福建省泉州市永春第二中学达标名校2024届中考数学最后一模试卷含解析

福建省泉州市永春第二中学达标名校2024届中考数学最后一模试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知一元二次方程1–（x –3）（x+2）=0，有两个实数根x 1和x 2（x 1<x 2），则下列判断正确的是( )
A ．–2<x 1<x 2<3
B ．x 1<–2<3<x 2
C ．–2<x 1<3<x 2
D ．x 1<–2<x 2<3
2．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB 的中线，点B 、
C 在反比例函数y=2x （x ＞0）的图象上，则△OAB 的面积等于（ ）
A ．2
B ．3
C ． 4
D ．6
3．某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件x 个，依题意列方程为（ ）
A ．21021051.5x x
-= B ．21021051.5x x -=- C ．21021051.5x x -=+ D ．2102101.55x =+ 4．已知等腰三角形的周长是10，底边长y 是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象
是( )
A ．
B ．
C ． D
5．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）
A ．2CD AC =
B ．3CD A
C = C ．4C
D AC = D ．不能确定
6．下列运算错误的是（ ）
A ．（m 2）3=m 6
B ．a 10÷
a 9=a C ．x 3•x 5=x 8 D ．a 4+a 3=a 7 7．如图，一个斜边长为10cm 的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm 的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ）
A ．60cm 2
B ．50cm 2
C ．40cm 2
D ．30cm 2
8．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）
A ．53
B ．35
C ．222
D ．23
9．下列各式正确的是（ ）
A ．﹣（﹣2018）=2018
B ．|﹣2018|=±2018
C ．20180=0
D ．2018﹣1=﹣2018
10．如图，将Rt ∆ABC 绕直角项点C 顺时针旋转90°，得到∆A' B'C ，连接AA'，若∠1=20°，则∠B 的度数是( )
A ．70°
B ．65°
C ．60°
D ．55°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．在△ABC 中，点D 在边BC 上，BD=2CD ，AB a =，AC b =，那么AD = ．
12．如图，无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为1003米，点A 、D 、B 在同一水平直线上，则A 、B 两点间的距离是_____米．（结果保留根号）
13．如图，线段AC=n+1（其中n 为正整数），点B 在线段AC 上，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，连接AM 、ME 、EA 得到△AME ．当AB=1时，△AME 的面积记为S 1；当AB=2时，△AME 的面积记为S 2；当AB=3时，△AME 的面积记为S 3；…；当AB=n 时，△AME 的面积记为S n ．当n≥2时，S n ﹣S n ﹣1= ▲ ．
14．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，已知点E 、点F 分别为ABD ∆和ADC ∆的重心，如果12BC =，那么两个三角形重心之间的距离EF 的长等于________．
15．如图，ABCD 是菱形，AC 是对角线，点E 是AB 的中点，过点E 作对角线AC 的垂线，垂足是点M ，交AD 边于点F ，连结DM ．若∠BAD=120°，AE=2，则DM=__．
16．计算2×
32结果等于_____． 三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ＝DE ，BE ＝CF ，∠B ＝∠DEF ，求证：AC ＝DF ．
18．（8分）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制
了如图统计图：
根据统计图所提供的倍息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中的学生人数是多少人；
（2 ）补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数；
（4）现有爱好舞蹈的两名男生两名女生想参加舞蹈社，但只能选两名学生，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选到一男一女的概率．
19．（8分）如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC=50°，OD 平分∠AOC ，∠DOE=90°．写出图中小于平角的角．求出∠BOD 的度数．小明发现OE 平分∠BOC ，请你通过计算说明道理．
20．（8分）已知关于x 的方程220x ax a ++-=.
（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
21．（8分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x 2+x-2)=0，解方程x=0和x 2+x-2=0，可得方程x 3+x 2-2x=0的解．问题：方程x 3+x 2-2x=0的解是x 1=0,x 2= ，
x 3= ；
拓展：用“转化”思想求方程23x x +=的解；应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m ，宽AB=3m ，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿BA ，AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ．求AP 的长．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，连结AE 、BD 且AE=AB ．
求证：∠ABE=∠EAD ；若∠AEB=2∠ADB ，求证：四边形ABCD 是菱形．
23．（12分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ．试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE=33，DF=3，求图中阴影部分的面积．
24．对于方程＝1，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得3x ﹣2（x ﹣1）＝1 ①
去括号，得3x ﹣2x ﹣2＝1 ②
合并同类项，得x ﹣2＝1 ③
解得x ＝3 ④
∴原方程的解为x ＝3 ⑤上述解答过程中的错误步骤有 （填序号）；请写出正确的解答过程．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、B
【解题分析】
设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）根据二次函数的图像性质可知y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1个单位长度，根据图像的开口方向即可得出答案.
