2013届高三北师大版文科数学一轮复习课时作业(16)导数的应用
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用导数的应用导数与函数的单调性教学案理解析版
[考纲传真] １．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.２．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.３．会利用导数解决某些实际问题（生活中的优化问题）．１．导函数的符号和函数的单调性的关系（１）如果在某个区间内，函数y＝f（x）的导数f′（x）≥0，则在这个区间上，函数y＝f（x）是增加的；（２）如果在某个区间内，函数y＝f（x）的导数f′（x）≤0，则在这个区间上，函数y＝f（x）是减少的．２．函数的极值与导数（１）函数的极大值点和极大值：在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极大值点．其函数值f（x0）为函数的极大值．（２）函数的极小值点和极小值：在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值．（３）极值和极值点：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．（４）求可导函数极值的步骤：１求f′（x）．２求方程f′（x）＝0的根．３检查f′（x）在方程f′（x）＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值．３．函数的最值与导数（１）最大值点：函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f（x0）．函数的最小值点也有类似的意义．（２）函数的最大值：最大值或者在极值点取得，或者在区间的端点取得．（３）最值：函数的最大值和最小值统称为最值．（４）求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤１求f（x）在（a，b）内的极值；２将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．错误!１．可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是：对任意x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）且f′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零．２．对于可导函数f（x），f′（x0）＝0是函数f（x）在x＝x0处有极值的必要不充分条件．３．闭区间上连续函数的最值在端点处或极值点处取得．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若函数f（x）在区间（a，b）上是增加的，那么在区间（a，b）上一定有f′（x）>0．（）（２）函数的极大值不一定比极小值大．（）（３）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．（）（４）若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．（）[答案] （１）×（２）√（３）√（４）×２．（教材改编）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图像，则下面判断正确的是（）Ａ．在区间（—２,１）上，f（x）是增加的Ｂ．在区间（１,３）上f（x）是减少的Ｃ．在区间（４,５）上f（x）是增加的Ｄ．当x＝２时，f（x）取到极小值C[结合原函数与导函数的关系可知，当x∈（４,５）时，f′（x）＞0，∴y＝f（x）在（４,５）上是增函数，故选Ｃ．]３．函数f（x）＝cos x—x在（0，π）上的单调性是（）Ａ．先增后减Ｂ．先减后增Ｃ．增函数Ｄ．减函数D[∵f′（x）＝—sin x—１，∴当x∈（0，π）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，π）上是减函数．]４．已知a是函数f（x）＝x３—１２x的极小值点，则a＝（）Ａ．—４Ｂ．—２Ｃ．４Ｄ．２D[由f′（x）＝３x２—１２＝0得x＝±２，又当x＜—２时，f′（x）＞0，当—２＜x＜２时，f′（x）＜0，当x＞２时，f′（x）＞0，∴x＝２是f（x）的极小值点，即a＝２．]５．函数y＝２x３—２x２在区间[—１,２]上的最大值是________．8 [y′＝6x２—４x，令y′＝0，得x＝0或x＝错误!.∵f（—１）＝—４，f（0）＝0，f错误!＝—错误!，f（２）＝8，∴最大值为8．]第１课时导数与函数的单调性利用导数求函数的单调区间【例１】（１）函数y＝错误!x２—ln x的递减区间为（）Ａ．（—１,１] Ｂ．（0,１]Ｃ．[１，＋∞）Ｄ．（0，＋∞）（２）（２0１6·北京高考）设函数f（x）＝x e a—x＋bx，曲线y＝f（x）在点（２，f（２））处的切线方程为y＝（e—１）x＋４．１求a，b的值；２求f（x）的单调区间．（１）B[∵y＝错误!x２—ln x，∴x∈（0，＋∞），y′＝x—错误!＝错误!.由y′≤0可解得0＜x≤１，∴y＝错误!x２—ln x的递减区间为（0,１]，故选Ｂ．]（２）[解] １f′（x）＝e a—x—x e a—x＋b，由切线方程可得错误!解得a＝２，b＝e.２f（x）＝x e２—x＋e x，f′（x）＝（１—x）e２—x＋e.令g（x）＝（１—x）e２—x，则g′（x）＝—e２—x—（１—x）e２—x＝e２—x（x—２）．令g′（x）＝0得x＝２．当x＜２时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞２时，g′（x）＞0，g（x）递增．所以x＝２时，g（x）取得极小值—１，也是最小值．所以f′（x）＝g（x）＋e≥e—１＞0．所以f（x）的增区间为（—∞，＋∞），无减区间．[规律方法] １．掌握利用导数求函数单调区间的３个步骤（１）确定函数f（x）的定义域；（２）求导数f′（x）；（３）由f′（x）＞0（或f′（x）＜0）解出相应的x的取值范围，对应的区间为f（x）的递增（减）区间．２．理清有关函数单调区间的３个点（１）单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；（２）求可导函数f（x）的单调区间，可以直接转化为f′（x）＞0与f′（x）＜0这两个不等式的解集问题来处理；（３）若可导函数f（x）在指定区间D上递增（减），则应将其转化为f′（x）≥0（f′（x）≤0）来处理．２Ａ．（0,１）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．（—∞，１）Ｄ．（—１,１）（２）（２0１9·威海模拟）函数f（x）＝（x—３）e x的递增区间是________．（１）A（２）（２，＋∞）[（１）∵f′（x）＝２x—错误!＝错误!（x＞0），∴当x∈（0,１）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（１，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．（２）函数f（x）＝（x—３）e x的导数为f′（x）＝[（x—３）e x]′＝e x＋（x—３）e x＝（x—２）e x.f′（x）＝（x—２）e x＞0，解得x＞２．]利用导数讨论函数的单调性【例２】设函数f（x）＝a ln x＋错误!，其中a为常数．（１）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线方程；（２）讨论函数f（x）的单调性．[解] （１）由题意知a＝0时，f（x）＝错误!，x∈（0，＋∞）．此时f′（x）＝错误!.可得f′（１）＝错误!，又f（１）＝0，所以曲线y＝f（x）在（１，f（１））处的切线方程为x—２y—１＝0．（２）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）．f′（x）＝错误!＋错误!＝错误!.当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上递增．当a＜0时，令g（x）＝ax２＋（２a＋２）x＋a，由于Δ＝（２a＋２）２—４a２＝４（２a＋１），１当a＝—错误!时，Δ＝0，f′（x）＝错误!≤0，函数f（x）在（0，＋∞）上递减．２当a＜—错误!时，Δ＜0，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，＋∞）上递减．３当—错误!＜a＜0时，Δ＞0．设x１，x２（x１＜x２）是函数g（x）的两个零点，则x１＝错误!，x２＝错误!.由x１＝错误!＝错误!＞0，所以x∈（0，x１）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）递减；x∈（x１，x２）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）递增；x∈（x２，＋∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）递减．综上可得：当a≥0时，函数f（x）在（0，＋∞）上递增；当a≤—错误!时，函数f（x）在（0，＋∞）上递减；当—错误!＜a＜0时，f（x）在错误!，错误!上递减，在错误!上递增．[规律方法] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.１讨论分以下四个方面,１二次项系数讨论，２根的有无讨论，３根的大小讨论，４根在不在定义域内讨论.２讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.３讨论完必须写综述.２调性．[解] 函数的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝x—错误!＋a—２＝错误!.１当—a＝２，即a＝—２时，f′（x）＝错误!≥0，f（x）在（0，＋∞）内递增．２当0＜—a＜２，即—２＜a＜0时，∵0＜x＜—a或x＞２时，f′（x）＞0；—a＜x＜２时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，—a），（２，＋∞）内递增，在（—a,２）内递减．３当—a＞２，即a＜—２时，∵0＜x＜２或x＞—a时，f′（x）＞0；２＜x＜—a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0,２），（—a，＋∞）内递增，在（２，—a）内递减．综上所述，当a＝—２时，f（x）在（0，＋∞）内递增；当—２＜a＜0时，f（x）在（0，—a），（２，＋∞）内递增，在（—a,２）内递减；当a＜—２时，f（x）在（0,２），（—a，＋∞）内递增，在（２，—a）内递减．函数单调性的应用►考法１比较大小或解不等式【例３】（１）设函数f′（x）是定义在（0,２π）上的函数f（x）的导函数，f（x）＝f（２π—x），当0＜x＜π时，若f（x）sin x—f′（x）cos x＜0，a＝错误!f错误!，b＝0，c＝—错误!f错误!，则（）Ａ．a＜b＜cＢ．b＜c＜aＣ．c＜b＜aＤ．c＜a＜b（２）（２0１9·山师大附中模拟）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，f（１）＝e，任意x∈R,２f （x）—f′（x）＞0，则不等式f（x）＜e２x—１的解集为（）Ａ．（—∞，１）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．（—∞，e）Ｄ．（e，＋∞）（１）A（２）B[（１）由f（x）＝f（２π—x），得函数f（x）的图像关于直线x＝π对称，令g（x）＝f（x）cos x，则g′（x）＝f′（x）cos x—f（x）sin x＞0，所以当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）内递增，所以g错误!＜g错误!＜g错误!＝g错误!，即a＜b＜c，故选Ａ．（２）设F（x）＝错误!，则F′（x）＝错误!′＝错误!.因为２f（x）—f′（x）＞0，所以F′（x）＝错误!＜0，即F（x）是减函数，f（x）＜e２x—１等价于错误!＜１，即F（x）＜１．又因为f（１）＝e，所以F（１）＝错误!＝１，则不等式f（x）＜e２x—１的解集是（１，＋∞），故选Ｂ．]►考法２求参数的取值范围【例４】已知函数f（x）＝ln x，g（x）＝错误!ax２＋２x（a≠0）．（１）若函数h（x）＝f（x）—g（x）存在递减区间，求a的取值范围；（２）若函数h（x）＝f（x）—g（x）在[１,４]上递减，求a的取值范围．[解] （１）h（x）＝ln x—错误!ax２—２x，x∈（0，＋∞），所以h′（x）＝错误!—ax—２，由于h（x）在（0，＋∞）上存在递减区间，所以当x∈（0，＋∞）时，错误!—ax—２＜0有解，即a＞错误!—错误!有解．设G （x ）＝错误!—错误!，所以只要a ＞G （x ）min 即可．而G （x ）＝错误!２—１，所以G （x ）min ＝—１．所以a ＞—１，即a 的取值范围为（—１，＋∞）．（２）由h （x ）在[１,４]上递减得，当x ∈[１,４]时，h ′（x ）＝错误!—ax —２≤0恒成立，即a ≥错误!—错误!恒成立．所以a ≥G （x ）m ax ，而G （x ）＝错误!２—１，因为x ∈[１,４]，所以错误!∈错误!，所以G （x ）m ax ＝—错误!（此时x ＝４），所以a ≥—错误!，即a 的取值范围是错误!.[母题探究] （１）本例（２）中，若函数h （x ）＝f （x ）—g （x ）在[１,４]上递增，求a 的取值范围．（２）本例（２）中，若h （x ）在[１,４]上存在递减区间，求a 的取值范围．[解] （１）由h （x ）在[１,４]上递增得，当x ∈[１,４]时，h ′（x ）≥0恒成立，∴当x ∈[１,４]时，a ≤错误!—错误!恒成立，又当x ∈[１,４]时，错误!min ＝—１（此时x ＝１），∴a ≤—１，即a 的取值范围是（—∞，—１]．（２）h （x ）在[１,４]上存在递减区间，则h ′（x ）＜0在[１,４]上有解，∴当x ∈[１,４]时，a ＞错误!—错误!有解，又当x ∈[１,４]时，错误!min ＝—１，∴a ＞—１，即a 的取值范围是（—１，＋∞）． [规律方法] １．已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′x ≥0或f ′x ≤0，x ∈a ，b 恒成立，解出参数的取值范围一般可用不等式恒成立的理论求解，应注意参数的取值是f ′x 不恒等于0的参数的范围.２．若函数y＝f x在区间a，b上不单调，则转化为f′x＝0在a，b上有解.３．利用导数比较大小或解不等式的常用技巧,利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数形式有：y＝f′（x），当x＞0时，xf′（x）—f（x）＜0，若a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，则a，b，c的大小关系正确的是（）Ａ．a＜b＜cＢ．b＜c＜aＣ．a＜c＜bＤ．c＜a＜b（２）（２0１9·兰州模拟）已知函数f（x）＝错误!x２—２a ln x＋（a—２）x.１当a＝—１时，求函数f（x）的单调区间；２是否存在实数a，使函数g（x）＝f（x）—ax在（0，＋∞）上递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．（１）D[设g（x）＝错误!，则g′（x）＝错误!，∵当x＞0时，xf′（x）—f（x）＜0，∴g′（x）＜0．∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数．由f（x）为奇函数，知g（x）为偶函数，则g（—３）＝g（３），又a＝g（e），b＝g（ln ２），c＝g（—３）＝g（３），∴g（３）＜g（e）＜g（ln ２），故c＜a＜Ｂ．]（２）[解] １当a＝—１时，f（x）＝错误!x２＋２ln x—３x，则f′（x）＝x＋错误!—３＝错误!＝错误!.当0＜x＜１或x＞２时，f′（x）＞0，f（x）递增；当１＜x＜２时，f′（x）＜0，f（x）递减．∴f（x）的单调增区间为（0,１）与（２，＋∞），减区间为（１,２）．２假设存在实数a，使g（x）＝f（x）—ax在（0，＋∞）上是增函数，∴g′（x）＝f′（x）—a＝x—错误!—２≥0恒成立．即错误!≥0在x∈（0，＋∞）上恒成立．∴x２—２x—２a≥0当x＞0时恒成立，∴a≤错误!（x２—２x）＝错误!（x—１）２—错误!恒成立．又φ（x）＝错误!（x—１）２—错误!，x∈（0，＋∞）的最小值为—错误!.∴当a≤—错误!时，g′（x）≥0恒成立．又当a＝—错误!，g′（x）＝错误!当且仅当x＝１时，g′（x）＝0．故当a∈错误!时，g（x）＝f（x）—ax在（0，＋∞）上递增．１．（２0１6·全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝x—错误!sin ２x＋a sin x在（—∞，＋∞）递增，则a的取值范围是（）Ａ．[—１,１] Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[取a＝—１，则f（x）＝x—错误!sin ２x—sin x，f′（x）＝１—错误!cos ２x—cos x，但f′（0）＝１—错误!—１＝—错误!＜0，不具备在（—∞，＋∞）递增的条件，故排除A，B，Ｄ．故选Ｃ．]２．（２0１５·全国卷Ⅱ）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（—１）＝0，当x>0时，xf′（x）—f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（）Ａ．（—∞，—１）∪（0,１）Ｂ．（—１,0）∪（１，＋∞）Ｃ．（—∞，—１）∪（—１,0）Ｄ．（0,１）∪（１，＋∞）A[设y＝g（x）＝错误!（x≠0），则g′（x）＝错误!，当x>0时，xf′（x）—f（x）<0，∴g′（x）<0，∴g（x）在（0，＋∞）上为减函数，且g（１）＝f（１）＝—f（—１）＝0．∵f（x）为奇函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）的图像的示意图如图所示．当x>0，g（x）>0时，f（x）>0,0<x<１，当x<0，g（x）<0时，f（x）>0，x<—１，∴使得f（x）>0成立的x的取值范围是（—∞，—１）∪（0,１），故选Ａ．]。
北师大文科数学高考总复习教师用书：导数的概念及运算 含答案
第1讲导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理1．导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝αxα－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .( )解析 (1)f ′(x 0)表示函数f (x )的导数在x 0处的值，而f ((x 0))′表示函数值f (x 0)的导数，其意义不同，(1)错．(2)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(2)错．(4)f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2＝x 2＋2ax ＋a 3，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，(4)错． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A.194 B.174 C.154 D.134解析 由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t 2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134. 答案 D3．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案 34．(2017·豫北名校期末联考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 解析 ∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝05．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析 由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，则f ′(1)＝3a ＋1， 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案 1考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝cos x e x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x. 规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．【训练1】 (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析 (1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1x ·x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，则x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 (1)B (2)3考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线方程【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．(2)(2017·南昌质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x . 又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 0＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案 (1)2x －y ＝0 (2)B 命题角度二 求切点坐标【例2－2】 (2017·西安调研)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析 由y ′＝e x ，知曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，又y ＝1x (x >0)的导数y ′＝－1x 2， 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2.依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1. 则点P 的坐标为(1,1)． 答案 (1,1)命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)【例2－3】 已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－12 D ．1 解析 设切点坐标为P (x 0，y 0)， 由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x . ∴y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，依题意，－12＋1x 0＝12，∴x 0＝1，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上， 故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案 B规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．(3)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.【训练2】 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2. 设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a 在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x ，因为a ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． 