第07讲 平行机问题
辽宁地区2020中考物理总复习试题：第七讲_力运动和力_含答案
第七讲力运动和力(分值：82分建议时间：70分钟)基础训练一、选择题(每小题2分，共24分)1．(2017绥化)下列有关力的说法正确的是(A)A．用力捏橡皮泥，橡皮泥发生形变，说明力可以改变物体的形状B．推门时离门轴越近，用力越大，说明力的作用效果只与力的作用点有关C．用手提水桶时，只有手对水桶增加了力，而水桶对手没有力的作用D．放在桌面上的水杯对桌面的压力不是弹力2．(2017福建)大老虎从静止开始加速追赶小羚羊，快追上时，羚羊突然急转弯逃脱了老虎的捕捉，在此过程中下列说法正确的是(C)A．老虎静止时没有惯性B．老虎加速过程惯性增大C．老虎惯性大不易转弯D．老虎惯性小不易转弯3．(2017长沙)班级大扫除时，小天发现许多现象与摩擦有关，其中减少摩擦的措施是(B)A．擦玻璃时把抹布压紧在玻璃上去擦B．书柜下装有滚轮便于移动位置C．黑板刷的刷面使用更粗糙的材料制成D．水桶的手柄上刻有凹凸不平的花纹4．(2017孝感改编)关于“力和运动”，下列说法正确的是(A)A．做曲线运动的物体一定受到非平衡力的作用B．竖直下落的铁球，越来越快，铁球的惯性越来越大C．鸡蛋碰石头，鸡蛋碎了，说明鸡蛋受到的力大于石头受到的力D．地球上的物体，因受到重力作用，不可能做竖直向上运动5．(2017德阳)如图所示，叠放在一起的A、B、C三个石块处于静止状态，下列说法正确的是(B) A．B石块受到A石块的重力和压力的作用B．B石块受到三个力的作用C．C石块对B石块的支持力和A石块对B石块的压力是一对平衡力D．A、B、C三个石块所受合力不为零第5题图第6题图6．(2017辽阳模拟)如图所示，体操运动员静止在平衡木上时，与运动员所受重力是一对平衡力的是(A) A．平衡木对运动员的支持力B．运动员对平衡木的压力C．平衡木受到的重力D．运动员对地球的吸引力7．(2017丽水)指尖陀螺是目前很流行的一种玩具，该玩具中间是轴承，轴承内有滚珠，边上有三个用密度较大的金属制作的飞叶，拨动飞叶后，飞叶可以绕轴承在指尖上长时间转动(如图)．下列分析错误．．的是(D)A．飞叶转速变慢，惯性不变B．轴承内有滚珠，利于减小摩擦C．飞叶被拨动后旋转是因为力能改变物体的运动状态D．陀螺对指尖的压力和指尖对陀螺的支持力是一对平衡力第7题图第8题图8．(2017雅安)如图所示，在光滑．．水平台面上，一轻质弹簧左端固定，右端连接一金属小球，弹簧在自然长度时，小球位于O点；当通过小球压缩弹簧到A位置时，释放小球；然后小球从A点开始向右运动，已知AO＝BO，则(A)A. 小球从A运动到O的过程中，所受弹力方向向右，速度不断增大B．小球从O运动到B的过程中，所受弹力方向向右，速度不断减小C．小球运动到O点时，因弹簧恢复了原长，小球停止运动并保持静止D．小球运动到B点时，所受弹力方向向左，小球停止运动并保持静止9．(2017河南)图为一种爬杆机器人，仅凭电池提供的能量，就能像人一样沿杆竖直向上匀速爬行．机器人在此过程中(C)A．所受摩擦力方向竖直向下B．对杆的握力增大时，所受摩擦力增大C．匀速爬行速度增大时，所受摩擦力不变D．动能全部转化为重力势能(导学号59824120)第9题图第10题图10．(2017内江)如图所示，长方体木块M放在水平桌面上，木块m放在木块M上面，在水平拉力F的作用一起向右做匀速直线运动，在突然撤去水平拉力F的情况下，下列判断正确的是(C) A．木块m将向左倾倒B．木块m受到方向向右的摩擦力C．木块m对木块M的摩擦力方向向右D．木块M受到的重力和地面对它的支持力是一对平衡力11．(2017本溪模拟)如图所示，在小桶内装入适量的沙子后，滑块在水平拉力的作用下，恰好在水平桌面上向右做匀速直线运动．已知滑块质量为M，小桶和沙子的总质量为m.不计滑轮摩擦及绳子自重，则下列说法中正确的是(D)A．滑块对桌面的摩擦力方向为水平向左B．滑块受到的摩擦力大小为MgC．细绳对滑块的拉力大小为(M－m)gD．细绳对滑块的拉力大小为mg12．(2017泸州)如图甲是消防队员小王进行爬杆训练的示意图，在某次爬杆训练中，小王沿杆竖直向上运动的v(速度)－t(时间)图像如图乙所示，下列判断正确的是(B)A．0至6 s时间内，小王沿杆匀速向上运动B．6 s至15 s时间内，小王沿杆上爬的距离是5.4 mC．0至18 s时间内，小王受到的摩擦力方向向下D．15 s至18 s时间内，小王受到的摩擦力大小等于重力大小二、填空题(每空1分，共12分)13．(2017青海)篮球是人们喜爱的运动项目之一．我们在投篮时，投出去的篮球撞到篮板会反弹回来，这是因为物体间_力的作用是相互的_，同时这也可以说明力可以改变物体的_运动方向_．14．(2017云南)如图所示是滑冰运动员在训练中通过弯道时的情景，这一过程中她们的运动状态_改变_(选填“改变”或“不变”)；运动员穿的速滑冰鞋的冰刀表面要光滑、平整是为了_减小摩擦_．第14题图第15题图15．(2017 宁夏)如图所示，跳水运动员站在跳板上静止时，她受到的重力和支持力是一对_平衡力_，运动员将跳板压弯，说明力可以改变物体的_形状_．16．(2017杭州)小金对太空中的星球比较感兴趣，他从网上查得：甲、乙两个星球表面上物体的重力(G )与其质量(m )的关系如图．从图中信息可知，相同质量的物体在甲星球表面上的重力_大于_其在乙星球表面上的重力(选填“大于”“等于”或“小于”)；据图可得甲星球对表面上物体的重力G 与其质量m 的关系式是_Gg＝15_N/kg_．17．(2017安顺改编)一个箱子重为100 N ，放在水平面上，受6 N 的水平推力，箱子未动，这时箱子受到的摩擦力_等于_(选填“大于”“等于”或“小于”)6 N，当水平推力增大到10 N 时，箱子恰好做匀速直线运动．当水平推力增大到20 N 时，箱子受到的摩擦力为_10_N ．撤去水平推力后，物体由于_惯性_会继续运动，物体受到的摩擦力将_不变_(选填“变大”“变小”或“不变”)．三、作图题(每小题3分，共9分)18．(2017恩施州)如图所示，猫咪想吃鱼缸里的鱼，抓住桌布用力往下拉．试作出桌布刚被拉到时鱼缸所受摩擦力f 和鱼缸对桌布压力F 的示意图．答图：19．(2017衡阳)如图所示，一个方形木块从斜面上滑下，请画出木块下滑时所受重力和摩擦力的示意图．答图：20．(2017黔南州)在水平向右行驶的小车车厢顶端用细线悬挂一小球，小车水平地板上放置一物块A ，从某时刻起，发现小球向右(运动的同方向)摆动，如图所示，请画出此时物块A 受力的示意图．答图：四、实验探究题(共18分)21．(5分)(2017河北)小明在探究“滑动摩擦力的大小与哪些因素有关”的实验中，提出了以下猜想：猜想一：滑动摩擦力的大小与物体运动的速度有关；猜想二：滑动摩擦力的大小与接触面所受的压力大小有关；猜想三：滑动摩擦力的大小与接触面的粗糙程度有关．小明通过如图所示的实验验证猜想．验证猜想二和猜想三的实验数据如下表．回答下列问题：(1)实验中，小明用弹簧测力计水平拉着木块在水平方向做匀速直线运动，其使滑动摩擦力的大小_等于_(选填“大于”“小于”或“等于”)弹簧测力计的示数．(2)为验证猜想一，小明用弹簧测力计水平拉着木块沿水平方向以不同的速度在木板上做匀速直线运动时，弹簧测力计示数相同，说明滑动摩擦力的大小与速度_无关_．(3)分析_1、2、3_次实验可验证猜想二，在接触面不变的条件下，滑动摩擦力的大小与接触面所受的压力大小_成正比_．(4)分析1、4、5次实验，小明得出，在压力相同的条件下，接触面越粗糙，滑动摩擦力越大，老师提出小明的实验设计应加以改进，应控制在_接触面材料_相同的条件下粗糙程度不同．【拓展】小明完成实验后，将长木板一端支起，用弹簧测力计沿平行斜面方向向上拉着木块做匀速直线运动，弹簧测力计的示数为0.92 N，则木块对木板的压力为_0.8_N，已知木板长0.5 m，支起的高度0.3m，木块重1 N.22．(6分)(2017哈尔滨)实验小组要探究二力平衡条件，实验中每个钩码重力相同，摩擦力忽略不计．(1)如图甲装置，当左右两端同时各挂两个钩码时，小车静止，此时F1、F2的方向_相反_，大小_相等_；当左右两端同时取下一个钩码时，如图乙，小车仍静止，此时F3_等于_F4；当右端再挂上一个钩码时，如图丙，小车将做变速运动，此时F5_小于_F6.(2)在图甲实验的基础上，将小车扭转一个角度，松手后，观察小车的情况，这样做可以探究什么问题？作用在同一物体上但不在同一直线上的两个力，能否平衡？(3)对比甲、乙、丙三次实验，当小车静止时，水平方向上受到两个力的大小关系如何？还能看出小车受非平衡力作用时，运动状态将怎样？大小相等；运动状态将改变．23．(7分)(2016百色)在探究“阻力对物体运动的影响”实验中，在水平木板上先后铺上粗糙程度不同的毛巾和棉布，让小车从斜面顶端由静止滑下，如图甲所示，观察和比较小车在毛巾表面、棉布表面和木板表面滑行的距离．(1)实验中每次均让小车从斜面顶端由静止滑下的目的是：使小车每次在水平面上开始滑行时速度大小_相等_(选填“相等”或“不相等”)；(2)实验中是通过改变_接触面粗糙程度_来改变小车所受阻力大小的；(3)实验中发现：小车在毛巾表面上滑行的距离最短，在木板上滑行的距离最远，说明小车受到的阻力越小，速度减小得越_慢_(选填“快”或“慢”)；(4)推理：本实验中，如果小车在水平面上滑行时受到的阻力为零，它将做_匀速直线运动_；(5)在此基础上，牛顿总结了伽利略等人的研究成果概括出牛顿第一定律，请问：牛顿第一定律_不能_(选填“能”或“不能”)直接由实验得出；(6)本实验中小车在水平面上三次滑行过程中消耗的机械能大小_相等_(选填“相等”或“不相等”)；(7)通过上面的探究后，小明再思考如下的问题：如图乙所示，摆球从A点由静止释放摆到右侧最高点C时，如果摆球所受的力忽然全部消失，则摆球将_静止_(选填“往回摆”“静止”或“做匀速直线运动”)．能力提升1．(2分)(2017贺州)下列说法中，正确的是(C)A．静止的物体一定不受力的作用B．运动的物体一定受到力的作用C．物体运动方向发生改变，一定受到力的作用D．物体受到力的作用，速度大小一定发生改变2．(2分)(2017大庆)如图所示，一水平传送带始终匀速向右传动，现把一物块无初速度放在传送带左侧，物块将随传送带先做匀加速运动后随传带一起匀速运动，在此过程中以下说法正确的是(D) A．当物块匀速时，物块没有惯性B．当物块匀速时，根据牛顿第一定律可知，物块不受力作用C．整个过程中，物块一直受摩擦力的作用D．整个过程中，物块的机械能先增大后不变第2题图第3题图3．(2分)(2017贵阳)如图所示，在平直轨道上静止的小车，车厢顶端用细线悬挂一小球，小球与车相左壁接触但不挤压，下列分析正确的是(C)A．当小车静止时，小球受到的合力等于小球的重力B．当小车向右匀速运动的过程中，车厢壁对小球有向右的弹力C．当小车向右加速运动的过程中，小球受到的合力方向向右D．当小车向左加速运动的过程中，小球受到细线的拉力和小球的重力是一对平衡力4．(2分)(2017沈阳模拟)用弹簧测力计悬挂一个10 N重的物体，由静止开始竖直向上运动，测力计在不同时间段的示数如图所示，则物体在此过程中速度随时间变化的图像应为选项中的(D)5．(3分)(2017潍坊)(多选)如图所示，长木板放在水平桌面上，木块放在长木板上，砝码放在木块上，现用2 N的力F水平拉木块，木块、砝码、长木板均保持静止，此状态下，下列说法正确的是(BC)A．木块对砝码的摩擦力为2 NB．长木板对木块的摩擦力为2 NC．桌面对长木板的摩擦力为2 ND．桌面对长木板的摩擦力为06．(5分)(2016遂宁)如图甲所示，粗糙程度相同的水平地面上放一重为5 N，底面积为20 cm2的物体A，用水平拉力F作用于A物体，拉力F的大小与时间t的关系和A物体运动速度v与时间t的关系如图乙所示，物体对水平地面的压强是_2.5×103_Pa，由图像可知，物体受到的摩擦力是_6_N，3 s～6 s内物体受到的合力是_3_N，9 s～12 s物体做_匀减速_运动，它能继续运动的原因是由于_惯性_．7．(3分)(2017六盘水)一天，在某段市区道路上发生了一起两小车追尾相撞事故．交警询问时，前车司机说：“我的车速很慢，后车突然加速撞了我的车尾，当时我女儿坐在后排，撞车导致她的头撞到了前排座椅背上．”后车司机说：“前车司机在行驶过程中突然刹车，我来不及刹车就追尾撞上了”．请你用学过的物理知识回答：哪个司机在说谎？你判断的理由是什么？请你写出一条交通安全警示语．(导学号59824121)答：前车司机在撒谎．如果是后车追尾，前车由于受到撞击会加速向前运动，前车司机的女儿由于惯性还要保持原来的运动状态，头不可能撞到前排座椅背上．安全警示语：安全带，生命带，请系好安全带！。
第07讲轴向力应变
例1： 已知F1=20KN，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图示 杆件指定截面1－1、2－2、3－3的轴力,并画出轴力图。 1 2 3 解:外力FR，F1，F2， F2 A F1 F3 F3将杆件分为AB、 B C D FR BC和CD段，取每段 1 2 3 左边为研究对象，求 F2 FN1 得各段轴力为：
∆L = - 0.025mm
d AB 例5：阶梯形杆各段直径分别为： = 12mm, d BC = 14mm, dCD = 10mm, l1 = 100 mm, l2 = 50 mm, l3 = 200 mm ，求(1)各段的纵向线应变；(2)全杆的纵 向变形；(3)各段直径的改变。材料的 E = 2 ×105 MPa, µ = 0.3. 解：作内力图，求各 段的内力。 4kN 3kN 7kN F = F = 4 kN
例：如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出轴 2 A1 = 200mm， 较 粗 力图。若杆件较细段横截面面积 L 段 A2 = 300mm 2 ，材料的弹性模量 E = 200GPa， = 100mm 求杆件的总变形。 解：分别在AB、 BC段任取截面， 如图示，则： 10KN A 40KN B L L C 30KN
轴力图：
用平行于杆轴线的x坐标表示 横截面位置，用垂直于x的坐 标FN表示横截面轴力的大小， 按选定的比例，把轴力表示 在x-FN坐标系中，描出的轴力 随截面位置变化的曲线，称 为轴力图。 F FN m
m F
x
FN 与杆件横截面的外法线同向 为正轴力 拉力 ，反之为负。 与杆件横截面的外法线同向,为正轴力 拉力)，反之为负。 为正轴力(拉力 FN 轴力图特点： 轴力图特点： ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； FN ②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置。 FN FN FN >0 FN <0
专题07 立体几何小题常考全归类(精讲精练)(原卷版)
