Z-P-S空间中定点紧压缩概率算子的不动点定理

Z-P-S空间中定点紧压缩概率算子的不动点定理
朱传喜;肖芳明
【摘要】The fixed point on Probabitily-Meaurnast(PM)-space is an important part of study of nonlinear operators.New concepts of the constant point compact contractive probabilistic operator are introduced and the fixed point problems of these operators are studied in Z-P-S space. Several important conclusions are obtained.%概率度量空间中不动点问题的研究是非线性算子问题研究的重要组成部分.在Z-P-S空间中引入定点紧压缩概率算子的概念,利用拓扑度的同伦不变性和可解性,对Z-P-S空间中定点紧压缩概率算子的不动点问题作了研究,给出了一些重要结论.
【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》
【年(卷),期】2011(035)002
【总页数】3页(P109-110,140)
【关键词】Z-P-S空间;紧连续算子;拓扑度;不动点
【作者】朱传喜;肖芳明
【作者单位】南昌大学数学系,江西,南昌,330031;南昌大学数学系,江西,南
昌,330031
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
设R表示所有实数的集合,R+表示所有非负实数的集合。

映象f:R→R+称为分布函数,如果它是非减的、左连续的,又满足下列条件:
用W表示一切分布函数的集合。

本文假定 t-模Δ是连续的。

Z-P-S空间,即(E,F,Δ)是M-PN空间且满足下列条件:
(H1)E是实数集 R上的代数,即对任意的x,y∈E,a∈R有
1)E对乘法封闭,即xy∈E;
2)(ax)y=x(ay)=a(xy);
(H 2)E中没有幂零元,即∀x∈E,n∈N有xn=θ⇔ x=θ。

在 Z-P-S空间 E中,记其中x∈E,n为自然数。

定义 1 设(E,F,Δ)是一个 Z-P-S空间,D是 E中的一个开子集,θ∈D。

如果A:→E是一个紧连续算子,且满足
则称非线性算子 A为第 (1)类定点紧压缩概率算子。

定义 2 设(E,F,Δ)是一个 Z-P-S空间,D是 E中的一个开子集,θ∈D。

如果A:→E是一个紧连续算子,且满足
则称非线性算子 A为第 (2)类定点紧压缩概率算子。

定义 3 设(E,F,Δ)是一个 Z-P-S空间,D是 E中的一个开子集,θ∈D。

如果A:→E是一个紧连续算子,且满足
则称非线性算子 A为第 (3)类定点紧压缩概率算子。

定义 4 设(E,F,Δ)是一个 Z-P-S空间,D是 E中的一个开子集,θ∈D。

如果A:→E是一个紧连续算子,且满足
则称非线性算子 A为第 (4)类定点紧压缩概率算子。

定理 1 设(E,F,Δ)是一个 Z-P-S空间,D是 E中的开子集,Δ(t,t)≥ t,t∈ [0,1]。

又设A:→E是第 (1)类定点紧压缩概率算子,则 A在 D中必有不动点。

证明从条件 (G1)可知 A在∂D上没有不动点,即Ax≠x,∀ x∈∂D。

令 hs(x)=x-
x0-s(Axx0),s∈ [0,1],∀x ∈,x0∈D。

下面证明θ∉hs(∂D),s∈ [0,1]。

事实上 ,假设θ∈ hs(∂D),则存在s0 ∈[0,1],x1 ∈ ∂D,θ=x1-x0-s0(Ax1-x0),则s0≠0(否则,若
s0=0,即有θ =x1-x0,即 x1=
因为A是第 (1)类定点紧压缩概率算子,把 (1)代入到 (G1)得到:,即(0,1),t>0,n∈N+。

因为(E,F,Δ)是一个 Z-P-S空间,于是 (x1-x0)n≠θ。

同时 f(x1-x0)n∈W,则由分布
函数 f(x1-x0)n非减性得到 sn0 t>t,即 s0>1,矛盾于s0 ∈ (0,1)。

因此θ∉
h1(∂D),t∈ [0,1]。

根据文[1]中拓扑度的同伦不变性知Deg(h0,D,θ)=Deg(h1,D,θ),即
Deg(I,D,x0)=Deg(I-A,D,θ)=1 ≠0
再根据文[1]中拓扑度的可解性知A在D中必具有不动点。

