【数学】内蒙古赤峰市宁城县2018届高三5月统一考试数学(文)试题 含答案

宁城县高三年级统一考试（2018.5.20）
数学试题（文科）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 设集合M ＝{x |x 2－3x －4＜0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝
（A ）(0,4] （B ）[0,4) （C ）[－1,0) （D ）(－1,0] 2．若复数z
满足21z =（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则zz =
（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 3. 已知235log log log 0x y z ==<，则
2x 、3y 、5
z
的大小排序为 （A ）
235
x y z
<< （B ）
325y x z << （C ）
523z x y
<< （D ）
532z y x
<< 4．函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图象向右平移π
3
个单位后所得的图像与原来图像重合，则ω最小值为 （A ）
13
（B ）
23
（C ）8
（D ）6
5.若三个点()()()2,1,2,3,2,1---中恰有两个点在双曲线()2
22:10x C y a a
-=>上,则双
曲线错误！未找到引用源。

的渐近线方程为错误！未找到引用源。

（A
）0x = （B
0y ±= （C
）0x = （D
0y ±=
6. 已知实数,x y 满足条件20201x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，且2z x y =+的最小值为
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）7
7.根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是
（A ）2日和5日 （B ）5日和6日 （C ）6日和11日 （D ）2日和11日
8.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于
（A ）
1
2错误！未找到引用源。

