全国通用版2019版高考数学一轮复习第十六单元概率学案理

全国通用版2019版高考数学一轮复习第十六单元概率学案理
次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( )
A.35
B.59
C.25
D.110
解析：选B 由题可得，满足要求的所有基本事件数为6×9＝54，第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的基本事件数为6×5＝30.所以由古典概型可知，P ＝3054＝5
9
.
[清易错]
1．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的． 2．概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.
1．一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是( )
A.13
B.25
C.815
D.35
解析：选D 由题意知，摸出2个球的事件数共15个，至少有1个是红球的对立事件为两个均
不是红球，事件个数为6个，设两个均不是红球为事件A ，则P (A )＝615＝2
5，所以其对立事件2个
球中至少有1个是红球的概率P ＝1－25＝3
5
.
2．从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张．事件A 为“抽到红桃K ”，事件B 为“抽到黑桃”，则P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)．
解析：∵P (A )＝152，P (B )＝13
52
，
∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝7
26.
答案：7
26
几何概型
1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．特点：
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能的． 3．公式：
P (A )＝
构成事件A 的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
.
1．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，136上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 13(x ＋1)≤1”不发生的概率为( )
A.8
9 B.23 C.13
D.19
解析：选D 因为－1≤log 13(x ＋1)≤1，所以－23≤x ≤2，所以所求事件的概率为1－
2－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－23136－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－56＝19
.
2．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2
＝25上的任意两点，且|PQ |＜6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )
A.35
B.925
C.1625
D.
25
解析：选B PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为
25π－16π25π＝9
25
.
3．(xx·西宁复习检测)已知球O 内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．
解析：由题意知球的半径为1，其体积为V 球＝4π3，正方体的体积为V 正方体＝23
＝8，
则这一点不在球内的概率P ＝1－4π38＝1－π
6.
答案：1－π
6
4．数轴上有四个间隔为1的点依次为A ，B ，C ，D ，在线段AD 上随机取一点E ，则E 点到B ，C 两点的距离之和小于2的概率为________．
解析：如图，数轴上AD ＝3，而到B ，C 两点的距离之和小于2的点E 在线段MN 内，且MN ＝5
2－
12＝2，所以E 点到B ，C 两点的距离之和小于2的概率P ＝MN AD ＝23
.
答案：2
3
一、选择题
1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有1个白球，都是红球 B ．至少有1个白球，至多有1个红球 C ．恰有1个白球，恰有2个白球 D ．至多有1个白球，都是红球
解析：选C 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球共有三种可能：两个白球、两个红球、一个白球和一个红球，三者互斥，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，“至少有1个白球”和“至多有1个红球”不互斥，“恰有1个白球”和“恰有2个白球”互斥不对立，故选C.
2．一批产品次品率为4%，正品中一等品率为75%.现从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为( )
A ．0.75
B ．0.71
C ．0.72
D ．0.3
解析：选C 由题意可知，正品率为96%， 因为正品中一等品率为75%， 所以一等品率为96%×75%＝72%，
所以任取一件产品，恰好是一等品的概率为0.72.
3．如图，在一不规则区域内，有一边长为1 m 的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为( )
A.83m 2 B ．2 m 2
C.163
m 2 D ．3 m 2
解析：选A 由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到S 正方形
S 不规则图形＝3751 000
，所以该不规则图形
的面积大约为1 000375＝83
(m 2
)．
4．抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于( ) A.118 B.19 C.16
D.536
解析：选B 由题意抛掷两颗质地均匀的骰子，向上的点数所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种情况，其中点数之积为6的情况为(1,6)，(2,3)，(3,2)，(6,1)，共4种情况，故所求概率为P ＝436＝19
.
5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6
个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.827
B.127
C.2627
D.1527
解析：选B 依题意，小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1的小正方体内，这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为33
＝27，故根据几何概型得安全飞行的概率为P ＝127
.
6．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A ．0.4
B ．0.8
C ．0.6
D ．1
解析：选C 标记5件产品中的次品为1,2，合格品为3,4,5.从这5件产品中任取2件，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即基本事件的总数为10.“从这5件产品中任取2件，恰有一件次品”的取法有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共6种取法，所以恰有一件次品的概率P ＝6
10
＝0.6.
