高中数学 必修三 2.3.1-2.3.2变量间的相关关系练习 新人教A版必修3

高中数学 2.3.1-2.3.2变量间的相关关系练习
基础巩固
一、选择题
1．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y ^
＝bx ＋a ，那么下面说法不正确的是( )
A ．直线y ^＝bx ＋a 必经过点(x －，y －
)
B ．直线y ^
＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点
C ．直线y ^
＝bx ＋a 的斜率为
∑i ＝1
n
x i y i －n x － y
－
∑i ＝1
n
x 2
i －n x －
2
D ．直线y ^＝bx ＋a 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑i ＝1
n
[y i －(bx i ＋a )]2
是
该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．
[答案] B
[解析] 由a ＝y －b x 知y ^
＝y －b x ＋bx ，∴必定过(x ，y )点． 2．下列说法正确的是( )
A ．对于相关系数r 来说，|r |≤1，|r |越接近0，相关程度越大；|r |越接近1，相关程度越小
B ．对于相关系数r 来说，|r |≥1，|r |越接近1，相关程度越大；|r |越大，相关程度越小
C ．对于相关系数r 来说，|r |≤1，|r |越接近1，相关程度越大；|r |越接近0，相关程度越小
D ．对于相关系数r 来说，|r |≥1，|r |越接近1，相关程度越小；|r |越大，相关程度越大
[答案] C
3．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( )
A ．点从左下角到右上角区域散布
B ．点散布在某带形区域内
C ．点散布在某圆形区域内
D ．点从左上角到右下角区域散布
[答案] D
4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数x ＝2.5，y ＝3.5，则由观测的数据得线性回归方程可能为( )
A.y ^＝0.4x ＋2.3
B.y ^＝2x －2.4
C.y ^＝－2x ＋9.5
D.y ^
＝－0.3x ＋4.4
[答案] A
[解析] ∵y ^＝b ^x ＋a ^
，正相关则b ＞0，∴排除C ，D.∵过中点心(x ，y )＝(3,3.5)，∴选A.
5．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它的原料有效成分含量x 之间的相关关素，
现取了8对观测值，计算得：∑i ＝1
8
x i ＝52，∑i ＝1
8
y i ＝228，∑i ＝1
8
x 2
i ＝478，∑i ＝1
8
x i y i ＝1849，则y 对x 的
回归直线的方程是( ) A.y ^
＝11.47＋2.62x B.y ^
＝－11.47＋2.62x C.y ^
＝2.62＋11.47x
D.y ^
＝11.47－2.62x
[答案] A
6．为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1、l 2，已知两人所得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别是s 和t ，那么下列说法中正确的是( )
A ．直线l 1、l 2一定有公共点(s ，t )
B ．直线l 1、l 2相交，但交点不一定是(s ，t )
C ．必有直线l 1∥l 2
D ．l 1、l 2必定重合 [答案] A
[解析] 线性回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，而a ^＝y －b ^
x ，即a ＝t －bs ，t ＝bs ＋a ，所以(s ，t )在回归直线上，直线l 1、l 2一定有公共点(s ，t )． 二、填空题
7．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^
＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
[答案] 0.254
[解析] 由于y ^
＝0.254x ＋0.321知，当x 增加1万元时，年饮食支出y 增加0.254万
元．
8．某单位为了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为________度．
[答案] 68 [解析] x ＝18＋13＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋64
4
＝40，因为回归方程一定过点
(x ，y )，
所以y ＝b ^
x ＋a ^，则a ^
＝y －b ^
x ＝40＋2×10＝60. 则y ^＝－2x ＋60，当x ＝－4时，y ^
＝－2×(－4)＋60＝68. 三、解答题
9．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据(单位：百万元)
(1)画出散点图；
(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？
[解析] (1)以x 对应的数据为横坐标，以y 对应的数据为纵坐标，所作的散点图如下图所示：
(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x 与y 成正相关关系．
10．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：
(1)(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
[解析] 先作出散点图，再根据散点图判断y 与x 呈线性相关，从而建立回归直线方程求解．
解：(1)作散点图如图所示．
(2)由散点图可知y 与x 线性相关．故可设回归直线方程为y ^
＝bx ＋a . 依题意，用计算器可算得：
x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝1
4
x 2
i ＝660，∑i ＝1
4
x i y i ＝438.
