安徽省宿松中学2016-2017学年高二数学(文)人教A版选修1-1教案：3.3.2函数的极值与导数

项目内容
修改
§ 3. 3.2函数的极值与导数
课题与创
（共2课时）
新
1.理解极大值、极小值的观点；
教课
2.能够运用鉴别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
目标
3. 掌握求可导函数的极值的步骤.
教课
教课要点：极大、极小值的观点和鉴别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
重、
教课难点：对极大、极小值观点的理解及求可导函数的极值的步骤.
难点
教课
多媒体课件
准备
一、导入新课：
察看图 3.3-8 ，我们发现，t a 时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数 h(t) 在此点的导数是多少呢？此点邻近的图像有什么特色？相应地，导数的
符号有什么变化规律？
放大 t a 邻近函数h(t )的图像，如图 3.3-9 ．能够看出h (a) ；在t a ，当
t a 时，函数h(t ) 单一递加，h (t ) 0；当t a 时，函数h(t ) 单一递减，
教课过
h (t) 0 ；这就说明，在 t a 邻近，函数值先增（ t a ，h (t) 0）后减（ t a ，
程
h (t) 0 ）．这样，当 t 在 a 的邻近从小到大经过 a 时， h (t) 先正后负，且 h (t) 连
续变化，于是有h (a)0 ．
关于一般的函数y f x ，能否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值观点的理解，能够联合图象进行说明. 而且要说明函数的
极值是就函数在某一点邻近的小区间而言的.从图象察看得出，鉴别极大、极小
值的方法 . 判断极值点的要点是这点双侧的导数异号
二、讲解新课：
1 ．问题：图 3.3-1 （ 1 ），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t ) 4.9t
2 6.5t 10 的图像，图 3.3-1 （ 2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数 v(t ) h' (t )9.8t 6.5 的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么差
别？
经过察看图像，我们能够发现：
（ 1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t的增添而增添，即h(t ) 是增函数．相应地，v(t) h' (t ) 0 ．
（ 2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t的增添而减少，即h(t ) 是减函数．相应地，v(t) h' (t ) 0 ．
2．函数的单一性与导数的关系
察看下边函数的图像，商讨函数的单一性与其导数正负的关系．
如图 3.3-3 ，导数f'( x0)表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率．在x x0 处， f ' ( x0 ) 0 ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 f (x) 在 x0邻近单一递增；在 x x1处， f ' ( x0 ) 0 ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f (x) 在 x1 邻近单一递减．
结论：函数的单一性与导数的关系
在某个区间( a,b) 内，假如 f ' ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内单
调递加；假如 f ' ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内单一递减．说明：（ 1）特其他，假如 f ' (x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内是常
函数．
3．求解函数y f (x) 单一区间的步骤：
（ 1）确立函数y f (x) 的定义域；
（ 2）求导数y' f ' ( x) ；
（3）解不等式f'( x) 0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f'( x) 0，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例剖析
例 1．（课本例4）求f x 1 x3 4x 4 的极值
1 3
解：由于 f x x3 4x 4 ，所以
3
f ' x x2 4 ( x 2)(x 2) 。

f ' x 0, x 2, x 2
下边分两种状况议论：
（ 1）当f'x >0, 即x 2 ，或 x 2 时；
（ 2）当f'x <0, 即 2 x 2 时.
当 x 变化时， f ' x ， f x 的变化状况以下表：
x ,2 -2 (-2,2) 2 2, y + 0 －0 +
y ↗极大值28
↘极小值 4 ↗3 3
所以，当 x 2 时， f ( x)有极大值，而且极大值为 f ( 2) 28 ；
4 3
当 x 2 时， f ( x)有极小值，而且极小值为 f (2) 。