专题07 立体几何小题常考全归类【命题规律】高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是有关空间线面位置关系的命题的真假判断；二是常见一些经典常考压轴小题，难度中等或偏上．【核心考点目录】核心考点一：球与截面面积问题核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 核心考点四：立体几何中的交线问题核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题 核心考点六：空间角问题 核心考点七：轨迹问题核心考点八：以立体几何为载体的情境题 核心考点九：翻折问题【真题回归】1．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ） A ．34π B ．πC ．2πD ．3π2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA -=，E ，F 分别是棱11,BC A C 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A --的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤3．（多选题）（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =4．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知正方体1111ABCD A B C D -，则（ ） A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒ B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒ C ．直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒5．（多选题）（2021·全国·高考真题）在正三棱柱111ABC A B C 中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 6．（2020·海南·高考真题）已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 5BCC 1B 1的交线长为________．【方法技巧与总结】1、几类空间几何体表面积的求法（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和． （2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补． 2、几类空间几何体体积的求法（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．（3）锥体体积公式为13V Sh =，在求解锥体体积时，不能漏掉3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆 锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．4、球的截面问题 球的截面的性质： ①球的任何截面是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为=+222R r d ．注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模θαβ=cos cos cos （θ为平面的斜线与平面内任意一条直线l 所成的角，α为该斜线与该平面所成的角，β为该斜线在平面上的射影与直线l 所成的角）．7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．9、以立体几何为载体的情境题大致有三类：（1）以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等； （2）以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等； （3）以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．10、以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【核心考点】核心考点一：球与截面面积问题 【规律方法】 球的截面问题 球的截面的性质： ①球的任何截面是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为=+222R r d ． 【典型例题】例1．（2022·全国·高三阶段练习）已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面ABCD , 22，PA AB BC === ，点E 在棱PB 上，且2EB PE =， 过E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是____________. 例2．（2022·湖北省红安县第一中学高三阶段练习）球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球1O 的半径为10,,P Q 为球1O 表面上两动点，16,PQ M =为线段PQ 的中点.半径为2的球2O 在球1O 的内壁滚动，点,,A B C 在球2O 表面上，点2O 在截面ABC 上的投影H 恰为AC 的中点，若21O H =，则三棱锥M ABC -体积的最大值是___________. 例3．（2022·江西·高三阶段练习（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，11113C E CD =，点F 是CD 的中点，则过1B ，E ，F 三点的平面α截该正方体所得截面的面积为_________．例4．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形； ②直线11B D 到平面CMN 2； ③存在点P ，使得1190B PD ∠=； ④1PDD △45． 其中所有正确结论的序号是__________．核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 【规律方法】几类空间几何体体积的求法（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥， 有时可采用等体积转换法求解．（3）锥体体积公式为13V Sh =，在求解锥体体积时，不能漏掉【典型例题】例5．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，M ，N 分别为11A D ，11B C 的中点，E ，F 分别为棱AB ，CD 上的动点，则三棱锥M NEF -的体积（ ）A ．存在最大值，最大值为83B ．存在最小值，最小值为23C ．为定值43D ．不确定，与E ，F 的位置有关例6．（2022·山西运城·模拟预测（文））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段1CD 上有两个动点E ，F ，且12EF =，点P ，Q 分别为111A B BB ，的中点，G 在侧面11CDD C 上运动，且满足1B G ∥平面1CD PQ ，以下命题错误的是（ ）A ．1AB EF ⊥B ．多面体1AEFB 的体积为定值C ．侧面11CDD C 上存在点G ，使得1B G CD ⊥ D ．直线1B G 与直线BC 所成的角可能为6π例7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，给出下面几个命题：①四边形1BFD E 一定是平行四边形； ②四边形1BFD E 有可能是正方形；③平面1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ；④设1D F 与DC 的延长线交于M ，1D E 与DA 的延长线交于N ，则M ､N ､B 三点共线； ⑤四棱锥11B BFD E -的体积为定值． 以上命题中真命题的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 【规律方法】几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值【典型例题】例8．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方形EFGH 的中心为正方形ABCD 的中心，22AB =P EFGH -（A ，B ，C ，D 四点重合于点P ），则此四棱锥的体积的最大值为（ ）A 1286B 1285C ．43D 15例9．（2022·江西南昌·三模（理））已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，22BC =13AA =，P 为矩形1111D C B A 内一动点，设二面角P AD C --为α，直线PB 与平面ABCD 所成的角为β，若αβ=，则三棱锥11P A BC -体积的最小值是（ ） A 2 B ．321C 2D 32例10．（2022·浙江·高三阶段练习）如图，在四棱锥Q EFGH -中，底面是边长为22方形，4QE QF QG QH ====，M 为QG 的中点．过EM 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为1V ，2V ，则12V V 的最小值为（ ）A ．12 B ．13C ．14D ．15例11．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，M ，N 分别为11A D ，11B C 的中点，E ，F 分别为棱AB ，CD 上的动点，则三棱锥M NEF -的体积（ ）A ．存在最大值，最大值为83B ．存在最小值，最小值为23C ．为定值43D ．不确定，与E ，F 的位置有关核心考点四：立体几何中的交线问题 【规律方法】 几何法 【典型例题】例12．（2022·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体ABCD 中，P 为棱AD （不含端点）上的动点，过点A 的平面α与平面PBC 平行．若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，则m ，n 所成角的正弦值的最大值为__________．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.例14．（2022·福建福州·三模）已知正方体1111ABCD A B C D -31A 为球心，半径为2的球面与底面ABCD 的交线的长度为___________.例15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））如图，在四面体ABCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，2DA DB DC ===D 为球心，1为半径作球，则该球的球面与四面体ABCD 各面交线的长度和为___．核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题 【规律方法】几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值【典型例题】例16．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥S ABC -2，外接球表面积为3π，2SA <点M ，N 分别是线段AB ，AC 的中点，点P ，Q 分别是线段SN 和平面SCM 上的动点，则AP PQ +的最小值为（ ） A 262-B 62+C 32D 2例17．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则1A F EF +的最小值为（ ）A 29B ．6C 41D ．7例18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，3AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（ ）A 5B 7C ．13+D ．3核心考点六：空间角问题 【规律方法】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的． （3）计算：在证明的基础上计算得出结果． 简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°． 4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【典型例题】例19．（2022·浙江金华·高三期末）已知正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11A C 所成的角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．3⎡⎢⎣⎦B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦例20．（2022·浙江·效实中学模拟预测）在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===，AC 交BD 于O 点，ABD △沿着直线BD 翻折成1A BD ，所成二面角1A BD C --的大小为θ，则下列选项中错误的是（ ）A ．1A BC θ∠≤B ．1AOC θ∠≥ C ．1A DC θ∠≤D ．11A BC A DC θ∠+∠≥例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，3BC =D 为AB 边上的中点，点M 在线段BD （不含端点）上，将BCM 沿CM 向上折起至'B CM △，设平面'B CM 与平面ACM 所成锐二面角为α，直线'MB 与平面AMC 所成角为β，直线MC 与平面'B CA 所成角为γ，则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（ ）①3tan βα，②γβ≤，③γα>. A ．①B ．①②C ．②③D ．