【题目详解】
设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）
∵y=0时，x=-2或x=3，
∴y=-（x﹣3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），
∵1﹣（x﹣3）（x+2）=0，
∴y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，
∵-1<0，
∴两个抛物线的开口向下，
∴x1＜﹣2＜3＜x2，
故选B.
【题目点拨】
本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.
2、B
【解题分析】
作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∴BD∥CE，
∴CE AE AC BD AD AB
==，
∵OC是△OAB的中线，
∴
1
2 CE AE AC
BD AD AB
===，
设CE=x，则BD=2x，
∴C的横坐标为2
x
，B的横坐标为
1
x
，
∴OD=1
x
，OE=
2
x
，
∴DE=OE-OD=2
x
﹣
1
x
=
1
x
，
∴AE=DE=1
x
，
∴OA=OE+AE=213
x x x +=，
∴S△OAB=1
2
OA•BD=
1
2
×
3
2x
x
⨯=1．
故选B.
点睛：本题是反比例函数与几何的综合题，熟知反比例函数的图象上点的特征和相似三角形的判定和性质是解题的关键.
3、A
【解题分析】
设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可．
【题目详解】
设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意得，210210
5
1.5
x x
-=
故选：A．
【题目点拨】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
4、D
【解题分析】
先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后选择即可．
【题目详解】
由题意得，2x+y=10，
所以，y=-2x+10，
由三角形的三边关系得，()2210210x x x x x -+--+⎧⎨⎩
＞①＜②， 解不等式①得，x ＞2.5，
解不等式②的，x ＜5，
所以，不等式组的解集是2.5＜x ＜5，
正确反映y 与x 之间函数关系的图象是D 选项图象．
故选：D ．
5、B
【解题分析】
由AB=CD ，可得AC=BD ，又BC=2AC ，所以BC=2BD ，所以CD=3AC.
【题目详解】
∵AB=CD ，
∴AC+BC=BC+BD ，
即AC=BD ，
又∵BC=2AC ，
∴BC=2BD ，
∴CD=3BD=3AC.
故选B ．
【题目点拨】
本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
6、D
【解题分析】
【分析】利用合并同类项法则，单项式乘以单项式法则，同底数幂的乘法、除法的运算法则逐项进行计算即可得.
【题目详解】A 、（m 2）3=m 6，正确；
B 、a 10÷a 9=a ，正确；
C 、x 3•x 5=x 8，正确；
D 、a 4+a 3=a 4+a 3，错误，
故选D ．
【题目点拨】本题考查了合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂的乘除法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
7、D
【解题分析】
标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED，然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边
成比例求出
5
3
DE
BF
=，即
5
3
EF
BF
=，设BF=3a，表示出EF=5a，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的
值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．【题目详解】
解:如图，∵正方形的边DE∥CF，
∴∠B=∠AED，
∵∠ADE=∠EFB=90°，
∴△ADE∽△EFB，
∴
105
63 DE AE
BF BE
===，
∴
5
3 EF
BF
=，
设BF=3a，则EF=5a，∴BC=3a+5a=8a，
AC=8a×5
3
=
40
3
a，
在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，
即（40
3
a）1+（8a）1=（10+6）1，
解得a1=18 17
，
红、蓝两张纸片的面积之和=1
2
×
40
3
a×8a-（5a）1，
=160
3
a1-15a1，
=85
3
a1，
=85
3
×
18
17
，
=30cm1．
故选D．
【题目点拨】
本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键.
8、B
【解题分析】
先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，再根据勾股定理即可求解．
【题目详解】
∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，
∴DF=FA=2-x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+CD2=DF2，
即x2+1=（2-x）2，
解得：x=3
4
，
∴sin∠BED=sin∠CDF=
3
5 CF
DF
．
故选B．
【题目点拨】
本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
9、A
【解题分析】
根据去括号法则、绝对值的性质、零指数幂的计算法则及负整数指数幂的计算法则依次计算各项即可解答．
【题目详解】
选项A，﹣（﹣2018）=2018，故选项A正确；
选项B，|﹣2018|=2018，故选项B错误；
选项C，20180=1，故选项C错误；
选项D，2018﹣1=
1
2018
，故选项D错误．
故选A．
【题目点拨】
本题去括号法则、绝对值的性质、零指数幂的计算法则及负整数指数幂的计算法则，熟知去括号法则、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则是解决问题的关键.
