安徽省黄山市屯溪一中2021届高三上学期第四次月考数学(文)试卷 Word版含解析

2022-2021学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1．函数f（x）=﹣lg（x﹣1）的定义域是（）
A．[2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（1，2] D．（1，+∞）
2．已知复数z 满足，则|z|=（）
A．B．C．D．2
3．平面对量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）
A．B．C．4 D．12
4．下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
5．假如执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）
A．720 B．360 C．240 D．120 6．函数﹣sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件且最大值为40，则的最小值为（）
A．B．C．1 D．4
8．已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的挨次排成一个数列，则该数列的前n项和为（）
A．S n=2n﹣1（n∈N+）B．S n =（n∈N+）C．S n=n﹣1（n∈N+）D．S n=2n﹣1（n∈N+）
9．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）
A．+1 B．+1 C．D．
10．已知O是△ABC 所在平面内一点，且满足，则点O（）
A．在AB边的高所在的直线上B．在∠C平分线所在的直线上
C．在AB边的中线所在的直线上D．是△ABC的外心
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．函数f（x）=e x（x+1）图象在点（0，f（0））处的切线方程是．
12．已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是．13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为．
14．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n =．
15．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y ）的轨迹方程是y=f （x），则对函数y=f（x）有下列推断：
①函数y=f（x）是偶函数；
②对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2）；
③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递减；
④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数．
其中推断正确的序号是．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）
16．设，，记．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x 取何值时，函数g（x）取得最大值．
17．大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞．某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如下：
阅读过莫言的
作品数（篇）0～25 26～50 51～75 76～100 101～130
男生 3 6 11 18 12
女生 4 8 13 15 10
（Ⅰ）试估量该校同学阅读莫言作品超过50篇的概率；
（Ⅱ）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品格外了解”，否则为“一般了解”．依据题意完成下表，并推断能否有75%的把握认为对莫言作品的格外了解与性别有关？
格外了解一般了解合计
男生
女生
合计
附：K2=
P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
18．如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知
CE=．
（1）求证：AD⊥平面BCE；
（2）求证：AD∥平面CEF；
（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．
19．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=2S n+2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}的各项均为正数，且b n是与的等比中项，求b n的前n项和T n．
20．抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），
（1）不过点M的直线l分别交抛物线于A、B两点，当直线l的斜率为，求证：直线MA与直线MB的倾
斜角互补．
（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？假如是，求定点的坐标；假如不是，说明理由．
21．
已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．
2022-2021学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1．函数f（x）=﹣lg（x﹣1）的定义域是（）
A．[2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（1，2] D．（1，+∞）
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题．
分析：依据偶次根式被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组进行求解，再用集合或区间的形式表示出来．
解答：解：要使函数f（x）=﹣lg（x﹣1）有意义则
解得1＜x≤2
∴函数f（x）=﹣lg（x﹣1）的定义域是（1，2]
故选C
点评：本题主要考查了函数定义域的求法，考查了运算求解的力量，以及计算力量，属于基础题．
2．已知复数z 满足，则|z|=（）
A．B．C．D．2
考点：复数求模．
专题：计算题．
分析：首先依据所给的等式表示出z，是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母同时进行乘法运算，得到最简形式．
解答：解：∵，
∴=，
所以|z|=
故选A．
点评：本题考查复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．
3．平面对量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）
A．B．C．4 D．12
考点：向量加减混合运算及其几何意义．
分析：依据向量的坐标求出向量的模，最终结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最终不要遗忘开方．
解答：解：由已知|a|=2，
|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，
∴|a+2b|=．
故选：B．
点评：本题是对向量数量积的考查，依据两个向量的夹角和模之间的关系，依据和的模两边平方，留意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
4．下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的推断．
分析：对于A：由于否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．
对于B：由于x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．
对于C：由于命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排解法即可得到答案．解答：解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．由于否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．