①③例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知等边ABC ，点,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足EF BC ∥，将AEF △沿着EF 翻折至P 点处，如图所示，记二面角P EF B --的平面角为α，二面角P FC B --的平面角为β，直线PF 与平面EFCB 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．αγβ≥≥C ．βαγ≥≥D ．βγα≥≥例23．（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角是γ则三个角α，β，γ中最小的角是（ ） A ．αB ．βC ．γD ．不能确定核心考点七：轨迹问题 【规律方法】解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．【典型例题】例24．（2022·北京·昌平一中高三阶段练习）设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则下列命题：①点M 可以是棱AD 的中点； ②点M 的轨迹是菱形； ③点M 轨迹的长度为25 ④点M 5. 其中正确的命题个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例25．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，点E ，F 分别为棱CD ，1DD 的中点，点P 为四边形11CDD C 内（包括边界）的一动点，且满足1B P ∥平面BEF ，则点P 的轨迹长为（ ） A 2B ．2C 2D ．1例26．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且2PA =，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，下列说法错误的是（ ）A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AC 所成的角为π3C ．过点E ，F ，G 的平面截四棱锥P ABCD -所得的截面为五边形D ．当点T 在平面ABCD 内运动，且满足AGT △的面积为12时，动点T 的轨迹是圆例27．（2022·浙江温州·高三开学考试）如图，正方体1AC ，P 为平面11B BD 内一动点，设二面角11A BD P --的大小为α，直线1A P 与平面11BD A 所成角的大小为β.若cos sin βα=，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线例28．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 边的中点，点P 在底面A B C D ''''和侧面CDD C ''上运动并且使MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是（ ）A ．两段圆弧B ．两段椭圆弧C ．两段双曲线弧D ．两段抛物线弧核心考点八：以立体几何为载体的情境题 【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读？一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【典型例题】例29．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（理））设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在P 处的离散曲率为()()1223111 1.2,3,32k i Q PQ Q PQ Q PQ Q i k π-∠+∠+⋯+∠=⋯≥其中，为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，23Q PQ ，……，1k Q PQ 遍及多面体M 的所有以P 为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a ，b ，c ，d ，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a d c >>>D ．c d b a >>>例30．（2022·广东·广州市从化区第三中学高三阶段练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在每个顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π.给出下列三个结论：①正方体在每个顶点的曲率均为2π； ②任意四棱锥的总曲率均为4π；③若某类多面体的顶点数V ，棱数E ，面数F 满足2V E F -+=，则该类多面体的总曲率是常数.其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③例31．（2022·辽宁·沈阳二十中三模）我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即2311122323V R R R R R πππ=⋅-⋅=球.现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A ．32πB ．24πC ．18πD ．16π例32．（2022·全国·高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即[]2326,2326δ''∈-︒︒．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬395427'''︒，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）A ．北纬5527'''︒B ．南纬5527'''︒C ．北纬5533'''︒D ．南纬5533'''︒核心考点九：翻折问题 【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质． 【典型例题】例33．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 3例34．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）如图，已知矩形ABCD 的对角线交于点,,1E AB x BC ==，将ABD △沿BD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得ABCE ，则x 的取值范围是（ ）A ．03x <≤B ．02x <≤C ．01x <≤D ．06x ≤<例35．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点（不含端点），将ABE 沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点（不含端点），则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的是（ ）A ．B ､E ､C ､F 四点一定共面 B ．存在点F ，使得CF ∥平面BAEC ．侧面BEC 与侧面BAD 的交线与直线AD 相交 D ．三棱锥B ADC -的体积为定值例36．（2022·全国·高三专题练习）已知直角梯形ABCD 满足：AD ∥BC ，CD ⊥DA ，且△ABC 为正三角形．将△ADC 沿着直线AC 翻折至△AD 'C 如图，且AD BD CD '''＜＜，二面角D AB C '﹣﹣、D BC A '﹣﹣、D AC B '﹣﹣的平面角大小分别为α，β，γ，直线D A '，D B '，D C '与平面ABC 所成角分别是θ1，θ2，θ3，则（ ）A ．123θθθαγβ＞＞，＞＞B ．123θθθαβγ＜＜，＞＞C ．123θθθαβγ＞＞，＜＜D ．123θθθαβγ＜＜，＜＜【新题速递】1．（2022·安徽·高三阶段练习）如图，在棱长为a 的正四面体ABCD 中，点111,,B C D 分别在棱,,AB AC AD 上，且平面111B C D 平面1,BCD A 为BCD △内一点，记三棱锥1111A B C D -的体积为V ，设1AD x AD=，关于函数()V f x =，下列说法正确的是（ ）A ．12220,,,133x x ⎛⎫⎛⎫∀∈∃∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()21f x f x =B ．函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称 D ．()00,1x ∃∈，使得()016A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）2．（2022·重庆市长寿中学校高三阶段练习）如图所示，在直角梯形BCEF 中，90,CBF BCE A ∠∠==､D 分别是BF ､CE 上的点，//AD BC ，且22AB DE BC AF ===（如图1）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE BF CE ､､（如图2）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（ ）①AC //平面BEF ； ②B C E F ､､､四点不可能共面；③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直. A ．1B ．2C ．3D ．43．（2022·四川·成都市第二十中学校一模（理））如图， 在棱长为 2 的正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H P 、、、、均为所在棱的中点， 则下列结论正确的有（ ）①棱 AB 上一定存在点Q ， 使得1QC D Q ⊥ ②三棱锥F EPH -的外接球的表面积为8π③过点 E F G ，，作正方体的截面， 则截面面积为33④设点 M 在平面11BB C C 内， 且1//A M 平面AGH ， 则1A M 与AB 所成角的余弦值的最大22A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个4．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为11B C 的中点，点P 在正方体各棱及表面上运动且满足AP CN ⊥，则点P 轨迹所围成图形的面积为（ ）A ．25B ．42C ．23D ．45．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是（ ）A ．425425⎡-+⎢⎣⎦B ．222,222⎡⎤⎣⎦C ．322322⎡-+⎢⎣⎦D ．322,322⎡⎤⎣⎦6．（2022·湖南·模拟预测）正三棱柱111ABC A B C 的底面边长是4，侧棱长是6，M ，N 分别为1BB ，1CC 的中点，若点P 是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP ∥平面1AB N ，则动点P 的轨迹面积为（ ） A ．53B ．5C 39D 267．（2022·山西·高三阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的顶点都在表面积为12π的球面上，过球心O 的平面截正方体所得的截面为一菱形，记该菱形截面为S ，点P 是正方体表面上一点，则以截面S 为底面，以点P 为顶点的四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．83B ．73C ．2D ．538．（2022·浙江·高三阶段练习）在OAB △中，OA AB =，120OAB ∠=︒．若空间点P 满足1=2PABOABSS ，则直线OP 与平面OAB 所成角的正切的最大值是（ ）A ．13B ．12C 3D ．19．（多选题）（2022·云南曲靖·高三阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为侧面11BCC B 内一点，则（ ）A ．当1113C P C B =时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为2B ．当11(01)C P C B λλ=<<时，四面体1D ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线11A B 的距离时，点P 的轨迹为拋物线的一部分 D ．当1112C P C B =时，四面体BCDP 的外接球的表面积为3π10．（多选题）（2022·辽宁·本溪高中高三阶段练习）如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，2AD DE ==，G 为线段AE 上的动点，则（ ）A ．AE CF ⊥B ．多面体ABCDEF 的体积为83C ．若G 为线段AE 的中点，则GB //平面CEFD ．点M ，N 分别为线段AF ，AC 上的动点，点T 在平面BCF 内，则MT NT +43 11．（多选题）（2022·广东·东涌中学高三期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，1BB 的中点，点P 在11A C 上，//AP 平面EFG ，则以下说法正确的是（ ）A ．点P 为11A C 的中点B ．三棱锥P EFG -的体积为148C ．直线1BB 与平面EFG 3D ．过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得截面的面积是3312．（多选题）（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知ABC 为等腰直角三角形，AB AC =，其高3AD =，E 为线段BD 的中点，将ABC 沿AD 折成大小为32ππθθ⎛⎫< ⎪⎝⎭的二面角，连接BC ，形成四面体A BCD -，动点P 在ACD 内（含边界），且//PE 平面ABC ，则在θ变化的过程中（ ）A ．AD BC ⊥B ．E 点到平面ADC 的距离的最大值为322C ．点P 在ADC △2D ．