答案 (1)(e ，e) (2)(－∞，2)[思想方法]1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意交换的等价性．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． [易错防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．3．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．设y ＝x 2e x ，则y ′＝( ) A ．x 2e x ＋2x B ．2x e x C ．(2x ＋x 2)e x D ．(x ＋x 2)e x 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝(2x ＋x 2)e x .2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 B3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0解析 y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 答案 C4．(2017·成都诊断)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e . 答案 C5．(2017·昆明诊断)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2 解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2 x ，∴＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.二、填空题6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 27.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.答案08．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案8三、解答题9．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53， 所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53， 斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln x C ．y ＝e x D ．y ＝x 3解析 若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2.答案 A12．(2017·合肥模拟)点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B.32 C.52 D. 2解析 点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时， 点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1，令y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，∴点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.答案 D13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x (x >0)．∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)．答案 [2，＋∞)14．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用导数的应用导数与函数的综合问题最值教学案理解析版
利用导数解决不等式的有关问题►考法１证明不等式【例１】（２0１8·郑州二模）已知函数f（x）＝ln x—２ax＋１（a∈R）．（１）讨论函数g（x）＝x２＋f（x）的单调性；（２）若a＝错误!，证明：|f（x）—１|＞错误!＋错误!.[解] （１）由题意知函数y＝g（x）的定义域为（0，＋∞），g（x）＝x２＋ln x—２ax＋１，则g′（x）＝错误!＋２x—２a＝错误!（x＞0），记h（x）＝２x２—２ax＋１，１当a≤0时，因为x＞0，所以h（x）＞0，故函数g（x）在（0，＋∞）上递增；２当0＜a≤错误!时，因为Δ＝４（a２—２）≤0，所以h（x）≥0，故函数g（x）在（0，＋∞）上递增；３当a＞错误!时，由g′（x）＜0，解得x∈错误!，所以函数g（x）在区间错误!上递减，同理可得函数g（x）在区间错误!，错误!上递增．（２）证明：当a＝错误!时，设H（x）＝f（x）—１＝ln x—x，故H′（x）＝错误!，故H′（x）＜0，得x＞１，由H′（x）＞0，得0＜x＜１，所以H（x）m ax＝f（１）—１＝—１，所以|H（x）|min＝１．设G（x）＝错误!＋错误!，则G′（x）＝错误!，由G′（x）＜0，得x＞e，由G′（x）＞0，得0＜x＜e，故G（x）m ax＝G（e）＝错误!＋错误!＜１，所以G（x）m ax＜|H（x）|min，所以|f（x）—１|＞错误!＋错误!.►考法２由不等式恒（能）成立求参数的范围【例２】已知函数f（x）＝错误!.（１）如果当x≥１时，不等式f（x）≥错误!恒成立，求实数k的取值范围；（２）若存在x0∈[１，e]，使不等式f（x0）≥错误!成立，求实数k的取值范围．[解] （１）当x≥１时，k≤错误!恒成立，令g（x）＝错误!（x≥１），则g′（x）＝错误!＝错误!.再令h（x）＝x—ln x（x≥１），则h′（x）＝１—错误!≥0，所以h（x）≥h（１）＝１，所以g′（x）＞0，所以g（x）为增函数，所以g（x）≥g（１）＝２，故k≤２，即实数k的取值范围是（—∞，２]．（２）当x∈[１，e]时，k≤错误!有解，令g（x）＝错误!（x∈[１，e]），由（１）题知，g（x）为增函数，所以g（x）m ax＝g（e）＝２＋错误!，所以k≤２＋错误!，即实数k的取值范围是错误!.[规律方法] １．利用导数证明含“x”不等式方法，即证明：f x＞g x.,法一：移项，f x—g x＞0，构造函数F x＝f x—g x，转化证明F x min＞0，利用导数研究F x 单调性，用上定义域的端点值.,法二：转化证明：f x min＞g x m ax.,法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.２．利用导数解决不等式的恒成立问题的策略,１首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式，从而求出参数的取值范围.,２也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.３２（１）如果存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（２）如果对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．[解] （１）存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，等价于[g（x１）—g（x２）]m ax≥M.由g（x）＝x３—x２—３，得g′（x）＝３x２—２x＝３x错误!.令g′（x）＞0得x＜0，或x＞错误!，令g′（x）＜0得0＜x＜错误!，又x∈[0,２]，所以g（x）在区间错误!上递减，在区间错误!上递增，所以g（x）min＝g错误!＝—错误!，又g（0）＝—３，g（２）＝１，所以g（x）m ax＝g（２）＝１．故[g（x１）—g（x２）]m ax＝g（x）m ax—g（x）min＝错误!≥M，则满足条件的最大整数M＝４．（２）对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，等价于在区间错误!上，函数f（x）min≥g （x）m ax，由（１）可知在区间错误!上，g（x）的最大值为g（２）＝１．在区间错误!上，f（x）＝错误!＋x ln x≥１恒成立等价于a≥x—x２ln x恒成立．设h（x）＝x—x２ln x，h′（x）＝１—２x ln x—x，令m（x）＝x ln x，由m′（x）＝ln x＋１＞0得x＞错误!.即m（x）＝x ln x在错误!上是增函数，可知h′（x）在区间错误!上是减函数，又h′（１）＝0，所以当１＜x＜２时，h′（x）＜0；当错误!＜x＜１时，h′（x）＞0．即函数h（x）＝x—x２ln x在区间错误!上递增，在区间（１,２）上递减，所以h（x）m ax＝h（１）＝１，所以a≥１，即实数a的取值范围是[１，＋∞）．利用导数解决函数的零点问题►考法１判断、证明或讨论函数零点的个数【例３】设f（x）＝错误!x２—m ln x，g（x）＝x２—（m＋１）x.当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图像的交点个数．[解] 令F（x）＝f（x）—g（x）＝—错误!x２＋（m＋１）x—m ln x，x＞0，问题等价于求函数F（x）的零点个数．当m＝0时，F（x）＝—错误!x２＋x，x＞0，有唯一零点；当m≠0时，F′（x）＝—错误!，当m＝１时，F′（x）≤0，函数F（x）为减函数，注意到F（１）＝错误!＞0，F（４）＝—ln ４＜0，所以F（x）有唯一零点．当m＞１时，0＜x＜１或x＞m时，F′（x）＜0；１＜x＜m时，F′（x）＞0，所以函数F（x）在（0,１）和（m，＋∞）上递减，在（１，m）上递增，注意到F（１）＝m＋错误!＞0，F（２m＋２）＝—m ln（２m＋２）＜0，所以F（x）有唯一零点．当0＜m＜１时，0＜x＜m或x＞１时，F′（x）＜0；m＜x＜１时，F′（x）＞0，所以函数F（x）在（0，m）和（１，＋∞）上递减，在（m,１）上递增，易得ln m＜0，所以F（m）＝错误!（m＋２—２ln m）＞0，而F（２m＋２）＝—m ln（２m＋２）＜0，所以F （x）有唯一零点．综上，函数F（x）有唯一零点，即两函数图像有一个交点．►考法２已知函数的零点个数求参数的范围【例４】已知函数f（x）＝２ln x—x２＋ax（a∈R）．（１）当a＝２时，求f（x）的图像在x＝１处的切线方程；（２）若函数g（x）＝f（x）—ax＋m在错误!上有两个零点，求实数m的取值范围．[解] （１）当a＝２时，f（x）＝２ln x—x２＋２x，则f′（x）＝错误!—２x＋２，切点坐标为（１,１），切线的斜率k＝f′（１）＝２，则函数f（x）的图像在x＝１处的切线方程为y—１＝２（x—１），即y＝２x—１．（２）g（x）＝f（x）—ax＋m＝２ln x—x２＋m，则g′（x）＝错误!—２x＝错误!，∵x∈错误!，∴由g′（x）＝0，得x＝１．当错误!≤x＜１时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，当１＜x≤e时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，故当x＝１时，函数g（x）取得极大值g（１）＝m—１，又g错误!＝m—２—错误!，g（e）＝m＋２—e２，∴g（x）＝f（x）—ax＋m在错误!上有两个零点需满足条件错误!解得１＜m≤２＋错误!.故实数m的取值范围是错误!.►考法３与函数零点有关的证明问题【例５】（２0１9·武汉模拟）已知a为实数，函数f（x）＝e x—２—ax.（１）讨论函数f（x）的单调性；（２）若函数f（x）有两个不同的零点x１，x２（x１＜x２），（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）证明：x１＋x２＞２．[解] （１）f′（x）＝e x—２—a.当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上递增．当a＞0时，由f′（x）＝e x—２—a＝0，得x＝２＋ln a.若x＞２＋ln a，则f′（x）＞0，函数f（x）在（２＋ln a，＋∞）上递增；若x＜２＋ln a，则f′（x）＜0，函数f（x）在（—∞，２＋ln a）上递减．（２）（ⅰ）由（１）知，当a≤0时，f（x）在R上递增，没有两个不同的零点．当a＞0时，f（x）在x＝２＋ln a处取得极小值，所以f（２＋ln a）＝e ln a—a（２＋ln a）＜0，得a＞错误!，所以a的取值范围为错误!.（ⅱ）由e x—２—ax＝0，得x—２＝ln（ax）＝ln a＋ln x，即x—２—ln x＝ln a.所以x１—２—ln x１＝x２—２—ln x２＝ln a.令g（x）＝x—２—ln x（x＞0），则g′（x）＝１—错误!.当x＞１时，g′（x）＞0；当0＜x＜１时，g′（x）＜0．所以g（x）在（0,１）上递减，在（１，＋∞）上递增，所以0＜x１＜１＜x２.要证x１＋x２＞２，只需证x２＞２—x１＞１．因为g（x）在（１，＋∞）上递增，所以只需证g（x２）＞g（２—x１）．因为g（x１）＝g（x２），所以只需证g（x１）＞g（２—x１），即证g（x１）—g（２—x１）＞0．令h（x）＝g（x）—g（２—x）＝x—２—ln x—[２—x—２—ln（２—x）]＝２x—２—ln x＋ln （２—x），则h′（x）＝２—错误!.因为错误!＋错误!＝错误![x＋（２—x）]错误!≥２，当且仅当x＝１时等号成立，所以当0＜x＜１时，h′（x）＜0，即h（x）在（0,１）上递减，所以h（x）＞h（１）＝0，即g（x１）—g（２—x１）＞0，所以x１＋x２＞２得证．[规律方法] 利用导数研究方程根的方法１研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.２根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极最值的位置.３可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.（１）求f（x）的单调区间和极值；（２）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（１，错误!]上仅有一个零点．[解] （１）由f（x）＝错误!—k ln x（k＞0），得x＞0且f′（x）＝x—错误!＝错误!.由f′（x）＝0，解得x＝错误!（负值舍去）．f（x）与f′（x）在区间（0，＋∞）上的变化情况如下表：x（0，错误!）错误!（错误!，＋∞）f′（x）—0＋f（x）↘错误!↗f（x）在x＝错误!处取得极小值f（错误!）＝错误!.（２）证明：由（１）知，f（x）在区间（0，＋∞）上的最小值为f（错误!）＝错误!.因为f（x）存在零点，所以错误!≤0，从而k≥e，当k＝e时，f（x）在区间（１，错误!）上递减，且f（错误!）＝0，所以x＝错误!是f（x）在区间（１，错误!]上的唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，错误!）上递减，且f（１）＝错误!＞0，f（错误!）＝错误!＜0，所以f（x）在区间（１，错误!]上仅有一个零点．综上可知，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（１，错误!]上仅有一个零点．１．（２0１8·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝e x—ax２.（１）若a＝１，证明：当x≥0时，f（x）≥１；（２）若f（x）在（0，＋∞）只有一个零点，求a.[解] （１）证明：当a＝１时，f（x）≥１等价于（x２＋１）e—x—１≤0．设函数g（x）＝（x２＋１）e—x—１，则g′（x）＝—（x２—２x＋１）e—x＝—（x—１）２e—x.当x≠１时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，＋∞）递减．而g（0）＝0，故当x≥0时，g（x）≤0，即f（x）≥１．（２）设函数h（x）＝１—ax２e—x.f（x）在（0，＋∞）只有一个零点当且仅当h（x）在（0，＋∞）只有一个零点．（ⅰ）当a≤0时，h（x）＞0，h（x）没有零点；（ⅱ）当a＞0时，h′（x）＝ax（x—２）e—x.当x∈（0,２）时，h′（x）＜0；当x∈（２，＋∞）时，h′（x）＞0．所以h（x）在（0,２）递减，在（２，＋∞）递增．故h（２）＝１—错误!是h（x）在（0，＋∞）的最小值．１若h（２）＞0，即a＜错误!，h（x）在（0，＋∞）没有零点；２若h（２）＝0，即a＝错误!，h（x）在（0，＋∞）只有一个零点；３若h（２）＜0，即a＞错误!，由于h（0）＝１，所以h（x）在（0,２）有一个零点．由（１）知，当x＞0时，e x＞x２，所以h（４a）＝１—错误!＝１—错误!＞１—错误!＝１—错误!＞0，故h（x）在（２,４a）有一个零点．因此h（x）在（0，＋∞）有两个零点．综上，f（x）在（0，＋∞）只有一个零点时，a＝错误!.２．（２0１7·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝x—１—a ln x.（１）若f（x）≥0，求a的值；（２）设m为整数，且对于任意正整数n，错误!错误!·…·错误!＜m，求m的最小值．[解] （１）f（x）的定义域为（0，＋∞），１若a≤0，因为f错误!＝—错误!＋a ln ２＜0，所以不满足题意．２若a>0，由f′（x）＝１—错误!＝错误!知，当x∈（0，a）时，f′（x）<0；当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>0．所以f（x）在（0，a）递减，在（a，＋∞）递增．故x＝a是f（x）在（0，＋∞）的唯一最小值点．因为f（１）＝0，所以当且仅当a＝１时，f（x）≥0，故a＝１．（２）由（１）知当x∈（１，＋∞）时，x—１—ln x>0．令x＝１＋错误!，得ln错误!＜错误!，从而ln错误!＋ln错误!＋…＋ln错误!＜错误!＋错误!＋…＋错误!＝１—错误!＜１．故错误!错误!·…·错误!＜e.而错误!错误!错误!＞２，所以m的最小值为３．。
高三数学第一轮复习导数的应用(一)
2．函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点 x ＝ b 附近的其他点的函数值都大， f′(b) ＝ 0 ， 而且在点 f′(x)＞0 x＝b附近的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 ， 则点 b 叫做函数 y ＝ f(x) 的极大值点， f(b) 叫做 函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大 值和极小值统称为极值．
3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情 况，是在局部对函数值的比较；函数的最值 是表示函数在一个区间上的情况，是对函数 在整个区间上的函数值的比较．
运用导数解决函数的单调性问题
[典题导入] ln x＋k (2012· 山东高考改编)已知函数 f(x)＝ ex (k 为常数， e＝2.718 28„是自然对数的底数)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的 切线与 x 轴平行． (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间．
解析
(1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， ∵ex＞0，∴－x2＋2＞0， 解得－ 2＜x＜ 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(－ 2， 2)．
第十二节
(一) 导数的应用
[主干知识梳理] 一、函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意 子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b )上为 ． 增函数 f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b )上为 ． 减函数
高三数学一轮复习16.导数的应用(二)极值与最值学案
高三数学一轮复习 16.导数的应用（二）极值与最值学案【学习目标】理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极小值及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求参数的范围.预习案1．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果x<x0有f′(x) 0，x>x0有f′(x) 0，那么f(x0)是极大值；如果x<x0有f′(x) 0，x>x0有f′(x) 0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)极值的步骤(1) ； (2) ；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得．3．函数的最值的概念设函数y＝f(x)在上连续，在内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．4．求函数最值的步骤设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：(1) ；(2) ．【预习自测】1．已知函数f(x)＝x3＋a x2＋bx＋c，下列结论中错误的是 ( ) A．∃x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝02．若函数y＝e x＋mx有极值，则实数m的取值范围 ( )A．m>0 B．m<0 C．m>1 D．m<13．函数y＝ln2xx的极小值为________．4．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＝________，n＝________. 5．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．探究案题型一利用导数求函数极值例1. 设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值．探究1：已知a∈R，求函数f(x)＝x2·e ax的单调区间与极值．题型二利用极值求参数值例2：(1)函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．(2)已知f(x)＝ax5－bx3＋c(a>0)．若f(x)在x＝±1处有极值，且极大值为4，极小值为1，则 a= ，b= ，c=（3）已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.①设a＝2，求f(x)的单调区间；②设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围题型三利用导数求函数最值:例3：已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．题型四利用最值求参数值例4：设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.(1)若f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值．我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。
【创新设计】高三数学一轮复习 导数的应用课件 北师大
了解函数单调性和导数的关系/能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调 区间/了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、 极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题
1．函数在某区间上单调的充分条件 一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内f′(x) ＞0，那 么函数y＝f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 f (x) ＜0，那么函数y ＝f(x)为这个区间内的减函数．
2．函数的极大值 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数f(x)在任何一点的函数值不大于x0点的函数值, 就说 f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点． 提示：可模仿函数极大值的定义给出函数极小值的定义.
