两个基本原理的应用 课件

• 第二类：1号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成，第一步，先涂1号 区域，有5种涂法，第二步，再涂4号区域，只要不与1号区域同色即可，因此 有4种涂法；第三步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因 此有3种涂法；第四步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可， 因此也有3种涂法．由分步乘法计数原理知，有5×4×3×3＝180种涂法．依 据分类加法计数原理知，不同的涂色方法种数为80＋180＝260．
• [错解] 每次升一面旗可组成3种不同的信号；每次升2面 旗可组成3×2＝6种不同信号；每次升3面旗可组成 3×2×1＝6种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共 有不同信号3＋6＋6＝15种．
• [辨析] 每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．
• [正解] 每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗 可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成 3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理得， 共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．
• [解析] (1)第1步，千位上的数不能取0，只能取1,2,3,4,5， 有5种选择；
• 第2步，由于千位取了一个数，还剩下5个数供百位取，所 以有5种选择；
• 第3步，由于千位、百位分别取了一个数，还剩下4个数供 十位取，所以有4种选择；
• 第4步，由于千位、百位、十位分别取了一个数，还剩下3 个数供个位取，所以有3条件的计数问题，解决方 法是：特殊位置、特殊元素优先安排的原则．本题是先分
类再分步，而分类的标准是两个特殊位置，这样，在分类 时才能做到“不重不漏”．
命题方向3 ⇨抽取(分配)问题
•
典例 3 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，
其中甲工厂必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案
• 2．分类要做到_不_重__不_漏_______，分类后再分别对每一类进 行计数，最后用___分_类__加_法__计_数__原_理_______求和，得到总数．
• 3．分步要做到___相__互_独__立____，步与步之间要 ___步_骤__完_整_____，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的 方法数相乘得到总数．
两个基本原理的应用
• 1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始 计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．
• 应用__加__法____原理时，要注意“类”与“类”之间的独立 性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完 成；应用___乘_法____原理时，要注意“步”与“步”之间是 连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步 骤依次相继完成，这件事才算完成．
• 『规律总结』 解决抽取(分配)问题的方法
• (1)当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、 框图法或者图表法．
• (2)当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：①直接使 用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽 取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则 按分类进行．②间接法．去掉限制条件，计算所有的抽取 方法数，然后减去所有符合条件的抽取方法数即可．
• 根据分步乘法计数原理，组成的四位数共有5×5×4×3＝ 300(个)．
• (2)因为满足要求的四位数能被5整除，所以个位上的数字 只能是0或5．
• 第1类，当个位上的数字为0时，依次取千位、百位、十位 上的数字，分别有5种选择、4种选择、3种选择，所以有 5×4×3＝60个满足要求的四位数；
• 第2类，当个位数字为5时，依次取千位、百位、十位上的 数字，分别有4种选择、4种选择、3种选择，所以有 4×4×3＝48个满足要求的四位数．
• [点评] 审题时要细致，把题意弄清楚．本题中没有规定 升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起旗子的面数，又要 考虑其颜色，不可偏废遗漏．
• [解析] (1)因为集合A中的每个元素ai(i＝1,2,3,4)与集合B中 元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，得构成 A→B的映射有2×2×2×2＝24＝16(个)．
• (2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一个元素b1或 b2的情形构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数， 这样的映射有2个．
命题方向1 ⇨两个计数原理在排数中的应用
• 典例 1 从0,1,2,3,4,5这六个数字中取四个数字组成一 个四位数，问：
• (1)能组成多少个四位数？ • (2)能被5整除的四位数有多少个？ • [思路分析] (1)要完成的一件事是组成四位数，所以首位
数字不能是0；(2)要使所组成的四位数能被5整除，则末位 数字必须是0和5中的一个．
• 所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有16－ 2＝14(个)．
• 『规律总结』 通过阅统计分析，造成失分的原因如下： (1)混淆分类加法计数原理和分步乘法计数原理而至错；
• (2)利用分步乘法计数原理时列式24误列为42而致错；
• (3)对函数概念的理解不清而致错．
• 典例 5 有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面 在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表 示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
有
()
• A．16种
B．18种
C
• C．37种
D．48种
• [思路分析] 解决此类问题可以用直接法先分类再分步，也可用排除法．
• [解析] 若不考虑限制条件，每个班级，都有4种选择．共有4×4×4×＝64种 情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个
班级都有3种选择．共有3×3×3＝27种方法，则符合条件的有64－27＝37 种．
那么共有多少种不同的涂色方法？
• [思路分析] 由于要求相邻(有公共边)的区域不同色，所以 可按“1号区域与4号区域同色”和“1号区域与4号区域不 同色”两种情况分类，然1后根据2 两个原理分别求解.
3
4
• [解析] 第一类：1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成，第一步，先 涂1号区域和4号区域，有5种涂法，第二步，再涂2号区域，只要不与1号区域 和4号区域同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂3号区域，只要不与1号区 域和4号区域同色即可，因此也有4种涂法，由分步乘法计数原理知，有 5×4×4＝80种涂法；
•
典例 4 已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，
b2}，其中aibj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均为实数．
• (1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？
• (2)能构成多少个以集合A为定义域，以集合B为值域的不同 函数．
• [思路分析] (1)由映射的定义可知，集合A中的每一个元 素总对应着B中唯一的元素；(2)依题意，集合B中的每一个 元素在集合A中要有对应元素，因此只要从问题(1)的映射 数中减去A中四个元素对应B中一个元素的情况即可得到(2) 的解．
• 根据分类加法计数原理，能被5整除的四位数共有60＋48 ＝108(个)．
• 『规律总结』 排数问题实际就是分步问题，需要用分步 乘法计数原理解决．在有附加条件时，可能需要进行分类
讨论，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综 合应用．,
命题方向2 ⇨平面区域问题
• 典例 2 用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每 个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，