7．将一枚骰子连续抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2
＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( )
A.13
B.12
C.1936
D.25
解析：选C 将一枚骰子连续抛掷两次共有36种结果．方程x 2
＋bx ＋c ＝0有实根，则Δ＝b
2
－4c ≥0，即b ≥2c ，其包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概型的概率计算公式可得P ＝19
36
.
8．设实数x ，y 满足x 2
＋(y －1)2
≤1，则x －y ＋2≤0的概率为( ) A.14 B.π4 C.π－24π
D.
4π－2
4π
解析：选C 如图，x 2
＋(y －1)2
≤1表示圆心为(0,1)，半径为1的圆面，面积为π；同时，x
－y ＋2≤0表示圆面内在x －y ＋2＝0左上方的点构成的平面区域，连接CB ，则CA ⊥CB ，阴影部分的面积为π4－12×1×1＝π4－12，由几何概型的概率公式得P ＝π－2
4π
.
二、填空题
9．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．
解析：如图，可设AB 与AB ′的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是2
3
.
答案：23
10．在圆x 2
＋y 2
＝4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则|x |＋|y |≤2的概率为________． 解析：不等式|x |＋|y |≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，则|x |＋|y |≤2的概率为P ＝222
π×22＝
2π
. 答案：2π
11．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为________．
解析：画树状图为： 红红白 红白红 白红红
共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，则随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为1
3
.
答案：13
12．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的10
11
，则这个班的男生人数为________．
解析：根据题意，设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是
63－x
63
，“选出的标兵是男生”的概率是x 63，故63－x 63＝1011×x
63
，解得x ＝33，故这个班的男生人数为33.
答案：33
三、解答题
13．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由题意知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用频率估计相应的概率约为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，由调查结果得：
(3)A1，A2分别表示甲选择L1，L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1，L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.
14．在某高校自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；
(2)若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A .在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率．
解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，所以该考场有
10
0.25
＝40(人)， 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.
(2)由图知，“数学与逻辑”科目的成绩为D 的频率为1－0.2－0.375－0.25－0.075＝0.1，故该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1×0.2＋2×0.1＋3×0.375＋4×0.25＋5×0.075＝2.9.
(3)因为两科考试中，共有6个得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A 的为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则P (B )＝1
6.高考
研究课(一)
古典概型命题2类型——简单问题、交汇问题
[全国卷5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度 古典概型
5年4考
求古典概型的概率
古典概型的简单问题
[典例] (1)线段能构成一个三角形的概率为( )
A.110
B.310
C.12
D.
710
(2)(xx·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．
①若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
②若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． [解] (1)由题意，从这五条线段中任取三条，有10种不同的取法，其中所取三条线段能构成一个三角形的取法有：(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，共有3种不同的取法，所以所取三条线段能构成一个三角形的概率为3
10
.
答案：B
(2)①由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，
B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个．
则所求事件的概率为P ＝315＝1
5
.
②从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有：
{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．
包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个， 则所求事件的概率为P ＝2
9.
[方法技巧]
计算古典概型的概率可分三步： (1)算出基本事件的总个数n ；
(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；
(3)代入公式求出概率P .解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树状图法． [即时演练]
1．袋中装有大小、形状完全相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
解析：从袋中一次摸出两个球，总的事件个数为6.摸出两个相同颜色球只有两个黄球，所以2
只球颜色相同的概率为16，所以这2只球颜色不同的概率为1－16＝5
6
.
答案：5
6
2．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.
(1)根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩； (2)这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为s 2
1，s 2
2，试比较s 2
1与s 2
2的大小(只需直接写出结果)；
(3)若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．(注：成绩大于等于75分为优良)．
解：(1)设这10名同学中男、女生的平均成绩分别为x 1，x 2. 则x 1＝64＋76＋77＋784
＝73.75，
x 2＝
56＋79＋76＋70＋88＋87
6
＝76，
故该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75,76. (2)s 2
1<s 2
2.