10、B
【解题分析】
根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．
【题目详解】
∵将Rt∆ABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到∆A' B'C，
∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，
∴∠AA′C=45°，
∵∠1=20°，
∴∠B′A′C=45°-20°=25°，
∴∠A′B′C=90°-25°=65°，
∴∠B=65°．
故选B．
【题目点拨】
本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、12 33 a b
+
【解题分析】
首先利用平行四边形法则，求得BC的值，再由BD=2CD，求得BD的值，即可求得AD的值．【题目详解】
∵AB a
=，AC b
=，
∴BC=AC-AB=b-a，
∵BD=2CD，
∴BD=2
3
BC=
2
()
3
b a
-，
∴AD=AB+BD=
2
()
3
a b a
+-=
12
33
a b
+．
故答案为12
33
a b
+．
12、100（3
【解题分析】
分析：如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD 中利用等腰直角三角形的性质得3AD+BD即可．
详解：如图，
∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在Rt△ACD中，∵tanA=CD AD
，
∴1003
，
在Rt△BCD中，3
∴3（3）．
答：A、B两点间的距离为100（3
故答案为100（3．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
13、2n1 2
-
【解题分析】连接BE，
∵在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，
∴BE ∥AM ．∴△AME 与△AMB 同底等高．
∴△AME 的面积=△AMB 的面积．
∴当AB=n 时，△AME 的面积为2n 1S n 2=
，当AB=n －1时，△AME 的面积为()2n 1S n 12
=-． ∴当n≥2时，()()()22n n 11112n 1S S n n 1=n+n 1n n+1=2222---=---- 14、4
【解题分析】
连接AE 并延长交BD 于G ，连接AF 并延长交CD 于H ，根据三角形的重心的概念可得12DG BD =，12DH CD =，2AE GE =，2AF HF =，即可求出GH 的长，根据对应边成比例，夹角相等可得EAF GAH ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得答案．
【题目详解】
如图，连接AE 并延长交BD 于G ，连接AF 并延长交CD 于H ，
∵点E 、F 分别是ABD ∆和ACD ∆的重心， ∴12DG BD =，12
DH CD =，2AE GE =，2AF HF =， ∵12BC =， ∴111()126222GH DG DH BD CD BC =+=
+==⨯=， ∵2AE GE =，2AF HF =， ∴23
AE AF AG AH ==， ∵EAF GAH ∠=∠，
∴EAF GAH ∆∆∽， ∴23
EF AE GH AG ==， ∴4EF =，
故答案为：4
【题目点拨】
本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．
15、13．
【解题分析】
作辅助线，构建直角△DMN，先根据菱形的性质得：∠DAC=60°，AE=AF=2，也知菱形的边长为4，利用勾股定理求MN和DN的长，从而计算DM的长．
【题目详解】
解：过M作MN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴
11
12060
22
DAC BAC BAD
∠=∠=∠=⨯︒=︒，
∵EF⊥AC，
∴AE=AF=2，∠AFM=30°，∴AM=1，
Rt△AMN中，∠AMN=30°，
∴
13
22 AN MN
==
，，
∵AD=AB=2AE=4，
∴
17
4
22 DN=-=，
由勾股定理得：
2
2
22
73
13.
22
DM DN MN
⎛⎫
⎛⎫
=+=+=
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
故答案为13.【题目点拨】
本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及直角三角形30度角的性质，熟练掌握直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半．
16、1
【解题分析】
根据二次根式的乘法法则进行计算即可.
【题目详解】
2
3236
=⨯=⨯=．
故答案为：1．
【题目点拨】
考查二次根式的乘法，掌握二次根式乘法的运算法则是解题的关键.
三、解答题（共8题，共72分）
17、见解析
【解题分析】
由BE＝CF可得BC＝EF，即可判定()
ABC DEF SAS
∆∆
≌，再利用全等三角形的性质证明即可．
【题目详解】
∵BE＝CF，
∴BE EC EC CF
++
＝，
即BC＝EF，
又∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，
∴在ABC
∆与DEF
∆中，
AB DE
B DEF
BC EF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴()
ABC DEF SAS
∆∆
≌，
∴AC＝DF．
【题目点拨】
本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键.
18、（1）本次抽样调查中的学生人数为100人；（2）补全条形统计图见解析；（3）估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为800人；（4）
2
3
.