当BP AC ⊥时，BP 与平面ADC 所成角的正切值的取值范围为)22,⎡+∞⎣13．（多选题）（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱12O O ，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，且圆柱上下底面分别与正方体中以1A C ，为公共点的3个面都有一个公共点，以下命题正确的是（ ）A ．在正方体1111ABCD ABCD -内作与圆柱12O O 3B ．无论点1O 在线段1AC 上如何移动，都有11BO B C ⊥C ．圆柱12O O 的母线与正方体1111ABCD A B C D -所有的棱所成的角都相等D ．圆柱12O O 外接球体积的最小值为π6 14．（多选题）（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知正四面体ABCD 的棱长为2球的球心为O ．点E 满足(01)AE AB λλ=<<，(01)CF CD μμ=<<，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，平面α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，AD 相交于点M ，G ，H ，则（ ）A ．四边形EMGH 的周长为是变化的B ．四棱锥A EMGH -的体积的最大值为6481 C ．当14λ=时，平面α截球O 47 D ．当12λμ==时，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90︒后与原四面体的公共部分体积为43 15．（2022·安徽·石室中学高三阶段练习）已知三棱锥V ABC -的高为3D E F ,,,分别为VC VA VB ,,的中点，若平面ABD ，平面BCE ，平面ACF 相交于O 点，则O 到平面ABC 的距离h 为___________.16．（2022·北京八十中高三期末）如图，在正方体ABCD —1111D C B A 中，E 为棱11B C 的中点.动点P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，对于下列四个结论：。
理论力学完整讲义
理论力学一 静力学(平衡问题)01力的投影与分力 02约束与约束力 03二力构件04平面汇交力系的简化 05力矩与力偶理论06平面一般力系的简化：主矢和主矩 07平面一般力系的平衡方程 08零杆的简易判断方法 09刚体系统的平衡问题 10考虑摩擦时的平衡问题01力的投影与分力 基本概念：刚体：在力的作用下大小和形状都不变的物体。
平衡：物体相对于惯性参考系保持静止或均速直线运动的状态 力的三要素：力的大小、方向、作用点。
集中力：力在物体上的作用面积很小，可以看做是一个作用点，单位：N 。
分布力：小车的重力均匀分布在桥梁上面，这种力称为分布力（也称为均布荷载），常用q 表示，单位N/m ，若均布荷载q 作用的桥梁的长度是L ，则均布荷载q 的合力就等于q ×L ，合力的作用点就在桥梁的中点位置。
力的投影和分力 1)在直角坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos y F F β=分力(矢量)cos x F F i α=u u r r cos y F F j β=u u r r2)在斜坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos()y F F ϕα=-分力(矢量)(cos sin cot )x F F F i ααϕ=-u u r rsin sin y F F j αβ=u u r r02约束与约束力约束：对于研究对象起限制作用的其他物体。
约束力方向：总是与约束所能阻止物体运动的方向相反，作用在物体和约束的接触点处。
约束力大小：通常未知，需要根据平衡条件和主动力求解。
(1)柔索约束：柔索约束：由绳索、皮带、链条等各种柔性物体所形成的约束，称为柔索约束。
特点：只能承受拉力，不能承受压力。
约束力：作用点位接触点，作用线沿拉直方向，背向约束物体。
(2)光滑面约束光滑面约束：由光滑面所形成的约束称为光滑面约束。
约束性质：只能限制物体沿接触面公法线趋向接触面的位移。
特点：只能受压不能受拉，约束力F 沿接触面公法线指向物体。
第07讲 代数式的有关概念及求值-2021-2022学年七年级数学上册讲义(机构专用,北师大版)
教师讲义【例9】原产量n 千克增产20%之后的产量应为（ ）A ．（1－20%）n 千克B ．（1+20%）n 千克C ．n +20%千克D ．n ×20%千克【例10】甲乙两人岁数的年龄和等于甲乙两人年龄差的3倍，甲x 岁，乙y 岁，则他们的年龄和如何用年龄差表示（ ）A ．(x +y )B ．(x －y )C ．3(x －y )D ．3(x +y )【例11】三角形一边为a +3,另一边为a +7,它的周长是2a +b +23,求第三边（ ）A ．b －13B ．2a +13C ．b +13D ．a +b －13【例12】公路全长P 米，骑车n 小时可到，如想提前一小时到，则需每小时走_______米.（ ）A ．nP +1 B ．1-n P C ．1+nP P D ．1+n P【例13】当x=7，y=4，z=0时，求代数式x(2x-y+3z)的值．【例14】当61x y ==-，时，代数式12(2)33x y y -++的值是( ) A ．5- B ．2- C ．23-D ．23【例15】已知：a ＝12，b ＝3，求 的值。
【例16】当x=13，y=3时，求下列代数式的值: （1）3x 2-2y 2+1； （2）2()1x y xy --。
其中a=5，b=7； (2)3x 2-2xy+y 2，其中x ＝1，y= ；19、(1)20、小明读一本共m 页的书，第一天读了该书的13，第二天读了剩下的15． （1）用代数式表示小明两天共读了多少页．（2）求当m=120时，小明两天读的页数．六、课堂小结 学生总结，老师补充 七、课后作业1、a 与b 的平方差可表示为 .2、2x +3y 可以解释为 .3、某商店钢笔每枝a 元，铅笔每枝b 元，小明买了3枝钢笔和2枝铅笔，应付 元.4、个位数字是a ，十位数字是b 的两位数可表示为 ，交换个位与十位数字后的两位数是 .5、一项工程，甲队单独完成需a 天，乙队单独完成需b 天，两队合作要 天完成.6、当n 为整数时，偶数可表示为 ，奇数可表示为 .7、下列各式：⑴132ab ⑵ x ﹒2 ⑶ 30%a ⑷ m －2℃ ⑸ 232y x ⑹ a －b ÷c ,其中不符合代数式书写要求的有（ ）A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个8、如果两个数的和是10，其中一个数用字母x 表示，那么表示这两个数的积的代数式是（ ） A 、10x B 、x (10+x ) C 、x (10－x ) D 、x (x －10)③②①22、求代数式的值:(1)(3a-2b)2，其中a= ，b= ； (2)(a+b)2-(a-b)2，其中a ＝ ,b ＝23、用火柴棒按下面的方式搭成图形． （1）根据上述图形填写下表．（2）第n 个图形需要火柴棒根数为s ，写出用n 表示s 的公式．（3）当n=10时，求出s 值．附答案： 典型例题：例1： B 例2：C 例3：C 例4：B 例5.9n 例6：x +5 例7：a 3 例8：4h 例9：a240例10：（1）(20)x x -；（2）22n -，2n ，22n +；（3）23a +；（4）95x ％；（5）3(1)2m m - 例11：⑴（5＋3）t =8t ⑵(5－3)t =2t ⑶ 5(m ＋n )＋3n ⑷ 5(m ＋n )－3n 例12：第一个猴子摘走15m 个，还剩1(1)5m m --个，第二个猴子摘走11(1)55m m --个， 还剩41(1)155m m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦个，第三个猴子摘走11111(1)15555m m m m ⎡⎤------⎢⎥⎣⎦个， 还剩11111111(1)11(1)15555555m m m m m m m m ⎧⎫⎡⎤-------------⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭个 例13：解：当x=7，y=4，z=0时，图形编号 ① ② ③ 火柴棒根数x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0) =7×(14-4)=70．例14：B 例15：解：＝＝＝3 课堂练习1、x+y2、2x －23、2n ,5n4、b a 433+5、13+n6、21)32x y -+(7、()mx ny +，ax8、2mn m n+ 9、)]1(2[-+n x 10、C 11、B 12、D 13、D 14、A 15、D 16、B 17、B18、（1）111++b a ；（2）)3%(20+a ；（3）34-xy ；（4）222)(b a b a ++. 19、(1) (2) 20、（1）715m （2）56 课后作业 1、a 2－b 2 2、2个x 和3个y 的和 3、3a +2b 4、10b ＋a ,10a ＋b 5、ba ab + 6、2n ，2n ＋1或2n －1 7、B 8、C 9、D 10、D 11、B 12、C 13、C 14、B 15、C 16、ab 17、10x +y 18、1÷(y x 11+) 19、2n 20、（1）2m ；4m ；8m （2）n m 2 21、（1）2321+6×21=2621 （2）2321+（m －1）·21 22、(1)1 (2)23、（1）7 12 17 （2）s=5n+2 （3）52。
人教版高中物理选择性必修第2册 第07讲 涡流、电磁阻尼和电磁驱动(解析版)
第07讲 涡流、电磁阻尼和电磁驱动课程标准课标解读 1.通过实验，了解涡流现象。
2.能举例说明涡流现象在生产生活中的应用。
3.了解电磁炉的结构和原理。
1.了解感生电场的概念，了解电子感应加速器的工作原理。
2.理解涡流的产生原理，了解涡流在生产和生活中的应用。
3.理解电磁阻尼和电磁驱动的原理，了解其在生产和生活中的应用。
知识点01 电磁感应现象中的感生电场1．感生电场麦克斯韦认为：磁场变化时会在空间激发一种电场，这种电场叫作感生电场．2．感生电动势由感生电场产生的电动势叫感生电动势．3．电子感应加速器 电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备，当电磁铁线圈中电流的大小、方向发生变化时，产生的感生电场使电子加速．【知识拓展1】1．变化的磁场周围产生感生电场，与闭合电路是否存在无关．如果在变化的磁知识精讲目标导航场中放一个闭合电路，自由电荷在感生电场的作用下发生定向移动．2．感生电场可用电场线形象描述．感生电场是一种涡旋电场，电场线是闭合的，而静电场的电场线不闭合．3．感生电场的方向根据楞次定律用右手螺旋定则判断，感生电动势的大小由法拉第电磁感应定律E ＝n ΔΦΔt计算． 【即学即练1】高速铁路列车通常使用磁力刹车系统。
磁力刹车工作原理可简述如下：将磁铁的N 极靠近一块正在以逆时针方向旋转的圆形铝盘，使磁感线垂直铝盘向内，铝盘随即减速，如图所示。
图中磁铁左方铝盘的甲区域（虚线区域）朝磁铁方向运动，磁铁右方铝盘的乙区域（虚线区域）朝离开磁铁方向运动。
下列有关铝盘刹车的说法正确的是（ ）A ．铝盘甲区域的感应电流产生垂直铝盘向里的磁场B ．铝盘乙区域的感应电流产生垂直铝盘向外的磁场C ．磁铁与甲、乙两区域的感应电流之间的作用力，都会使铝盘减速D ．若将实心铝盘换成布满小空洞的铝盘，则磁铁对空洞铝盘的作用力变大【答案】C【解析】A ．铝盘甲区域中的磁通量增大，由楞次定律可知，甲区域感应电流方向为逆时针方向，则此感应电流的磁场方向垂直纸面向外，故A 错误；B ．铝盘乙区域中的磁通量减小，由楞次定律可知，乙区域感应电流方向为顺时针方向，则此感应电流的磁场方向垂直纸面向里，故B 错误；C ．由“来拒去留”可知，磁铁与感应电流之间有相互阻碍的作用力，则会使铝盘减速，故C 正确；D ．若将实心铝盘换成布满小空洞的铝盘，这样会导致涡流产生的磁场减弱，则磁铁对空洞铝盘所产生的减速效果明显低于实心铝盘，故D 错误。
第07讲 大气受热过程和大气运动-【暑假自学课】2023年高一地理(人教版2019必修第一册)解析版
第07讲大气受热过程和大气运动1.运用示意图，理解大气的受热过程。
2.绘制并运用热力环流示意图，说明热力环流原理，并解释相关现象。
3.运用海平面气压分布图，判断各地风向和风力。
知识点01大气受热过程基础知识梳理一、大气的受热过程1.大气的能量来源：太阳辐射是地球大气最重要的能量来源。
2.大气的受热过程(1)太阳暖大地：大部分太阳辐射（短波辐射）到达地面，小部分被吸收或反射。
热量来源：太阳辐射(2)大地暖大气：地面吸收太阳辐射而增温，同时又以长波辐射的形式吧热量传递给近地面大气。
热量来源：长波辐射。
二、大气对地面的保温作用1.大气逆辐射对近地面大气热量的补偿作用。
2.影响大气逆辐射的因素：云量多少；大气的洁净度、干燥度。
一般情况下，云量越多、空气越浑浊、湿度越大，大气逆辐射越强。
典例下图为大气受热过程及大气温度随高度变化趋势图。
读图，完成下面小题。
1．图中①～⑤是大气受热过程中的环节，其中描述正确的是（）A．①和②在数量上相等B．②和③均为短波辐射C．③和④只在白昼发生D．④和⑤在多云时较强2．与Ⅰ～Ⅳ各段变化趋势直接相关的环节和影响因素是A．Ⅰ与③直接相关，主要受地面温度影响B．Ⅱ与⑤直接相关，主要受天气状况影响C．Ⅲ与②直接相关，主要受纬度位置影响D．Ⅳ与①直接相关，主要受距日远近影响3．剧烈的火山喷发产生大量火山灰和火山气体，往往引起较明显的气温下降，其主要原因是（）A．到达地面的②减弱B．来自宇宙空间的①减少C．射向地面的④减弱D．射向宇宙空间的⑤减少【答案】1．D2．A3．D【解析】1．⑤代表云的反射作用，云量越多，云层越厚，云的位置越低，反射最强，对太阳辐射的削弱也就越强，④表示大气逆辐射，当夜晚多云，特别是浓密的低云时，大气逆辐射会越强，D正确；①处于地球高层大气，②位于地球的平流层和对流层，由于太阳辐射经过地球大气时，会被大气削弱，而地球大气从地面向上密度越来越小，导致削弱作用越小，因此①②在数量上不会相等，应该是①大于②，A错误；②是太阳辐射，为短波辐射，而③是地面辐射，为长波辐射，B错误；③从地面指向宇宙，代表地面辐射，④由大气指向地面，表示大气逆辐射，二者白天和夜晚都可以发生，C错误；故选D。
线性规划模型
原料供应
x1 x2 50
规划
劳动时间
12x18x2480 模型
加工能力 非负约束
3x1 100 x1,x2 0
.