3．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成 表格检查． f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取 得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不 改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．
(3)若Δ＝12－8a2>0，即
，令f′(x)＝0，
解得
当x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数； 当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数．依题意x1≥0且x2≤1. 由x1≥0得
从而a∈[1， )．综上，a的取值范围为
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用函数及其表示教学案理解析版
[考纲传真] １．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.２．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.３．了解简单的分段函数，并能简单应用．１．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f（x）和它对应集合A与B存在着对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，集合B中总有唯一的元素y与之对应名称把对应关系f叫作定义在集合A上的函数称这种对应为从集合A到集合B的映射记法函数y＝f（x），x∈A映射：f：A→B（１）函数的定义域、值域：数集A叫作函数的定义域；函数值的集合{f（x）|x∈A}叫作函数的值域．（２）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．（３）相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．（４）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．３．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[常用结论]简单函数定义域的类型（１）f（x）为分式型函数时，分式分母不为零；（２）f（x）为偶次根式型函数时，被开方式非负；（３）f（x）为对数型函数时，真数为正数、底数为正且不为１；（４）若f（x）＝x0，则定义域为{x|x≠0}；（５）指数函数的底数大于0且不等于１；（6）正切函数y＝tan x的定义域为xx≠kπ＋错误!，k∈Z.[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数是特殊的映射．（）（２）函数y＝１与y＝x0是同一个函数（）（３）f（x）＝错误!＋错误!是一个函数．（）[答案] （１）√（２）×（３）×２．（教材改编）函数y＝错误!＋错误!的定义域为（）Ａ．错误!Ｂ．（—∞，３）∪（３，＋∞）Ｃ．错误!∪（３，＋∞）Ｄ．（３，＋∞）C[由题意知错误!解得x≥错误!且x≠３．]３．（教材改编）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|—２≤x≤２}，值域为N＝{y|0≤y≤２}，则函数y＝f （x）的图像可能是（）A B C DB[∵M＝{x|—２≤x≤２}，N＝{y|0≤y≤２}，∴y＝f（x）图像只可能是Ｂ．]４．下列各组函数中，表示同一函数的是（）Ａ．f（x）＝错误!与g（x）＝错误!Ｂ．f（x）＝|x|与g（x）＝（错误!）２Ｃ．f（x）＝错误!与g（x）＝x＋１Ｄ．f（x）＝x0与g（x）＝错误!D[在选项A中，由f（x）＝错误!＝x与g（x）＝错误!＝|x|的对应法则不同；对于选项B，f（x）＝|x|的定义域为R，g（x）＝（错误!）２的定义域为{x|x≥0}，故定义域不同；在选项C中，f（x）＝错误!的定义域为{x∈R|x≠１}，而g（x）＝x＋１的定义域为R，故两函数的定义域不同；对于选项D，f（x）＝x0＝１（x≠0），g（x）＝错误!＝１（x≠0），定义域和对应法则都相同，故选Ｄ．]５．（教材改编）已知函数f（x）＝错误!则f（１）＝________；若f（a）＝５，则a＝________.５±１[f（１）＝５．当a≥0时，由f（a）＝a２＋４a＝５可知a＝１；当a＜0时，由f（a）＝a２—４a＝５得a＝—１．综上可知a＝±１．]函数的定义域【例１】（１）在下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝１0lg x的定义域和值域相同的是（）Ａ．y＝xＢ．y＝lg xＣ．y＝２xＤ．y＝错误!（２）若函数y＝f（x）的定义域是[0,２0１8]，则函数g（x）＝错误!的定义域是（）Ａ．[—１,２0１7] Ｂ．[—１,１）∪（１,２0１7]Ｃ．[0,２0１8] Ｄ．[—１,１）∪（１,２0１8]（１）D（２）B[（１）y＝１0lg x＝x，定义域与值域均为（0，＋∞）．y＝x的定义域和值域均为R；y＝lg x的定义域为（0，＋∞），值域为R；y＝２x的定义域为R，值域为（0，＋∞）；y＝错误!的定义域与值域均为（0，＋∞）．故选Ｄ．（２）令t＝x＋１，则由已知函数y＝f（x）的定义域为[0，２0１8]可知f（t）中0≤t≤２0１8，故要使函数f（x＋１）有意义，则0≤x＋１≤２0１8，解得—１≤x≤２0１7，故函数f（x＋１）的定义域为[—１,２0１7]．所以函数g（x）有意义的条件是错误!解得—１≤x＜１或１＜x≤２0１7．故函数g（x ）的定义域为[—１,１）∪（１,２ 0１7]．] [规律方法]１求给定函数的定义域往往转化为解不等式组的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍.２求抽象函数的定义域：１若y ＝f x 的定义域为a ，b ，则解不等式a ＜g x ＜b 即可求出y ＝f g x 的定义域；２若y ＝f g x 的定义域为a ，b ，则求出g x 在a ，b 上的值域即得f x 的定义域.３已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!（２）已知函数f （２x ）的定义域为[—１,１]，则f （x ）的定义域为________．（１）A （２）错误! [（１）由题意可知错误!解得错误!∴—错误!＜x ＜１，故选Ａ．（２）∵f （２x ）的定义域为[—１,１]，∴错误!≤２x ≤２，即f （x ）的定义域为错误!.]求函数的解析式【例２】 （１）已知f 错误!＝x ２＋错误!，求f （x ）的解析式；（２）已知f 错误!＝lg x ，求f （x ）的解析式；（３）已知f （x ）是二次函数且f （0）＝２，f （x ＋１）—f （x ）＝x —１，求f （x ）的解析式； （４）已知f （x ）＋２f 错误!＝x （x ≠0），求f （x ）的解析式．[解] （１）由于f 错误!＝x ２＋错误!＝错误!２—２，令t ＝x ＋错误!，当x ＞0时，t ≥２错误!＝２，当且仅当x ＝１时取等号；当x ＜0时，t ＝—错误!≤—２，当且仅当x ＝—１时取等号，∴f （t ）＝t ２—２，t ∈（—∞，—２]∪[２，＋∞）．综上所述，f （x ）的解析式是f （x ）＝x ２—２，x ∈（—∞，—２]∪[２，＋∞）．（２）令错误!＋１＝t ，由于x ＞0，∴t ＞１且x ＝错误!，∴f（t）＝lg错误!，即f（x）＝lg错误!（x＞１）．（３）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝２，得c＝２，f（x＋１）—f（x）＝a（x＋１）２＋b（x＋１）—ax２—bx＝x—１，即２ax＋a＋b＝x—１，∴错误!即错误!∴f（x）＝错误!x２—错误!x＋２．（４）∵f（x）＋２f错误!＝x，∴f错误!＋２f（x）＝错误!.联立方程组错误!解得f（x）＝错误!—错误!（x≠0）．[规律方法] 求函数解析式的常用方法１待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.２配凑法：由已知条件f g x＝F x，可将F x改写成关于g x的表达式，然后以x 替代g x，便得f x的解析式.３换元法：已知复合函数f g x的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围４消元法：已知关于f x与f错误!或f—x的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f x.Ａ．x＋１Ｂ．２x—１Ｃ．—x＋１Ｄ．x＋１或—x—１（２）定义在（—１,１）内的函数f（x）满足２f（x）—f（—x）＝lg（x＋１），则f（x）＝________.（１）A（２）错误!lg（x＋１）＋错误!lg（１—x），x∈（—１,１）[（１）设f（x）＝kx＋b（k≠0），又f[f（x）]＝x＋２，得k（kx＋b）＋b＝x＋２，即k２x＋kb＋b＝x＋２．∴k２＝１，且kb＋b＝２，解得k＝b＝１，则f（x）＝x＋１．（２）当x∈（—１,１）时，有２f（x）—f（—x）＝lg（x＋１）．１将x换成—x，则—x换成x，得２f（—x）—f（x）＝lg（—x＋１）．２由１２消去f（—x）得，f（x）＝错误!lg（x＋１）＋错误!lg（１—x），x∈（—１,１）．]分段函数►考法１求分段函数的函数值【例３】已知函数f（x）＝错误!则f错误!＋f错误!＝________.8 [由题可得f错误!＝log错误!错误!＝２，因为log２错误!＜0，所以f错误!＝错误!错误!＝２log２6＝6，故f错误!＋f错误!＝8．]►考法２已知分段函数的函数值求参数【例４】（２0１7·山东高考）设f（x）＝错误!若f（a）＝f（a＋１），则f错误!＝（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8C[∵f（a）＝f（a＋１），∴错误!或错误!即错误!或错误!∴a＝错误!，∴f错误!＝f（４）＝6．]►考法３解与分段函数有关的方程或不等式【例５】（２0１9·福州模拟）设函数f（x）＝错误!若f（x0）＞１，则x0的取值范围是________．（0,２）∪（３，＋∞）[∵f（x）＝错误!且f（x0）＞１，此不等式转化为错误!或错误!即错误!或错误!解之得0＜x0＜２或x0＞３．∴x0的取值范围是（0,２）∪（３，＋∞）．][规律方法] １求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f f a的形式时，应从内到外依次求值.２已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论.（２）函数f（x）＝错误!若f（a）≤a，则实数a的取值范围是________．（１）log３２（２）[—１，＋∞）[（１）f错误!＝log３错误!＝—２，∴f错误!＝f（—２）＝f（—２＋２）＝f（0）＝f（0＋２）＝f（２），∴f（２）＝log３２，∴f错误!＝f（—２）＝log３２．（２）当a≥0时，由f（a）＝错误!a—１≤a，解得a≥—２，即a≥0；当a＜0时，由f（a）＝错误!≤a，解得—１≤a≤１，即—１≤a＜0．综上所述，实数a的取值范围是[—１，＋∞）．]１．（２0１５·全国卷Ⅱ）设函数f（x）＝错误!则f（—２）＋f（log２１２）＝（）Ａ．３Ｂ．6Ｃ．9 Ｄ．１２C[∵—２<１，∴f（—２）＝１＋log２（２＋２）＝１＋log２４＝１＋２＝３．∵log２１２>１，∴f（log２１２）＝２log２１２—１＝错误!＝6．∴f（—２）＋f（log２１２）＝３＋6＝9．故选Ｃ．]２．（２0１7·全国卷Ⅲ）设函数f（x）＝错误!则满足f（x）＋f错误!＞１的x的取值范围是________．错误![当x≤0时，原不等式为x＋１＋x＋错误!>１，解得x>—错误!，∴—错误!<x≤0．当0<x≤错误!时，原不等式为２x＋x＋错误!>１，显然成立．当x>错误!时，原不等式为２x＋２x—错误!>１，显然成立．综上可知，x的取值范围是错误!.]。
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第3章 导数及其应用 指点迷津(三) 在导数应用中如何构造函数
()
g(x)= ;
e
(4)对于f(x)满足x2f'(x)>1,构造函数F(x)=f(x)+
1
.
对点训练1(1)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成
立,则(
)
A.f(1)<ef(0),f(2 020)>e2 020f(0)
B.f(1)>ef(0),f(2 020)>e2 020f(0)
f(x)=x-2ex 上和直线 g(x)=2-x 平行的切线方程,由 f'(x)=1-2ex=-1,得 x=0,所以
切点坐标为(0,-2),所以(a-c)2+(b-d)2 的最小值为
|0-2-2|
1+1
2
=8.
规律方法 解题中若遇到比较大小及有关不等式、方程及最值之类的问题,
设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最
3
1
2
,即
x=
,y=
时,等号成立,因为不等式
+
≥m
对任意的正实数
4
2
x,y 恒成立,所以
8
m≤ ,所以实数
3
m
8
的最大值为 .