(3)设“两名同学的成绩均为优良”为事件A ， 男生按成绩由低到高依次编号为a 1，a 2，a 3，a 4， 女生按成绩由低到高依次编号为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6， 则从10名学生中随机选取一男一女两名同学的取法有： (a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 1，b 5)，(a 1，b 6)， (a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(a 2，b 5)，(a 2，b 6)， (a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(a 3，b 4)，(a 3，b 5)，(a 3，b 6)， (a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 4，b 3)，(a 4，b 4)，(a 4，b 5)，(a 4，b 6)， 共24种．
其中两名同学均为优良的取法有：
(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(a 2，b 5)，(a 2，b 6)，(a 3，b 3)，(a 3，b 4)，(a 3，b 5)，(a 3，b 6)，(a 4，b 3)，(a 4，b 4)，(a 4，b 5)，(a 4，b 6)，共12种，
所以P (A )＝1224＝12，即两名同学成绩均为优良的概率为1
2
.
古典概型的交汇命题问题
古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高.
常见的命题角度有：
1古典概型与平面向量相结合； 2古典概型与直线、圆相结合； 3古典概型与函数相结合； 4古典概型与统计相结合. 1．(xx·威海调研)从集合{}2，3，4，5中随机抽取一个数a ，从集合{}1，3，5中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )
A.1
6 B.13 C.14
D.12
解析：选A 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．
因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，
所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2种情况， 故所求的概率为1
6
.
角度二：古典概型与直线、圆相结合
2．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为________．
解析：∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6＝36种结果， 满足条件的事件是以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上， 则(x ，y )为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共有3种结果，
∴根据古典概型的概率公式得以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率P ＝336＝1
12.
答案：1
12
角度三：古典概型与函数相结合
3．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2
－4bx ＋1.
(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －8≤0，x >0，
y >0
内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是
增函数的概率．
解：(1)由题意知，总的基本事件的个数是3×5＝15.
∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a
，要使f (x )＝ax 2
－4bx ＋1在区间[1，＋∞)
上为增函数，
当且仅当a >0且2b
a
≤1，即2b ≤a 时．
若a ＝1，则b ＝－1； 若a ＝2，则b ＝－1,1； 若a ＝3，则b ＝－1,1.
∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5， ∴所求事件的概率P ＝515＝1
3
.
(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2
－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩
⎪⎨
⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ，b
⎪⎪⎪
⎩⎪
⎨⎪
⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，即△OAB 部分；构成所求事件的区域为△OAC 部分．
由⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＋
b －8＝0，a －2b ＝0.
得交点坐标C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫163，83，
∴由几何概型概率公式得所求事件的概率
P
＝1
2
×8×
8
3
1
2
×8×8
＝
1
3
.
角度四：古典概型与统计相结合
4．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为
1
10
.
[方法技巧]
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
1．(xx·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.110
B.15
C.310
D.25
解析：选D 记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a ＞b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P ＝1025＝2
5
.
2．(xx·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.815
B.18
C.115
D.130
解析：选C ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝1
15
.
3．(xx·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A.310
B.15
C.110
D.120
解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110
.
4．(xx·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，
共3种．故所求概率为P ＝39＝1
3
.
答案：13
5．(xx·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋36
90＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计
值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900； 若最高气温位于区间[20,25)，
则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，
则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100. 所以Y 的所有可能值为900,300，－100.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
36＋25＋7＋4
90
＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.
一、选择题
1．(xx·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A.4
5 B.35 C.25
D.15
解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝2
5
.
2．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( ) A.112 B.16 C.14
D.13
解析：选C 骰子的点数为1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设基本事件为(x ，
y )，共有6×6＝36个，记两次点数之积为奇数的事件为A ，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，
(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为P (A )＝936＝1
4
.
3．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)，则A ，
B 入住同一标间的概率为( )
A.110
B.15
C.310
D.25
解析：选B 记A ，B 入住同一标间的概率为P ，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)共有C 25C 2
3A 22A 33＝90种不同的方法，A ，B 入住同一标间有C 23A 3
3＝18种不同的方法，∴P
＝1890＝15
. 4．(xx·泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞
b ，b ＜
c 时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互
不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )
A.16
B.524
C.13
D.724
解析：选C 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个．当b ＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P ＝
6＋224＝1
3
. 5．高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为( )
A.18
B.38
C.58
D.78
解析：选D 高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n ＝24
＝16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学，所以甲、乙两所大学都有考生参观的概率P ＝1－116－116＝7
8
.
