高数练习题湖北专升本

高数练习题湖北专升本
### 高数练习题：湖北专升本
#### 一、选择题
1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 1 \)的导数是：
- A. \( 2x - 4 \)
- B. \( 2x - 2 \)
- C. \( 2x + 4 \)
- D. \( 2x + 2 \)
2. 根据泰勒公式，函数\( e^x \)在\( x = 0 \)处的展开式为：
- A. \( 1 + x \)
- B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)
- C. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \)
- D. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} +
\frac{x^4}{24} \)
3. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2x \)在点\( (1, 0) \)处的切线斜率是：
- A. \( 0 \)
- B. \( -1 \)
- C. \( 1 \)
- D. \( 2 \)
#### 二、填空题
4. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是 __________。

5. 函数\( f(x) = \ln(x) \)的定义域是 __________。

6. 若\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值为 \( \frac{1}{3} \)，则
\( \int_{0}^{1} x dx \)的值为 __________。

#### 三、解答题
7. 求函数\( f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 \)的极值点。

8. 证明：函数\( g(x) = x^3 \)在实数域上是单调递增的。

9. 求曲线\( y = x^2 \)与直线\( y = 4x \)在第一象限的交点坐标。

#### 四、证明题
10. 证明：\( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{e^n} = 0 \)。

#### 五、应用题
11. 某工厂生产一种产品，其成本函数为\( C(x) = 100 + 20x \)，
销售价格为\( P(x) = 120 - 2x \)，求该产品的最大利润，并确定此
时的产量。

答案提示：
- 对于选择题，可以通过求导、泰勒公式、几何意义等方法来求解。

- 填空题需要掌握极限的性质、函数的定义域、积分的基本公式等基
础知识。

- 解答题需要运用求导、极值判断、积分等方法。

- 证明题需要掌握极限的性质、函数的单调性证明等。

- 应用题需要将实际问题转化为数学问题，运用微积分知识求解。

请同学们认真思考，仔细解答，以提高数学能力。