(LP)
23
模型求解
图解法
Ax2
约 x1 x2 50
l1:x1x250
l1
束 12x18x2480 l2:12 x18x2480
B
条件目函标数3x1x,1xM z2=1c 00(常0z a数7 )x~lx 4 等1 2 : x 值l316 : 线3x 0 x4 2 ,1l5:1在x02B 0(200l,0430)c点Zl=5得0 到lD2最CZl3=优Z2=4解x0310600
在工程技术、经济管理、科学研究和日常生活等诸 多领域中，人们经常遇到的一类决策问题：在一系列 客观或主观限制条件下，寻求所关注的某个或多个指 标达到最大（或最小）的决策。例如，生产计划要按 照产品工艺流程和顾客需求，制定原料、零件、部件 等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本使利润最 高；运输方案要在满足物资需求和装载条件下安排从 各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最 低。
14.0000 24.0000 lam = 100.0000 4.0000
0 0 说明：x解为最优解，lam说明约束条件发挥了作用。
.
15
（3）用LINGO实现 我们可以直接在下面的窗口输入LP程序
.
16
.
17
例2、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋 白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费 最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
第07讲 力的合成与分解(练习)(解析版)
第07讲 力的合成与分解 （模拟精练+真题演练）1．（2023·广东梅州·高三二模）梅州的非物质文化遗产有不少，兴宁花灯就是其中一种，它与北京宫灯是一脉相承，始于宋代，流行于明清，是传承了上千年的客家传统习俗，花灯用四条长度相同、承受能力相同的绳子高高吊起，如图所示，绳子与竖直方向夹角为θ，花灯质量为m ，则下列说法正确的是（ ）A ．每条绳子的拉力均相同B ．增大绳子与竖直方向的夹角，花灯受的合外力增大C ．绳子拉力的合力方向为竖直方向D ．绳子长一些更易断【答案】C【详解】A ．每条绳子的拉力的大小相等，但力的方向不一样，A 错误；B ．由于花灯处于静止状态，所以合外力始终为零，所以增大绳子与竖直方向的夹角，花灯受的合外力不变，B 错误；C ．合外力始终为零，子拉力与重力等大反向，故绳子拉力的合力方向为竖直方向，C 正确；D ．设绳子拉力为T ，则4cos T mg θ=解得4cos mgT θ=绳子长一些，夹角θ减小，则拉力变小，不容易断，D 错误。
故选C 。
2．（2023·山东枣庄·高三模拟预测）如图所示，五个共点力的合力为0，现在保持其他力不变，进行如下操作，其中正确的是（ ）A ．如果撤去1F ，物体所受合力大小为12F ，方向和1F 方向相反B ．如果将2F 减半，合力大小为22F C ．如果将3F 逆时针旋转90°，合力大小将变为22FD ．如果将5F 逆时针旋转180°，合力大小将变为53F 【答案】B【详解】A ．五个共点力的合力为0，F 2、F 3、F 4、F 5的合力与1F 大小相等方向相反，如果撤去1F ，物体所受合力大小为1F ，方向和1F 方向相反，故A 错误；B ．五个共点力的合力为0，F 1、F 3、F 4、F 5的合力与2F 大小相等方向相反，如果将2F 减半，合力大小为 222222F F F F =-=合故B 正确； C ．五个共点力的合力为0，F 1、F 2、F 4、F 5的合力与3F 大小相等方向相反，如果将3F 逆时针旋转90°，合力大小将变为32F 合故C 错误；D ．五个共点力的合力为0，F 1、F 2、F 3、F 4、的合力与5F 大小相等方向相反，如果将5F 逆时针旋转180°，合力大小将变为5552F F F F =+=合4故D 错误。
《平行与垂直》教案(平行与垂直优质课教案)
《平行与垂直》教案(平行与垂直优质课教案)•课程介绍与目标•平行线性质及判定方法•垂直线性质及判定方法目录•平行与垂直在生活中的应用•典型例题分析与解答技巧•学生自主练习与互动环节•总结回顾与拓展延伸课程介绍与目标平行与垂直概念引入0102教学目标与要求知识目标掌握平行与垂直的定义、性质及判定方法。
能力目标能够运用平行与垂直的知识解决实际问题，如证明线段相等、角相等等。
情感态度与价值观培养学生观察、思考、归纳、总结的能力，以及严谨、认真的学习态度。
课程安排与时间课程安排时间安排平行线性质及判定方法平行线定义及性质平行线定义平行线的性质判定两直线平行方法内错角相等法同位角相等法两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
同旁内角互补法平行线间距离公式垂直线性质及判定方法垂直线定义及性质定义性质垂直是相交的一种特殊情况，两条直线垂直时，它们之间的夹角为90度，且垂足是唯一的。
判定两直线垂直方法方法一01方法二02方法三03垂线段最短原理原理内容应用场景平行与垂直在生活中的应用建筑设计中应用垂直线在建筑设计中用于创造立体感和层次感。
例如，在建筑立面设计中，垂直线条可以突出建筑的高度和挺拔感，增强视觉效果。
道路交通标志识别其他生活场景应用平行与垂直在美术设计中也有广泛应用。
例如，在绘画、摄影等艺术作品中，艺术家可以利用平行与垂直的构图原则来创造和谐、平衡的美感。
在工程制图中，平行与垂直是基本的绘图原则。
例如，在机械制图、建筑制图等领域中，工程师需要使用平行线和垂直线来绘制精确的图纸，以确保工程的准确性和可行性。
在地理学和地质学中，平行与垂直也有重要应用。
例如，地质学家可以使用地层中的平行线和垂直线来判断地层的走向、倾斜角度等地质特征。
典型例题分析与解答技巧理解定义和性质图形分析排除法030201判断题和选择题答题技巧计算题和证明题解题思路明确已知和未知画图辅助逐步推导易错难点和注意事项避免将平行线和垂线混淆，特别是在复杂的图形中。
实验心理学讲义07第7讲 知觉
加，而且掩蔽音愈强，它的影响范围也愈大。（2）掩蔽音对于频率相近声音的影响最大。（3） 低频对高频的掩蔽效果大于高频对低频的掩蔽。
2．听觉定位：指利用听觉器官判断发声体的空间方位。主要有三种双耳线索：强度差、 时间差和周相差。
140
120
100 强
度 80
60 分
40
20
0
20 40 100 200 400 1000 4000
20000
2000 10000
频
率
图 7-17 纯音等响曲线 （采自 Robinson 和 Dadson，1956）
3．等高线 音高与音频和音强有关，等高线表示音高、音频和音强间的关系，可通过调整法获得。 如图 7-13 所示。
完成。 2．视敏度 视敏度是指分辨物体细节和轮廓的能力，是人眼正确分辨物体的最小维度。视敏度可以
用以下公式计算得到：V（视敏度）=
1 α（视角）
，医学界是用视力表测定视敏度的，图
7-7 列出了视力表常用的几种刺激项目。
C
E
觉察
再认
解象
定位
图 7-8 四种类型的视敏度测试材料 （采自 Riggs，1965c）
3．闪光临界融合频率 闪光融合：一个间歇频率较低的光刺激作用于我们眼睛时，会产生一种一亮一暗的闪烁 感觉，而当每分钟闪光的次数增加到一定程度时，人眼就不再感到是闪光而感到是一个完全 稳定的或连续的光的现象。 闪光临界融合频率（critical flicker frequency，简称 CFF）:闪烁刚刚达到融合时 的光刺激间歇的频率,是人眼对光刺激时间分辨能力的指标。最早是用制成扇形的圆盘在光 源前旋转来测定的。 （二）视错觉 视错觉是指单凭眼睛所见而形成的失真或扭曲的知觉经验。 1．运动错觉 主要指似动现象，即我们对实际上没有空间位移的物体所产生的运动知觉现象。如帕拉 托（Plateau，1833）制造的动景盘，图 7-8 就是一个动景盘的图案.
