2020-2021年云南省昆明市官渡区第一中学 学年高二数学上学期期中试题(002)

云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试
题 理
（试卷满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知集合{}
|2,0x M y y x ==>,2
{|lg(2)}N x y x x ==-,则M N ⋂为( ) A. ()1,2
B. ()1,+∞
C. [)2,+∞
D. [)1,+∞
2.已知四边形ABCD 是菱形，若(1,2),(2,)AC BD λ==-，则λ的值是 ( ) A. －4
B. 4
C. －1
D. 1
3.设函数246(0)()6(0)x x x f x x x ⎧-+≥⎪
=⎨+<⎪⎩
则不等式()(1)f x f >的解集是( )
A.(3,1)(3,)-⋃+∞
B.(3,1)(2,)-⋃+∞
C.(1,1)(3,)-⋃+∞
D.(,3)(1,3)-∞-⋃ 4.欧阳修《卖炭翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为1.5cm 圆,中间有边长为0.5cm 的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落
入孔中的概率为( ) A.4
9π
B.
94π
C.
4π9
D.
9π4
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．10 B ．17 C ．5 D ．15
6.设函数()πcos 3f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则下列结论错误的是( )
A. ()f x 的一个周期为2π-
B. ()y f x =的图象关于直线83
x π
=
对称 C. ()+f x π的一个零点为π6x =
D. ()f x 在π,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减
7.已知0,0a b >>，并且111
,,2a b
成等差数列，则4a b +的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．9
8.若,,0,0a b c d c d >>≠≠，则( )
A ．a c b d ->-
B ．
a b c d
> C ．ac bd > D ．3333a d b c ->-
9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米.
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
10. 执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于( ) A. 4122-
B. 5122-
C. 6122-
D. 71
22
- 11.定义在R 上的函数()2
1x m
f x -=-为偶函数，记0.52(lo
g 3),(log 5),(2)a f b f c f m ===，则( )
A. a b c <<
B. a c b <<
C. c a b <<
D. c b a <<
12.已知点()1,0A ,点B 在曲线:ln G y x =上,若线段AB 与曲线
1
:M y x
=
相交且交点恰为线段AB 的中点,则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个“关联点”.那么曲线G 关于曲线M 的“关联点”的个数为( ) A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知向量12 , e e →→是两个不共线的向量，若12=2a e e →→→-与12=b e e λ→→→
+共线，则λ的值为__________
14.已知数列{}n a 满足*12(N )n n a a n +=∈且21a =，则22014log a =___________. 15.已知π1sin()64a -=，则2π
cos(2)3
a +=___________.
16.在正方体1111ABCD A B C D -中(如图),已知点P 在直线1BC 上运动.
则下列四个命题:
①三棱锥1A D PC -的体积不变;
②直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变; ③二面角1P AD C --的大小不变;
④M 是平面1111A B C D 内到点D 和1C 距离相等的点,则M 点的轨迹是直线11A D . 其中正确命题的编号是___________. (写出所有正确命题的编号)
三、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17. （本题满分10分）记等差数列{}n a 的前n 项和n S ，已知43S S =. (1)若24a =，求{}n a 的通项公式;
(2)若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围.
18. （本题满分12分）某校高二(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.
(1)求分数在[)50,60的频率及全班人数;
(2)求分数在[)80,90之间的频数,并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高;
(3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份分数在[)90,100之间的概率
19.（本题满分12分）在平面四边形ABCD 中，=7AC ，2CD AD =，23
ADC π∠=． (1)求CAD ∠的正弦值；
(2)若2BAC CAD ∠=∠，且ABC ∆的面积是ACD ∆面积的4倍，求AB 的的长.
20.（本题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是一直角梯形, 90BAD ︒∠=,//AD BC , 1AB BC ==,2AD =,PA ⊥底面ABCD ,PD 与底面ABCD 成45︒角,
点E 是PD 的中点.
