2020年天津市高考数学试卷

2020 年天津市高考数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共9 小题，共45.0 分）
1.设全集 U={-3 ， -2， -1，0， 1， 2， 3} ，会合 A={-1 ， 0， 1，2} ， B={-3 ，0， 2， 3} ，
则 A∩（） =（）
A. {-3，3}
B. {0，2}
C. {-1，1}
a2＞ a”的（D. {-3，-2，-1，1，3 }
2. 设a R a 1
”是“
）∈，则“ ＞
A. 充足不用要条件
B. 必需不充足条件
C. 充要条件
D. 既不充足也不用要条件
3. 函数 y= 的图象大概为（）
A. B.
C. D.
4.从一批部件中抽取 80 个，丈量其直径（单位： mm），将所得数据分为 9 组： [
5.31 ，
5.33）， [5.33 ， 5.35），， [5.45 ， 5.47）， [5.47 ，5.49] ，并整理获得以下频次分
布直方图，则在被抽取的部件中，直径落在区间[5.43 ，5.47）内的个数为（）
A. 10
B. 18
C. 20
D. 36
5. 若棱长为 2 的正方体的极点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
A. 12π
B. 24π
C. 36π
D. 144π
6. 设 a=30.7， b=（）-0.8， c=log 0.70.8 ，则 a， b，c 的大小关系为（）
A. a＜b＜c
B. b＜a＜c
C. b＜c＜a
D. c＜a＜b
7. 设双曲线C
的方程为
- =1 a 0 b 0 y2=4x
的焦点和点（
0 b
（＞，＞），过抛物线，）
的直线为 l．若 C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线 C 的方程为（）
A. -=1
B. x2 =1
C. -y2=1
D. x2-y2=1
8.已知函数 f（ x） =sin（ x+ ）．给出以下结论：
① f（ x）的最小正周期为 2π；
② f（）是 f（ x）的最大值；
③把函数 y=sinx 的图象上的全部点向左平移个单位长度，可获得函数y=f（ x）的
图象．
此中全部正确结论的序号是（）
A. ①
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
9.
f x
）
=
若函数
g x =f x -|kx2
4 个零点，已知函数（（）（）-2x|（ k∈R）恰有
则 k 的取值范围是（）
A. （-∞，-）∪（2 ， +∞）
B. （-∞，-）∪（0，2）
C. （-∞，0）∪（0，2）
D. （-∞，0）∪（2，+∞）
二、填空题（本大题共 6 小题，共30.0 分）
10. i 是虚数单位，复数=______．
11.在（ x+ ）5的睁开式中， x2的系数是 ______．
12.已知直线 x- y+8=0 和圆 x2+y2=r 2（ r＞0）订交于 A， B 两点．若 |AB |=6，则 r 的值为
______．
13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假设两球能否落入盒子互不影响，则
甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球起码有一个落入盒子的概率为______．
14. 已知a 0 b 0
，且
ab=1
，则
+ +
的最小值为
______ ＞，＞．
15.如图，在四边形 ABCD 中，∠B=60 °， AB=3，BC =6，
且 =λ， ? =- ，则实数λ的值为 ______，若 M，
N 是线段 BC 上的动点，且 | |=1，则?的最小值
为 ______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共75.0 分）
16. 在ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a b c a=2 ，b=5 ，c= ．
，，．已知
（Ⅰ）求角 C 的大小；
（Ⅱ）求 sinA 的值；
17.如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，CC1⊥平面ABC ，
AC⊥BC ，AC=BC=2， CC1=3，点 D， E 分别在棱 AA1和棱
CC1上，
且 AD=1， CE=2 ， M 为棱 A1B1的中
点．（Ⅰ）求证： C1M⊥B1 D；
（Ⅱ）求二面角 B-B1E-D 的正弦值；
（Ⅲ）求直线 AB 与平面 DB 1E 所成角的正弦值．
18.已知椭圆+ =1（ a＞ b＞0）的一个极点为A（ 0， -3），右焦点为F，且 |OA|=|OF |，
此中 O 为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点 C 知足 3 =，点B在椭圆上（B异于椭圆的极点），直线AB 与以
C 为圆心的圆相切于点P，且 P 为线段 AB 的中点．求直线AB 的方程．
19.已知 { a n} 为等差数列， { b n} 为等比数列， a1=b1=1 ， a5=5（ a4-a3）， b5=4（ b4-b3）．
（Ⅰ）求 { a n } 和 { b n} 的通项公式；
（Ⅱ）记 { a n } 的前 n 项和为 S n，求证： S n S n+2＜ S n+12（n∈N* ）；
（Ⅲ）对随意的正整数n，设 c n=求数列{ c n}的前2n项和．
20.已知函数 f（ x） =x3+klnx（ k∈R）， f′（ x）为 f（ x）的导函数．
（Ⅰ）当 k=6 时，
（ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（ 1， f（ 1））处的切线方程；
（ⅱ）求函数 g（ x） =f（ x） -f′（ x）+ 的单一区间和极值；
（Ⅱ）当 k≥-3 时，求证：对随意的x1，x2∈[1，+∞），且 x1＞ x2，有＞．
答案和分析
1.【答案】C
【分析】【剖析】
此题主要考察列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题.
