精选浙江专版2018高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和教师用书

第三节 等比数列及其前n 项和
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为
a n ＋1a n
＝q (n ∈N *
，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与
b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1
.
(2)前n 项和公式：
S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1q ＝，a 1－q n 1－q
＝a 1－a n q
1－q q
3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q
n －m
(n ，m ∈N *
)．
(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *
)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2
k ；
(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2
n }，{a n ·b n }，
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；
(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n
＋3k
，…为等比数列，公比为q k
.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *
，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2
＝ab .( )
(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a
－a
n
1－a
.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．已知等比数列{a n }的公比为－12，则a 1＋a 3＋a 5
a 2＋a 4＋a 6的值是( )
A ．－2
B ．－1
2
C.12 D ．2
A [
a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5
－1
2
a 1＋a 3＋a 5
＝－2.]
3．(2017·浙江五校一联)等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＝6，a 3＝8，则a 6＝
( )
A ．64
B ．128
C ．256
D ．512
A [设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则由⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝6，
a 3＝a 1q 2
＝8，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，
q ＝2或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＝18，q ＝－2
3(舍去)，所以a 6＝a 1q 5
＝64，故选A.]
4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．
27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3
，q 3
＝27，∴q ＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]
5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________. 6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，
∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴
－2
n
1－2
＝126，解得n ＝6.]
n n }的前n 项和，
a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝( )
A ．32
B ．64
C ．128
D ．256
(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________．
(1)C (2)2n
－1 [(1)∵{a n }为等比数列，a 2·a 4＝16，∴a 3＝4.∵a 3＝a 1q 2
＝4，S 3＝7，∴S 2＝
a 1
－q 2
1－q
＝3，∴4q
2(1－q 2)＝3(1－q )，即3q 2
－4q －4＝0，
∴q ＝－23
或q ＝2.∵a n >0，∴q ＝2，则a 1＝1，∴a 8＝27
＝128.
(2)设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q 3
＝9，
a 21·q 3
＝8，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
q ＝2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝8，q ＝1
2
.
又{a n }为递增数列，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
q ＝2，∴S n ＝1－2n
1－2
＝2n
－1.]
[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．
2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．
[变式训练1] (1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12
C ．1或－12
D ．－1或1
2
(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6
S 3
＝__________.
【导学号：51062169】
(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1q 2
＝7， ①
a 1＋a 1q ＋a 1q 2
＝21， ②
②÷①得1＋q ＋q
2
q
2
＝3. 整理得2q 2
－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12
.
(2)由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2
，a 6＝a 1q 5
，所以27a 1q 2
＝a 1q 5
，所以q ＝3，由S n ＝a 1
－q n
1－q
，得S 6＝
a 1
－36
1－3
，S 3＝
a 1
－33
1－3
，所以
S 6S 3
＝
a 1
－36
1－3
·
1－3
a 1
－3
3
＝28.]
已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31
32
，求λ.
[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，2分 故λ≠1，a 1＝1
1－λ
，故a 1≠0.4分
由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .6分 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以
a n ＋1a n ＝λ
λ－1
. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λ
λ－1的等比数列，
于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1
.9分
(2)由(1)得S n ＝1－⎝
⎛⎭
⎪⎫λλ－1n .12分
由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132
.14分 解得λ＝－1.15分
[规律方法] 等比数列的判定方法 (1)定义法：若
a n ＋1a n
＝q (q 为非零常数，n ∈N *
)，则{a n }是等比数列． (2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a 2
n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *
)，则数列{a n }是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n
(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *
)，则{a n }是等比数列．
说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定． [变式训练2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
[解] (1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.
又⎩
⎪⎨
⎪⎧
S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋n ， ②
①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2).4分 ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，
故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列.7分 (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1
，
∴
a n ＋12
n ＋1
－a n 2n ＝3
4
，
故⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为3
4的等差数列.10分
∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －1
4
， 故a n ＝(3n －1)·2
n －2
.14分
(1)(2017·宁波一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m
－1
＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
(2)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n
－1
＋a 2n <0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
(1)B (2)C [(1)由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2
m ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即数
列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝2
2m －1
＝512＝29
，即2m －1＝9，所以m ＝5，故选B.
(2)若对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0，则a 1＋a 2<0，又a 1>0，所以a 2<0，所以q ＝a 2
a 1
<0.若q <0，可取q ＝－1，a 1＝1，则a 1＋a 2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0.所以“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件．故选C.]
[规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．
2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是
前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
[变式训练3] (1)(2017·温州市第三次质检)在正项等比数列{a n }中，a 1 008·a 1 009＝1
100
，则lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝( ) 【导学号：51062170】 A ．2 015 B ．2 016 C ．－2 015
D ．－2 016
(2)(2017·湖州一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为81
4，则前4
项倒数的和为( )
A.32
B.94 C ．1
D ．2
(1)D (2)D [(1)lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝lg a 1a 2…a 2 016＝ lg(a 1 008·a 1 009)
1 008
＝lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫1100 1 008＝lg ()10－2 1 008＝－2 016，故选D.