(1)求证: BE PD ⊥;
(2)求二面角P CD A --的余弦值.
21. （本题满分12分）已知函数2
()1ax b
f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)确定函数()f x 的解析式；
(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数； (3)解不等式:()()10f t f t -+<.
22. （本题满分12分）已知圆()22:31C x y +-=与直线:360m x y ++=，动直线l 过定点(1,0)A -.
P
B
A
C
D
E
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索AM AN
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
官渡一中高二年级2019-2020学年上学期期中考试
理 科 数 学 试 卷 参 考 答 案
一、选择题 1.答案：A
解析：{}
1M y y =,{
}
2
20{|02}N x x x x x =-=<<,{|12}M N x x ∴⋂=<<,故选
A. 2.答案：D 3.答案：A 4.答案：A 5.答案：A 6.答案：D 7.答案：D 8.答案：D 9.答案：D
解析：对于选项A ,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40/km h 时的燃油效率大于
5/km L ,
故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米,所以A 错误.
对于选项B ,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少.
C.根据图像可知,甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,行程80千米,此时油耗为10千米每升,所以消耗8升汽油.
D.从图像可以看出速度不超过80千米/小时时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,所以用丙车比用乙车更省油. 10.答案：C 11.答案：C 12.答案：B
解析：设()00,ln B x x ,线段AB 的中点为C ,则001ln ,2
2x x C +⎛⎫
⎪⎝⎭
又点C 在曲线M 上,所以
00ln 221x x =+,即004
ln 1
x x =+ 此方程的解的个数可以看作函数ln y x =与4
1
y x =+的图象的交点个数画出图象, 如图所示,可知函数ln y x =与4
1
y x =
+的图象只有1个交点故选B 。

二、填空题 13.答案：12
-
14.答案：2012 解析：由题意可知
12112,,{}22n n n a a a a a +===∴是以1
2
为首项,2为公比的等比数列,121
222n n n a --∴=⨯=，20142220142log log 22012a -∴==.
15.答案： 7
8
-
解析：∵已知π1
sin()64a -=，则
22ππππ17
cos(
2)cos(2)cos(2)[12sin ()]123336168
αααα+=--=--=---=-+⨯=-， 故答案为：78
-．
16.答案：①③④ 三、解答题
17. （本题满分10分）
(1)因为43S S =,所以410,30a a d =+=,即13a d =-. 又因为24a =,所以124a d d +=-=,解得2d =-, 所以()2228n a a n d n ⋅=+-=-+. (2)因为130a d =->,所以0d <,
所以1(1)(1)
322
n n n n n d a nd d S n --+
-+==， ()()114n a a n d n d =+-=-.
因为,n n S a ≥所以2(3)(4)2n n
n d n d --≥-.
因为0d <,所以2342
n n
n n --≤-,
整理得2980n n -+≤,解得18n ≤≤. 所以n 的取值范围是18,{|}n n n N *≤≤∈.