1 x3 3
函数 f x 4x 4 的图像以下图。

3
y
f(x)= 1
x
3-4x+4 3
2
-2 O x
例 2 求y=( x2－ 1) 3+1 的极值
解： y′=6x( x2－1)2=6x( x+1)2( x－1)2
令 y′=0解得 x1=－1， x2=0， x3=1
当 x 变化时， y′， y 的变化状况以下表
x , 1
(-1,
0 (0,1) 1 1, -1
0)
y －0 －0 + 0 +
y ↘无极值↘极小值 0 ↗无极值↗
∴当 x=0时， y 有极小值且 y 极小值=0
y
f x = x
2 -1
3 +1
-1 O 1 x
1. 极大值：一般地，设函数f(x)在点x0邻近有定义，假如对x0邻近的全部的
点，都有 f(x) ＜ f(x 0) ，就说 f(x 0) 是函数 f(x) 的一个极大值，记作 y 极大值
=f(x 0) ，
x 0 是极大值点
2. 极小值： 一般地， 设函数 f(x) 在 x 0 邻近有定义， 假如对 x 0 邻近的全部的点，
都有 f(x) ＞ f(x 0
). 就说 f(x
) 是函数 f(x) 的一个极小值，记作 y
极小值
=f(x ) ，x 是
00
极小值点
3. 极大值与极小值统称为极值注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部观点由定义， 极值不过某个点的函数值与它邻近点的函
数值比较是最大或最小其实不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是独一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小
值能够不只一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确立的大小关系即一个函数的极大值未必大于极
小值，以以下图所示， x 1 是极大值点， x 4 是极小值点，而
f ( x 4 ) > f ( x 1 )
（ⅳ）函数的极值点必定出此刻区间的内部，区间的端点不可以成为极值点
而使函数获得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4. 鉴别 f ( x 0) 是极大、极小值的方法 :
若 x 0 知足 f ( x 0 ) 0 ，且在
x 0 的双侧 f ( x) 的导数异号，则 x 0 是 f ( x) 的
极值点， f ( x 0 ) 是极值，而且假如 f (x) 在 x 0 双侧知足 “左正右负” ，则 x 0 是 f ( x) 的极大值点， f ( x 0 ) 是极大值；假如 f ( x) 在 x 0 双侧知足“左负右正” ，则 x 0 是
f ( x) 的极小值点， f ( x 0 ) 是极小值
5. 求可导函数 f ( x ) 的极值的步骤 :
(1) 确立函数的定义区间，求导数
f ′ ( x )
(2) 求方程 f ′( x )=0 的根
(3) 用函数的导数为 0 的点，按序将函数的定义区间分红若干小开区间，并
列成表格 . 检查 f ′ ( x ) 在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么
f ( x ) 在这
个根处获得极大值；假如左负右正，那么
f ( x ) 在这个根处获得极小值；假如左右
不改变符号即都为正或都为负，那么
f ( x ) 在这个根处无极值
假如函数在某些点处连续但不行导，也需要考虑这些点是不是极值点
四、稳固练习 ：
1．求以下函数的极值 .
(1) y =x 2－ 7x +6 (2)
y =x 3－ 27x
(1) 解： y ′ =( x 2－ 7x +6) ′=2x － 7
令 y ′=0，解得 x = 7
.
2
当 x 变化时， y ′， y 的变化状况以下表
.
x
7 7 7
,
2
,
2
2
y
－ 0
+
y
↘
极小值
25
↗
4
∴当 x =
7 时， y 有极小值，且 y 极小值 =－ 25
.
2 4
(2) 解： y ′ =( x 3－ 27x ) ′=3x 2－ 27=3( x +3)( x －3)
令 y ′=0，解得 x 1=－ 3，x 2=3.
当 x 变化时， y ′， y 的变化状况以下表
.
x , 3
-3 (-3,3) 3 y
+ 0 － 0 y
↗
极大值 54
↘
极小值 -54
∴当 x =－ 3 时， y 有极大值，且 y 极大值 =54.
当 x =3 时， y 有极小值，且 y 极小值 =－ 54
讲堂小结：
3,
+
↗
函数的极大、 极小值的定义以及鉴别方法
. 求可导函数 f ( x ) 的极值的三个步
骤 . 还有要弄清函数的极值是就函数在某一点邻近的小区间而言的，
在整个定义区
间可能有多个极值，且要在这点处连续 . 可导函数极值点的导数为 0，但导数为零的点不必定是极值点， 要看这点双侧的导数能否异号 . 函数的不行导点可能是极值点
部署作业：
P98— 99 4,5
板书设
计
教课反
思。