对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．由于x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．
由于命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．
由排解法得到D正确．
故答案选择D．
点评：此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的推断，对于命题的否命题和否定形式要留意区分，是易错点．
5．假如执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）
A．720 B．360 C．240 D．120
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：执行程序框图，写出每次循环得到的k，ρ的值，当有k=4，ρ=360时不满足条件k＜m，输出p的值为360．
解答：解：执行程序框图，有
n=6，m=4
k=1，ρ=1
第一次执行循环体，ρ=3
满足条件k＜m，第2次执行循环体，有k=2，ρ=12
满足条件k＜m，第3次执行循环体，有k=3，ρ=60
满足条件k＜m，第4次执行循环体，有k=4，ρ=360
不满足条件k＜m，输出p的值为360．
故选：B．
点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．
6．函数﹣sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：函数零点的判定定理．
专题：数形结合．
分析：解：令f（x）=0，则x=sinx ，原问题在区间[0，2π]上的零点个数就转化为两个函数
y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象，由图知交点个数．解答：解：令f（x）=0，则x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数
y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：
由图知交点个数是2．
故选B．
点评：利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．本题先由已知条件转化为确定f（x）的解析式，再利用数形结合的方法推断方程根的个数．
7．若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件且最大值为40，则的最小值为（）
A．B．C．1 D．4
考点：简洁线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：先依据条件画出可行域，设z=ax+by（a＞0，b＞0），再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by（a＞0，b＞0），过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最终利用基本不等式求最小值即可．
解答：解：不等式表示的平面区域阴影部分，
当直线z=ax+by（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线2x﹣y﹣6=0的交点（8，10）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大40，
即8a+10b=40，即4a+5b=20，
而．
故选B．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简洁的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题
8．已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的挨次排成一个数列，则该数列的前n项和为（）
A．S n=2n﹣1（n∈N+）B．S n =（n∈N+）C．S n=n﹣1（n∈N+）D．S n=2n﹣1（n∈N+）
考点：数列与函数的综合．
专题：综合题．
分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的挨次排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列的前n项和．
解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，
当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，
当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，
当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，
以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，
所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），
由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
然后①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．
即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．
②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍旧只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，连续依据上述步骤进行，
即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍旧只有一个交点（2，2）．
即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．
④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．
即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．
综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的挨次排列所得数列为：
0，1，2，3，4，…，
∴该数列的前n 项和，n∈N+．
故选B．
点评：本题考查了数列递推公式的机敏运用，解题时要留意分类争辩思想和归纳总结；本题属于较难的题目，简洁出错，要细心解答．
9．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）
A．+1 B．+1 C．D．
考点：双曲线的简洁性质；抛物线的简洁性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标；将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，即可得到结论．
解答：解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0）
所以p=2c
∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，
将x=c代入双曲线方程得到A（c ，）
将A 的坐标代入抛物线方程得到=2pc
∴e2﹣2e﹣1=0
∵e＞1
∴e=
故选A．
点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系，考查同学的计算力量，属于中档题．
10．已知O是△ABC 所在平面内一点，且满足，则点O（）
A．在AB边的高所在的直线上B．在∠C平分线所在的直线上
C．在AB边的中线所在的直线上D．是△ABC的外心
考点：向量在几何中的应用．
专题：综合题；平面对量及应用．
分析：取AB的中点D ，利用，化简可得，从而可得点O在AB边的高所在的直线上．
解答：解：取AB的中点D，则∵
∴
∴
∴
∴
∴点O在AB边的高所在的直线上
故选A．
点评：本题考查向量学问的运用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．函数f（x）=e x（x+1）图象在点（0，f（0））处的切线方程是y=2x+1．