18. （本题满分12分）
（1）分数在[)50,60的频率为0.008100.08⨯=,由茎叶图知:分数在[)50,60之间的频数为2,所以全班人数为
2
250.08
=. （2）分数在[)80,90之间的频数为25223-=; 频率分布直方图中[)80,90间的矩形的高为
3
100.01225
÷=. （3）将[)80,90之间的3个分数编号为123,,a a a ,[)90,100之间的2个分数编号为12,b b ,在
[)80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：
()()()()()1213111223,,,,,,,,,a a a a a b a b a a ,()()()()()2122313212,,,,,,,,,a b a b a b a b b b 共10个,
其中,至少有一个在[)90,100之间的基本事件有7个,故至少有一份分数在[)90,100之间的概率是710
. 19. （本题满分12分）
解：(1)在ACD ∆中，设()0AD x x => 由余弦定理得2
2
27422cos
3
x x x x π=+-⋅⋅
整理得2
77x =，解得1x = 所以1,2 AD CD == 由正弦定理得
2sin sin 3
DC AC
CAD π=
∠ 解得21sin 7
CAD ∠=
（2）由已知得4=ABC ACD S S ∆∆ 所以
11
sin 4sin 22
AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅⋅∠ 化简得sin 4sin AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠
所以2sin cos 4sin AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠ 于是cos 2AB CAD AD ⋅∠= 因为21sin 7CAD ∠=
，且CAD ∠为锐角，所以27
cos 7
CAD ∠= 代入计算27
217
AB ⋅=⨯ 因此7AB =
20.（本题满分12分） 解法一:(1)证明:连结AE
…………………………6分(2)连结AC,在直角梯形ABCD中,
所以,所求二面角的余弦值为. …………………………12分
解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系,由已知可得:
A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,1,0),
D(0,2,0), P(0,0,2), E(0,1,1),
(2),
, 由 得
令y=1,则n=(1,1,1),
∴所求二面角的余弦值为. …………………………12分
21. （本题满分12分）
（1）由题意,得(0)0
1
2()25
f f =⎧⎪⎨=⎪⎩,
所以1
0a b =⎧⎨=⎩,故2()1x
f x x =+.
（2）任取1211x x -<<<, 则1212121222221212()(1)
()()11(1)(1)x x x
x x x f x f x x x x x ---=-=++++.
因为1211x x -<<<,所以2212120,10,10x x x x -<+>+>. 又1211x x -<<,所以1210x x ->.
所以12()()0f x f x -<,所以()f x 在(1,1)-上是增函数.
（3）(1)()()f t f t f t -<-=-因为()f x 在(1,1)-上是增函数, 所以111t t -<-<-<,所以1
02t <<. 所以不等式的解集为1|02t t ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
22. （本题满分12分）
(1)当直线l 的斜率不存在时，
直线l 的方程为1x =-，此时与圆相切，符合题意； 当直线l 的斜率存在时，
设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，
若直线与圆相切，则圆心(0,3) 到直线的距离等于半径1，
1=，解得4
3k = ，所以直线l 的方程为4
(1)3y x =+，即4340x y -+=.
综上，直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=.
(2)∵CM ⊥MN ，
∴()=+=AM AN AC CM AC AN CM AC A N AN N A ⋅=+⋅⋅⋅⋅ 若直线l 与x 轴垂直时，不符合题意；
所以l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+， 因为直线l 与圆C 相交于P 、Q
4
1,3k <> 则由36
(1)
13360513k x y k x k x y k y k
--⎧=⎪=+⎧⎪+⇒⎨⎨++=-⎩⎪=⎪+⎩，即365(,)1313k k N k k
---++． ∴5
5(,)1313k
AN k k --=++， 从而5
15513=13=AN AN k
AM AC k k --⋅⋅+=-++．
综上所述， AM AN ⋅是为定值，=5A AM N -⋅．
【其他章节练习题】
1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝ ( )
A. －1
B. 0
C. 1
D. 6
【答案】B
【解析】根据题意知a 4＝a 2＋(4－2)d ，即242d =+，解得d ＝－1， ∴()6464220a a d =+-=-=．选B ．
2．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为 （ ）
A ．12-=n a n B. )12()1(--=n a n
n
C ．)21()1(n a n n --= D.)12()1(+-=n a n
n
【答案】C
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13104S =， 65a =，则数列{}n a 的公差为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D.6
【答案】A 【解析】11313771313104,82
a a S a a +=⨯===,故公差76853d a a =-=-=.故选B.
4．函数1
(0)4y x x x =+>取得最小值时， x 的值为（ ）
A. 12-
B. 1
2 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】1
1
0,2144x x x x x >∴+⋅=，
当且仅当1
4x x =时取等号,此时1
2x =，
故选：B.
5．在△ABC 中，，则△ABC 外接圆半径为
A. 1
B.
C.
D. 2
【答案】D
【解析】由正弦定理可得外接圆半径， 故选D ．。