定理 2 设(E,F,Δ)是一个 Z-P-S空间,D是 E中的开子集,Δ(t,t) ≥ [0,1]。

又设
A:D—→E是第(2)类定点紧压缩概率算子,则 A在 D中必有不动点。

证明从条件 (G2)可知 A在∂D上没有不动点,即Ax≠x,∀x∈∂D令 hs(x)=x-x0-
s(Axx0),s∈ [0,1],∀x ∈D—,x0∈D。

下面证明θ∉hs(∂D),s∈ [0,1]。

事实上 ,假设θ∈ hs(∂D),则存在 s0 ∈[0,1],x1 ∈ ∂D,θ=x1-x0-s0(Ax1-x0),则s0≠0(否则若
s0=0,即有θ =x1-x0,即x1=x0∈D,矛盾于x1∈∂D)且s0≠1(否则,若 s0=1,由θ
=x1-x0-s0(Ax1-x0)得到:θ =x1-Ax1,即x1=Ax1,矛盾于Ax ≠x,∀ x ∈ ∂D)。

故
0<s0<1。

由θ=x1-x0-s0(Ax1-x0)得到:
因为A是第 (2)类定点紧压缩概率算子,把 (2)代入到 (G2)得到即
D,s0 ∈ (0,1),t>0,n ∈N+。

因为 (E,F,Δ)是一个Z-P-S空间,于是 (x1-x0)n≠θ。

同时 f(x1-x0)n∈W,则由分布函数 f(x1-x0)n非减性得到 t,即1<(1-s0)n,从而 s0<0,矛盾于s0∈ (0,1)。

因此θ∉ ht(∂D),t∈ [0,1]。

根据文[1]中拓扑度的同伦不变性知Deg(h0,D,θ)=Deg(h1,D,θ),即
Deg(I,D,x0)=D eg(I-A,D,θ)=1≠0
再根据文[1]中拓扑度的可解性知A在D中必具有不动点。

用类似于定理1和定理2的证明方法,可以证明下面两个定理成立。

定理 3 设(E,F,Δ)是一个 Z-P-S空间,D是 E中的开子集,Δ(t,t)≥ t,t∈ [0,1]。

又设A:D—→E是第 (3)类定点紧压缩概率算子,则 A在 D中必有不动点。

定理 4 设(E,F,Δ)是一个 Z-P-S空间,D是 E中的开子集,Δ(t,t)≥ t,t∈ [0,1]。

又设A:D—→E是第 (4)类定点紧压缩概率算子,则 A在 D中必有不动点。

【相关文献】
[1] ZHANG Shi-sheng,CHEN Yu-qing.Topo logical Degree Theory and Fixed Point Theorem s in ProbabilisticM etric Spaces[J].App lM athM ech,1989,10(61):495-505. [2] 刘展,朱传喜.概率度空间中压缩映射对的公共不动点定理[J].南昌大学学报:理科
版,2008,32(3):209-211.
[3] 朱传喜,朱天.Z-P-S空间中的若干概率分析问题[J].系统科学与数学,2006,26(1):1-4.
[4] 李秋英,朱传喜.Z-P-S空间中的若干新的不动点[J].系统科学与数学,2008,28(4):400-405.
[5] 朱传喜.概率度量空间中若干新的不动点定理[J].应用数学和力学,1995,16(2):165-170.
[6] 朱传喜,代爱莲.两个完备M enger PM空间上复合映射的公共不动点定理[J].南昌大学学报:理科版,2008,32(5):409-411.
[7] 朱传喜.Z-C-X空间中的若干问题 [J].应用数学和力学,2002,23(8):837-842.
[8] 朱传喜.X-M-PN空间中的若干定理[J].应用数学和力学,2000,21(2):161-163.
[9] 朱传喜.M enger PN-空间的零点指数及不动点定理[J].工程数学学报,1997,14(2):11-15.
[10]朱传喜,朱天.M enger PN空间中的固有值与固有元[J].应用数学学报,2005,28(4):752-756.。