进行补集、交集的运算即可．
【解答】
解：全集U ={-3 ， -2， -1， 0， 1， 2， 3} ，会合 A={-1 ， 0， 1， 2} ， B={-3 ， 0， 2， 3} ，则={-2 ， -1， 1} ，
∴A∩（）={-1，1}，
应选： C．
2.【答案】A
【分析】【剖析】
此题考察了不等式的解法、简略逻辑的判断方法，考察了推理能力与计算能力，属于基
础题．
解得 a 的范围，即可判断出结论．
【解答】
解：由 a2＞ a，解得 a＜ 0 或 a＞ 1，
故 a＞ 1”是“ a2＞ a”的充足不用要条
件，应选： A．
3.【答案】A
【分析】【剖析】
此题考察了函数图象的辨别，属于基础题．
依据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】
解：函数y=f （x） =，则f（-x）=-=-f（ x），
则函数 y=f（ x）为奇函数，故清除C， D，
当 x＞ 0 是， y=f（x）＞ 0，故清除 B，
应选： A．
4.【答案】B
【分析】【剖析】
此题考察了频次散布直方图，属于基础题．
依据频次散布直方图求出径径落在区间[5.43 ， 5.47）的频次，再乘以样本的个数即可．【解答】
解：直径径落在区间[5.43 ， 5.47）的频次为（ 6.25+5）×0.02=0.225 ，
则被抽取的部件中，直径落在区间[5.43 ，5.47）内的个数为0.225 ×80=18 个，
应选： B．
5.【答案】C
【分析】【剖析】
此题考察球的表面积，考察学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．
【解答】
解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，
所以 2R= =6 ，
所以 R=3， S=4πR2=36 π．
应选： C．
6.【答案】D
【分析】【剖析】
此题考察了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
依据指数函数和对数函数的性质即可求出．
【解答】
解： a=30.7， b=（）-0.8=30.8，
则 b＞ a＞1，
log 0.7 0.8＜ log 0.70.7=1，
∴c＜ a＜ b，
应选： D．
7.【答案】D
【分析】【剖析】
此题考察了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线 l 的方程和双曲线的渐近线方程，依据直线平行和垂直即可求出 a，b 的值，可得双曲线的方程．
【解答】
解：抛物线y2=4 x 的焦点坐标为（1， 0），
则直线 l 的方程为y=-b（ x-1），
∵双曲线 C 的方程为- =1 （ a＞ 0， b＞ 0）的渐近线方程为y=± x，
∵C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，
∴- =-b， ?（-b） =-1，
∴a=1， b=1，
2 2
∴双曲线 C 的方程为x -y =1，
8.【答案】B
【分析】【剖析】
此题以命题的真假判断为载体，主要考察了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．
由已知联合正弦函数的周期公式可判断①，联合函数最值获得条件可判断②，联合函数图象的平移可判断③．
【解答】
解：由于 f （ x） =sin（ x+ ），
①由周期公式可得，f（ x）的最小正周期T=2π，故①正确；、
② f（） =sin （）=sin= ，不是 f（x）的最大值，故②错误；
③依据函数图象的平移法例可得，函数 y=sin x 的图象上的全部点向左平移个单位长度，
可获得函数y=f（ x）的图象，故③正确．
应选： B．
9.【答案】D
【分析】【剖析】
此题考察函数的零点，参数的取值范围，重点利用分类议论思想，剖析函数的交点，属
于难题．
问题转变为 f（ x） =|kx2 -2x| y=f x y=h x 2 -2x|
=|k x
有四个根， ? （）与（）有四个交点，再分
