川沙中学学第一学期高三数学第次考试卷CSX

川沙中学学第一学期高三
数学第次考试卷C S X It was last revised on January 2, 2021
川沙中学2005学年度第一学期高三数学第4次月考试卷
2005/12/.
一、填空（4×12=48） 1．函数y=
x
lg 11-的定义域为 。

2．计算：arc cos(cos 56π)= 。

3．已知集合 A={x|x 2＜16}，B={x|x ≥a}，若A ∩B=，则实数a 的取值范围是 。

4．已知a 、b 、c 是锐角三角形ABC 中角A 、B 、C 的对边，若b=2，c=3，且△ABC 的面积为323， 则a= 。

5．（理）n
x
x )(212+
展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为 。

（文）在等差数列{a n }中，已知a 3=2，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= 。

6．（理）圆ρ=cos θ-sin θ，（ρ＞0，0≤θ＜2π）的圆心的极坐标是 。

（文）在条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤21
101
0x y y x 下，使ω=y-2x 取得最大值时的点的坐标
是 。

7．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为21的半圆得图形P 2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径），得图形P 3、P 4、…、P n 、…。

记纸板P n 的面积为S n ，则=∞
→n n S lim 。

8．浦东新区二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇，排列次序可以任意排列，则最先和最后交流的论文不能来自同类学校的概率是 。

9．已知xC ，且11-=+x x ，则2006
12006
x
x
+= 。

P 1 P 2 P 3
10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n =n S S S n
+++ 21，称T n 为数列a 1、a 2、…、a n 的理想
数。

已知a 1、a 2、a 3、…、a 500的理想数为2004，那么数列6、a 1、a 2、a 3、…、a 500的理想数为 。

11．在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b=⎩⎨
⎧>≤b
a b b a a ,, ,例如：1*2=1，3*2=2，则函数x x x f cos sin )(*=的值域为 。

12．已知数列n n a )(531=，把数列{a n }的各项排成如右三角形形状， 记A （m ，n)表示第m 行、第n 列的项，则A (10，5)= 。

二、选择（4×4=16）
13．已知A={y|y=542++-x x }，B={y|y=x 2
1log ，}2
2≥
x ，则A B ⋂为 （ ）
（A ）),[21∞+； （B ）]3,[21； （C ）[0，21]； （D ）],(21-∞。

14．若奇函数f(x)在（0，+∞）是增函数，又f(-3)=0，则{x|)
(x f x ＜0}的解集为
（ ）
（A ）（-3,0）∪（3, +∞）； （B ）（-3,0）∪（0,3）；
（C ）（-∞,-3）∪（3,+∞）；
（D ）(-∞,-3)
15．如图是半径为2的圆，切直线于点P ，射线PK 从PN 绕P 点按逆时钟方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 点Q ，设OP 按逆时钟方向旋转到OQ 所形成的角为x 设弓形PmQ 的面积为S=f(x)，那么f(x)的图形大致是 （ ）
16
（C D 三、解答题（12+12+14+14+16+18） 17．已知x x x x x f 2cos 2sin 22)cos (sin 22
)(---=。

(1)化简f(x)； (2)若f(x)=32，
ππ434
<<x ，求x ；
(3)求出f(x)的值域。

a 1 a 2 a 3 a 4
a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
…
N （A ） （B ）
（C ）
（D ）
解：
18．已知z 为虚数，且|2z+15|=|10|3+z 。

⑴求|z|；
⑵设u=(3i -)z ，若u 在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，求复数z ；
⑶若z 2+2z 为实数，且z 恰好为实系数方程x 2+px+q=0的两根，试写出此方程。

解：
19．2005年禽流感的爆发，给某疫区禽类养殖户带来了较大的经济损失，某养殖户原
来投资共25万，第一个月损失的金额为投资额的51，以后由于政府重视，积极防
治，疫情趋缓，从第二个月起，每一个月的损失是上月损失的54。