3
b
,e e 这三个数先取自然对数再除以
a
(2)对 a ,b
ln
=
ln ln e e
,
1
e
= =
=
ln
=
ln ln
,
=
2013届高三一轮复习文科数学全能测试二 导数及其应用
2013届高三一轮复习文科数学全能测试二 导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）；球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）； 锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、[2012高考陕西文9]设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点 2、曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x ＋5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x3、若曲线f （x ）=x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y=0，则点P 的坐标为（ ）A ．（1，3）B ．（－1，3）C ．（1，0）D ．（－1，0）4、已知函数a a bx ax x x f 7)(223--++=在1=x 处取得极大值10，则b a的值为（ ）A.32-B.2-C.2-或32-D. 不存在5、如果函数y ＝f (x )的图象如右图，那么导函数y ＝f '(x )的图象可能是6、[2012辽宁文]函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)7、若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1，32)C ．[1,2)D ．[32，2)8、对于在R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)9、右图是函数b ax x x f ++=2)(的部分图象，则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是 （ ）A 11(,)42 B (1,2)1(,1)2D (2,3)10、[2012浙江文]设a>0,b>0,e 是自然对数的底数（ ）A ．若e a +2a=e b +3b,则a>bB ．若e a +2a=e b+3b,则a<bC ．若e a -2a=e b -3b,则a>bD ．若e a -2a=e b-3b,则a<b非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、【2012高考新课标文13】曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 12、已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．13、函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，，则a 的取值范围是________xy o Ax yoBxy o Cx y oDxy o()y f x =14、设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 15、如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.16、已知函数2()cos f x x x =-,对于[]22ππ-，上的任意x 1,x 2,有如下条件： ①x 1>x 2; ②x 21>x 22; ③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)> f (x 2)恒成立的条件序是 . 17、()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、（本小题满分14分）已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直，(1)求实数a 、b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．19、（本小题满分14分）已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋3在x ＝－1和x ＝2处取得极值． (1)求f (x )的表达式和极值．(2)若f (x )在区间[m ，m ＋4]上是单调函数，试求m 的取值范围．20、【2102高考北京文18】（本小题满分14分） 已知函数f(x)=ax 2+1(a>0),g(x)=x 3+bx 。
北京师范大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用
北京师范大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形面积为( )A ．112 B ．14C ．13D ．712【答案】A2．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是( )A ．()()2f a f b + B ．()baf x dx ⎰C ．1()2baf x dx ⎰ D ．1()baf x dx b a -⎰【答案】C3．已知函数()f x 的定义域为(2,2),-导函数为(0)0()2cos ,f f x x ='=+且，则满足2(1)()0f x f x x ++-＞的实数x 的取值范围为( )A ． (1,1)-B ． (11)-，C ． (1D ． (1,1+【答案】C 4．曲线y P x y 处的切线与在点)12,1(113+=轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ． 9D ．15【答案】C5．曲线3sin (0)2y x x π=≤≤与两坐标轴所围成图形的面积为( ) A ． 1B ． 2C ． 52D ． 3【答案】A6．设a ∈R ，函数f(x)＝e x ＋a ·e －x的导函数f ′(x)，且f ′(x)是奇函数．若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．－ ln22B ．－ln2C ．ln22 D ．ln2【答案】D 7．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( )A ．18B ．38/3C ．16/3D ．16【答案】A8．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，用分点b x x x x x a n i i =<<<<<=- 110，把区间],[b a等分成n 个小区间，在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i =ξ，作和式∑=∆=n i i nxf S 1)(ξ（其中x ∆为小区间的长度），那么n S 的大小( )A ．与)(x f 和区间],[b a 有关，与分点的个数n 和i ξ的取法无关B ． 与)(x f 和区间],[b a 和分点的个数n 有关，与i ξ的取法无关C ． 与)(x f 和区间],[b a 和分点的个数n,i ξ的取法都有关。
北师大版版高考数学一轮复习第三章导数及其应用导数的应用导数与函数的单调性教学案理
一、知识梳理１．函数的单调性在（a，b）内函数f（x）可导，f′（x）在（a，b）任意子区间内都不恒等于0．f′（x）≥0⇔f（x）在（a，b）上为增函数．f′（x）≤0⇔f（x）在（a，b）上为减函数．２．函数的极值函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，则点a叫作函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫作函数y＝f（x）的极小值．函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，则点b叫作函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫作函数y＝f（x）的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．３．函数的最值（１）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．（２）若函数f（x）在[a，b]上是增加的，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上是减少的，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．（３）设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：１求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值；２将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．常用结论１．在某区间内f′（x）>0（f′（x）<0）是函数f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件．２．可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对任意的x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）且f′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零．３．对于可导函数f（x），f′（x0）＝0是函数f（x）在x＝x0处有极值的必要不充分条件．二、教材衍化１．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图像，则下面判断正确的是（）Ａ．在区间（—２，１）上f（x）是增函数Ｂ．在区间（１，３）上f（x）是减函数Ｃ．在区间（４，５）上f（x）是增函数Ｄ．当x＝２时，f（x）取到极小值解析：选Ｃ．在（４，５）上f′（x）>0恒成立，所以f（x）是增函数．２．设函数f（x）＝错误!＋ln x，则（）Ａ．x＝错误!为f（x）的极大值点Ｂ．x＝错误!为f（x）的极小值点Ｃ．x＝２为f（x）的极大值点Ｄ．x＝２为f（x）的极小值点解析：选Ｄ．f′（x）＝—错误!＋错误!＝错误!（x>0），当0<x<２时，f′（x）<0，当x>２时，f′（x）>0，所以x＝２为f（x）的极小值点．３．函数y＝x＋２cos x在区间错误!上的最大值是________．解析：因为y′＝１—２sin x，所以当x∈错误!时，y′>0；当x∈错误!时，y′<0．所以当x＝错误!时，y max＝错误!＋错误!.答案：错误!＋错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若函数f（x）在（a，b）内是增加的，那么一定有f′（x）>0．（）（２）如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性．（）（３）函数的极大值不一定比极小值大．（）（４）对可导函数f（x），f′（x0）＝0是x0点为极值点的充要条件．（）（５）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．（）答案：（１）×（２）√（３）√（４）×（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）原函数与导函数的关系不清致误；（２）极值点存在的条件不清致误；（３）忽视函数的定义域．１．函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）Ａ．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点Ｃ．有两个极大值点、两个极小值点Ｄ．有四个极大值点、无极小值点解析：选Ｃ．导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点．２．设a∈R，若函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．解析：因为y＝e x＋ax，所以y′＝e x＋a.因为函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，所以方程y′＝e x＋a＝0有大于零的解，因为当x>0时，—e x<—１，所以a＝—e x<—１．答案：（—∞，—１）３．函数f（x）＝x—ln x的减区间为________．解析：由f′（x）＝１—错误!<0，得错误!>１，即x<１，又x>0，所以函数f（x）的减区间为（0，１）．答案：（0，１）第１课时导数与函数的单调性不含参数函数的单调性（自主练透）１．函数y＝４x２＋错误!的增区间为（）Ａ．（0，＋∞）Ｂ．错误!Ｃ．（—∞，—１）Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由y＝４x２＋错误!，得y′＝8x—错误!，令y′>0，即8x—错误!>0，解得x>错误!，所以函数y＝４x２＋错误!的增区间为错误!.故选Ｂ．２．已知函数f（x）＝x ln x，则f（x）（）Ａ．在（0，＋∞）上是增加的B．在（0，＋∞）上是减少的Ｃ．在错误!上是增加的D．在错误!上是减少的解析：选Ｄ．因为函数f（x）＝x ln x，定义域为（0，＋∞），所以f′（x）＝ln x＋１（x>0），当f′（x）>0时，解得x>错误!，即函数的增区间为错误!；当f′（x）<0时，解得0<x<错误!，即函数的减区间为错误!，故选Ｄ．３．已知定义在区间（—π，π）上的函数f（x）＝x sin x＋cos x，则f（x）的增区间是________．解析：f′（x）＝sin x＋x cos x—sin x＝x cos x，令f′（x）＝x cos x>0，则其在区间（—π，π）上的解集为错误!和错误!，即f（x）的增区间为错误!和错误!.答案：错误!和错误!错误!求函数单调区间的步骤（１）确定函数f（x）的定义域．（２）求f′（x）．（３）在定义域内解不等式f′（x）>0，得增区间．（４）在定义域内解不等式f′（x）<0，得减区间．[提醒] 求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．含参数函数的单调性（师生共研）已知f（x）＝a（x—ln x）＋错误!，a＞0．讨论f（x）的单调性．【解】f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝a—错误!—错误!＋错误!＝错误!＝错误!错误!错误!.（１）当0<a<２时，错误!>１，当x∈（0，１）或x∈错误!时，f′（x）>0，f（x）是增加的，当x∈错误!时，f′（x）<0，f（x）是减少的．（２）当a＝２时，错误!＝１，在x∈（0，＋∞）内，f′（x）≥0，f（x）是增加的．（３）当a>２时，0<错误!<１，当x∈错误!或x∈（１，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）是增加的，当x∈错误!时，f′（x）<0，f（x）是减少的．综上所述，当0<a<２时，f（x）在（0，１）内是增加的，在错误!内是减少的，在错误!内是增加的；当a＝２时，f（x）在（0，＋∞）内是增加的；当a>２时，f（x）在错误!内是增加的，在错误!内是减少的，在（１，＋∞）内是增加的．错误!解决含参数函数的单调性问题应注意的２点（１）研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．（２）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．已知函数f（x）＝ln（e x＋１）—ax（a>0），讨论函数y＝f（x）的单调区间．解：f′（x）＝错误!—a＝１—错误!—a.１当a≥１时，f′（x）<0恒成立，所以当a∈[１，＋∞）时，函数y＝f（x）在R上是减少的．２当0<a<１时，由f′（x）>0，得（１—a）（e x＋１）>１，即e x>—１＋错误!，解得x>ln 错误!，由f′（x）<0，得（１—a）（e x＋１）<１，即e x<—１＋错误!，解得x<ln 错误!.所以当a∈（0，１）时，函数y＝f（x）在错误!上是增加的，在错误!上是减少的．综上，当a∈[１，＋∞）时，f（x）在R上是减少的；当a∈（0，１）时，f（x）在错误!上是增加的，在错误!上是减少的．函数单调性的应用（多维探究）角度一比较大小或解不等式（１）函数f（x）的定义域为R，f（—１）＝２，对任意x∈R，f′（x）＞２，则f（x）＞２x＋４的解集为（）Ａ．（—１，１）Ｂ．（—１，＋∞）Ｃ．（—∞，—１）Ｄ．（—∞，＋∞）（２）已知定义在错误!上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对于任意的x∈错误!，都有f′（x）sin x<f（x）cos x，则（）Ａ．错误!f错误!>错误!f错误!Ｂ．f错误!>f（１）Ｃ．错误!f错误!<f错误!Ｄ．错误!f错误!<f错误!【解析】（１）由f（x）＞２x＋４，得f（x）—２x—４＞0，设F（x）＝f（x）—２x—４，则F′（x）＝f′（x）—２，因为f′（x）＞２，所以F′（x）＞0在R上恒成立，所以F（x）在R上是增加的，而F（—１）＝f（—１）—２×（—１）—４＝２＋２—４＝0，故不等式f（x）—２x—４＞0等价于F （x）＞F（—１），所以x＞—１，故选Ｂ．（２）令g（x）＝错误!，则g′（x）＝错误!，由已知得g′（x）<0在错误!上恒成立，所以g（x）在错误!上是减少的，所以g错误!>g错误!，即错误!>错误!，所以错误!f错误!>错误!f错误!.【答案】（１）B （２）A角度二已知函数的单调性求参数已知函数f（x）＝ln x—错误!ax２—２x（a≠0）．（１）若函数f（x）存在减区间，求a的取值范围；（２）若函数f（x）在[１，４]上是减少的，求a的取值范围．【解】（１）f（x）＝ln x—错误!ax２—２x，x∈（0，＋∞），所以f′（x）＝错误!—ax—２，由于f（x）在（0，＋∞）上存在减区间，所以当x∈（0，＋∞）时，错误!—ax—２＜0有解．即a＞错误!—错误!有解，设G（x）＝错误!—错误!，所以只要a＞G（x）min即可．而G（x）＝错误!错误!—１，所以G（x）min＝—１．所以a＞—１．（２）由f（x）在[１，４]上是减少的，当x∈[１，４]时，f′（x）＝错误!—ax—２≤0恒成立，即a≥错误!—错误!恒成立．所以a≥G（x）max，而G（x）＝错误!错误!—１，因为x∈[１，４]，所以错误!∈错误!，所以G（x）max＝—错误!（此时x＝４），所以a≥—错误!，即a的取值范围是错误!.【迁移探究１】（变问法）若函数f（x）在[１，４]上是增加的，求a的取值范围．解：由f（x）在[１，４]上是增加的，当x∈[１，４]时，f′（x）≥0恒成立，所以当x∈[１，４]时，a≤错误!—错误!恒成立，又当x∈[１，４]时，错误!错误!＝—１（此时x＝１），所以a≤—１，即a的取值范围是（—∞，—１]．【迁移探究２】（变问法）若函数f（x）在[１，４]上存在减区间，求a的取值范围．解：f（x）在[１，４]上存在减区间，则f′（x）＜0在[１，４]上有解，所以当x∈[１，４]时，a＞错误!—错误!有解，又当x∈[１，４]时，错误!错误!＝—１，所以a＞—１，即a的取值范围是（—１，＋∞）．【迁移探究３】（变条件）若函数f（x）在[１，４]上不单调，求a的取值范围．解：因为f（x）在[１，４]上不单调，所以f′（x）＝0在（１，４）上有解，即a＝错误!—错误!有解，令m（x）＝错误!—错误!，x∈（１，４），则—１<m（x）<—错误!，所以实数a的取值范围为错误!.错误!（１）利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．（２）利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路１由函数在区间[a，b]上是增加（减少）的可知f′（x）≥0（f′（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立列出不等式；２利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；３对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′（x）在整个区间恒等于0，若f′（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′（x）＝0，则参数可取这个值．[提醒] f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）内的任意一个非空子区间上f′（x）≠0．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．１．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g′（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x）·g（x）＋f（x）·g′（x）＞0且g（—３）＝0，则不等式f（x）·g（x）＜0的解集是（）Ａ．（—３，0）∪（３，＋∞）Ｂ．（—３，0）∪（0，３）Ｃ．（—∞，—３）∪（３，＋∞）Ｄ．（—∞，—３）∪（0，３）解析：选Ｄ．令h（x）＝f（x）g（x），当x＜0时，h′（x）＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，则h（x）在（—∞，0）上是增加的，又f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h（x）为奇函数，所以h（x）在（0，＋∞）上是增加的．又由g（—３）＝0，可得h（—３）＝—h（３）＝0，所以x＜—３或0＜x＜３时h（x）＜0，故选Ｄ．２．已知函数f（x）＝错误!—２x２＋ln x在区间[１，２]上为单调函数，求a的取值范围．解：f′（x）＝错误!—４x＋错误!，若函数f（x）在区间[１，２]上为单调函数，即f′（x）＝错误!—４x＋错误!≥0或f′（x）＝错误!—４x＋错误!≤0，即错误!—４x＋错误!≥0或错误!—４x＋错误!≤0在[１，２]上恒成立，即错误!≥４x—错误!或错误!≤４x—错误!.令h（x）＝４x—错误!，因为函数h（x）在[１，２]上是增加的，所以错误!≥h（２）或错误!≤h（１），即错误!≥错误!或错误!≤３，解得a<0或0<a≤错误!或a≥１．构造函数、比较大小此类涉及已知f（x）与f′（x）的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解．一、x与f（x）的组合函数若函数f（x）的定义域为R，且满足f（２）＝２，f′（x）>１，则不等式f（x）—x>0的解集为________．【解析】令g（x）＝f（x）—x，所以g′（x）＝f′（x）—１．由题意知g′（x）>0，所以g（x）为增函数．因为g（２）＝f（２）—２＝0，所以g（x）>0的解集为（２，＋∞）．【答案】（２，＋∞）二、e x与f（x）的组合函数已知f（x）（x∈R）有导函数，且对任意的x∈R，f′（x）>f（x），n∈N＋，则有（）Ａ．e n f（—n）<f（0），f（n）>e n f（0）Ｂ．e n f（—n）<f（0），f（n）<e n f（0）Ｃ．e n f（—n）>f（0），f（n）>e n f（0）Ｄ．e n f（—n）>f（0），f（n）<e n f（0）【解析】设g（x）＝错误!，则g′（x）＝错误!＝错误!>0，g（x）为R上的增函数，故g（—n）<g（0）<g（n），即错误!<错误!<错误!，即e n f（—n）<f（0），f（n）>e n f（0）．故选Ａ．【答案】A设a>0，b>0，e是自然对数的底数，则（）Ａ．若e a＋２a＝e b＋３b，则a>bＢ．若e a＋２a＝e b＋３b，则a<bＣ．若e a—２a＝e b—３b，则a>bＤ．若e a—２a＝e b—３b，则a<b【解析】因为a>0，b>0，所以e a＋２a＝e b＋３b＝e b＋２b＋b>e b＋２b.对于函数y＝e x＋２x （x>0），因为y′＝e x＋２>0，所以y＝e x＋２x在（0，＋∞）上是增加的，因而a>b成立．故选Ａ．【答案】A[基础题组练]１．已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（）Ａ．f（b）>f（c）>f（d）Ｂ．f（b）>f（a）>f（e）Ｃ．f（c）>f（b）>f（a）Ｄ．f（c）>f（e）>f（d）解析：选Ｃ．由题意得，当x∈（—∞，c）时，f′（x）>0，所以函数f（x）在（—∞，c）上是增函数，因为a<b<c，所以f（c）>f（b）>f（a），故选Ｃ．２．（２0２0·江西红色七校第一次联考）若函数f（x）＝２x３—３mx２＋6x在区间（１，＋∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）Ａ．（—∞，１] B．（—∞，１）C．（—∞，２] D．（—∞，２）解析：选Ｃ．f′（x）＝6x２—6mx＋6，由已知条件知x∈（１，＋∞）时，f′（x）≥0恒成立．设g （x）＝6x２—6mx＋6，则g（x）≥0在（１，＋∞）上恒成立．当Δ＝３6（m２—４）≤0，即—２≤m≤２时，满足g（x）≥0在（１，＋∞）上恒成立；当Δ＝３6（m２—４）>0，即m<—２或m>２时，则需错误!解得m≤２，所以m<—２．综上得m≤２，所以实数m的取值范围是（—∞，２]．３．已知f（x）＝错误!，则（）Ａ．f（２）>f（e）>f（３）B．f（３）>f（e）>f（２）Ｃ．f（３）>f（２）>f（e）D．f（e）>f（３）>f（２）解析：选Ｄ．f（x）的定义域是（0，＋∞），f′（x）＝错误!，令f′（x）＝0，得x＝e.所以当x∈（0，e）时，f′（x）>0，f（x）是增加的，当x∈（e，＋∞）时，f′（x）<0，f（x）是减少的，故当x＝e时，f（x）max＝f（e）＝错误!，而f（２）＝错误!＝错误!，f（３）＝错误!＝错误!，所以f（e）>f（３）>f（２），故选D.４．设函数f（x）＝错误!x２—9ln x在区间[a—１，a＋１]上是减少的，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，２] B．（４，＋∞）Ｃ．（—∞，２）D．（0，３]解析：选Ａ．因为f（x）＝错误!x２—9ln x，所以f′（x）＝x—错误!（x>0），由x—错误!≤0，得0<x≤３，所以f（x）在（0，３]上是减函数，则[a—１，a＋１]⊆（0，３]，所以a—１>0且a＋１≤３，解得１<a≤２．５．（２0２0·江西上饶第二次模拟）对任意x∈R，函数y＝f（x）的导数都存在，若f（x）＋f′（x）>0恒成立，且a>0，则下列说法正确的是（）Ａ．f（a）<f（0）B．f（a）>f（0）Ｃ．e a·f（a）<f（0）D．e a·f（a）>f（0）解析：选Ｄ．设g（x）＝e x·f（x），则g′（x）＝e x[f（x）＋f′（x）]>0，所以g（x）为R上的增函数，因为a>0，所以g（a）>g（0），即e a·f（a）>f（0），故选Ｄ．6．函数f（x）＝错误!＋错误!—ln x的减区间是________．解析：因为f（x）＝错误!＋错误!—ln x，所以函数的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝错误!—错误!—错误!＝错误!，令f′（x）＜0，解得0＜x＜５，所以函数f（x）的减区间为（0，５）．答案：（0，５）7．若函数f（x）＝ax３＋３x２—x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f′（x）＝３ax２＋6x—１，由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，所以３ax２＋6x—１＝0需满足a≠0，且Δ＝３6＋１２a>0，解得a>—３，所以实数a的取值范围是（—３，0）∪（0，＋∞）．答案：（—３，0）∪（0，＋∞）8．已知函数f（x）＝ln x＋２x，若f（x２＋２）<f（３x），则实数x的取值范围是________．解析：由题可得函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!＋２x ln ２，所以在定义域内f′（x）>0，函数是增函数，所以由f（x２＋２）<f（３x）得x２＋２<３x，所以１<x<２．答案：（１，２）9．已知函数f（x）＝错误!（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线与x轴平行．（１）求k的值；（２）求f（x）的单调区间．解：（１）由题意得f′（x）＝错误!，又因为f′（１）＝错误!＝0，故k＝１．（２）由（１）知，f′（x）＝错误!，设h（x）＝错误!—ln x—１（x>0），则h′（x）＝—错误!—错误!<0，即h（x）在（0，＋∞）上是减函数．由h（１）＝0知，当0<x<１时，h（x）>0，从而f′（x）>0；当x>１时，h（x）<0，从而f′（x）<0．综上可知，f（x）的增区间是（0，１），减区间是（１，＋∞）．１0．已知函数f（x）＝x３—ax—１．（１）若f（x）在R上为增函数，求实数a的取值范围；（２）若函数f（x）在（—１，１）上为减函数，求实数a的取值范围；（３）若函数f（x）的减区间为（—１，１），求实数a的值；（４）若函数f（x）在区间（—１，１）上不单调，求实数a的取值范围．解：（１）因为f（x）在（—∞，＋∞）上是增函数，所以f′（x）＝３x２—a≥0在（—∞，＋∞）上恒成立，即a≤３x２对x∈R恒成立．因为３x２≥0，所以只需a≤0．又因为a＝0时，f′（x）＝３x２≥0，f（x）＝x３—１在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为（—∞，0]．（２）由题意知f′（x）＝３x２—a≤0在（—１，１）上恒成立，所以a≥３x２在（—１，１）上恒成立，因为当—１<x<１时，３x２<３，所以a≥３，所以a的取值范围为[３，＋∞）．（３）由题意知f′（x）＝３x２—a，则f（x）的减区间为错误!，又f（x）的减区间为（—１，１），所以错误!＝１，解得a＝３．（４）由题意知f′（x）＝３x２—a，当a≤0时，f′（x）≥0，此时f（x）在（—∞，＋∞）上为增函数，不合题意，故a>0．令f′（x）＝0，解得x＝±错误!.因为f（x）在区间（—１，１）上不单调，所以f′（x）＝0在（—１，１）上有解，需0<错误!<１，得0<a<３，所以实数a的取值范围为（0，３）．[综合题组练]１．设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′（x）g（x）—f（x）g′（x）<0，则当a<x<b时，有（）Ａ．