【解题分析】
（1）用选“阅读”的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）先计算出选“舞蹈”的人数，再计算出选“打球”的人数，然后补全条形统计图；
（3）用2000乘以样本中选“打球”的人数所占的百分比可估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】
（1）30÷30%=100，
所以本次抽样调查中的学生人数为100人；
（2）选”舞蹈”的人数为100×10%=10（人），
选“打球”的人数为100﹣30﹣10﹣20=40（人），
补全条形统计图为：
（3）2000×40
100
=800，
所以估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为800人；（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选到一男一女的结果数为8，
所以选到一男一女的概率=
82 123
．
【题目点拨】
本题考查了条形统计图与扇形统计图，列表法与树状图法求概率，读懂统计图，从中找到有用的信息是解题的关键.本题中还用到了知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19、（1）答案见解析（2）155°（3）答案见解析
【解题分析】
（1）根据角的定义即可解决；（2）根据∠BOD=∠DOC+∠BOC，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC
和∠BOC 即可；（3）根据∠COE=∠DOE ﹣∠DOC 和∠BOE=∠BOD ﹣∠DOE 分别求得∠COE 与∠BOE 的度数即可说明．
【题目详解】
（1）图中小于平角的角∠AOD ，∠AOC ，∠AOE ，∠DOC ，∠DOE ，∠DOB ，∠COE ，∠COB ，∠EOB ． （2）因为∠AOC=50°，OD 平分∠AOC ，
所以∠DOC=25°，∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°，
所以∠BOD=∠DOC+∠BOC=155°．
（3）因为∠DOE=90°，∠DOC=25°，
所以∠COE=∠DOE ﹣∠DOC=90°﹣25°=65°．
又因为∠BOE=∠BOD ﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，
所以∠COE=∠BOE ，所以OE 平分∠BOC ．
【题目点拨】
本题考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．
20、（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解题分析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.
（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.
试题解析：（1）设方程的另一根为x 1，
∵该方程的一个根为1，∴1111{211
a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，
∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.
21、 (1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【解题分析】
（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP 的长为xm ，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【题目详解】
解：（1）3220x x x +-=，
()
220x x x +-=， ()()210x x x +-=
所以0x =或20x +=或10x -=
10x ∴=，22x =-，31x =；
故答案为2-，1；
（2x =，
方程的两边平方，得223x x +=
即2230x x --=
()()310x x -+=
30x ∴-=或10x +=
13x ∴=，21x =-，
当1x =-11==≠-，
所以1-不是原方程的解．
x =的解是3x =；
（3）因为四边形ABCD 是矩形，
所以90A D ∠=∠=︒，3AB CD m ==
设AP xm =，则()8PD x m =-
因为10BP CP +=，
BP =
CP =
∴ 10=
∴ 10=
两边平方，得()22891009x x -+=-+
整理，得49x =+
两边平方并整理，得28160x x -+=
即()2
40x -=
所以4x =．
经检验，4x =是方程的解．
答：AP 的长为4m ．
【题目点拨】
考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解题分析】
（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD ∥BC ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD ，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB ，即可得证．
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBE ，然后求出∠ABD=∠ADB ，再根据等角对等边求出AB=AD ，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【题目详解】
证明：（1）∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴∠AEB=∠EAD ．
∵AE=AB ，
∴∠ABE=∠AEB ．
∴∠ABE=∠EAD ．
（2）∵AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠DBE ．
∵∠ABE=∠AEB ，∠AEB=2∠ADB ，
∴∠ABE=2∠ADB ．
∴∠ABD=∠ABE－∠DBE=2∠ADB－∠ADB=∠ADB．∴AB=AD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
23、（1）DE与⊙O相切，理由见解析；（2）阴影部分的面积为2π﹣33
2
．
【解题分析】
（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
【题目详解】
（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵3，
∴22
3+33
（）=6，
∵sin ∠DBF=31=62
， ∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°=32
DF DO DO ==，
∴
则，
1322π-=． 【题目点拨】
此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO 的长是解题关键．
24、（1）错误步骤在第①②步．（2）x ＝4.
【解题分析】
（1）第①步在去分母的时候，两边同乘以6，但是方程右边没有乘，另外在去括号时没有注意到符号的变化，所以出现错误；
（2）注重改正错误，按以上步骤进行即可．
【题目详解】
解：（1）方程两边同乘6，得3x ﹣2（x ﹣1）＝6 ①
去括号，得3x ﹣2x +2＝6 ②
∴错误步骤在第①②步．
（2）方程两边同乘6，得3x ﹣2（x ﹣1）＝6
去括号，得3x ﹣2x +2＝6
合并同类项，得x +2＝6
解得x ＝4
∴原方程的解为x ＝4
【题目点拨】
本题考查的解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，符号也经常是出现错误的原因．。