问： (1)前三个月中，该养殖户总共损失金额多少万元？
(2)为了维护养殖专业户的利益，政府除了加大防治力度，扑灭疫情之外，还决定给养殖
户一定的经济补偿，该养殖户每月底可向政府领取万元的补偿金，并且每一个月
损失的金额（未补贴前）是上月损失金额的（补贴后）的54
，问接受了政府补贴后，
该养殖户第3个月损失多少元？又问：与(1)相比较，该养殖户在三个月当中总共可减
少损失多少元？
解：
20．已知f(x)=2x+1，将f(x)的反函数y=f —1(x)的图象向上平移1个单位后，再向右平
移2个单位，就得到函数y=g(x)的图象。

(1)写出y=g(x)的解析式；
(2)若h(x))82(log 22+=x ，求F(x)=h(x)-g(x)的最值。

解：
21．⑴证明：当a ＞1时，不等式23a 12a 13a a +>+成立。

⑵要使上述不等式23a 12a 13a a +>+成立，能否将条件“a ＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。

⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。

解：
22．已知点列B 1(1,y 1)、B 2(2,y 2)、…、B n (n,y
顺次为一次函数121
41+=x y 图象上的点，
点列A 1(x 1,0)、A 2(x 2,0)、…、A n (x n ,0)（n ∈N ） 顺次为x 轴正半轴上的点，其中x 1=a （0＜a ＜1）， 对于任意n ∈N ，点A n 、B n 、A n+1构成以 B n 为顶点的等腰三角形。

⑴求{y n }的通项公式，且证明{y n }是等差数列；
⑵试判断x n+2-x n 是否为同一常数（不必证明），并求出数列{x n }的通项公式； ⑶在上述等腰三角形A n B n A n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a 值；若不存在，
请说明理由。

解：
川沙中学2005学年度第一学期高三数学第4次月考试卷解答
2005/12/.
一、填空（4×12=48） 1．函数y=
x
lg 11-的定义域为 (0，10) 。

2．计算：arc cos(cos 56π)= 4/5（或144) 。

3．已知集合 A={x|x 2＜16}，B={x|x ≥a}，若A ∩B=，则实数a 的取值范围是 [4，+∞） 。

4．已知a 、b 、c 是锐角三角形ABC 中角A 、B 、C 的对边，若b=2，c=3，且△ABC 的面积为323， 则a=7 。

5．（理）n
x
x )(212+
展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为 3 。

（文）在等差数列{a n }中，已知a 3=2，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= 10 。

6．（理）圆ρ=cos θ-sin θ（ρ＞0，0≤θ＜2π）的圆心的极坐标是),(
472
2π。

（文）在条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤21
101
0x y y x 下，使ω=y-2x 取得最大值时的点的坐标是 (0，1) 。

7．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为21的半圆得
图形P 2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径），得图形P 3、P 4、…、P n 、…。

记纸板P n 的面积为S n ，则=∞
→n n S lim /3 。

P 1 P 2 P 3
8．浦东新区二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文
3篇，排列次序可以任意排列，则最先和最后交流的论文不能来自同类学校的概率是 15/28 。

9．已知xC ，且11-=+x x ，则2006
1
2006x x
+= -1 。

10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n =n S S S n
+++ 21，称T n 为数列a 1、a 2、…、a n 的理想数。

已知a 1、a 2、a 3、…、a 500的理想数为2004，那么数列6、a 1、a 2、a 3、…、a 500的理想数为 2006 。

11．在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b=⎩⎨
⎧>≤b
a b b a a ,, ,例如：1*2=1，3*2=2，则函数x x x f cos sin )(*=的值域为],
1[2
2
-。

12．已知数列n
n a )(53
1=，把数列{a n }的各项排成如右三角形形状， 记A （(m 、n)表示第m 行、第n 列的项，则A (10、5)=863
1)(5⋅。

二、选择（4×4=16） 13．已知A={y|y=542++-x x }，B={y|y=x 2
1log ，}2
2≥
x ，则A B ⋂为 （ C ）
（A ）),[21∞+； （B ）]3,[21； （C ）[0，21]； （D ）],(21-∞。