f（x）g（x）>f（b）g（b）Ｂ．f（x）g（a）>f（a）g（x）Ｃ．f（x）g（b）>f（b）g（x）Ｄ．f（x）g（x）>f（a）g（a）解析：选Ｃ．令F（x）＝错误!，则F′（x）＝错误!<0，所以F（x）在R上是减少的．又a<x<b，所以错误!>错误!>错误!.又f（x）>0，g（x）>0，所以f（x）g（b）>f（b）g（x）．２．（２0２0·西安模拟）定义在R上的连续函数f（x）满足f（x）＋f（—x）＝x２，且x<0时，f′（x）<x恒成立，则不等式f（x）—f（１—x）≥x—错误!的解集为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，0）解析：选Ａ．令g（x）＝f（x）—错误!x２，则g（x）＋g（—x）＝0⇒g（x）为奇函数，又x<0时，g′（x）＝f′（x）—x<0⇒g（x）在（—∞，0）上单调递减，则g（x）在（—∞，＋∞）上是减少的，由f（x）—f（１—x）≥x—错误!知f（x）—错误!x２≥f（１—x）—错误!（１—x）２，即g（x）≥g（１—x），从而x≤１—x⇒x≤错误!，所以所求不等式的解集为错误!.故选Ａ．３．已知函数f（x）＝—错误!x２＋４x—３ln x在区间[t，t＋１]上不单调，则t的取值范围是________．解析：由题意知f′（x）＝—x＋４—错误!＝—错误!，由f′（x）＝0，得函数f（x）的两个极值点为１和３，则只要这两个极值点有一个在区间（t，t＋１）内，函数f（x）在区间[t，t＋１]上就不单调，由t<１<t＋１或t<３<t＋１，得0<t<１或２<t<３．答案：（0，１）∪（２，３）４．函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的可导函数，f′（x）为其导函数，若xf′（x）＋f（x）＝e x （x—２）且f（３）＝0，则不等式f（x）＜0的解集为________．解析：令g（x）＝xf（x），x∈（0，＋∞），则g′（x）＝xf′（x）＋f（x）＝e x（x—２），可知当x∈（0，２）时，g（x）＝xf（x）是减函数，当x∈（２，＋∞）时，g（x）＝xf（x）是增函数. 又f（３）＝0，所以g（３）＝３f（３）＝0．在（0，＋∞）上，不等式f（x）＜0的解集就是xf（x）＜0的解集，又g（0）＝0，所以f（x）＜0的解集是（0，３）．答案：（0，３）５．设函数f（x）＝a ln x＋错误!，其中a为常数．（１）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线方程；（２）讨论函数f（x）的单调性．解：（１）由题意知当a＝0时，f（x）＝错误!，x∈（0，＋∞），此时f′（x）＝错误!，可得f′（１）＝错误!，又f（１）＝0，所以曲线y＝f（x）在（１，f（１））处的切线方程为x—２y—１＝0．（２）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）．f′（x）＝错误!＋错误!＝错误!.当a≥0时，f′（x）>0，函数f（x）在（0，＋∞）上是增加的；当a<0时，令g（x）＝ax２＋（２a＋２）x＋a，Δ＝（２a＋２）２—４a２＝４（２a＋１）．１当a＝—错误!时，Δ＝0，f′（x）＝错误!≤0，函数f（x）在（0，＋∞）上是减少的．２当a<—错误!时，Δ<0，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）在（0，＋∞）上是减少的．３当—错误!<a<0时，Δ>0，设x１，x２（x１<x２）是函数g（x）的两个零点，则x１＝错误!，x２＝错误!.由于x１＝错误!＝错误!>0，所以当x∈（0，x１）时，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）是减少的，当x∈（x１，x２）时，g （x）>0，f′（x）>0，函数f（x）是增加的，当x∈（x２，＋∞）时，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）是减少的．综上可得：当a≥0时，函数f（x）在（0，＋∞）上是增加的；当a≤—错误!时，函数f（x）在（0，＋∞）上是减少的；当—错误!<a<0时，f（x）在错误!，错误!上是减少的，在错误!上是增加的．6．已知函数f（x）＝a ln x—ax—３（a∈R）．（１）求函数f（x）的单调区间；（２）若函数y＝f（x）的图像在点（２，f（２））处的切线的倾斜角为４５°，对于任意的t∈[１，２]，函数g（x）＝x３＋x２·错误!在区间（t，３）上总不是单调函数，求m的取值范围．解：（１）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝错误!，当a>0时，f（x）的增区间为（0，１），减区间为（１，＋∞）；当a<0时，f（x）的增区间为（１，＋∞），减区间为（0，１）；当a＝0时，f（x）为常函数．（２）由（１）及题意得f′（２）＝—错误!＝１，即a＝—２，所以f（x）＝—２ln x＋２x—３，f′（x）＝错误!.所以g（x）＝x３＋错误!x２—２x，所以g′（x）＝３x２＋（m＋４）x—２．因为g（x）在区间（t，３）上总不是单调函数，即g′（x）在区间（t，３）上有变号零点．由于g′（0）＝—２，所以错误!当g′（t）<0时，即３t２＋（m＋４）t—２<0对任意t∈[１，２]恒成立，由于g′（0）<0，故只要g′（１）<0且g′（２）<0，即m<—５且m<—9，即m<—9；由g′（３）>0，即m>—错误!.所以—错误!<m<—9．即实数m的取值范围是错误!.。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第二篇 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算(含答案)
第10节导数的概念与计算课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则为( C )(A)Δx++2 (B)Δx--2(C)Δx+2 (D)Δx-+2解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-2=(Δx)2+2·(Δx),∴=Δx+2,选C.2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( D )(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4解析:∵f′(x)=2f′(1)+2x,∴f′(1)=2f′(1)+2,∴f′(1)=-2,∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.故选D.3.(2013合肥模拟)函数y=x2cos x在x=1处的导数是( B )(A)0 (B)2cos 1-sin 1(C)cos 1-sin 1 (D)1解析:∵y′=(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x-x2sin x,∴在x=1处的导数为2cos 1-sin 1,故选B.4.(2013中山市期末)函数f(x)=x2-bx+a的图象如图所示,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( B )(A)(,)(B)(,1)(C)(1,2)(D)(2,3)解析:由题图知f(1)=1-b+a=0,0<f(0)=a<1,所以1<b<2.g(x)=ln x+2x-b,易知g(x)为(0,+∞)上的增函数,又g(1)=2-b>0,g()=ln +1-b<0,故函数g(x)的零点所在区间为(,1),故选B.5.(2013深圳调研)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程为( C )(A)y=-x-1 (B)y=-x+3(C)y=x+1 (D)y=x-1解析:y′=2-,所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为k=2-1=1,因此,在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即y=x+1,故选C.6.(2013潍坊模拟)若曲线f(x)=x·sin x+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于( D )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2解析:f′(x)=sin x+xcos x,依题意,f′()=1,且-×1=-1,解得a=2,故选D.7.(2013惠阳一中实验学校高三月考)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( D )(A)6e2(B)4e2(C)2e2(D)e2解析:∵y′=·,∴y′|x=4=·e2.∴曲线y=在点(4,e2)处的切线方程为y-e2=·e2(x-4).令y=0,得x=2,令x=0,得y=-e2,所以,切线与坐标轴所围成的三角形面积S=×2×|-e2|=e2.故选D.二、填空题8.设直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为.解析:由已知条件可得直线的斜率k=,y′=(ln x)′==,得切点的横坐标为x=2,切点坐标为(2,ln 2).由点(2,ln 2)在切线y=x+b上可得b=ln 2-×2=ln 2-1.答案:ln 2-19.(2013广东六校第三次联考)设P为曲线C:y=x3-x上的点,则曲线C 在点P处的切线的倾斜角的取值范围为.解析:设点P的横坐标是x,则曲线C在点P处的切线斜率是k=3x2-1≥-1,设切线的倾斜角是α,则tan α≥-1,α∈[0,π),解得α∈[0, )∪[,π).答案:[0, )∪[,π)10.等比数列{a n}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为.解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)],∴f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)]′∴f′(0)=a1·a2·a3·…·a2012=(a1·a2012)1006=41006=22012.∴f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22012x.答案:y=22012x11.(2013广州高三调研)若直线y=2x+m是曲线y=xln x的切线,则实数m的值为.解析:设切点为(x0,x0ln x0),由y′=(xln x)′=ln x+x·=ln x+1得切线斜率为k=ln x0+1,故切线方程为y-x0ln x0=(ln x0+1)·(x-x0),整理得y=(ln x0+1)x-x0,与y=2x+m比较得解得答案:-e三、解答题12.(1)求下列函数的导数.①y=(2x2+3)(3x-1);②y=(-2)2;③y=x-sin cos;(2)设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a,b,c,d,使得f′(x)=xcos x.解:(1)①法一y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.法二∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9.②∵y=(-2)2=x-4+4,∴y′=x′-(4)′+4′=1-4×=1-2.③∵y=x-sin cos=x-sin x,∴y′=x′-(sin x)′=1-cos x.(2)由已知f′(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]′=[(ax+b)sin x]′+[(cx+d)cos x]′=(ax+b)′sin x+(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′=asinx+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x. ∵f′(x)=xcos x,∴必须有即⇒a=d=1,b=c=0.13.已知函数f(x)=在x=处的切线为l,直线g(x)=kx+与l平行,求f(x)的图象上的点到直线g(x)的最短距离.解:因为f(x)=,所以f′(x)=.所以切线l的斜率为k=f′()=1,切点为T(,).所以切线l的方程为x-y+=0.因为切线l与直线g(x)=kx+平行,所以k=1,即g(x)=x+.f(x)的图象上的点到直线g(x)=x+的最短距离为切线l:x-y+=0与直线x-y+=0之间的距离,所以所求最短距离为=.14.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,∴当x=2时,y′=-1,y=,∴斜率最小的切线过,斜率k=-1,∴切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k≥-1,∴tan α≥-1,∴α∈∪.B组15.(2012年高考辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为( C )(A)1 (B)3 (C)-4 (D)-8解析:y=,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2,点P的坐标为(4,8),点Q的坐标为(-2,2),∴在点P处的切线方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2,解得A(1,-4),则A点的纵坐标为-4.故选C.16.(2013河北保定一模)设函数f(x)=|sin x|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐标的最大值为α,则α等于( B )(A)-cos α(B)tan α(C)sin α(D)π解析:如图,若直线与函数有且仅有三个公共点,则直线y=kx与曲线y=-sin x(x∈[π,2π])相切,设切点为(α,-sin α),则-sin α=kα且k=-cos α,所以α=tan α.故选B.。
北师大文科数学高考总复习教师用书：导数在研究函数中的应用 含答案
第2讲导数在研究函数中的应用最新考纲 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；(3)如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．2．函数的极值与导数(1)极值点与极值设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值．(2)极大值点与极小值点①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点；②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小值点．(3)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．()(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()解析(1)函数f(x)在(a，b)上单调递增，则在(a，b)上有f′(x)≥0，故(1)错．(2)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，(2)错．(3)如f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝0，而函数f(x)在R上为增函数，所以x＝0不是极值点，故(3)错．答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编)函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极小值点的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4解析导函数f′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．答案 A3．(2017·郑州调研)函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为()A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)解析函数y＝12x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝(x－1)(x＋1)x，令y′≤0，则可得0<x≤1.答案 B4．(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A ．－4B ．－2C ．4D ．2解析 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 故f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2. 答案 D5．(2014·全国Ⅱ卷改编)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________．解析 依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x <1，∴k ≥1. 答案 [1，＋∞)第1课时 导数与函数的单调性考点一 利用导数研究函数的单调性 【例1】 (2016·四川卷节选)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数． (1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0.(1)解 由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)证明 令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ， 从而g (x )＝1x －1ex －1>0.规律方法 用导数讨论(证明)函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤： (1)求f ′(x )；(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数． 【训练1】 设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)(a ＞0)，试讨论f (x )的单调性． 解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1)＋e x (2ax ＋1) ＝e x [ax 2＋(2a ＋1)x ＋2] ＝e x (ax ＋1)(x ＋2) ＝a ex ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x ＋2) ①当a ＝12时，f ′(x )＝12e x (x ＋2)2≥0恒成立， ∴函数f (x )在R 上单调递增； ②当0＜a ＜12时，有1a ＞2， 令f ′(x )＝a e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x ＋2)＞0，有x ＞－2或x ＜－1a ，令f ′(x )＝a e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x ＋2)＜0，有－1a ＜x ＜－2， ∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a 和(－2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，－2上单调递减；③当a ＞12时，有1a ＜2，令f ′(x )＝a e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x ＋2)＞0时， 有x ＞－1a 或x ＜－2，令f ′(x )＝a e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x ＋2)＜0时，有－2＜x ＜－1a ，∴函数f (x )在(－∞，－2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1a 上单调递减.考点二 求函数的单调区间(易错警示)【例2】 (2015·重庆卷改编)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值． (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间． 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，得x (x ＋1)(x ＋4)<0. 解之得－1<x <0或x <－4.所以g (x )的单调减区间为(－1,0)，(－∞，－4)． 规律方法 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间； (4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间．易错警示 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时，f ′(x )＝0)，但f (x )＝x 3在R 上是增函数．【训练2】 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，(x >0)．则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 但－1∉(0，＋∞)，舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0,5)． 考点三 已知函数的单调性求参数(易错警示)【例3】 (2017·西安模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)． (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0. ∴h ′(x )＝1x －ax －2.若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解． 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min .(*) 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞)． (2)由h (x )在[1,4]上单调递减，∴当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，(**)则a ≥1x 2－2x 恒成立，所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1,4]因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716. 当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x ，∵x ∈[1,4]， ∴h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x≤0，当且仅当x ＝4时等号成立．(***) ∴h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.易错警示 (1)特称命题理解不清，不能将第(1)问转化为1x －ax －2<0有解，难以得到不等式(*)．错求a 的取值范围．(2)错误理解“f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0，且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．”导致在第(2)问中(**)处易错求h ′(x )<0恒成立，另外在(***)处容易忽视a ＝－716进行检验. 【训练3】 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )的单调减区间为(－1,1)，求a 的值． 解 (1)因为f (x )在R 上是增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在R 上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号． ∴f (x )＝x 3－1在R 上是增函数． 所以实数a 的取值范围是(－∞，0]． (2)f ′(x )＝3x 2－a . 当a ≤0时，f ′(x )≥0， f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数， 所以a ≤0不合题意． 当a >0时，令3x 2－a <0， 得－3a 3<x <3a 3，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3， 依题意，3a3＝1，即a ＝3.[思想方法]1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解，并注意函数f (x )的定义域．2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决． [易错防范]1．求单调区间应遵循定义域优先的原则．2．注意两种表述“函数f (x )在(a ，b )上为减函数”与“函数f (x )的减区间为(a ，b )”的区别．3．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 4．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒为零．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为() A．(0,1) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以单调递减区间是(0,1)．答案 A2．(2015·陕西卷)设f(x)＝x－sin x，则f(x)()A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数解析因为f′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.答案 B3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．答案 C4．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为()A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立． 令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52. 答案 D5．(2017·上饶模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2， 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增．又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1. 答案 B 二、填空题6．已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)，则函数f (x )的单调递增区间为________．解析 因为f (x )＝(－x 2＋2x )e x ， 所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2， 所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．答案 (－2，2)7．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________． 解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案 (0,1)∪(2,3)8．(2017·武汉模拟)已知f (x )＝2ln x ＋x 2－5x ＋c 在区间(m ，m ＋1)上为递减函数，则m 的取值范围为________．解析 由f (x )＝2ln x ＋x 2－5x ＋c ，得f ′(x )＝2x ＋2x －5， 又函数f (x )在区间(m ，m ＋1)上为递减函数， ∴f ′(x )≤0在(m ，m ＋1)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2m －5≤0，2m ＋1＋2(m ＋1)－5≤0，解得12≤m ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1三、解答题 9．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －ke x ，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0， 即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ， 有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立，只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0， 则f (x )在(－∞，1)上为增函数； 又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1， 因此有f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b .答案 C12．(2016·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立． 令t ＝cos x ，t ∈[－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0.在t ∈[－1,1]上恒成立．∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立．