6．a ，b ，c ，d ，e 是从集合{1,2,3,4,5}中任取的5个元素(不允许重复)，则abc ＋de 为奇数的概率为( )
A.12
B.415
C.25
D.35
解析：选C 由题意可得a ，b ，c ，d ，e 是1,2,3,4,5这5个数，将这5个数分组可得(123,45)，(124,35)，(125,34)，(134,25)，(135,24)，(145,23)，(234,15)，(235,14)，(245,13)，(345,12)，共分10组，其中能使abc ＋de 为奇数的有(124,35)，(135,24)，(234,15)，(245,13)，共有4组，所以abc ＋de 为奇数的概率P ＝410＝25
.
7．抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为a ，b ，则a
2<|b －a 2
|<6－a 成立的概
率为( )
A.1336
B.518
C.736
D.536
解析：选C 由题意知(a ，b )的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
共36种，设“a
2<|b －a 2
|<6－a 成立”为事件A ，则事件A 包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，
(2,2)，(2,6)，共7种，故P (A )＝7
36
.
8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2
x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2
三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A.79
B.13
C.59
D.23
解析：选D 对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2
＋2ax ＋b 2
， 要满足题意需x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有两个不等实根， 即Δ＝4(a 2
－b 2)>0，即a >b .
又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，
故所求的概率P ＝69＝2
3.
二、填空题
9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．
解析：由任何三点不共线，则共有C 3
8＝56个三角形，8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6＝24个，所以构成直角三角形的概率P ＝2456＝3
7
.
答案：37
10．从－1,0,1,3,4这五个数中任选一个数记为a ，则使曲线y ＝7－3a
x
的图象在第一、三象限，
且满足不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋3>9，x －a <0无解的概率为________．
解析：曲线y ＝7－3a
x 的图象在第一、三象限，且满足不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋3>9，x －a <0无解，即7－3a >0
且a ≤3，所以a <73，所以a 可取－1,0,1，由古典概型的概率公式，得P ＝3
5
.
答案：35
11．从x 2m －y 2
n
＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任
取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为________．
解析：当方程x 2m －y 2
n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以
方程x 2m －y 2
n
＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(2,3)，
(3,2)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，m ＞0，n ＞0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4种，所以所求概率P ＝4
7
.
答案：47
12．设集合A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1,2}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上一个点P (a ，b )，设“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (0≤n ≤4，n ∈N)，若事件C n 的概率最大，则n 的值为________．
解析：由题意知，点P 的坐标的所有情况为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9种．
当n ＝0时，落在直线x ＋y ＝0上的点的坐标为(0,0)，共1种； 当n ＝1时，落在直线x ＋y ＝1上的点的坐标为(0,1)和(1,0)，共2种； 当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点的坐标为(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3种； 当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点的坐标为(1,2)，(2,1)，共2种； 当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点的坐标为(2,2)，共1种． 因此，当C n 的概率最大时，n ＝2. 答案：2 三、解答题
13．有一枚正方体骰子，六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6，规定抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后面向上的那一个数字．已知b 和c 是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c (x ∈R)．
(1)若先抛掷骰子得到的数字是3，求再次抛掷骰子时，函数y ＝f (x )有零点的概率； (2)求函数y ＝f (x )在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率． 解：(1)记“函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c (x ∈R)有零点”为事件A ， 由题意知，b ＝3，c ＝1,2,3,4,5,6，
∴所有的基本事件为(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6个．
当函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c (x ∈R)有零点时，方程x 2
＋bx ＋c ＝0有实数根，即Δ＝b 2
－4c ≥0， ∴c ≤9
4，∴c ＝1或2，
即事件A 包含2个基本事件，
∴函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c (x ∈R)有零点的概率P (A )＝26＝13
.
(2)由题意可知，所有的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
记“函数y ＝f (x )在区间(－3，＋∞)上是增函数”为事件B . ∵y ＝f (x )的图象开口向上，
∴要想使函数y ＝f (x )在区间(－3，＋∞)上是增函数， 只需－b
2≤－3即可，解得b ≥6，∴b ＝6.
∴事件B 包含的基本事件有6个．
∴函数y ＝f (x )在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率
P (B )＝636＝16
.
14．学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力．学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为A ，B ，C 三个等级，其统计结果如下表：
文字组织能力为C 的学生的概率为3
10
.
(1)求a ，b 的值；
(2)从测试成绩均为A 或B 的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A 的学生的概率．
解：(1)依题意可知，语言表达能力或文字组织能力为C 的学生共有(b ＋2)人，。