(2)由题意得S 4＝a 11－q 41－q ＝9，所以1－q 4
1－q ＝9a 1.由a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝(a 21q 3)2
＝814
得
a 21
q 3＝9
2
.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为
1a 1⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－1q 41－1q
＝q 4－1a 1q 3q －1＝1a 1q 3·9
a 1＝9
a 21
q 3＝2，故选D.]
[思想与方法]
1．方程的思想．等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过
列方程(组)求解．
2．函数的思想．通项公式a n ＝a 1q
n －1
可化为a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 1q q n
，因此a n 是关于n 的函数，即{a n }
中的各项所表示的点(n ，a n )在曲线y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1q
q x
上，是一群孤立的点．
3．分类讨论思想．当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和
S n ＝
a 1
－q n
1－q
＝
a 1－a n q
1－q
.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，此处是常考易错点．
[易错与防范]
1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．
2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.
3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n
－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)．
课时分层训练(二十八) 等比数列及其前n 项和
A 组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列
D [由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 2
6≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.] 2．(2017·杭州第二中学3月模拟)我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？
( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
C [设塔顶有x 盏灯，则由题意知
x
－27
1－2
＝381，解得x ＝3.故选C.]
3．(2017·嘉兴三模)在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( ) 【导学号：51062171】
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
D [两式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3
＝3，即q ＝3.]
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
B [∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2
＋3q 4
＝21.
∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2
＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2
(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B.]
5．(2017·杭州二次质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，a 3·a 5＝4，则下列说法正确的是( )
A ．{a n }是单调递减数列
B ．{S n }是单调递减数列
C ．{a 2n }是单调递减数列
D ．{S 2n }是单调递减数列
C [设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3·a 5＝a 2q ·a 2q 3＝4，又因为a 2＝12，所以q 4
＝136，
则q 2
＝16，所以数列{a 2n }是首项为12，公比为16的等比数列，则数列{a 2n }为单调递减数列，
故选C.]
二、填空题
6．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝__________. 1 [∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2
＝a ·c ＝(5＋26)(5－26)＝1.又b >0，∴b ＝1.] 7．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *
，则
a 1＝________，S 5＝________.
1 121 [∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝
⎛
⎭⎪⎫S n ＋12，
∴数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
S n ＋12是公比为3的等比数列，
∴S 2＋
12S 1＋
12
＝3.
又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34
＝32×34＝2432，
∴S 5＝121.]
8．(2017·湖州二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n ＝__________尺. 【导学号：51062172】
2n
－12n －1＋1 [依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，
所以前n 天大老鼠打洞的距离共为
－2n
1－2
＝2n
－1.同理可得前n 天小老鼠打洞的距离
共为1×⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝2－12n －1，所以S n ＝2n －1＋2－12n －1＝2n
－12n －1＋1.]
三、解答题
9．数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
[解] (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，2分 ∴
b n ＋1＋2
b n ＋2
＝2, 又b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4， ∴数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． ∴b n ＋2＝4·2
n －1
＝2
n ＋1
，∴b n ＝2
n ＋1
－2.6分
(2)由(1)知，a n －a n －1＝b n －1＝2n
－2(n ≥2)， ∴a n －1－a n －2＝2
n －1
－2(n >2)，
…，a 2－a 1＝22
－2，
∴a n －2＝(22
＋23
＋ (2)
)－2(n －1)，10分 ∴a n ＝(2＋22
＋23
＋ (2)
)－2n ＋2＝n
－2－1
－2n ＋2＝2
n ＋1
－2n .
∴S n ＝
－2n 1－2
－
n
＋2n 2
＝2n ＋2－(n 2
＋n ＋4).14分 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *
)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；
(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *
)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解] (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *
)，
n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.2分
因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝4
3
a n －1.
又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为4
3
的等比数列.6分
(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫43n －1
，
由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *
)，
得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫43n －1
.10分
可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)
＝2＋1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫43n －11－43
＝3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫43n －1
－1(n ≥2).13分
当n ＝1时也满足，
所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫43n －1－1(n ∈N *
).14分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2016·温州二模)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *
，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n
－1}是等比数列，则λ的值等于( )
A ．1
B ．－1 C.12
D ．2
D [由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2
λ
＝1，得λ＝2.]
2．(2017·浙江高考冲刺卷(三))已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1
(n ∈N *
)，则
公比q ＝________，数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
2 3(2n
－1) [等比数列公比q ＝a n ＋2＋a n ＋1
a n ＋1＋a n
＝2，又a 1＋a 2＝9，所以a 1＝3，故S n ＝
n
－2－1
＝3(2n
－1)．]
3．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；
(2)求数列{a n }的通项公式. 【导学号：51062173】 [解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2).2分
∵a1＝5，a2＝5，
∴a2＋2a1＝15，
∴a n＋2a n－1≠0(n≥2)，
∴a n＋1＋2a n
a n＋2a n－1
＝3(n≥2)，
∴数列{a n＋1＋2a n}是以15为首项，3为公比的等比数列.6分(2)由(1)得a n＋1＋2a n＝15×3n－1＝5×3n，
则a n＋1＝－2a n＋5×3n，8分
∴a n＋1－3n＋1＝－2(a n－3n)．
又∵a1－3＝2，∴a n－3n≠0，
∴{a n－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列.12分
∴a n－3n＝2×(－2)n－1，
即a n＝2×(－2)n－1＋3n.15分。