高中数学新人教A版必修11-3-1-2函数的最值课件

∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴函数 f(x)＝xx－ ＋12在 x∈[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，当 x＝3 时，函数 f(x)取得最小值为 f(x)＝25， 当 x＝5 时，函数 f(x)取得最大值为 f(5)＝47.
第一章
第 2 课时 函数的最值
课前自主预习 思路方法技巧 建模应用引路
方探法索警延示拓探创究新 课堂基础巩固 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．判断正误： (1)若函数 f(x)在区间(a，b)和(c，d)上均为增函数，则函 数 f(x)在区间(a，b)∪(c，d)上也是增函数． (2)若函数 f(x)和 g(x)在各自的定义域上均为增函数，则 f(x) ＋g(x)在它们定义域的交集(非空)上是增函数．
3．从函数 f(x)＝x2 的图象上还可看出，当 x＝0 时，y＝0 是所有函数值中 最小值． 而对于 f(x)＝－x2 来说，x＝0 时， y＝0 是所有函数值中 最大值．
新课引入 某小卖部从批发市场批发某种笔芯，进价是每支 0.35 元， 以每支 0.5 元的价格销售，卖不掉的笔芯还可以每支 0.08 元 的价格退回批发市场．在一个月(30 天)中，有 20 天每天可以 卖出 400 支，其余 10 天每天只能卖出 250 支． 假设每天从批发市场买进的笔芯的数量相同，则每天进 货多少支才能使每月所获得的利润最大？最大利润是多少？
(2)当 0≤x≤500 时， f(x)＝－12(x－475)2－107 812.5； 当 x>500 时， f(x)＝120000－25x<120000－12500＝107500. 所以年产量为 475 部产品时，利润最大，最大利润为 107812.5 元．
探索延拓创新
[例 4] 求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最大值． [分析] 此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问 题，此类问题应注意对称轴的变化对最 x 支，250≤x≤400， 每月的纯收入为 y 元，则 y＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．易解： 当每天进货 400 支时，每月所获得的利润最大，最大利润是 1 170 元．
自主预习 问题 1：观察下图所示的函数图象，有何特征？
探究：图(1)函数 y＝－x2－2x 的图象有最高点 A，没有最 低点；图(2)函数 y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高 点，也没有最低点；图(3)函数 y＝x2，x∈(－1,1)的图象无最 高点，有最低点；图(4)函数 y＝1x的图象没有最高点，也没有 最低点；图(5)函数 y＝x2－2x，x∈[0,4]的图象有最高点 E，最 低点 D.
[解析] ∵函数图象的对称轴是 x＝a， ∴当 a<2 时， f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当 a>4 时， f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当 2≤a≤4 时， f(x)min＝f(a)＝2－a2. ∴f(x)min＝26－－a42a，，2a≤<2a≤4 .
分析数据： 利润＝总收益－总成本 [ 解 题 流 程 ] 成本、收益 ―――――――――――――→
构造fx 解析式
――利―润―函――数―单―调―性―→
求最 大值
[解析] (1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000＋100x， 从而 f(x)＝－12x2＋300x－20 000，0≤x≤400，
(2)图象法求最值的一般步骤是：
[例 1] 如图为函数 y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的 最大值、最小值．
[分析] 利用图象法求函数最值，要注意函数的定义 域．函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的 纵坐标．
[解析] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是 (3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数 y＝f(x)当 x＝3 时取 得最大值即 ymax＝3；
当 x＝－1.5 时取得最小值即 ymin＝－2.
作出函数 f(x)＝|x－3|＋ x2＋6x＋9的图象，并说明该函 数的最值情况．
[解析]
原函数可化为 f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝－6，2x－，3x<≤x≤－33， ， 2x，x>3
图象如图： 由图象可知，函数有最小值为 6，无最大值．
当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
18－8a，a>4
求二次函数 f(x)＝x2－2x＋2 在[t，t＋1]上的最小值．
[解析] 对称轴为 x＝1，
∴当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋2＝t2＋1.
当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)min＝f(1)＝1.
(2012·包头高一检测)已知函数 f(x)＝xx＋－21， (1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数； (2)求 f(x)在[3,5]上的最大、小值．
[解析] (1)任取 x1，x2∈[3,5]且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xx11－ ＋12－xx22－＋12 ＝x1－1x2x＋1＋22－x2x＋2－21 x1＋2 ＝x1x2＋2x1－xx21－＋22－xx21＋x2－2 2x2＋x1＋2 ＝x13＋x21－xx2＋2 2 ∵x1，x2∈[3,5]且 x1<x2，
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场 对此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x) ＝500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多 少？
建模应用引路
[例 3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函 数：
R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中 x 是仪器的月总 80 000，x>400.