令g (t )＝4t 2－3at －5， 则⎩⎨⎧g (1)＝－3a －1≤0，g (－1)＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13.答案 C13．(2017·合肥质检)设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )>0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．解析 令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2>0，x ∈(0，＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x＝f (x )x ＝g (x )， 则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)． 则f (x )＝xg (x )>0⇔⎩⎨⎧ x >0，g (x )>0或⎩⎨⎧x <0，g (x )<0，解得x >2或－2<x <0，故不等式f (x )>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)． 答案 (－2,0)∪(2，＋∞)14．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围． 解 (1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2. 又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1. (2)∵φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数， ∴φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，∴x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞)， ∵x ＋1x ∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2. 故实数m 的取值范围是(－∞，2].特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.考点一用导数研究函数的极值(多维探究)命题角度一根据函数图像判断极值【例1－1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时f′(x)>0；当－2<x<1时，0<1－x<3，此时f′(x)<0；当1<x<2时，－1<1－x<0，此时f′(x)<0；当x>2时，1－x<－1，此时f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．答案 D命题角度二求函数的极值【例1－2】求函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)的极值．解由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0知：(1)当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值.命题角度三 已知极值求参数【例1－3】 已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，试求b ，c 的值．解 ∵f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ， 由f (x )在x ＝1处有极值－43， 可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.解得⎩⎨⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝3. 若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，f (x )没有极值． 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)． 当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3 (－3,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 1f (x )极小值－12极大值 －43∴当x ＝1时，f (x )有极大值－43，满足题意． 故b ＝－1，c ＝3为所求．规律方法 (1)求函数f (x )极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号．如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值；如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．【训练1】 设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)． (1)当a ＝1，且函数图像过(0,1)时，求函数的极小值； (2)若f (x )在R 上无极值点，求a 的取值范围． 解 由题意得f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1. (1)函数图像过(0,1)时，有f (0)＝c ＝1. 当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 令f ′(x )>0，解得x <13或x >1； 令f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减．故函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在R 上无极值点，则f (x )在R 上是单调函数，故f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立． 当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(1)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.考点二 利用导数求函数的最值【例2】 (2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解 (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，k －1)k －1 (k －1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )－e k －1所以，f (x ))． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ， 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1. 当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ；当1<k <2时，f (x )min ＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.规律方法 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.【训练2】 设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值．解 (1)由f (x )＝a ln x －bx 2，得f ′(x )＝ax －2bx (x >0)． ∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知f (x )＝ln x －12x 2， 则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e <x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <e ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，在(1，e)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.考点三 函数极值与最值的综合问题【例3】 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x (a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x.令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，由于e x >0. 令f ′(x )＝0，则g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ＝0， ∴－3和0是y ＝g (x )的零点，且f ′(x )与g (x )的符号相同．又因为a >0，所以－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5， 所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者， 又f (－5)＝5e－5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.规律方法 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小． (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值． 【训练3】 (2017·衡水中学月考)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的最大值．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x .当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )<0，得0<x <1a ；由f ′(x )>0，得x >1a ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上递增，即f (x )在x ＝1a 处有极小值．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点； 当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点． (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f′(1)＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－ln x.因此f(x)≥bx－2⇒1＋1x－ln xx≥b，令g(x)＝1＋1x－ln xx，则g′(x)＝ln x－2x2，令g′(x)＝0，得x＝e2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增，∴g(x)min＝g(e2)＝1－1e2，即b≤1－1e2.故实数b的最大值是1－1 e2.[思想方法]1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.4.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．[易错防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －x D ．y ＝x ＋2x解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 答案 D2．(2017·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 答案 D3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( ) A.14 B.13 C.12 D ．1解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当x >1a 时，f ′(x )<0. ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.答案 D4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是( )解析 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案 D 二、填空题6．(2017·咸阳模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________. 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.依题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根 所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 经检验，a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值． 答案 57．(2016·北京卷改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x >0，则f (x )的最大值为________．解析 当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． ∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2. 答案 28．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .∵函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝e x＋a＝0有大于零的解，∵x>0时，－e x<－1，∴a＝－e x<－1. 答案(－∞，－1)三、解答题9．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝ax(x＋r)2(a>0，r>0)．(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若ar＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．解(1)由题意可知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．f(x)＝ax(x＋r)2＝axx2＋2rx＋r2，f′(x)＝a(x2＋2rx＋r2)－ax(2x＋2r)(x2＋2rx＋r2)2＝a(r－x)(x＋r)(x＋r)4.所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0；当－r<x<r时，f′(x)>0.因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r)．(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝ar(2r)2＝a4r＝4004＝100，f(x)在(0，＋∞)内无极小值；综上，f(x)在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值．10．(2017·衡水中学二调)已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)e x(a为实数)．(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值．解(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)e x，g(1)＝e.又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)e x，故切线的斜率为g′(1)＝4e.所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值①当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t .②当0<t <1e 时，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫t ，1e 上f (x )为减函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，t ＋2上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2017·广州调研)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像与x 轴相切于一点A (m,0)(m ≠0)，且f (x )的极大值为12，则m 的值为( ) A ．－23 B ．－32 C.23 D.32解析 由题意可得f (m )＝m 3＋am 2＋bm ＝0，m ≠0，则m 2＋am ＋b ＝0 ①，且f ′(m )＝3m 2＋2am ＋b ＝0 ②， ①－②化简得m ＝－a2.f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 的两根为－a 2和－a6， 则b ＝a 24，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝12，解得a ＝－3，m ＝32.答案 D12．(2015·安徽卷)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0 解析 由函数y ＝f (x )的图像知，a >0，f (0)＝d >0. 又x 1，x 2是函数f (x )的极值点， 且f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0，∴x 1，x 2是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根． 由图像知，x 1>0，x 2>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b3a >0，x 1x 2＝c3a >0.因此b <0，且c >0.答案 A13．(2015·陕西卷)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．解析 由y ＝x e x 可得y ′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，从而可得y ＝x e x 在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x ＝－1时，y ＝x e x 取得极小值－e －1，因为y ′|x ＝－1＝0，故切线方程为y ＝－e －1，即y ＝－1e .答案 y ＝－1e14．(2016·山东卷改编)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0) (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围． (1)解 由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x . 又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减．∴函数y ＝g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意．③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第3课时 导数与函数的综合应用考点一 用导数研究生活中的优化问题 【例1】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 规律方法 (1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： ①设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； ②求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；③比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； ④回归实际问题作答．(2)如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．【训练1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因r>0，又由h>0可得0<r<53，故函数V(r)的定义域为(0,53)，(2)因V(r)＝π5(300r－4r3)(0<r<53)，故V′(r)＝π5(300－12r2)，故V′(r)＝0，解得r＝5或－5(因r＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.所以当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.考点二利用导数研究函数的零点或方程的根【例2】(2014·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．(1)解f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1. (2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4， 所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4， 则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增， 所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根． 综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．规律方法 (1)本题求解的关键是通过构造函数，把曲线与直线交点问题转化为函数零点问题来解决．(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图像判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用．【训练2】 (2016·北京卷节选)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ， 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23. 当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，－2)－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞ f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )cc －3227所以，当c >0且c －3227<0，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时， 函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点． 考点三 导数在不等式中的应用(多维探究) 命题角度一 不等式恒成立问题【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x －ax ，若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解 ∵ln x －ax <x 2，又x >0，∴a >x ln x －x 3， 令g (x )＝x ln x －x 3，则h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x.∵当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0.∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数，∴g (x )<g (1)＝－1， ∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立. 命题角度二 证明不等式【例3－2】 (2016·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x ； (3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x . (1)解 依题意，f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1，∴当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)证明 由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，且最大值f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1， 因此1<x －1ln x <x .(3)证明 由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ， 则g ′(x )＝c －1－c x ln c .令g ′(x )＝0，解得x 0＝ln c －1ln cln c . 当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 由(2)知1<c －1ln c <c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .规律方法 (1)利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h (x )>0. (2)不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决．解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论．【训练3】 (2017·西安模拟)已知函数f (x )＝ln x . (1)求函数F (x )＝f (x )x ＋12的最大值； (2)证明：f (x )x ＋12<x －f (x )；(3)若不等式mf (x )≥a ＋x 对所有的m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，x ∈[1，e 2]恒成立，求实数a 的取值范围．。
高考数学(文)一轮复习备考学案：《导数的应用》(北师大版)