∴b ＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52
≈0.73，a ＝y －b x ≈8.25－0.73×12.5＝－0.875. ∴所求回归直线方程为y ^
＝0.73x －0.875. (3)令y ^
＝10，得0.73x －0.875＝10，解得x ≈15. 即机器的运转速度应控制在15转/秒内．
能力提升
一、选择题
1．根据如下样本数据得到的回归方程为y ^
＝bx ＋a ，则( )
A.a ＞0，b [答案] A
[解析] 由于x 增大y 减小知b ＜0，又x ＝
3时y ＞0，∴a ＞0，故选A. 2．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
[答案] B
[探究] 由线性回归方程的图象过样本点的中心，可求得线性回归方程，然后结合该方程对x ＝6时的销售额作出估计．
[解析] 样本点的中心是(3.5,42)，则a ^＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^
＝65.5. 3．已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( ) A.b ^＞b ′，a ^＞a ′ B.b ^＞b ′，a ^＜a ′C.b ^＜b ′，a ^
＞a ′
D.b ^＜b ′，a ^
＜a ′
[答案] C
[探究] 先由已知条件分别求出b ′，a ′的值，再由b ^，a ^的计算公式分别求解b ^，a ^
的值，即可作出比较．
4．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：
由最小二乘法求得回归方程为y ＝0.67x ＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为( )
A ．60
B ．62
C ．68
D ．68.3
[答案] C
[解析] 由题意可得x ＝30， 代入回归方程得y ＝75. 设看不清处的数为a ，
则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68.
[点评] 表中所给的数据只反映x 与y 的线性关系，并非函数关系，因而不能直接代入线性方程求预报值y ^，应根据线性回归方程性质，即线性回归方程经过中心点(x ，y )求解．
二、填空题
5．广东部分地区流行手足口病，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的2010年4月1日到2010年4月12日每天广州手足口病治愈出院者数据，根据这些数据绘制散点图如图.
下列说法：
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数且有一次函数关系；③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%多；④后三天治愈出院的人数均超过这12天内北京市治愈出院人数的20%.
其中正确的个数是________． [答案] 2
6．改革开放30年以来，我国高等教育事业迅速发展，对某省1990～2000年考大学升学百分比按城市、县镇、农村进行统计，将1990～2000年依次编号为0～10，回归分析之后得到每年考入大学的百分比y 与年份x 的关系为：
城市：y ^
＝2.84x ＋9.50； 县镇：y ^
＝2.32x ＋6.67； 农村：y ^
＝0.42x ＋1.80.
根据以上回归直线方程，城市、县镇、农村三个组中，________的大学入学率增长最快．按同样的增长速度，可预测2010年，农村考入大学的百分比为________%.
[答案] 城市 10.2
[探究] 增长速度可根据回归直线的斜率来判断，斜率大的增长速度快，斜率小的增长速度慢．
[解析] 通过题目中所提供的回归方程可判断，城市的大学入学率增长最快；2010年农村考入大学的百分比为0.42×20＋1.80＝10.2.
三、解答题
7．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表
(1)(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b ^
＝
∑i ＝1
n
t i －t
y i －y
∑i ＝1
n
t i －t
2
，a ^＝y －b
^
t .
[解析] (1)由所给数据计算得t ＝1
7
(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
y ＝17
(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
∑i ＝17
(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
∑i ＝1
7
(t i －t
)(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)(－0.7)＋0×0.1＋
1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
b ^
＝
∑i ＝1
n
t i －t
y i －y
∑i ＝1
n
t i －t
2
＝14
28
＝0.5， a ^
＝y －b ^
t ＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为y ^
＝0.5t ＋2.3.
(2)由(1)知，b ＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ^
＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元．
8．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单
位：千元)的数据资料，算得∑i ＝1
10
x i ＝80，∑i ＝1
10
y i ＝20，∑i ＝1
10
x i y i ＝184，∑i ＝1
10
x 2
i ＝720.
(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^
＝
∑i ＝1
n
x i y i －nx －
y
∑i ＝1
n
x 2
i －nx －
2
，a ^＝y －b ^
x ，其中x ，y 为样本
平均值．
[探究] (1)根据线性回归方程求相关的量后，代入公式即可求得回归方程；(2)观察线性回归方程的系数b ^
可判断是正相关还是负相关；(3)将x ＝7代入线性回归方程即可求得预报变量，即该家庭的月储蓄．
[解析] (1)由题意知n ＝10，x ＝1
n ∑i ＝1n
x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝20
10
＝2，
又∑i ＝1
n
x 2
i －nx －2
＝720－10×82
＝80，∑i ＝1
n
x i y i －nx －
y ＝184－10×8×2＝24，
由此得b ^
＝
∑i ＝1
n
x i y i －nx －
y
∑i ＝1
n
x 2
i －nx －
2
＝
2480
＝0.3，a ^＝y －b ^
x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ^
＝0.3x －0.4.
(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ^
＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^
＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。