三种状况当 k=0 时，当 k＜ 0 时，当 k＞ 0 时，议论两个函数四否能有 4 个交点，从而得出 k 的取值范围．
【解答】
解：若函数 g（ x）=f （ x） -|kx2-2x|（ k∈R）恰有 4 个零点，
则 f（ x） =|kx2-2x|有四个根，
即 y=f（ x）与 y=h（ x） =|kx2-2x|有四个交点，
当 k=0 时， y=f （ x）与 y=|-2x|=2|x|图象以下：
两图象有 2 个交点，不切合题意，
当 k＜ 0 时， y=|kx2-2x|与 x 轴交于两点x1=0，x2= （ x2＜ x1）
图象以下图，
两图象有 4 个交点，切合题意，
当 k＞ 0 时，
y=|kx2-2x|与 x 轴交于两点x1=0，x2= （ x2＞ x1）
在 [0，）内两函数图象有两个交点，所以如有四个交点，
只需 y=x3与 y=kx2-2x 在（， +∞）还有两个交点，即可，
即 x3=kx2-2x 在（， +∞）还有两个
根，即 k=x+ 在（，+∞）还有两个根，
函数 y=x+ ≥2，（当且仅当x=时，取等号），
所以，且 k＞ 2，
所以 k＞ 2，
综上所述， k 的取值范围为（-∞， 0）∪（ 2，+∞）．
应选： D．
10.【答案】3-2i
【分析】【剖析】
此题考察了复数的运算，属于基础题．
依据复数的运算法例即可求出．
【解答】
解： i 是虚数单位，复数===3-2i ，
故答案为： 3-2i
11.【答案】10
【分析】【剖析】
此题主要考察二项式定理的应用，二项式睁开式的通项公式，求睁开式中某项的系数，
属于中档题．
在的睁开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出 r 的值，即可获得睁开
式中 x2的系数．
【解答】
5-r r-2r r5-3r
令 5-3r =2，得 r=1，
∴x2的系数是2× =10 ，
故答案为10．
12.【答案】5
【分析】【剖析】
此题考察直线与圆订交的性质，波及弦长的计算，属于基础题．
依据题意，剖析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x- y+8=0 的距离，联合直线与圆订交的性质可得r2=d2+（）2，计算可得答案．
【解答】
解：依据题意，圆x2 +y2=r2的圆心为（ 0， 0），半径为r；
则圆心到直线x- y+8=0 的距离 d==4，
若 |AB|=6，则有 r 2=d2+（）2=16+9=25 ，
故 r=5；
故答案为： 5
13.【答案】
【分析】【剖析】
此题考察了互斥事件的概率公式，考察了运算求解能力，属于基础题．
依据互斥事件的概率公式计算即可．
【解答】
解：由于甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，
则甲、乙两球都落入盒子的概率×= ，
甲、乙两球起码有一个落入盒子的概率为1-（ 1- ）（ 1- ）=1- = ，
故答案为：，．
14.【答案】4
【分析】【剖析】
此题考察了基本不等式的应用，考察了运算求解能力，属于中档题．
由+ +=+=+，利用基本不等式即可求出．
【解答】
解： a＞ 0， b＞ 0，且 ab=1，
则 + + = +=+ ≥2=4 ，
当且仅当= ，即 a=2+ ， b=2- 或 a=2- ， b=2+ 取等号，
故答案为： 4
15.【答案】
【分析】【剖析】
此题考察了向量在几何中的应用，考察了向量的共线和向量的数目积，以及二次函数的性
质，属于中档题．
以 B 为原点，以BC 为 x 轴成立以下图的直角坐标系，依据向量的平行和向量的数目
积即可求出点 D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点 M，N 的坐标，依据向量的数目积可得
对于 x 的二次函数，依据二次函数的性质即可求出最小值．
【解答】
解：以 B 为原点，以BC 为 x 轴成立以下图的直角坐标系，
∵∠B=60 °， AB=3 ，
∴A（，），
∵BC=6 ，
∴C（ 6， 0），
∵=λ，
∴AD ∥BC，
设 D（ x0，），
∴=（ x0- ， 0）， =（ - ， - ），