考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：求出原函数的导函数，得到f ′（0）=2，再求出f（0），由直线方程的点斜式得答案．
解答：解：由f（x ）=e x（x+1），得
f′（x）=e x（x+1）+e x=e x（x+2），
∴f′（0）=2，
又f（0）=1，
∴函数f（x）=e x（x+1）图象在点（0，f（0））处的切线方程是y﹣1=2（x﹣0），
即y=2x+1．
故答案为：y=2x+1．
点评：本题考查了利用导数争辩过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．
12．已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是﹣3＜m＜5．
考点：指数函数综合题．
专题：函数的性质及应用．分析：依据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△＜0，解不等式即可得到结论．
解答：解：不等式等价为，
即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，
∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，
即△=（m+1）2﹣4（m+4）＜0，
即m2﹣2m﹣15＜0，
解得﹣3＜m＜5，
故答案为：﹣3＜m＜5．
点评：本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法，利用指数函数的单调性是解决本题的关键．13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：图表型．
分析：几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，依据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径是，求出表面积及球的表面
积即可得出比值．
解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，
是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，
四棱锥的底面是边长是1的正方形，
四棱锥的高是，斜高为，
这个几何体的表面积为8×1×=2
∴依据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是，
∴外接球的表面积是4×π（）2=2π
则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为=
故答案为：．
点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查正多面体与外接球之间的关系，本题是一个考查的学问点比较全的题目．
14．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n =．
考点：数列递推式．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：由已知条件得2na n+1﹣（n+1）a n=0，即=，再用累乘法，即可求出通项公式a n．
解答：解：∵2na n+12+（n ﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0，
∴（2na n+1﹣（n+1）a n）•（a n+1+a n）=0，
∵数列{a n}为正项数列，
∴a n+1+a n≠0，
∴2na n+1﹣（n+1）a n=0，
∴=，
∴=，
=，
=，
…
=，
两边累乘得，
==n•
∴a n=，
故答案为：，
点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用递推数列，利用累乘法是解决本题的关键．
15．（5分）（2022•南昌二模）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则对函数y=f（x）有下列推断：
①函数y=f（x）是偶函数；
②对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2）；
③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递减；
④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数．
其中推断正确的序号是①②④．
考点：命题的真假推断与应用；函数的图象．
专题：函数的性质及应用；简易规律．
分析：依据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后依据函数的图象和性质分别进行推断即可．
解答：解：当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，
当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，
当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，
当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，
∴函数的周期是4．
因此最终构成图象如下：
①依据图象的对称性可知函数y=f（x）是偶函数，∴①正确．
②由图象即分析可知函数的周期是4．∴②正确．
③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递增，∴③错误．
④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数，由函数的图象即可推断是真命题、∴④正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查的学问点是函数图象的变化，其中依据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内）
16．设，，记．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）试用“五点法”画出函数f（x ）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x 取何值时，函数g（x）取得最大值．
考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；平面对量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．
专题：综合题．
分析：（1）先利用向量数量积的坐标运算写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，最终由周期公式即可得f（x）的最小正周期
（2）由（1）f（x）=，利用五点法，即将2x+看成整体取正弦函数的五个关键点，通
过列表、描点、连线画出函数图象，用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的挨次进行（3），，求此函数的最值可先将2x+看成
整体，求正弦函数的值域，最终利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值
解答：解：（1）=
∴
（2）
x
0 π2π
sin （）0 1 0 ﹣1 0
y
y=sinx 向左平移得到，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为
最终再向上平移个单位得到
（3），
∵，
∴
∴，
∴，
∴m=2，
∴
当即时g（x ）最大，最大值为．
点评：本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．
17．大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞．某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如下：
阅读过莫言的
作品数（篇）0～25 26～50 51～75 76～100 101～130
男生 3 6 11 18 12
女生 4 8 13 15 10
（Ⅰ）试估量该校同学阅读莫言作品超过50篇的概率；
（Ⅱ）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品格外了解”，否则为“一般了解”．依据题意完成下表，并推断能否有75%的把握认为对莫言作品的格外了解与性别有关？
