题解析】（Ⅰ）由题意，得
解得或（舍）．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
所以．
所以只需求出的最大值．
由（Ⅰ），得．
因为，
所以当，或时，取到最大值．
所以的最大值为．。