14．若奇函数f(x)在（0，+∞）是增函数，又f(-3)=0，则{x|)
(x f x ＜0}的解集为
（ B ）
（A ）（-3,0）∪（3, +∞）； （B ）（-3,0）∪（0,3）；
（C ）（-∞,-3）∪（3,+∞）；
（D ）(-∞
15．如图是半径为2的圆，切直线于点P ，射线PK 绕P 点按逆时钟方向旋转到PM ，旋转过程中，点Q ，设OP 按逆时钟方向旋转到OQ 设弓形PmQ 的面积为S=f(x)，那么f(x)（ D ）
16
C D 17 （1）化简
)(x f ；
（2）若)(x f =32，-4
34π
π
<
<x ，求x ；
（3）求出)(x f 的值域.
解：（1）x x x x x x x f 2sin 11
)2sin 1(2sin 12sin 2sin 212sin 12
2)(---+--===x x f 2sin 11)(-=,xk+4π,kZ (5) （2）21322sin 11
sin -=⇒=-x x ,又-2
32
2π
π<<x ,∴2x=-6π或2x=67πx=-12π
或x=127π (9)
（3）由0＜1-sin2x ≤2x 2sin 11
-≥21)(x f 的值域为[21
,+∞) (12)
18．已知z 为虚数，且|2z+15|=|10|3+z 。

⑴求|z|；
a 1 a 2 a 3 a 4
a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … （A ） （B ） （C ）
（D ）
⑵设u=(3i -)z ，若u 在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，求复数z ；
⑶若z 2+2z 为实数，且z 恰好为实系数方程x 2+px+q=0的两根，试写出此方程。

解：（1）设z=m+ni(m 、nR 且n0)，代入已知式，得 |(2m+15)|+2ni=3|(m+10)+ni| (2m+15)2+4n 2=3(m+10)2+3n 24m 2+60m+225+n 2=3m 2+60m+300m 2+n 2=75|z|=53 (4)
（2）u=(3-i)(m+ni)=(3m+n)+(3n-m)i,由题设，3m+n+3n-m=0 (6),∴⎩⎨⎧=+-=75
22
2n m n
m ⎩⎨⎧-==15
152n m ,或⎩⎨
⎧=-=15
152n m z=215-15i ，或z=-215+15I (8) （3）z z 22+=m 2-n 2+2mni+2m-2ni=(m 2-n 2+2m)+2n(m-1)iR,且n0,∴m=1,又m 2+n 2=75,
∴⎩⎨⎧±==741n m ⎩⎨
⎧-=+=i
z i z 74174121，∴所求方程为x 2-2x+75=0 (12) 19．2005年禽流感的爆发，给某疫区禽类养殖户带来了较大的经济损失，某养殖户原
来投资共25万，第一个月损失的金额为投资额的51，以后由于政府重视，积极防
治，疫情趋缓，从第二个月起，每一个月的损失是上月损失的54。

问：
(1)前三个月中，该养殖户总共损失金额多少万元？
(2)为了维护养殖专业户的利益，政府除了加大防治力度，扑灭疫情之外，还决定给养殖
户一定的经济补偿，该养殖户每月底可向政府领取万元的补偿金，并且每一个月
损失的金额（未补贴前）是上月损失金额的（补贴后）的54
，问接受了政府补贴后，
该养殖户第3个月损失多少元？又问：与(1)相比较，该养殖户在三个月当中总共可减
少损失多少元
解：（1）第一个月损失2551=5万元，前3个月的损失费组成首项为5，公比q=54
的等比数列，
∴S 3=
5
43
541])(1[5--=(万元) (6)
（2）第一个月损失=万元，第二个月损失54
=万元，第三个月损失 54
=万元，∴第三个月损失了万元. (10)
接受补贴后，三个月的损失共为++=万元，比（1）比较，减少损
失为万元 (14)
20．已知f(x)=2x+1，将f(x)的反函数y=f —1(x)的图象向上平移1个单位后，再向右平
移2个单位，就得到函数y=g(x)的图象。