（B ）2
3错误！未找到引用源。

（C ）
3
4错误！未找到引用源。

（D ）
13
9.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为 （A ）120 （B ）84 （C ）56 （D ）28
10．椭圆2
214
x y +=的焦点为12,F F ，点M 在椭圆上，且120MF MF ⋅=，则12MF F ∆的内切圆半径为
(A)
(B)
(C)
1 (D) 211．设曲线y ＝x n ＋1
(n ∈N *
)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2017＝
（A ）lg 2018
（B ）lg 2017 （C ）－lg 2018 （D ）－lg 2017
12．已知12,x x 是函数()2sin 2cos 2f x x x m =+-在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内的两个零点,则
12sin()x x +=
（A
）
5 （B
）5 （C
）3
（D
）3 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22～23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．若向量=(6,-8)，a 则与a 垂直的一个单位向量为______． 14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒
与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，
[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分
布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为
1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数
是 .
15. 已知三棱锥S —ABC 的四个顶点在以O 为球心的同一球面上，且∠ACB =90°，
SA=SB=SC=AB ，当球的面积为400π时，O 到平面ABC 的距离是 . 16. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n ＞0， ()2
41n n S a =+，则1223
5051
111a a a a a a +++
的值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，b
c
a B C -=2cos cos . （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）如果2=⋅
，求△ABC 的面积及b 的最小值.
18．（本小题满分12分）
近年来，某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2012年年初至2018年年初，该地区绿化面积y （单位：平方公里）的数据如下表：
（1）求y 关于t 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2022年年初的绿化面积，并计算2017年年初至2022年年初，该地区绿化面积的年平均增长率约为多少．
（附：回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为()()
()
1
2
1
,n
i
i
i n
i i t t y y b a y bt t t ∧
∧∧
==--=
=--∑∑，
lg30.477≈，lg 20.301≈，0.035210 1.084≈）
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，1
12
AD AB AE BC ===
=，且BC ⊥平面ABE ，M 为棱CE 的中点．
(I)求证：DM ∥平面ABE ;
(Ⅱ)当四面体D ABE -的体积最大时，判断直线AE 与直线CD 是否垂直，并说明理由．
20．（本小题满分12分）
已知直线l 与抛物线:C 24x y =相切于点A ，与其准线相交于点P ． （Ⅰ）证明：以PQ 为直径的圆恒过抛物线C 的焦点F ；
（Ⅱ）过P 作抛物线C 的另一条切线m ，切点为B ，求△P AB 面积的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知函数()(ln )x f x e a x =⋅+，其中R a ∈． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线x
y e
=-
垂直，求a 的值； （Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且
0()0f x <．
请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos ,
2sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩(α为参数)，曲线C 2的参
数方程为2cos ,
22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩
(β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；
(2)已知射线l 1：θ＝α(0<α<π2)，将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2：θ＝α－π
6，且射线l 1与
曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP |·|OQ |的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数()222f x x a x a =+-+-．
（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若不等式()2≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围．
宁城县高三年级统一考试（2018.5.20）
文科数学参考答案
一、选择题：BCAD ABCD BDCB
二、填空题：13、（或）；14、54；15、5；16、.
三、解答题：17．解（1）由正弦定理得：
∴
∴，即
∵，∴ ----------------4分
∵，∴ -----------------6分
（2）∵，即，从而-----------8分
----------------10分
∴，即的最小值为2 -----------------12分
18．解（1），………………4分
线性回归方程为………………6分（2）将2022年年号11代入，预测绿化面积为7.8平方公里………………9分
设年平均增长率为x，则，
，
年平均增长率约为8.4%. ………………12分
19. （Ⅰ）证明：取线段的中点，连接.
因为为棱的中点，
所以在中，.
又，,
所以.
所以四边形是平行四边形,
所以. ----------------------4分
又平面,平面,
所以平面. ----------6分
（Ⅱ）设，
则四面体的体积. --------8分当，即时体积最大.
又平面,平面,
所以.
因为,
所以平面.------------------------------10分
因为平面，
所以. .…………………….…12分
20．（Ⅰ）证法1：设A(x1,y1),则直线P A的斜率为
∴直线的方程为
注意到，化简得：--------2分
令，得
∴--------------4分∴以为直径的圆恒过抛物线C的焦点F--------------5分
证法2：过A作y轴的平行线交抛物线的准线于D，
∵直线与抛物线的相切于A，
∴由抛物线的光学性质知∠F AP=∠DAP----------------2分
又AF=AD，AP=AP
∴△F AP≌△DAP---------------------------------------4分
即∠AFP=90°，
∴以为直径的圆恒过抛物线C的焦点F；---------------5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）中结论得，∠BFP=90°，即A、F、B共线，----------6分设直线AB的方程为，代入得
设，则-------------------7分由（Ⅰ）知在中，，因而．
-----------------------8分
因为分别等于到抛物线准线的距离，所以
．----------10分
于是，--------------11分
当时，取得最小值．-------------------------------12分
21．解（Ⅰ）．-------------- 2分
依题意，有，------------------------- 3分
解得．--------------------------------------------------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以 ．------- 6分
因为
，所以
与
同号．
设 ， --------------------- 7分
则 ． 所以 对任意
，有
，故
在
单调递增．------ 8分
因为 ，所以 ，，
故存在
，使得 ． ------------------------------ 10分
与
在区间
上的情况如下：
所以 在区间
上单调递减，在区间
上单调递增． 所以 若
，存在，使得是
的极小值点．-----11分
令 ，得 ，
所以 ．-----------------12分
22．(1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4 ---------------------1分
所以C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ --------------------- 2分 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，--------------------- 3分 所以C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. --------------------- 4分 (2)设点P 的极坐标为(ρ1，α)， --------------------- 5分
即ρ1＝4cos α，点Q 的极坐标为(ρ2，(α－6π))，即ρ2＝4sin(α－6π
)，---------------- 6分 则|OP |·|OQ |＝ρ1ρ2＝4cos α·4sin(α－6π
) ＝16cos α·(23sin α－21cos α)＝8sin(2α－6π)－4.
∵α∈(0，2π)，∴2α－6π∈(－6π，65π) 8分
∴当2α－6π＝2π，即α＝3π时，|OP |·|OQ |取最大值4. --------------------- 10分 （Ⅰ）∵，∴， ……………………………………………1分
① 当时，得，，∴；
…………2分
② 当时，得，，∴；
…………3分 ③ 当时，得，，∴. …………4分 综上所述，实数的取值范围是． ……………………………………5分 （Ⅱ）∵，根据绝对值的几何意义知，当时，
的值最小，……………………………………………………………………7分 ∴，即，……………………………………………………8分 解得或．∴ 实数的取值范围是. …………10分。