2017年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质同步练习湘教版选修1_12017101936

2.3.2 抛物线的简单几何性质
1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果
直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝()．
A．4 3 B．8 C．8 3 D．16
2．若抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为()．
A．1 B．2 C．4 D．6
3．抛物线上一点(－5,2 5)到焦点F(x,0)的距离为6，则抛物线的标准方程是()．
A．y2＝－2x，y2＝－18x B．y2＝－4x，y2＝－36x
C．y2＝－4x D．y2＝－36x
4．边长为1的等边△AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()．
3 3
A．y2＝x B．y2＝－
x
6 6
3 3
C．y2＝±x D．y2＝±x
6 3
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB
的中点到y轴的距离为()．
3 5 7
A．B．1 C．D．
4 4 4
6．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O
为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()．
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
7．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
能使这条抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．
8．已知抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B，C，D四个点，求r
的取值范围．
1
参考答案
1．B直线AF的方程为y＝－3(x－2)，联立Error!得y＝4 3，所以P(6,4 3)．
由抛物线的性质可以知道|PF|＝6＋2＝8.
p
2．C依题意，得＋6＝8，∴p＝4，∴焦点到准线的距离为p＝4.
2
3．C由已知，得(x＋5)2＋(2\r(5))2＝6，
∴x2＋10x＋9＝0，∴x＝－1或－9.
∴焦点为F(－1,0)或F(－9,0)．
∴p＝2或18.∴抛物线的方程为y2＝－4x或y2＝－36x.显然，若抛物线的方程为y2＝－36x，则它的准线为x＝9.
而点A(－5,2 5)到x＝9的距离为14，由抛物线的定义可知与题意不符，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
4．C∵△AOB为边长等于1的正三角形，
3 1
∴O到AB的距离为，A，B到x轴的距离均为.
2 2
当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时，
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
3 1
∵抛物线过点( ，)，
2 2
1 3 3
∴()2＝2p·.∴2p＝.
2 2 6
3 ∴
抛物线的方程为y2＝x.
6
当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时，
设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)．
3 1
∵抛物线过点(－，)，
2 2
1 3 3
∴()2＝－2p·(－)．∴2p＝.
2 2 6
3 ∴
抛物线的方程为y2＝－x.
6
5．C如图，由抛物线的定义，知|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3.
2
设点C为线段AB的中点，
1 3
所以|CD|＝(|AM|＋|BN|)＝，
2 2
3 1 5
所以中点C的横坐标为－＝，
2 4 4
5
即线段AB的中点到y轴的距离为.
4
a a
6．B抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为( ，0)，则直线l的方程为y＝2(x－)，
4 4
a 1 1 a a
它与y轴的交点为A(0，－)，所以△OAF的面积为|OA|·|OF|＝| |·| |＝4，解得a＝
2 2 2 4 2
±8.所以抛物线的方程为y2＝±8x.
7．②⑤本题主要考查抛物线的基础知识，考查分析和探索问题的能力．
由抛物线方程y2＝10x知它的焦点在x轴上，所以②适合．
5 又∵它的焦点坐标为
F( ，0)，原点O(0,0)，
2
设点P(2,1)，可得k PO·k PF＝－1，
∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．
∴应填序号为②⑤.
8．解：将抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)的方程联立，消去y2，整理得
x2－7x＋16－r2＝0.(*)
抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B，C，D四个点的充要条件是：方程(*)有两个不相等的正根．
15 所以
由Error!解得r∈(，4)．
2
15 即r
的取值范围是( ，4)．
2
3。