格外了解一般了解合计
男生
女生
合计
附：K2=
P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
考点：独立性检验的应用．
专题：综合题；概率与统计．
分析：（Ⅰ）求出阅读莫言作品在50篇以上的频率，估量该校同学阅读莫言作品超过50篇的概率；（Ⅱ）利用独立性检验的学问进行推断．
解答：解：（Ⅰ）由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的频率为，
据此估量该校同学阅读莫言作品超过50篇的概率约为P=…..（5分）
（Ⅱ）
格外了解一般了解合计
男生30 20 50
女生25 25 50
合计55 45 100
…..（8分）
依据列联表数据得，所以没有75%的把握认为对莫言作品的格外了解与性别有关．…..（12分）
点评：本题主要考查独立性检验的应用，利用列联表计算出K2，是解决本题的关键．这类题目主要是通过计算数据来进行推断的．
18．如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知
CE=．
（1）求证：AD⊥平面BCE；
（2）求证：AD∥平面CEF；
（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）依题AD⊥BD，CE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BCE．
（2）由已知得BE=2，BD=3．从而AD∥EF，由此能证明AD∥平面CEF．
（3）由V A﹣CFD=V C﹣AFD，利用等积法能求出三棱锥A﹣CFD的体积．
解答：（1）证明：依题AD⊥BD，
∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，
∵BD∩CE=E，
∴AD⊥平面BCE．
（2）证明：Rt△BCE中，CE=，BC=，∴BE=2，
Rt△ABD中，AB=2，AD=，∴BD=3．
∴．
∴AD∥EF，∵AD在平面CEF外，
∴AD∥平面CEF．
（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，
且ED=BD﹣BE=1，
∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．
∴S△FAD ==．
∵CE⊥平面ABD，
∴V A﹣CFD=V C﹣AFD===．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要留意空间思维力量的培育．
19．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=2S n+2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}的各项均为正数，且b n 是与的等比中项，求b n的前n项和T n．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由数列递推式得到另一递推式，作差后得到，再求出a2后由=3综合得到
数列{a n}是等比数列，由此得到等比数列的通项公式；
（2）由b n 是与的等比中项求得{b n}的通项公式，然后利用错位相减法求得b n的前n项和T n．
解答：解：（1）由a n+1=2S n+2，得
a n=2S n﹣1+2（n≥2），
两式作差得：a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，
即．
又a2=2S1+2=2a1+2=6，
∴．
∴数列{a n}是以2为首项，以3为公比的等比数列．
则；
（2）∵数列{b n}的各项均为正数，且b n 是与的等比中项，
∴，
．
∴．
．
作差得：
==．∴．
点评：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，属中档题．
20．抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），
（1）不过点M的直线l分别交抛物线于A、B两点，当直线l 的斜率为，求证：直线MA与直线MB的倾
斜角互补．
（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？假如是，求定点的坐标；假如不是，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）代入点M，即可得到抛物线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l 的方程是，联立抛物线方程，消去x，得到y的二次方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理即可得证；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点M ，则由，即有=0，由数量积
的坐标公式，结合抛物线方程，即可得y1y2﹣4（y1+y2）=32=0，再由直线方程，即可得到定点．
解答：（1）证明：抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），
即有16=8p，解得，p=2．
则抛物线方程为y2=4x，
设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l 的方程是，
由，得y2﹣8y+8m=0，
，
则直线MA与直线MB的倾斜角互补．
（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点M ，则由，
即有=0，
则（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1+4）（y2+4）=0，
即，
化简，得y1y2﹣4（y1+y2）+32=0，
则过PQ 的直线为==，
则直线恒过定点（8，4）．
点评：本题考查抛物线方程和运用，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查直线和圆的方程，以及直线的斜率公式的运用，考查运算力量，属于中档题．
21．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩函数的极值．
专题：计算题；分类争辩；转化思想．
分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化状况，确定函数的
极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，
令f′（x）=0，解得x=，
当0＜x ＜时，f′（x）＜0；
当x ≥时，f′（x）＞0
又∵f （）=2﹣ln2
∴f（x）的微小值为2﹣2ln2，无极大值．
（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=
当a＜﹣2时，﹣＜，
令f′（x）＜0 得0＜x ＜﹣或x ＞，
令f′（x）＞0 得﹣＜x ＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，
令f′（x）＜0 得0＜x ＜或x ＞﹣，
令f′（x）＞0 得＜x ＜﹣；
当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，
综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；
当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，
当x=1时，f（x）取最大值；
当x=3时，f（x）取最小值；
|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，
∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，
∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3
整理得ma ＞﹣4a，
∵a＜0，∴m ＜﹣4恒成立，
∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，
∴m≤﹣
点评：考查利用导数争辩函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类争辩的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．。