第十一节导数的应用对应学生用书P341．函数的单调性与导数(1)函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系：①若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增加的；②若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减少的；③若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．(2)利用导数判断函数单调性的一般步骤：①求f′(x)；②在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；③根据结果确定f(x)的单调区间．2．函数的极值与导数(1)函数的极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)函数的极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值(1)函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．(2)函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．1．求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.2．易混极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．[试一试]1．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：选D 求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点，所以选D.2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x，令y ′≤0，则可得0<x ≤1.解决含参数问题及不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理． [练一练]1．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0. 因为函数f (x )既有极大值又有极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1. 答案：a >2或a <－12．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．解析：y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫23＝－827，f (2)＝8. 所以最大值为8. 答案：8第一课时 导数与函数单调性对应学生用书P35考点一判断或证明函数的单调性[典例] (2013·天津高考节选)设a ∈[－2,0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－(a ＋5)x ，x ≤0，x 3－a ＋32x 2＋ax ，x >0. 证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减， 在区间(1, ＋∞)内单调递增． [证明] 设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)， ①f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)，由于a ∈[－2,0]，从而当－1<x ≤0时，f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0， 所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减． ②f 2′(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2,0]，所以当0<x <1时，f 2′(x )<0；当x >1时，f 2′(x )>0，即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．[类题通法]导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数． [针对训练]已知函数f (x )＝x 2－e x 试判断f (x )的单调性并给予证明． 解：f (x )＝x 2－e x ，f (x )在R 上单调递减， f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成立即可． 设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ， 当x ＝ln 2时，g ′(x )＝0， 当x ∈(－∞，ln 2)时，g ′(x )>0， 当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )<0.∴f ′(x )max ＝g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2<0， ∴f ′(x )<0恒成立， ∴f (x )在R 上单调递减．考点二求函数的单调区间[典例] (2012·北京高考改编)已知函数f (x )＝ax ＋1(a ＞0)，g (x )＝x ＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． [解] (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6， ∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6. 在本例(2)中，若条件不变，讨论函数f (x )＋g (x )当a >0时，在区间(－∞，－1)上的单调性.解：当0<a ≤2时，f (x )＋g (x )在(－∞，－1)上为增函数；当2<a ≤6时，f (x )＋g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a2，－1上单调递减； 当a >6时，f (x )＋g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a 6，－1上单调递增．[类题通法]求函数的单调区间的“两个”方法(1)方法一：①确定函数y ＝f (x )的定义域； ②求导数y ′＝f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． (2)方法二：①确定函数y ＝f (x )的定义域；②求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；④确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． [针对训练](2013·重庆高考)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )·(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x.令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.考点三已知函数的单调性求参数的范围[典例] (2014·宝鸡模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2－3m 2x ＋1，m ∈R .(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，求m 的取值范围． [解] (1)当m ＝1时，f (x )＝13x 3＋x 2－3x ＋1，又f ′(x )＝x 2＋2x －3，所以f ′(2)＝5.又f (2)＝53，所以所求切线方程为y －53＝5(x －2)，即15x －3y －25＝0.所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为15x －3y －25＝0. (2)f ′(x )＝x 2＋2mx －3m 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝－3m 或x ＝m .当m ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立，不符合题意．当m >0时，f (x )的单调递减区间是(－3m ，m )，若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≤－2，m ≥3，解得m ≥3. 当m <0时，f (x )的单调递减区间是(m ，－3m )，若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，－3m ≥3，解得m ≤－2. 综上所述，实数m 的取值范围是m ≥3或m ≤－2. [类题通法]已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．提醒：f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．[针对训练](2014·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎫x ＋2x max ＝－22， 当且仅当“x ＝2x ”即x ＝－2时等号成立，所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22).对应学生用书P36[课堂练通考点]1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，0]D ．(0，＋∞)解析：选D ∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1， 由f ′(x )>0，得e x －1>0，即x >0. 2．若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：选A f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )．3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数， ∴Δ＝4－12 m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞4.(创新题)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×⎝⎛⎭⎫23－1， 解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . 则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解析：选A 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)．2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D ∵f (x )＝(x －3)·e x ， f ′(x )＝e x (x －2)>0，∴x >2. ∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．3．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选C 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，c <a <b . 4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3]D ．[3，＋∞)解析：选D f ′(x )＝2x ＋a －1x2，因为函数在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，所以f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，设g (x )＝1x 2－2x ，g ′(x )＝－2x 3－2，令g ′(x )＝－2x 3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )<0，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4－1＝3，所以a ≥3，故选D.5．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增6．(2014·河南省三市调研)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.答案：－47．(2014·武汉武昌区联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解：(1)对f (x )求导， 得f ′(x )＝3x 2－2ax －3. 由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝⎛⎭⎫x －1x . 记t (x )＝32⎝⎛⎭⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数， ∴t (x )min ＝32(1－1)＝0.∴a ≤0.(2)由题意，得f ′(3)＝0， 即27－6a －3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ， f ′(x )＝3x 2－8x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－13，[3，＋∞)，f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－13，3. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．已知函数f (x )＝(x 2－ax )e x (x ∈R )，a 为实数． (1)当a ＝0时，求函数f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在闭区间[－1,1]上为减函数，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ， f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝(x 2＋2x )e x ， 由f ′(x )>0⇒x >0或x <－2，故f (x )的单调增区间为(0，＋∞)和(－∞，－2)． (2)由f (x )＝(x 2－ax )e x ，x ∈R⇒f ′(x )＝(2x －a )e x ＋(x 2－ax )e x ＝[x 2＋(2－a )x －a ]e x . 记g (x )＝x 2＋(2－a )x －a ，依题意，x ∈[－1,1]时，g (x )≤0恒成立，结合g (x )的图像特征得⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝3－2a ≤0，g (－1)＝－1≤0，即a ≥32，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 2．(2014·深圳第一次调研)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a －b (a ，b ∈R ，a >1)，e 是自然对数的底数．(1)试判断函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)当a ＝e ，b ＝4时，求整数k 的值，使得函数f (x )在区间(k ，k ＋1)上存在零点． 解：(1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a . ∵a >1，∴当x ∈(0，＋∞)时，ln a >0，a x －1>0， ∴f ′(x )>0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )＝e x ＋x 2－x －4，∴f ′(x )＝e x ＋2x －1， ∴f ′(0)＝0，当x >0时，e x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数； 同理，f (x )是(－∞，0)上的减函数．又f (0)＝－3<0，f (1)＝e －4<0，f (2)＝e 2－2>0， 当x >2时，f (x )>0，∴当x >0时，函数f (x )的零点在(1,2)内， ∴k ＝1满足条件；f (0)＝－3<0，f (－1)＝1e －2<0，f (－2)＝1e 2＋2>0，当x <－2时，f (x )>0，∴当x <0时，函数f (x )的零点在(－2，－1)内， ∴k ＝－2满足条件． 综上所述，k ＝1或－2.3．(2014·石家庄质检)已知函数f (x )＝ln x ＋mx 2(m ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若A ，B 是函数f (x )图像上不同的两点，且直线AB 的斜率恒大于1，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋2mx ＝1＋2mx 2x.当m ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当m <0时，由f ′(x )＝0得x ＝ －12m. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12m 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0， －12m 上单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12m ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫ －12m ，＋∞上单调递减． 综上所述，当m ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当m <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫ －12m ，＋∞上单调递减．(2)依题意，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，不妨设a >b >0， 则k AB ＝f (a )－f (b )a －b >1恒成立，即f (a )－f (b )>a －b 恒成立， 即f (a )－a >f (b )－b 恒成立， 令g (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx 2－x ， 则g (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以g ′(x )＝1x ＋2mx －1＝2mx 2－x ＋1x ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以2mx 2－x ＋1≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即2m ≥－1x 2＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －122＋14对x ∈(0，＋∞)恒成立， 因此m ≥18.故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫18，＋∞.第二课时 导数与函数极值、最值对应学生用书P37考点一运用导数解决函数的极值问题[典例] (2013·福建高考节选)已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．[解] (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a . x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．若把本例中f (x )变为“f (x )＝x －a ln x (a ∈R )”，试求函数的极值.解：由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． [类题通法]求函数f (x )极值的步骤(1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．[针对训练]设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图像关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ， 从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26， 即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a6对称．从而由题设条件知－a 6＝－12，即a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0， 得b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， 所以f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0， 即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－2)上单调递增； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－2,1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－6.考点二运用导数解决函数的最值问题[典例] 已知函数f (x )＝(x －k )e (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． [解] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上，在区间[0,1]上k ≤1时，f (x )最小值为f (0)＝－k . 1<k <2时，f (x )最小值为f (k －1)＝－e k －1. k ≥2时，f (x )最小值为f (1)＝(1－k )e. [类题通法]求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． [针对训练]设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝ax－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)f (x )＝ln x －12x 2，f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，∵当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0得1e≤x <1；令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.考点三函数极值和最值的综合问题[典例] ＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． [解] (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b . 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ， f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4. [类题通法]求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．[针对训练]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1， 所以f (1)＝4.所以1＋a ＋b ＋c ＝4.所以c ＝5.(2)由(1)，可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解之，得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：x －3 (－3，－2)－2 ⎝⎛⎭⎫－2，2323 ⎝⎛⎭⎫23，1 1 f ′(x ) ＋ ＋0 －0 ＋＋f (x ) 81395274所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.对应学生用书P38[课堂练通考点]1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643解析：选A f ′(x )＝x 2＋2x －3， 令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18D ． 17或18 解析：选C ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10， ∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， ∴f (2)＝18.故选C.3.(2013·郑州二模)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 依题意，记函数y ＝f ′(x )的图像与x 轴的交点的横坐标自左向右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，当a <x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x 2<x <x 4时，f ′(x )≥0；当x 4<x <b 时，f ′(x )<0.因此，函数f (x )分别在x ＝x 1、x ＝x 4处取得极大值，选B.4．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )，求g (x )的单调区间和最小值． 解：由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，x >0，所以g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间， 因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以g (x )的最小值为g (1)＝1.5．(2012·江苏高考)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·威海模拟)当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.1ln 2B．－1ln 2 C．－ln 2 D．ln 2解析：选B y′＝2x＋x·2x ln 2＝0，∴x＝－1ln 2.2．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)图像的是()解析：选D因为[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝[f(x)＋f′(x)]e x，且x＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15C．10 D．15解析：选A求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图像开口向下， 且对称轴为x ＝1， ∴当n ∈[－1,1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.故选A.4．(2014·荆州质检)设函数f (x )在R 上可导，其导函数是f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )解析：选C f (x )在x ＝－2处取得极小值，即x <－2，f ′(x )<0；x >－2，f ′(x )>0，那么y ＝xf ′(x )过点(0,0)及(－2,0)．当x <－2时，x <0，f ′(x )<0，则y >0；当－2<x <0时，x <0，f ′(x )>0，y <0；当x >0时，f ′(x )>0，y >0，故C 正确．5．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3.答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)6．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图像在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：47．(2013·江苏高考节选)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数． 若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围．解：令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x<0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a >0，进而解得x >a－1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x <ln a 时，g ′(x )<0；当x >ln a 时，g ′(x )>0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a >1，即a >e.综上，a 的取值范围为(e ，＋∞)．8．已知函数f (x )＝x 2－1与函数g (x )＝a ln x (a ≠0)．(1)若f (x )，g (x )的图像在点(1,0)处有公共的切线，求实数a 的值； (2)设F (x )＝f (x )－2g (x )，求函数F (x )的极值． 解：(1)因为f (1)＝0，g (1)＝0，所以点(1,0)同时在函数f (x )，g (x )的图像上， 因为f (x )＝x 2－1，g (x )＝a ln x ， 所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝ax，由已知，得f ′(1)＝g ′(1)，所以2＝a1，即a ＝2.(2)因为F (x )＝f (x )－2g (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)，所以F ′(x )＝2x －2a x ＝2(x 2－a )x，当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0，所以F ′(x )>0对x >0恒成立， 所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，F (x )无极值； 当a >0时，令F ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)， 所以当x >0时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：所以当x ＝a 时，F (x )取得极小值，且F (a )＝(a )2－1－2a ln a ＝a －1－a ln a . 综上，当a <0时，函数F (x )在(0，＋∞)上无极值； 当a >0时，函数F (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a . 第Ⅱ卷：提能增分卷 1．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．解：(1)f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 当x ∈⎝⎛⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为 f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a >－19时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间， 即f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间时，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－19，＋∞. (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a2， 所以f ′(x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减， 在(x 1，x 2)上单调递增． 当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4， 所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)， 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.2．(2013·晋中名校联考)已知函数f (x )＝ax 2－e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)解关于x 的不等式：f (x )>f ′(x )；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝2ax －e x ， f (x )－f ′(x )＝ax (x －2)>0. 