量．
(1)将利润表示为月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为 多少元？(总收益＝总成本＋利润) [题眼直击] (1)利润＝总收益－总成本，故 f(x)＝R(x)－ 100x.(2)求分段函数最大值，就是将各段的最大值分别求出， 然后取其中最大值的．
【归纳提升】 (1)M 首先是一个函数值，它是值域的一 个元素．如 f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为 0，有 f(0)＝0，注意 对定义②中“存在”一词的理解．
(2)对于定义域内的全部元素，都有 f(x)≤M 成立，“任 意”是说对每一个值都必须满足不等式．
(3)这两条缺一不可，若只有定义中的①，M 不是最大值， 如 f(x)＝－x2(x∈R)，对任意 x∈R，都有 f(x)≤1 成立，但 1 不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大值了；最大值 的核心是不等式 f(x)≤M，故不能只有定义中的②.
60 000－100x， x>400. (2)当 0≤x≤400 时， f(x)＝－12(x－300)2＋25 000， ∴当 x＝300 时，[f(x)]max＝25 000；
当 x>400 时， f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当 x＝300 时，[f(x)]max＝25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大，最大利润为 25 000 元．
(4)若将定义中①中的“f(x)≤M”改为“f(x)≥M”，则需 将最大值定义中的“最大值”改为“最小值”，这就是函数 f(x)的最小值的定义．
(5)函数的最大(小)值，实际上是函数图象的最高(低)点的 纵坐标，因而借助函数图象的直观性，可得出函数的最值．
通过以上所学，完成下列练习． (1)函数 y＝2x－1 在[－2,3]上的最小值为________，最大 值为________． (2)函数 y＝1x在[2,3]上的最小值为________，最大值为 ________；在[－3，－2]上的最小值为________，最大值为 ________．
从图中看出，图(1)中 f(x)≤yA，图(3)中 f(x)≥yC，图(5)中 yD≤f(x)≤yE，(1)(5)中的 yA、yE 称为函数的最大值，图(3)中的 yC 称为函数 y＝x2，x∈(－1,1)的最小值，图(2)(4)两个函数无 最大值，也无最小值．
总结：(1)最大值的概念： 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M ；②存在 x0∈I， 使得 f(x0)＝M .那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最大值． (2)最小值的概念： 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：① 对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M ；②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M . 那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最小值．
∴f(x1)－f(x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)． ∴f(x)＝x＋4x在[1,2]上是减函数． 从而函数的最大值是 f(1)＝1＋4＝5， 最小值是 f(2)＝2＋2＝4.
【互动探究】 本例中，若所给区间是[1,4]，则函数最值 又是什么？
[解析] 按例题的证明方法，易证 f(x)在区间[2,4]上是增 函数，又函数在[1,2]上是减函数，所以函数 f(x)的最小值是 4. 又 f(4)＝5，所以函数的最大值是 5.
(3)函数 y＝x2－2x－3 在[－2,0]上的最小值为________， 最大值为________；在[2,3]上的最小值为________，最大值为 ________ ； 在 [ － 1,2] 上 的 最 小 值 为 ________ ， 最 大 值 为 ________．
[答案]
(1)－5
[例 2] 利用单调性定义证明函数 f(x)＝x＋4x在[1,2]上的 单调性并求其最值．
[分析] 当所给函数图象不易作出时，可考虑利用函数单 调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值．
[解析] 设 1≤x1<x2≤2， 即 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4xx21－x2x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 4 ∵1≤x1<x2≤2， ∴x1－x2<0,1<x1x2<4， ∴x1x2－4<0，x1x2>0，
[答案] (1)× (2)√
2．填空： (1)函数 y＝|x|的单调增区间为 [0，＋∞)． (2)函数 y＝ax＋b(a≠0)的单调区间为 (－∞，＋∞) ；函 数 y＝(a2－1)x 为减函数，则 a 的取值范围是 (－1,1)．
(3)函数 y＝－x2＋bx＋c 在(－∞，2]上为增函数，则 b 的 取值范围是 [4，＋∞)．
[解析] (1)当 0≤x≤500 时，产品全部售出； 当 x>500 时，产品只能销售 500 部，故利润函数为 f(x)
＝550000x×－5120x02－－125×00205＋0 02050x－，05≤00x0≤＋52050x，，x>500
＝－12x2＋475x－5 000，0≤x≤500， 120 000－25x，x>500.
5
1 (2)3
1 2
－12
－13
(3)－3
5
－
3 0 －4 0
思路方法技巧
命题方向 1 利用图象法求函数最值
利用图象法求函数最值的方法 (1) 利 用 函 数 图 象 求 函 数 最 值 是 求 函 数 最 值 的 常 用 方 法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出 的函数求最值较常用．