07第七讲 三段论 形式逻辑
******
2）狮子是猫科动物， 猫科动物是哺乳动物， 所以狮子是哺乳动物， 哺乳动物是脊椎动物， 所以狮子是脊椎动物。 A sorites is a chain of categorical syllogisms in which the immediate conclusions have been left out. 前进式（大项不变） 后退式（小项不变） ******
第一格：典型格、完善格。第二格:称为区别格。 第三格：反驳全称命题。 第四格:没有实际作用。 割发代首 真假母亲 你头上有角 你是狗 ******
四、复合三段论和省略三段论(Sorites and Enthymemes) 1、复合三段论
例： 1）四边形是多边形， 平行四边形是四边形， 所以平行四边形是多边形， 菱形是平行四边形， 所以菱形是多边形， 正方形是菱形， 所以正方形是多边形。
1）基本的法律都是由全国人民代表大会讨论通过的， 刑法是基本的法律， 所以，刑法是由全国人民代表大会讨论通过的。 2）故意杀人罪都是非法故意剥夺他人生命的行为， 某甲的行为不是非法故意剥夺他人生命的行为， 所以，某甲的行为不是故意杀人罪。 3）过失犯罪是没有犯罪动机的， 过失犯罪是犯罪， 所以，有些犯罪是没有犯罪动机的。 4）国务院制定的（法律文件）是行政法规， 行政法规是法律（广义）， 所以，有些法律是国务院制定的。
MAP MES SOP
MEP MAS SEP
PEM MIS SOP
PAM MAS SEP
三、三段论的有效式与各格规则。
1、 各格有效式： 第一格：AAA, AAI, AII, EAE, EAO, EIO； 第二格：AEE, AEO, AOO, EAE, EAO, EIO； 第三格：AAI, AII, EAO, EIO, IAI, OAO； 第四格：AAI, AEE, IAI, EAO, EIO, AEO。 2、 各格规则： 3、 各格的地位：
摄影测量学第07讲-单像摄影测量
实线无畸变 虚线有畸变
10
山东科技大学测绘科学与工程学院
航摄仪物镜的畸变差(Lens Distortion)
薄棱镜畸变（ thin prism distortion ） 薄棱镜变形是指由光学镜头制造误差和成像敏感阵列 制造误差引起的图像变形，这种变形也由径向变形分量和 切向变形分量共同构成。
x s1(x2 y2 ) y s2(x2 y2 )
9
山东科技大学测绘科学与工程学院
航摄仪物镜的畸变差(Lens Distortion)
偏心畸变（eccentric distortion）
由于装配误差，组成光学系统的多个光学镜头的光轴不 可能完全共线，从而引起偏心变形，这种变形是由径向变形 分量和切向变形分量共同构成。
x p1(r2 2x2 ) 2 p2xy x p2(r2 2 y2 ) 2 p1xy
第四章 单像摄影测量
§4.1 摄影光束的重建 4.1.1影像内定向 4.1.2影像的系统误差及其预改正
§4.2 单像外部定向——空间后方交会 §4.3 单像摄影测量定位
1
山东科技大学测绘科学与工程学院
4.1 摄影光束的重建
摄影光束的重建是进行摄影测量的前提。所谓光束是 指影像的像点与投影中心所构成的投影光线的集合，而光 束的重建即指由量测得到的像点坐标与像空间坐标系的原 点构成的椎体形状与摄影时光束的形状一致。
4.1.2 像点坐标的系统误差及其预改正
• 误差来源：
• 像片本身的变形（CCD像元位置误差） • 镜头的畸变差 （各透镜不能完全同心） • 大气折光差（介质不均匀） • 地球曲率的影响（模型水准面与地形图基准面不一致） • 量测误差
• 改正方法：
• 事先消除 • 事后补偿 • 自检校（平差过程中同时估算系统误差） • 实验场法
考点07 力的合成与分解 受力分析(核心考点精讲精练)(学生版) 备战2025年高考物理一轮复习
考点07 力的合成与分解受力分析1. 高考真题考点分布题型考点考查考题统计选择题力的合成2023年重庆卷选择题力的分解2021广东卷选择题受力分析2020年浙江卷2. 命题规律及备考策略【命题规律】高考对这部分的考查频率不是特别的高，但是对于合成的法则、正交分解法和受力分析是平衡问题和动力学问题的基础。
【备考策略】1.掌握力的合成和分解的方法，能够用这些方法解决实际的物理问题。
2.构建活结与死结模型、动杆和定杆模型，总结规律特点。
3.掌握受力分析的基本方法和规律，并能对多个物体进行受力分析。
【命题预测】重点掌握正交分解法、整体法和隔离法、受力分析的方法，这三个方法在平衡问题和动力学问题中应用较多。
一、力的合成和分解1．共点力作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。
下列各图中的力均是共点力。
2．合力与分力(1)定义：假设一个力单独作用的效果跟几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力。
假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力。
(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。
3．力的合成(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，如图甲所示。
②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法，如图乙所示。
4．力的分解(1)定义：求一个已知力的分力的过程。
(2)遵循原则：平行四边形定则或三角形定则。
(3)分解方法：①按解决问题的实际需要分解；②正交分解。
二、活结与死结绳模型、动杆和定杆模型1．“活结”模型模型结构模型解读模型特点“活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳“活结”绳子上的张力大小处处相等2．“死结”模型模型结构模型解读模型特点“死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳死结两侧的绳子张力不一定相等3．动杆模型模型结构模型解读模型特点轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆4．定杆模型模型结构模型解读模型特点轻杆被固定在接触面上，不发生转动杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向三、受力分析1.受力分析的一般顺序：先分析场力(重力、电场力、磁场力)，再分析接触力(弹力、摩擦力)，最后分析其他力．2.研究对象选取方法：(1)整体法和隔离法．①当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法．②在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法．③整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法．(2)动力学分析法：对加速运动的物体进行受力分析时,应用牛顿运动定律进行分析求解的方法.考点一力的合成1.两个共点力的合成①|F 1－F 2|≤F 合≤F 1＋F 2，两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
FM2007-战术设置解析
FM2007上市伊始,玩过的人都有一个印象:这一作临场指挥的要求变高了.本人也是这么认为,再强的队,阵型打法配不好也会时常输球,郁闷不已(本人最郁闷纪录是意乙领头羊身份被排名降级区的鸟队干5个,昏阙,只因设置全力防守时忘记把后防线回收...)在刚刚接触FM07的时候,本人有很多不明,其中最大的不明就是临场操作里那些选项怎么样搭配才好,现在略有心得:心态与自由度:从字面上看心态是决定简单的进攻与防守,实际上这个拉条还有另一层意思,就是场上向前拼抢的积极度.假设对方门将起高球到中场,你的后腰抢还是不抢呢?假如你这里把后腰设置为完全防守而且自由发挥为最低,100%不会上抢,只会缩回去等对方停好球试图过他时才进行防守.所以后腰在设置上重视防守的同时,还必须给他很高的自由度,究竟能不能抢的到,由他判定比较好.(我的后腰是乙级级别里的铁腰PAROLA,侵略20跑动20,设置心态6,自由度18,设置为自由人中场基本上50&的球很少有能抢的过他的.)紧逼与逼抢:这两个选项只差一个字,曾经我为它们一头雾水,郁闷不已,不过现在我基本可以肯定它们之间的差别了.简单的概括,紧逼是对人,而逼抢是对球.那么紧逼和逼抢怎么运用呢?比方说,你观察2D画面时,发现电脑左路控球但右路球员拉的非常开,你应该意识到,电脑的宽度利用率相当高了,而这个时候你假如将逼抢开到18以上,你会发现你的阵型整个的向左收缩,对,逼抢这个选项实际上就是决定了全队对球的围抢倾向,一堆人挤在一边,那另一边就是空挡,一转移你就完蛋了.(电脑逼抢的时候你也可以拉开阵型,适当长传,效果一级棒,相信我!)而紧逼呢,就纯粹的是对人进行防守,死守着自己的区域,一旦有球过来就上去和接球的对方队员火拼.在比赛中,当对手被我们压制时,我建议使用紧逼而不是逼抢,因为对手反击进入你半场的人不会多,4个后卫上去两个就把一个打趴下了,不怕.而对方压制着你的时候,则应该用逼抢,因为你的阵型被压缩,对方空挡的空间比较少,而逼抢"看球不看人"的特性以及你人数的优势,可以时不时的抢断个把传球打个反击,对电脑也是致命的.(另一建议,边路球员最好不要设置为逼抢,因为球在中路时,逼抢心态的边路球员往中路靠,两边的空挡是巨大的.)传球方式与节奏:我看到的大部分玩家都喜欢短传,但是有一部分人喜欢一味的短传,这是不科学的.而不论任何传球方式都使用一样的节奏,更不科学.假设对方5个中场排山倒海逼过来,你还慢节奏的短传,那么10分钟后你基本就有很大的概率会失球,因为中场你已经控制不下来了.在这里,有两个方法,一是加快节奏的短传,这种变化可以使队员增加传球速率,一脚传球,一旦球到了创造力高的球员脚下,那你的机会就来了,因为对方的中场可能因此就被突破,当然这样的打法要求你的中场有足够的传球能力和决断力.第二个办法就是拉开阵型的长传转移(传球方式改到10的混合),这可以轻易的避开对手的逼抢.但是有一种情况,电脑中场逼抢后卫紧逼怎么办?你的长传往往会被插上的后卫处理掉.实际上,紧逼和逼抢一起开,在对方快节奏的情况下是非常耗费体力的,人家跟你拼了,你怎么办?拼吧....-_-!!防线的回收与压上:很多朋友抱怨,我已经设置防线全回收了,为什么每次还是压那么上?其实这个回收并不是防线在后面上不上来的问题,而是丢球后防线对局势所作出的反应.假设对方中场断球成功,你的防线回收最大的情况下,后卫线会刷刷刷的往回跑,根本就不看一眼,回到禁区一回头,严阵以待,相反,你防线设置压上的话,中场丢球后后卫线会压上形成第二波防守.在此提醒各位朋友,当电脑有很明显的意图要反击的时候,不要回收防线,一旦被敌进你退,被人追着打,被过和被突破的概率是很大的,尤其是镇静不够的后卫.真正决定后卫站位的,是心态以及你自己的手控拉线.