当a ＝0时，无解；当a >0时，解集为{x |x <0或x >2}； 当a <0时，解集为{x |0<x <2}． (2)设g (x )＝f ′(x )＝2ax －e x ， 则x 1，x 2是方程g (x )＝0的两个根． g ′(x )＝2a －e x ，当a ≤0时，g ′(x )<0恒成立，g (x )单调递减，方程g (x )＝0不可能有两个根； 当a >0时，由g ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ，当x ∈(－∞，ln 2a )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当x ∈(ln 2a ，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． ∴当g (x )max >0时，方程g (x )＝0才有两个根， ∴g (x )max ＝g (ln 2a )＝2a ln 2a －2a >0，得a >e 2.3．(2014·广东六校高三联考)已知f (x )＝3x 2－x ＋m ，(x ∈R )，g (x )＝ln x . (1)若函数f (x )与g (x )的图像在x ＝x 0处的切线平行，求x 0的值； (2)求当曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )有公共切线时，实数m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，求函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，1上的最值(用m 表示)． 解：(1)∵f ′(x )＝6x －1，g ′(x )＝1x (x >0)，由题意知6x 0－1＝1x 0(x 0>0)，即6x 20－x 0－1＝0， 解得x 0＝12或x 0＝－13，又∵x 0>0，∴x 0＝12.(2)若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )相切且在交点处有公共切线，由(1)得切点横坐标为12，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝g ⎝⎛⎭⎫12，∴34－12＋m ＝ln 12，即m ＝－14－ln 2， 数形结合可知，m >－14－ln 2时，f (x )与g (x )有公共切线，故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14－ln 2，＋∞. (3)F (x )＝f (x )－g (x )＝3x 2－x ＋m －ln x ， 故F ′(x )＝6x －1－1x＝6x 2－x －1x ＝(3x ＋1)(2x －1)x，当x 变化时，F ′(x )与F (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，1的变化情况如下表：x ⎣⎡⎭⎫13，1212 ⎝⎛⎦⎤12，1 F ′(x ) －0 ＋F (x )极小值又∵F ⎝⎛⎭⎫13＝m ＋ln 3， F (1)＝2＋m >F ⎝⎛⎭⎫13， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤13，1时， F (x )min ＝F ⎝⎛⎭⎫12＝m ＋14＋ln 2⎝⎛⎭⎫m >－14－ln 2， F (x )max ＝F (1)＝m ＋2⎝⎛⎭⎫m >－14－ln 2. 第三课时 导数与函数的综合问题对应学生用书P39考点一利用导数研究生活中的优化问题[的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又根据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大． [类题通法]利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． [针对训练]某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t <9，18t ＋594，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10<t ≤12，求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻． 解：①当6≤t <9时， y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)．令y ′＝0，得t ＝－12(舍去)或t ＝8. 当6≤t <8时，y ′>0， 当8<t <9时，y ′<0，故t ＝8时，y 有最大值，y max ＝18.75. ②当9≤t ≤10时，y ＝18t ＋594是增函数，故t ＝10时，y max ＝16.③当10<t ≤12时，y ＝－3(t －11)2＋18， 故t ＝11时，y max ＝18.综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点．考点二利用导数研究恒成立问题及参数求解[典例] (2014·南昌模拟)已知函数f (x )＝ln x －x ，h (x )＝ln xx. (1)求h (x )的最大值；(2)若关于x 的不等式xf (x )≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)因为h (x )＝ln xx (x >0)，所以h ′(x )＝1－ln x x 2，由h ′(x )>0，且x >0，得0<x <e.由h ′(x )<0，且x >0，得x >e ，所以函数h (x )的单调增区间是(0，e]，单调减区间是[e ，＋∞)，所以当x ＝e 时，h (x )取得最大值1e.(2)因为xf (x )≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立， 即x ln x －x 2≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≤ln x ＋x ＋12x 对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，设φ(x )＝ln x ＋x ＋12x ，因为φ′(x )＝x 2＋x －12x 2＝(x －3)(x ＋4)x 2，故φ(x )在(0,3]上递减，在[3，＋∞)上递增，φ(x )min ＝φ(3)＝7＋ln 3，所以a ≤7＋ln 3. [类题通法]利用导数解决参数问题主要涉及以下方面(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题． (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．[针对训练]设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )， 若x ＝0，则f ′(x )＝0；若x <0，则1－e x >0，所以f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，所以f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减． 故[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2，∴m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 故m 的取值范围为(－∞，2－e 2)．考点三利用导数证明不等式问题[典例] (1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间；(2)当1≤a ≤1＋e 时，求证：f (x )≤x . [解] (1)当a ＝12时，f (x )＝12x －e x .f ′(x )＝12－e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2.当x <－ln 2时，f ′(x )>0； 当x >－ln 2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－ln 2)，单调递减区间为(－ln 2，＋∞)． (2)证明：法一：令F (x )＝x －f (x )＝e x －(a －1)x ， (ⅰ)当a ＝1时，F (x )＝e x >0， ∴f (x )≤x 成立．(ⅱ)当1<a ≤1＋e 时，F ′(x )＝e x －(a －1)＝e x －e ln(a －1)， ∴当x <ln(a －1)时，F ′(x )<0； 当x >ln(a －1)时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，ln (a －1))上单调递减，在(ln(a －1)，＋∞)上单调递增． ∴F (x )≥F (ln(a －1))＝e ln(a －1)－(a －1)·ln(a －1)＝(a －1)[1－ln(a －1)]， ∵1<a ≤1＋e ，∴a －1>0,1－ln(a －1)≥1－ln [(1＋e)－1]＝0， ∴F (x )≥0，即f (x )≤x 成立．综上，当1≤a ≤1＋e 时，有f (x )≤x . 法二：令g (a )＝x －f (x )＝－xa ＋x ＋e x ，只要证明g (a )≥0在1≤a ≤1＋e 时恒成立即可． g (1)＝－x ＋x ＋e x ＝e x >0，①g (1＋e)＝－x ·(1＋e)＋x ＋e x ＝e x －e x ， 设h (x )＝e x －e x ，则h ′(x )＝e x －e ， 当x <1时，h ′(x )<0；当x >1时，h ′(x )>0，∴h (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (1)＝e 1－e·1＝0， 即g (1＋e)≥0.②由①②知，g (a )≥0在1≤a ≤1＋e 时恒成立． ∴当1≤a ≤1＋e 时，有f (x )≤x . [类题通法]利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．[针对训练] 已知f (x )＝x ln x .(1)求g (x )＝f (x )＋k x (k ∈R )的单调区间；(2)证明：当x ≥1时，2x －e ≤f (x )恒成立． 解：(1)g (x )＝ln x ＋kx ，∴令g ′(x )＝x －kx 2＝0得x ＝k .∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0.∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0<x <k ， ∴单调递增区间为(k ，＋∞)，单调递减区间为(0，k )．(2)证明：设h(x)＝x ln x－2x＋e(x≥1)，令h′(x)＝ln x－1＝0得x＝e，h(x)，h′(x)的变化情况如下：x 1(1，e) e (e，＋∞)h′(x)－1－0＋h(x)e－20故h(x)≥0.即f(x)≥2x－e.对应学生用书P40[课堂练通考点]1．(2014·宝鸡一模)已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为()A．a≥3B．a>3C．a≤3 D．a<3解析：选A∵f′(x)＝3x2－a，又f(x)在(－1,1)上单调递减；∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，又0≤3x2<3，∴a≥3.经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．2．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A．12 cm3B．72 cm3C．144 cm3D．160 cm3解析：选C设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)，。
高三北师大版文科数学一轮复习课时作业(16)导数的应用.pdf
课时作业(十六) [第16讲 导数的应用] [时间：45分钟 分值：100分] 1．当x≠0时，有不等式( ) A．ex0时，ex<1＋x，当x1＋x C．ex>1＋x D．当x<0时，ex0时，ex>1＋x 2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是( ) A．增函数 B．减函数 C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 3．图K16－1都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( ) 图K16－1 A． B． C． D． 4．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是________． 5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f′(x)和y＝f(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ) 图K16－2 6．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 7．下列不等式在(0，＋∞)上恒成立的是( ) A．lnx>x B．sinx>x C．tanx>x D．ex>x＋2 8．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品数是( ) A．100 B．150 C．200 D．300 9．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是( ) A．－0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________． 11．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离x(千米)成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离x(千米)成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 12．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f′的值为________． 13．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图像如图K16－3，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________． 图K16－3 14．(10分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)证明：当x>0，x≠1时，f(x)>. 15．(13分)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求场地一面利用旧墙，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图K16－4所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此场地围墙总费用为y(单位：元)． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x的值，使修建此场地围墙总费用最小． 图K16－4 16．(12分)已知曲线C1：y＝ax2＋b和曲线C2：y＝2blnx(a，bR)均与直线l：y＝2x相切． (1)求实数a，b的值； (2)设直线x＝t(t>0)与曲线C1，C2及直线l分别相交于点M，N，P，记f(t)＝|MP|－|NP|，求f(t)在区间(0，e](e为自然对数的底数)上的最大值．课时作业(十六) 【基础热身】 1．C [解析] 设y＝ex－1－x，y′＝ex－1，x>0时，函数y＝ex－1－x是递增的，x<0时，函数y＝ex－1－x是递减的，x＝0时，y有最小值y＝0. 2．A [解析] 因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)＝1＋x－sinx在R上为增函数，从而在(0,2π)上为增函数．故选A. 3．C [解析] 导函数的图像为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此不正确． 4．m<0 [解析] y′＝ex＋m，由条件知ex＋m＝0有实数解，m＝－ex0且－2＋a0，故f(x)min>f(0)＝－1，不符合题意． 8．D [解析] 由题意得，总成本函数为 C＝C(x)＝20000＋100x，所以总利润函数为 P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝ 而P′(x)＝ 令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，P最大． 9．D [解析] f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函数f(x)的图像经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即0得：x>a或x<－a，由f′(x)<0得－a0)， y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)． 当0<x<5时，y′5时，y′>0. 因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 12.－1 [解析] 因为f′(x)＝－f′sinx＋cosx，所以f′＝－f′sin＋cos， 整理得f′＝－1. 13. [2,3) [解析] 函数在和(2,3)上为减函数，且在x＝－，1,2处均取得极值，因此f′(x)≤0的解集为[2,3)． 14．[解答] (1)f′(x)＝－，由题意知：即 a＝b＝1. (2)证明：由(1)知f(x)＝＋， 所以f(x)－＝， 设h(x)＝2lnx－(x>0)，则h′(x)＝， 当x≠1时，h′(x)0，当x(1，＋∞)时，h(x)0. 从而，当x>0，x≠1时，f(x)－>0，即f(x)>. 15．[解答] (1)设矩形另一边长为a m，则 y＝45x＋180(x－2)＋180×2a ＝225x＋360a－360. 由已知ax＝360，a＝. y＝225x＋－360(x＞0)． (2)y′＝225－，令y′＝0得x1＝－24(舍)，x2＝24. 此时，x＝24是x(0，＋∞)内唯一的极值点，即为最小值点，且当x＝24时，y＝225×24＋－360＝10440. 当x＝24时，修建围墙总费用最小值为10440元． 【难点突破】 16．[解答] (1)设曲线C1，C2与直线l相切的切点分别是(t1，at＋b)，(t2,2blnt2)，则 所以切线分别是：y－－b＝2， y－2blnb＝2(x－b)， 两切线都过原点， 则－－b＝－，－2blnb＝－2b，所以a＝，b＝e. (2)f(t)＝－(2t－2elnt)＝－4t＋2elnt＋e. f′(t)＝t－4＋≥0， 所以f(t)在(0，e]上单调递增， 所以f(t)max＝f(e)＝0.。
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课时作业(十六) [第16讲 导数的应用] [时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．当x ≠0时，有不等式( ) A ．e x <1＋xB ．当x >0时，e x <1＋x ，当x <0时，e x >1＋xC ．e x >1＋xD ．当x <0时，e x <1＋x ，当x >0时，e x >1＋x 2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增3．图K16－1都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④4．若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是________． 能力提升 5．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f ′(x )和y ＝f (x )的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )6．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)7．下列不等式在(0，＋∞)上恒成立的是( ) A ．ln x >x B ．sin x >xC ．tan x >x ⎝⎛⎭⎫x ≠π2＋k π，k ∈N D ．e x >x ＋28．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2(0≤x ≤400)，80000(x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品数是( )A ．100B ．150C ．200D ．3009．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是A ．－65<a <316B ．－85<a <－316C ．－85<a <－116D ．－65<a <－31610．已知函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．11．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离x (千米)成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离x (千米)成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．12．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 13．函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图像如图K16－3，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤014．(10分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0，x ≠1时，f (x )>ln xx －1.15．(13分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求场地一面利用旧墙，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图K16－4所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此场地围墙总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x图K16－4难点突破16．(12分)已知曲线C 1：y ＝ax 2＋b 和曲线C 2：y ＝2b ln x (a ，b ∈R )均与直线l ：y ＝2x(1)求实数a，b的值；(2)设直线x＝t(t>0)与曲线C1，C2及直线l分别相交于点M，N，P，记f(t)＝|MP|－|NP|，求f(t)在区间(0，e](e为自然对数的底数)上的最大值．课时作业(十六)【基础热身】1．C [解析] 设y ＝e x －1－x ，∴y ′＝e x －1，∴x >0时，函数y ＝e x －1－x 是递增的，x <0时，函数y ＝e x －1－x 是递减的，∴x ＝0时，y 有最小值y ＝0.2．A [解析] 因为f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以f (x )＝1＋x －sin x 在R 上为增函数，从而在(0,2π)上为增函数．故选A.3．C [解析] 导函数的图像为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③④不正确．4．m <0 [解析] y ′＝e x ＋m ，由条件知e x ＋m ＝0有实数解，∴m ＝－e x<0. 【能力提升】5．D [解析] D 中两个函数图像有升有降，因此导函数图像应有正有负，而图中函数图像恒为正或恒为负，故D 不可能正确．6．A [解析] f ′(x )＝3x 2－3，f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝－2＋a ，函数f (x )有3个不同零点，则2＋a >0且－2＋a <0，因此－2<a <2.7．C [解析] 当x ＝1时，A ，B 不成立；对于C ，设f (x )＝tan x －x ⎝⎛⎭⎫x ≠π2＋k π，k ∈N ，则f ′(x )＝1cos 2x －1＝1－cos 2x cos 2x ＝sin 2x cos 2x≥0，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )min >f (0)＝0；对于D ，令f (x )＝e x－x －2，f ′(x )＝e x －1>0，故f (x )min >f (0)＝－1，不符合题意．8．D [解析] 由题意得，总成本函数为 C ＝C (x )＝20000＋100x ，所以总利润函数为P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000(0≤x ≤400)，60000－100x (x >400).而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)，－100(x >400).令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大．9．D [解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图像经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫163a ＋1⎝⎛⎭⎫56a ＋1<0，解得－65<a <－316. 10.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ [解析] ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)，∴由f ′(x )>0得：x >a 或x <－a ，由f ′(x )<0得－a <x <a .∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0，a >0.解得a >22. 11．5 [解析] 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，k 1，k 2是比例系数，于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x5(x >0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5或x ＝－5(舍去)．当0<x <5时，y ′<0；当x >5时，y ′>0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．12.2－1 [解析] 因为f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin π4＋cos π4，整理得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.13. ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) [解析] 函数在⎝⎛⎭⎫－13，1和(2,3)上为减函数，且在x ＝－13，1,2处均取得极值，因此f ′(x )≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3)． 14．[解答] (1)∵f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－bx 2，由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12. ∴a ＝b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝⎛⎭⎫2ln x －x 2－1x ， 设h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.得11－x 2h (x )>0.从而，当x >0，x ≠1时，f (x )－ln x x －1>0，即f (x )>ln xx －1.15．[解答] (1)设矩形另一边长为a m ，则 y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知ax ＝360，∴a ＝360x.∴y ＝225x ＋3602x －360(x ＞0)．(2)y ′＝225－3602x2，令y ′＝0得x 1＝－24(舍)，x 2＝24.此时，x ＝24是x ∈(0，＋∞)内唯一的极值点，即为最小值点，且当x ＝24时，y ＝225×24＋360224－360＝10440. ∴当x ＝24时，修建围墙总费用最小值为10440元．【难点突破】16．[解答] (1)设曲线C 1，C 2与直线l 相切的切点分别是(t 1，at 21＋b )，(t 2,2b ln t 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2at 1＝2，2b t 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝1a ，t 2＝b .所以切线分别是：y －1a－b ＝2⎝⎛⎭⎫x －1a ， y －2b ln b ＝2(x －b )， 两切线都过原点，则－1a －b ＝－2a ，－2b ln b ＝－2b ，所以a ＝1e，b ＝e.(2)f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 2e ＋e －2t －(2t －2eln t )＝t2e －4t ＋2eln t ＋e. f ′(t )＝2e t －4＋2et≥0，所以f (t )在(0，e]上单调递增，所以f(t)max＝f(e)＝0.。