∴? =- （ x0- ） +0=- ，解得 x0= ，
∴D（，），
∴=（ 1，0）， =（ 6， 0），
∴= ，
∴λ=，
∵| |=1，
设 M（ x， 0），则 N（ x+1 ， 0），此中0≤x≤5，
∴=（ x- ， - ）， =（ x- ， - ），
∴? =（ x- ）（ x- ） + =x2-4x+ =（ x-2）2+，当x=2时获得最小值，最小值为，故答案为：，．
16.【答案】解：（Ⅰ）由余弦定理以及a=2，b=5，c=，
则 cosC===，
∵C∈（0，π），
（Ⅱ ）由正弦定理，以及C= ， a=2 ，c= ，可得 sinA== =；
（Ⅲ）由 a＜ c，及 sinA= ，可得 cosA= = ，
则 sin2A=2sinAcosA=2× × = ，
∴cos2A=2cos2A-1=，
∴sin（2A+ ） =（sin2A+cos2A）=（+）=．
【分析】此题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正
弦公式，属于中档题．
（Ⅰ）依据余弦定理即可求出 C 的大小；
（Ⅱ）依据正弦定理即可求出sinA 的值；
（Ⅲ ）依据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
17.【答案】解：以C为原点，，，的方向为x 轴， y 轴， z轴的正方向成立空间直角坐标系，以下图，
则 C（0， 0， 0）， A（2， 0， 0）， B（ 0， 2， 0）， C1（ 0， 0， 3），
A1（ 2， 0，3）， B1（0， 2， 3）， D（ 2， 0，1）， E（ 0， 0， 2）， M（ 1，1， 3），（Ⅰ）证明：依题意，=（1， 1， 0），=（ 2， -2， -2），
∴? =2-2+0=0 ，∴C1M⊥B1D ；
（Ⅱ）依题意，=（ 2，0， 0）是平面BB1E 的一个法向量，
=（ 0， 2， 1），=（ 2， 0， -1），
设 =（ x，y， z）为平面 DB 1E 的法向量，
则，即，不如设x=1，则 =（ 1， -1，2），
∴cos＜，＞==，
∴sin＜，＞==，
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∴二面角 B-B1E-D 的正弦值；
（Ⅲ）依题意，=（ -2，2， 0），
由（Ⅱ）知，=（ 1， -1， 2）为平面DB1E 的一个法向量，
∴cos＜，＞ = =- ，
∴直线 AB 与平面 DB 1E 所成角的正弦值为．
【分析】（Ⅰ ）成立空间坐标系，依据向量的数目积等于0，即可证明；
（Ⅱ）先平面 DB 1E 的法向量，再依据向量的夹角公式，求出二面角 B-B1 E-D 的正弦值；（Ⅱ）求出 cos＜，＞值，即可求出直线AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值．
此题考察了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考察了运算求解能力，转变与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．
18.
b=3，记半焦距为c，由 |OF |=|OA|可得 c=b=3，【答案】解：（Ⅰ ）由已知可得
由 a2=b2+c2，可得 a2=18，
∴椭圆的方程为+ =1，
（Ⅱ）：∵直线 AB 与 C 为圆心的圆相切于点P，
∴AB⊥CP，
依据题意可得直线AB 和直线 CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为 y=kx-3，
由方程组，消去 y 可得（ 2k2+1） x2-12kx=0，解得 x=0，或 x= ，
依题意可得点 B 的坐标为（，），
∵P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为（ 0， -3），
∴点 P 的坐标为（，），
由 3 = ，可得点C 的坐标为（ 1， 0），
故直线 CP 的斜率为= ，
∵AB⊥CP，
k =-1
∴ ?