传球重点与球场宽度利用的反差:传球重点中,有左路右路中路两翼,很多朋友认为打两翼自然要把阵型拉开,打中路必然要把阵型往中间靠,其实,反过来用,在中场有创造力的条件下,完全可以对电脑进行制压.拉开阵型却打中路,在电脑没有设置逼抢的情况下,电脑的防线也会拉开,正面防守压力大大减轻,假若电脑忽然开始逼抢,那么创造力高的中场在自由度许可的情况下,则会果断分边,电脑不晕才怪呢.而收缩阵型的情况下打两翼,也是一样的效果,大家不妨试一试!插上设置与拉线的效果:在论坛上看阵型,很多朋友喜欢把两个边前卫拉线到最顶(边锋位置),同时把插上设置为经常.其实我不得不说,这样的设置重复了.就我的观点来说,拉线是决定球员在某一状态下的站位情况.假设你把左前卫拉线到最顶,那么当你的门将开球门球的时候,左前卫的位置和前锋是平行的,相反,你把左前卫拉线到WBL的位置,当对方进攻的时候,左前卫就会站到和DM平行的位置.(只恨FM不能拉双箭头!!)而插上呢,则决定了球员是不是会果断的进入对方的30米区域,假设你的左前卫不拉线而设置为插上经常,则每次进攻时他都会适时的前插接球,而不是拉线那样的早早站好位置等球,懂球的朋友都明白运动战中停下等球的大忌吧~而且直接拉线还有一个弊端,当你球还在后场等待中场组织的时候,两边前卫早早的进入了对方30米区域和对方边后卫攀谈,而中场只剩下1前1后两个腰....接应点是不是太少了?拉线的作用是毋庸质疑的,但是我个人认为,拉线在防守上的作用远远大过在进攻上.中场协助后防的防守:玩FM07刚开始,场均丢球1.5 ,非常郁闷,动不动就3:2 4:3,基本每场都丢球,赢了也不舒适,不过这个问题现在得到了解决,我的NAPOLI在意乙中连续保持8场没有失球,其中包括一场0:0平尤文,我想在弱队防守操作上,我应该有一点发言权了.其实我的方法很简单,就是后卫全部设置为区域防守,而前卫全部设置为盯人,这样设置的效果一个是使中场玩命的堵截对方进攻,即便给他通过,后面一条后防线也能配合着一起抢,而且在这样的设置下,后卫感觉防守更加游刃有余,堵枪眼的情况变多,以前不感收缩防守的时代过去了!(打尤文那场,我足足守了80多分钟.)传中与否:我看了很多朋友的设置,似乎边前卫的传中都是"高",这里我要小小质疑一下,边前卫只会传中吗?在我看来,边前卫的素质应该是有很强的带球能力,传中应该设置为"混合","底线",因为我时常发现,电脑会有意识的防范边前卫的传中,导致传中不轻易起来.有朋友说了那我的空霸不是浪费了?非也,边后卫在边前卫的拉扯下,现在有空挡了,设置为传中"经常""边线",45度起球,看过球的朋友都知道,当对方所有防守人被压缩在小禁区一带的时候,无人看管的45度吊传对于空霸型球员意味着什么.单前锋以及空霸型中锋的心态设置:好象看了论坛上所有战术设置,前锋的心态无一不是"进攻进攻再进攻",即便是跑位13↓,带球技术不超过10的,也完全按照进攻思路来加以战术.不知道大家对葡萄牙中锋保莱塔有什么印象,我对他最大的印象就是他给同伴的做球能力.论坛上早有高人说过,球员的心态,决定了他拿球后对于走向的抉择,进攻18的,宁愿远射飞机也不会往回带一步,防守18的即便没人防自己也不愿意转身面对禁区.本人队里的中锋是ROBERT.SOSA,NAPOLI开档就有的老臣子,190CM,弹跳17头球20,技术相关指数基本在10的边缘,我把他的心态设置为普通,为什么呢,因为柱式中锋的作用往往不是最后一击,而是在对方禁区内给本方进攻做一个支点.10心态下的SOSA,拿球后倾向于护球,并看准时机把球传给正在插上的队友,禁区里位置比较不利的头球,他也不再一味的攻门,而是开始有选择性的摆渡到禁区外,我觉得这样的设置应该说是最大的利用了他的高空优势,同时,自由度5的设置,让他在自认为高于75%成功率的情况下自由的发动攻击.中锋,尤其是单前锋阵型里的中锋,我觉得策应掩护的任务,比进球的任务来的更加重要.传中的选择:两边下底传中,我想是很多FMER的重要战术手段,空霸这个词在本作似乎也格外吃香.但传中落点究竟选哪个更好呢?前点,后点,还是进攻核心?我这里提出一个观点,对于抢点型前锋(跑动能力18 ,爆发力15 ),前点是最有破门概率的,因为我发现跑动能力强的前锋,对球落点的判定跑位比一般的后卫都要迅速(后卫抢前防守主要看预判能力),加之不错的爆发力,更轻易甩开盯自己的对手,从而头球破门.而对于那些身高190 弹跳头球不俗而跑动欠佳的前锋,则更倾向于起后点球,后点传中的特点是球速慢,且球弧线高,利于高个队员选位以及控制高空.中点我觉得效果就比较折中,在对方禁区内有4~6个抢点队员时能起到奇效.(引起对方盯人混乱,中间究竟是最有威胁的.)还有很多朋友喜欢把脚法不是很细腻但空中超强的中锋设置为进攻核心,鄙人不敢苟同,因为进攻核心是进攻的枢纽,不能只为了边路的效果,就把禁区前的组织工作一并交给了毫无技巧可言的莽夫,从整体战术上来讲,是不好的.(最后说明,假如是要害能力都达到一定水准的,以上全部是废话,这一条只针对一般性有特点但不平衡的前锋.)。
K线操作大全第07讲平底平顶圆底与圆顶塔形底与塔形顶的识别和运用
平顶
5、平顶介于K线组合和反转形态之间， 它形成的周期并不确定，一般形成的周期 在几天或几周左右，按三、四天的时间来 看，其应属于K线组合；按三、四周的时间 来看，其又具有形态的特征。由于平顶不 属于标准的形态，一般而言不管时间长短， 还是把它归类到K线组合当中。
14
塔形顶
由于平顶为见顶的K线组合，而非具有 测量跌幅的形态，因此其只能提供转势的 信号，而不能提供量度跌幅。其下跌趋势 的研判还需借助其它技术方法。如果长阴 长阳间K线排列持续的时间非常短，并且最 高价也没有相同或基本相同，那么就出现 了平顶的一种变异形式———塔形顶。
8
平顶
但在实战中往往出现大量的多根K线 均符合平顶定义的情况，平顶的时间范畴 相应也被放大了。广义上的平顶是指股价 在顶部的K线组合呈现连续的平行震荡走势， 而且上下的空间不大，同时在股价达到高 位之前有一到两个放量的长阳，而股价从 高位下跌时也有一到两个的长阴，其后市 将转而下行。
9
平顶
从K线图上看，就如同在两根竹杆中间拉起 来的一条横线。平顶在实战中运用技巧为：
4
平底
平底
5
平底
平底
6
平顶
有一类顶部形态不太常见，往往介于K 线组合和反转形态之间，平顶就是其中较 为重要的一种。顾名思义，平顶是指出现 同价的顶部。按传统平顶的概念来看，应 为两根K线的组合，其特征是两根K线的最 高价相同或基本相同。
7
平顶
其形态中往往包含其它的K线组合，如 十字胎、射击之星、乌云盖顶等。其技术 意义为在长期的上升趋势中，多方能量逐 渐消耗，并随着股价再创新高，多方力量 衰竭，第二天虽然顺势冲高，但也只拉到 第一天的高位，便再也无力拉升，股价顺 势回落，这样形成了平顶。
气体动力学讲义(07)
激波图画
二、激波结构 超声速气流 被压缩 激波
很短的距离 完成压缩
激波的厚度2.5X10-5cm，相当于气体分子自由程。
什么是激波？
激波定义：有限振幅的力学波动、物理参数从一种 状态、经历若干个分子平均自由程的距离后，跳跃 到另外一种状态，宏观上可以看成间断，在静止气 体中以超音速传播。
自然现象. Earnshaw(1851)发现雷电的超音速传播现 象，即雷的响声传播速度快于音速.雷电实际上导致 了激波的产生。
（8）
二、朗金—雨贡纽关系式
（8）式可以变为：
p 2
p 1
V2 1 1n
1
1
2
V12n
p2
2
p1
1
2 1
（9）
p 2
p 1
V2 2 2n
1
2
1
V22n
p2
2
p1
1
12（10）
（9,10）式联立（8）式
可得：
k
k
1
p2
2
p1
1
1 2
V12n V22n
朗金—雨贡纽关系式
p p 1; 1;V c
2
1
2
1
s
c Vs
激波是以超声速在气体中传播的
从激波形成的例子可以看出，对于封闭空间，活 塞作加速运动在管中就可以产生激波，无论活塞 的速度VB是超声，还是亚声，只要恒定，激波强 度不变，并且稳定。
物体在大空间运动时，只有以超音速运动时才可 能形成稳定的激波。
水平来流经过斜激波后气流转折 角，沿楔形体表面流动。
一、激波的基本方程
Comparison between the wave angle and the Mach angle • When generating object is larger than a “point”, shock wave is stronger than mach wave …. Oblique shock wave
初中数学竞赛练习第07讲 二次函数(含解析)
第7讲二次函数。
022·广东，九年级统考觉赛〉如图，在四边形ABCD中，ADI/BC, LA=45°, LC=90。
，AD=4cm, 一、单选题CD=3cm.动点M,N同时从点A出发，点M以.ficm怜的速度？的AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿拆线AD－即向终点C运动．设点N的运动时间为ts,AMN的面积为Scm2，则下列图象自巨大致反映S与t之间函数关系的是（BS/cm2 S/cm2A. B。
S/cm2 S/cm2c. D.。
7s2.(2021·全国九年级党赛）一条抛物线y= ax2 +hx+c的顶点为（4,-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则。
，b, c中为正数的（A. 只有aB.只有b c.只有c D.只有。
和b3.(2021·全国九年级党赛）己知二次i1E1数y=ax2+bx＋己的图象如图所示，则下列代数式：ab,ac, a+b+c, a-b+c, 2a吨，2a-b中，其值为正的代数式的个数为（}\1A.2个B.3个 c.4个 D.4个以上4.(2021·全国九年级党赛〉在平面直角坐标系z句中，作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向在平移2个单位，向上半移1个单位，得到的抛物线C的两数负析式是y=2（λ＋1)2-1，贝！｜抛物线A所对应的的函数解析式是（A. y=-2(x+3)2-2B.y=-2(x+3)2 +2C. y=-2(x-1)1-2D.y=-2(x-1)1+25.(2021 ·全国丸年级竞赛〉己知α－b=4,ab+c2÷4=0，则α＋b=( ) .A.4B.0C.2D.-26.(2021·全国九年级党赛）在平丽直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次27函数y=-x1+6x-4的图象与X车rb所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的孩点的个数是（〉A.5B.6 c.7 D.87.(2023春·浙江宁波九年级校联考竞赛〉二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（码，0). B（句，o），且λ｝〈毛，点P(m,n）是囱象上一点，那么下列判断正确的是〈〉A.当n>O时，川〈λlB.当n>O时，m＞λ；2c.当n.<0时，m<O D.当n<O时，x1<m<x18.(2017秋·江苏镇江·九年级党赛）函数y=ax1+bx+c图像的大致位置如｜到所示，则忡，bc,2α忡，（a+c)2-b2,“＋ b)2 -c1, l l-a2等代数式的值中，正数有（〉xA. 2个B.3个 c.4个 D. 5个9.(2022·福建·九年级统考竞赛）已知二次函数y=ax气的＋c的图象交x轴于A（刀，0），β（λz,0）两点，交y轴于点C(O，匀，若X1+ X2 = 4，且b.ABC的丽积为3，则。