(1)写出y=g(x)的解析式；
(2)若h(x))82(log 22+=x ，求F(x)=h(x)-g(x)的最值。

解：（1）2)-(x log y x log 1x log (x)f 2y 2右移22上移1
211x =−−→−−−→−-=⇒=-+(x ＞2) (6) （2）2
-x 8)
(2x 22
log g(x)h(x)-F(x)+==(x ＞2). (8)(未写范围扣1分) 令u=12]
2)-4[(x 2-x 362-x 8)(2x 2
++=+≥464=96，当x-2=6，即x=8＞2时，上式成立等号，
∴ u min =96 (13)，∴96log F(x )2in =m (14) 21．⑴证明：当a ＞1时，不等式23a 12a 13a a +>+成立。

⑵要使上述不等式23a 12a 13a a +>+成立，能否将条件“a ＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。

⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。

解：（1）证：1)-1)(a -(a -a -a 5a 1a 12a 13323=+,∵a ＞1，∴1)-1)(a -(a 5a 13＞0， ∴原不等式成立 (6)
（2）∵a-1与a 5-1同号对任何a ＞0且a1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽 为a ＞0且a1 (9)
（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a ＞0且a1，m ＞n ＞0，则有
n m a 1n a 1m a a +>+(12)
证：左式-右式=1)-1)(a -(a 1)-(a -1)-(a a -a -a n m n -m a 1n -m a 1n -m n a 1a 1n m m m n m +==+ (14) 若a ＞1，则由m ＞n ＞0a m-n ＞0,a m+n ＞0不等式成立；
若0＜a ＜1，则由m ＞n ＞00＜a m-n ＜1, 0＜a m+n ＜1不等式成立.(16) 22．已知点列B 1(1,y 1)、B 2(2,y 2)、…、B n (n,y n
顺次为一次函数12141+=x y 图象上的点， 点列A 1(x 1,0)、A 2(x 2,0)、…、A n (x n ,0)（n
顺次为x 轴正半轴上的点，其中x 1=a （0＜a ＜1）， 对于任意n ∈N ，点A n 、B n 、A n+1构成以 B n 为顶点的等腰三角形。

⑴求{y n }的通项公式，且证明{y n }是等差数列；
⑵试判断x n+2-x n 是否为同一常数（不必证明），并求出数列{x n }的通项公式； ⑶在上述等腰三角形A n B n A n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a 值；若不存在，
请说明理由。

解：（1）12141n n y +=(nN),y n+1-y n =41,∴{y n }为等差数列 (4)
（2）x n+1-x n =2为常数 (6) ∴x 1,x 3,x 5,…,x 2n-1及x 2,x 4,x 6,,…，x 2n 都是公差为2的等差数列，
∴x 2n-1=x 1+2(n-1)=2n-2+a ，x 2n =x 2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a ，
∴x n =⎩⎨
⎧-+当n为偶数
a，-n ，当n为奇数1,a n (10) （3）要使A n B n A n+1为直角三形，则 |A n A n+1|=2n B y =2(1214+n )x n+1-x n =2(121
4
+n ) 当n 为奇数时，x n+1=n+1-a ，x n =n+a-1,∴x n+1-x n =2(1-a).
2(1-a)=2(1214+n ) a=41211
n -(n 为奇数，0＜a ＜1) (*)
取n=1，得a=32，取n=3，得a=61
，若n ≥5，则(*)无解； (14)
当偶数时，x n+1=n+a ，x n =n-a ，∴x n+1-x n =2a.
∴2a=2(1214+n )a=12
1
4+n (n 为偶数，0＜a ＜1) (*)，取n=2，得a=127, 若n ≥4，则(*)无解.
综上可知，存在直角三形，此时a 的值为32、61
、127
. (18)。