，
整理可得2k2-3k+1=0 ，
解得 k= 或 k=1，
∴直线 AB 的方程为y= x-3 或 y=x-3．
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【分析】 （ Ⅰ ）依据可得 c=b=3，由 a 2=b 2+c 2，可得 a 2
=18，即可求出椭圆方程；
（ Ⅱ ）依据题意可得直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在， 设直线 AB 的方程为 y=kx-3，联
立方程组， 求出点 B 的坐标， 再依据中点坐标公式可得点 P 的坐标， 依据向量的知识求
出点 C 的坐标，即可求出 CP 的斜率，依据直线垂直即可求出
k 的值，可得直线 AB 的
方程．
此题中考察了椭圆与圆的标准方程及其性质、
直线与圆相切问题、 中点坐标公式等基础
知识与基本技术方法，考察了推理能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】 解：（ Ⅰ ）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，
由 a 1=1， a 5=5（a 4- a 3 ），则 1+4d=5d ，可得 d=1， ∴a n =1+ n-1= n ，
∵b 1=1， b 5=4 （ b 4-b 3），
q 4 3 2
），
∴ =4（ q -q
解得 q=2， b n n -1； ∴ =2
证明（ Ⅱ）由（ Ⅰ ）可得 S n =
，
n n
= n （ n+1）（
n
2
2
（ n+2） 2，
∴SS +2 n+2）（ n+3），（ S +1 ） = （ n+1） ∴S n S n+2-S n+12=- （ n+1 ）（ n+2）＜ 0 ，
n n+2
n +1
2
（ n ∈N* ）；
∴S S ＜ S
解：（ Ⅲ），当 n 为奇数时， c n = = =- ，
当 n 为偶数时， c n = = ，
对随意的正整数
n ，有
c 2k-1
（ -） =
-1，
=
和 c 2k =
= + + + + ，①，
由① ×可得 c 2k = + + +
+，②，
① -②得
c 2k = + + + + - --
，
∴
c 2k = -，
所以 c 2k = c 2k-1 +
c 2k = -
- ．
数列 { c n } 的前 2n 项和
-
- ．
【分析】 （ Ⅰ ）分别依据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； （ Ⅱ ）依据等差数列的乞降公式和作差法即可比较大小，则课证明； （ Ⅲ ）分类议论，再依据错位相减法即可求出前
2n 项和．
此题考察了等差数列等比数列的通项公式和乞降公式， 考察了不等式的大小比较， 考察
了数列乞降的方法，考察了运算求解能力，转变与化归能力，分类与整合能力，属于难
题．
20.【答案】 解：（ ）（ i ）当
k=6 时， （ ）
，
I f x
=x 3+6ln x
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f x
）=3x2
故′（+ ，
∴f′（ 1） =9 ，
∵f（1 ） =1，
∴曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1））处的切线方程为y-1=9（ x-1），即 9x-y-8=0 ．
（ii ） g（x） =f（ x） -f′（ x） + =x3+6ln x-3x2+ ， x＞ 0，
gx =3x2
-6x+ - = ，
∴′（）
令 g′（ x） =0 ，解得 x=1，
当 0＜ x＜ 1， g′（ x）＜ 0，
当 x＞ 1， g′（ x）＞ 0，
∴函数 g（ x）在（ 0，1）上单一递减，在（1， +∞）上单一递加，
x=1 是极小值点，极小值为g（1） =1，无极大值
证明：（Ⅱ）由 f（ x）=x3+klnx，则 f ′（ x） =3x2+ ，
对随意的 x1， x2 ∈[1， +∞），且 x1＞ x2，令=t， t＞ 1，
则（x1-x2）[f′（ x1）+f′（ x2）]-2[ （f x1）+f（ x2）]=（ x1-x2）（ 3x12+ +3x22+ ）-2（ x13 -x23+kln ），=x 3 3 2 2 +k（- ）-2kln ，
1 2 1 2 1 2
=x23（ t3-3t2 +3t-1） +k（ t- -2ln t），①
令 h（ x）=x- -2ln x， x＞ 1，
当 x＞ 1 时， h′（ x） =1+ - =（ 1- ）2＞ 0，
∴h（ x）在（ 1， +∞）单一递加，
∴当 t＞ 1， h（ t）＞ h（ 1） =0 ，即 t- -2ln t＞ 0，
∵x2≥1， t3-3t2+3t-1= （ t-1）3＞0， k≥-3，
23（t32
32 3 2
x
-3t +3t-1 ） +k（ t- -2ln t）＞ t -3t +3t-1-3（ t - -2ln t ）=t -3t +6ln t+ -1，②，
∴
由（Ⅰ）（ ii ）可知当t≥1时， g（ t）＞ g（ 1）
即 t3 -3t2+6ln t+ ＞ 1，③，
由①②③可得（x1-x2） [f′（ x1） +f′（ x2） ]-2[ f（ x1） +f（ x2） ] ＞ 0，
∴当 k≥-3 时，对随意的x1， x2∈[1，+∞），且 x1＞ x2，有＞．
【分析】（Ⅰ）（ i ）依据导数的几何意义即可求出切线方程；
（ii ）依据导数和函数单一性极值的关系，即可求出；
（Ⅱ）要证不等式成立，只需证明（ x1-x2）[f′（ x1）+f ′（ x2）]-2[ f（ x1）+f（ x2）] ＞0，依据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．
此题是利用导数研究函数的单一性、求函数的极值的基此题型，不等式的证明，属于难
题．
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