第07讲 平面镜成像
第7讲平面镜成像【知识点金】知识点一：平面镜成像的特点【例题详解】例一：如图所示，MN为平面镜（镜面向下且足够大），放置于地面上方并与地面平行。
P 为不透光的长方形物体，S为点光源。
试画图作出P右侧能被S照亮的范围。
【变式训练】1.作出点光源S通过平面镜MN照亮不透明物体右侧地面或光屏的范围【例题详解】例二：在水平桌面上立一块平面镜，让一个小球沿桌面朝着镜面方向滚动，若从镜中看到小球的像是竖直向上运动的，那么平面镜与桌面的夹角（指有小球一侧的角）应为:( ) A.45° B.60° C.90° D.135°【变式训练】1.如图所示，一条走廊的两侧竖立着两面平面镜MN和PQ，MN∥PQ，相距d米，在走廊中间将一橡皮小球垂直指向镜，以F米／秒的速度沿地面抛出，若抛出后小球速度大小不变，则观察到两个平面镜上所形成的第一个像之间的相对运动情况是( )A.不论小球指向哪个平面镜，两个像之间相互靠近，相对速度为2vB.不论小球指向哪个平面镜，两个像之间相对速度为零C.小球指向MN镜时，两个像靠近，相对速度为2vD.小球指向MN镜时，两个像远离，相对速度为2v【例题详解】例三：一个高180cm的人要看到自己的全身像，必须至少在身前竖立一个多高的镜子？【变式训练】1.一般人脸宽（包括两耳）约18厘米，两眼的光心相距约7厘米，两眼光心离头顶和下巴分别为10厘米和13厘米。
当平面镜竖直放置时，则至少要用多大的平面镜（矩形），才能看到自己脸的全部？【例题详解】例四：如图所示，平面镜M1和M2的夹角为60°，物点S经这两块平面镜所成的清晰像共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式训练】如图所示，两个平面镜之间的夹角为75°，在两镜面夹角的角平分线上有一个点光源S，它在两平面镜中所成的像个数为（）A. 6B. 5C. 4D. 3【巩固训练】1.一般人脸宽（包括两耳）约18cm，两眼的光心相距约7cm，两眼光心离头顶和下巴分别为10cm和13cm．当平面镜竖直放置时，则至少要用多大的平面镜（矩形），才能看到自己脸的全部？2.如图所示，一平面镜放在圆筒的中心处，平面镜正对筒壁上的一点光源S，点光源S发出一细光束垂直射向平面镜。
第七讲 明清时期的城市
• 4、沿江、沿运城市发展轴线进一步增强。 • 原因：1）明清时期全国各地城乡商品经济进一步发 展，货物流通量增多；2）这一时期沿海各大、中港口的开 放关闭不一，河港城市获得了进一步发展的契机；3）明清 两代建都北京，政治中心和经济重心再次分离，大运河又成 为全国经济的主要命脉。 • 5、边陲地区的城镇分布地域有了较大扩展。 • 明清由于政局相对安定，对边疆地区实行移民、屯田 等政策，使边疆地区地域经济得到了开发，各民族之间的联 系也得到了加强，在这种情势下，全国城镇分布的地域空间 也得到了进一步扩展。主要有西南地区、西北地区、东北地 区等。
• 城市建设的特点：
• 1、规模宏大，有宫城（大内、紫禁城）、皇城、中都城三 道城。 • 2、由于不受地形及原有建筑影响，城市形制较为规整。中 都城内设置的重要建筑除宫殿外，其他如太庙、太社稷、中 书省、大都督府、钟楼、鼓楼、城隍庙和功臣庙，都是左右 对称布局。特别是中都午门以南，从洪武门开始的千步廊， 大明门至午门长达3里多的御道两侧布置了门阙、御桥、左 右两翼、文武官署、太庙、太社等，充分运用了中轴对称的 布置手法。
• 2、城市之间、城乡之间具有密切联系的特点（这是由于农 业商品化和城乡商品经济进一步发展所致） • 这主要表现在棉、麻、桑、茶、蔗、烟等商品性经 济作物特别是棉花得到了大面积的推广种植，以及在此基础 上发展起来的商品手工业和商业都很发达。 • 促成棉花、蚕桑等经济作物得到大面积推广种植的 原因主要有： • （1）明政府提倡。 • （2）这些经济作物较粮食收益高。 • （3）实物地租货币化。
2、恢复传统的宗法礼制思想，继承了历代都城规划的 严格按照“左祖右社、前朝后市”的礼制布局。 • 皇城前左(东)建太庙（祭祀祖先的地方），右(西) 建社稷坛（祭祀土地神、各神），并在城外四方建天(南) （先天地全祭、后祭天）、地(北)（祭地）、日(东)（春分 时节祭祀日明神）、月(西)（秋分时节祭祀夜明神）四坛、 山川坛（祭祀天神）、先农坛（皇帝行耕种礼）。皇城北门 的玄武门外，每月逢四开市，称内市。这完全符合“左祖右 社、前朝后市”的传统城制。 • 明初，朱元璋南京宫殿仿照“三朝”作三殿，并在 殿前作门五重。 （即 “三朝五门”）
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.
实例
5台相同机器,20个工件,加工时间分别为 10,13,15,8,5,9,21,17,12,7, 11,3,6,16,23,22,4,19,26,31 迭代2次
多项式时间近似方案
Sk
取出mk个加工时间最长的工件,若mk>n,则取出所 有工件. 对取出的所有工件用枚举法求出最优排序. 由得到的mk个工件最优排序出发,将剩下的n-mk个 工件用LS算法,安排它们的加工.
说明
整数线性规划的解中不能说明次序,但是由于平行机排序 问题中,每台机器加工的总时间不受这台机器的加工次序 影响,所以这个整数线性规划的最优解即也就给出了最优 排序.
平行机排序问题与装箱问题
这两个问题成为对偶问题.把这两个问题中的箱子和机器 对应,物品与工件对应.那么装箱问题就是箱子长度固 定,目标是使箱子数最小;而平行机排序问题是箱子数固 定,目标是使得箱子长度最短.
该算法初始上界为CU取LPT算法所得到的解值,初始下界 为CL.
绝对性能比
定理:当Multifit算法中FFD算法迭代了k次,则对任意实 例I ,
Multifit ( I ) 13 1 k ≤ +( ) OPT ( I ) 11 2
13 13 RMultifit = 且常数部分 11 不可改进,即 11
绝对性能比
1 定理:RLS = 2 m
.
实例
5台相同机器,20个工件,加工时间分别为 10,13,15,8,5,9,21,17,12,7, 11,3,6,16,23,22,4,19,26,31
LPT算法
先将物品按照加工时间从大到小排序,然后按照LS算法排 序. 此算法为离线算法,时间复杂度 O (n log n)
平行机排序问题最优解的下界
定理:最优解值的一个下界为
n ∑ pi i =1 CL = max , max{ pi } 1≤i ≤ n m
.
近似算法
LS算法(List Scheduling) LPT算法(Largest Processing Time) Multifit算法 多项式时间近似方案 S k
练习
6台相同机器,25个工件,加工时间分别为 10,13,15,27,18,8,5,9,21, 17,12,7,11,3,6,16,23,22,4, 19,26,31,1,2,9 分别用LS算法,LPT算法, Multifit算法 (迭 代3次), S k 算法(取k=3)进行排序
作业
P : 7,9,12 115
1≤ i ≤ n
整数线性规划(PMS)
1 xij = 0 工件J i 分配给机器M j 加工 否则
min s.t
Cmax
∑x
j =1
m
ij
=1
n
i = 1, 2...., n j = 1, 2...., m
Cmax ≥ ∑ pi xij = 1,
i =1
xij = 0 或者1 i = 1, 2...., n, j = 1, 2...., m
�
LS算法
将每一个工件非给最早空闲的机器. 为在线算法,时间复杂度 O (n) .
算法描述
1.x ji = 0, Li = 0, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n Li 表示M i 当前所需总工作时间 2.令xii =1,Li = pi , i = 1, 2,..., m 将前m个工件按次序分配给m个机器 3. for j = m +1 to n 设Lt为 min{Li }: x jt = 1, Lt = Lt + p j 4.输出Cmax = max{Li }
平行机排序问题
Parallel Machine Scheduling
平行机排序问题
有多份文件需安排给几个打字员打印,若每个 打字员的打字速度相同,应该如何安排使得这 些文件在最短时间内完成.
问题描述
设有m台完全相同的机器 M 1 , M 2 ,...., M m , n个互相独立的工 件 J1 , J 2 ,..., J n ,每个工件只需在一台机器上不中断的加工 一次,并设m<n.设工件 J i 的加工时间为 pi ≥ 0 ,n个工 件在零时刻到达且所有机器在零时刻即可以加工,并要求 工件一旦在某个机器上加工就必须完毕,不允许中断. 问,如何安排这些工件的加工方案,才能使预定的目标函 数达到最优.
绝对性能比,时间复杂性
定理
1 :RSk ≤ 1 + m 1+ k 1
, S 的时间复杂性为
k
O(min{mn , mkm } + n log n)
实例
5台相同机器,20个工件,加工时间分别为 10,13,15,8,5,9,21,17,12,7, 11,3,6,23,22,4,19,26,31 取k=2
绝对性能比
定理: RLPT
4 1 = 3 3m 3m
.
实例
5台相同机器,20个工件,加工时间分别为 10,13,15,8,5,9,21,17,12,7, 11,3,6,16,23,22,4,19,26,31
Multifit算法
将m台机器看成m个箱子,n个工件看成有长度的物 品,其长度为该工件在机器上所需的加工时间. 先确定箱子容量的上下界 Cupper , Clower ,然后用FFD算法 判断是否能将所有物品放入容量为
目标函数
假设在某种排序下 C j 为工件 J j 的加工结束时间,记 Cmax = max Ci 我们想要的目标函数为 min Cmax ,它表示所有的工件加工工 作在最短时间内完成.若记 L j 为机器 M j 所要加工的所有 工件所需的总的时间,那么显然有 Cmax = max Li . 1≤ i ≤ m 讨论这种所需加工时间最小的平行机排序问题也称为使时 间跨度最小的平行机排序问题.
Cupper + Clower 2
的m个
箱子中,以调整上下界,迭代k次后以上界作为输出.
算法描述
1o.i = 0, Clower = CL, Cupper = CU . 1 (Clower + Cupper ), 对容量C应用FFD算法. 2 3o.如果FFD算法不能将所有物品放入m个容量为C的箱子,则 2o.C = 令Clower = C并转4 o ; 否则,令Cupper = C , 转4o. 4o.若i = k 则停止,否则转2o.