2019-2020学年数学人教A版4-1课件：3.2 平面与圆柱面的截线

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平面与圆柱面的截线
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4.已知一个平面截圆柱体所得的截口椭圆的离心率等于3,长轴长等
于 12,则圆柱底面半径为
.
解析设圆柱半焦距为 c,半长轴长为 a,半短轴长为 b,则 2a=12,于是
圆柱形物体的斜截口是椭圆.
做一做1 用一个平面截圆柱体,截口形状不可能是 (
)
A.椭圆
B.矩形
C.圆
D.三角形
解析用任何平面截圆柱体,截口形状都不可能是三角形.
答案D
-4-
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3.已知平面 α 与一圆柱的底面成 60°角,则该平面与圆柱截口图形
的离心率是(
)
A.1
3
B.
2
2
C.
2
1
D.
2
解析由已知可得平面 α 与圆柱的母线成 30°角,因此截口椭圆的离
3
2
心率为 e=cos 30°= .
答案 B
-17-
第十七页，编辑于星期六：二十三点 五十三分
定义
双球证明定理 1
椭圆 组成元素
的过程中探求椭
利用 Dandelin 双球探究椭圆性质
圆的性质.
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1.平面内两个等圆的内公切线的性质
作两圆公切线EF,切点为F1,F2,交BA,DC的延长线于E,F两点,交AD于G1,
交BC于G2,设EF与BC,CD的交角分别为φ,θ.当θ=30°时,则
φ=
,G2F1+G2F2=

, 2 1 =
2
.
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探究一
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(2)椭圆的性质
①椭圆的准线
椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值
cos φ,我们把直线l1叫做椭圆的一条准线.
椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直线l2的距离之比也为定值cos φ,所
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学 习 目 标
思 维 脉 络
1.理解定理 1 及 平面与圆柱面的截线
其推导证明过程. 定理 1
2.在用 Dandelin
5
5.如图所示,设两个焦点的距离F1F2=2c,两个端点的距离G1G2=2a,求证:l1
2
2
与l2之间的距离为

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角为45°,求此截割面的两个焦球球心距离,并求出截线椭圆的长轴长、
短轴长和离心率e.
分析根据截割面的两个焦球与椭圆长轴、短轴之间的关系进行求解.
2
解依题意,两焦球球心距离为sin45°
=
12
2
2
=12 2,而两焦球球心
距离等于截线椭圆的长轴长,故截线椭圆的长轴长为 12 2,其短轴
长为 2r=12,离心率 e=cos
如图所示:
则(1)G2F1+G2F2=AD;
(2)G1G2=AD;
2 1
(3) =cos
2
φ=sin θ.
-3-
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2.定理1
所以 c=
1
2 -2 =1,故
.
1
e= .
2
答案 2
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画“×”.
以l2是椭圆的另一条准线.
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②椭圆的离心率
记e=cos φ,我们把e叫做椭圆的离心率(其中φ是截面β与圆柱母线的交
角).
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答案 A
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1.圆柱形物体的截口可能是(
)
A.抛物线 B.双曲线
C.直线 D.椭圆或圆
解析当截面与圆柱底面平行时,截口是圆;当截面与圆柱底面不平行时,
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探究二
变式训练 已知平面
3
β 与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为 2 ,
则平面 β 与圆柱母线的夹角是(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
3
解析设平面 β 与圆柱母线的夹角是 θ,则 cos θ= 2 ,故 θ=30°.
D.相同的离心率
解析因为底面半径大小不等,所以长轴不同.嵌入的Dandelin球不同,则
焦点不同,准线也不同,而平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同.
答案D
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做一做 2 一个平面截圆柱所得的截口是椭圆,其长轴长为 4,若圆
柱底面半径为 3,则该椭圆的离心率等于
解析依题意 2a=4,b= 3,
(1)圆柱形物体的截口是椭圆. (
)
(2)椭圆的离心率越大,椭圆就越扁. (
)
(3)任何椭圆都有两条准线. (
)
(4)椭圆上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离之比为定值.
(
)
(5)当圆柱形物体的斜截口是椭圆时,该椭圆的短轴长等于圆柱底面圆的
直径. (
)
答案(1)× (2)
(3)
(4)× (5)
-9-
连接 O1G2,则在 Rt△O1BG2 中,
1
∠G2O1B=90°-2φ=60°,
BG2=O1Btan∠G2O1B=2tan 60°=2 3.
2 3
8 3
∴G2F1+G2F2=BC=G2C+BG2= 3 +2 3 = 3 .
2 1

1
= 2 =cos φ=cos 60°= .
2
2
5
证明
如图,设椭圆上任意一点 P,过 P 作 PQ1⊥l1 于点 Q1,过 P 作 PQ2
⊥l2 于点 Q2.
连接 PF1,PF2.



∵e=1 = 2 = ,
1
2


∴PF1= PQ1,PF2= PQ2.


由椭圆定义,知 PF1+PF2=2a,


∴PQ1+PQ2=2a.
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探究二
解析 当 θ=30°时,φ=90°-30°=60°.
连接 O2G2,在 Rt△O2G2C 中,
由已知及 O2,F2,G2,C 四点共圆
可求得∠G2O2C=30°.
2 3
∴G2C=O2C·tan∠G2O2C=2tan 30°= 3 .
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3.椭圆
(1)椭圆中的有关概念
如图,F1,F2是椭圆的焦点,B1B2是F1F2的中垂线.我们把A1A2叫做椭圆的长
轴,B1B2叫做椭圆的短轴,F1F2叫做椭圆的焦距.如果长轴长
为 2a,短轴长为 2b,那么焦距 2c=2 2 -2 .
-5-
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45°= 2 .
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截口是椭圆.
答案D
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2.一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截,截口椭圆具有 (
A.相同的长轴
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)
B.相同的焦点
C.相同的准线

1
a=6,又因为 = 3,所以 c=2,于是 b= 2 - 2 =4 2,故圆柱底面半径
r=b=4 2.
答案 4 2
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答案 60°
2
8 3
3
1
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探究二
探究二椭圆几何性质的求解
【例2】已知一个圆柱的底面半径r=6,一截割平面β与圆柱母线所成的
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探究二
探究一平面内两个等圆的内公切线的性质应用
【例1】
如图,AB,CD是两个半径为2的等圆的直径,AB∥CD,AD,BC与两圆相切,
∴PQ1+PQ2= ,

即 l1 与
22
l2 之间的距离为 .

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