北师大八年数学下册第一章

第一章三角形的证明
一等腰三角形
1 定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形
2 性质：一定理：等腰三角形的两底角相等，简述为等边对等角
二定理的推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合，简称三线合一三线合一的拓展：1 等腰三角形两腰上的中线，高线，两个底角的平分线分别相等
2 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
3 等腰三角形顶角的平分线（底边上的高，中线）上的任意一点到两腰的距离相等
4 等腰三角形是轴对称图形，三线就是它的对称轴
3 判定：一定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形
二定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为等角对等边
二等边三角形
1 性质：一等边三角形的三条边都相等
二等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
2 判定：一三条边都相等的三角形是等边三角形
二三个角都相等的三角形是等边三角形
三有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
3 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。

但它的对称轴有三条
三证明两个三角形全等的方法：SSS, SAS, ASA, AAS,直角三角形HL
四反证法一般步骤：1 假设命题的结论不成立
2 推导出矛盾
3 否定假设，肯定命题的结论
五含30°角的直角三角形的性质：定理：在直角三角形中，如果一个锐角等30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
例1 点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE,∠ACB=∠DFE,AC∥DF,那么图中与EF相等的线段是，并证明
例2 在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,则∠A的度数为
例3 已知点D,E在△ABC的边BC上，AD=AE,AB=AC,求证：∠BAD=∠CAE
例4 用反证法证明：一个三角形中不能有两个钝角
例5 已知点D,E在线段BC上，BD=CE,∠B=∠C，∠ADB=120°求证△ADE是等边三角形
例6 在△ABC中，∠ACB=90°，CD,CE三等分∠ACB,CD⊥AB，求证1 AB=2BC 2 CE=AE=EB
例7 在△ABC中，AB=AC,O是△ABC中的一点，且OB=OC，求证AO⊥BC
例8在某次海上搜救演习活动中，一救护船在A处测得海岛B在北偏东35°方向，上午11时，该救护船从A处出发，以20海里每小时的速度向正北方向航行到C处，此时测得海岛B在北偏东70°方向，且救护船距离海岛20海里，求该救护船到达C处的时间（先做图，以A处为原点坐标，后计算）
例9 已知线段a和一个锐角b，求作一个等腰三角形，使等腰三角形的底角为b，底边为a（保留做图痕迹）
例10 已知一个等腰三角形一腰上的高于另一腰所成的夹角为45°，则此等腰三角形的顶角度数为
例11 某市旧城改造中计划在市内一块三角形空地上种植草皮，已知这种草皮的为100元每平方米
那么购买这种草皮至少需要多少钱
例12 用反证法证明一个三角形中至少有一个角不小于60°
二直角三角形
1 定义：有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形
2 性质：一定理：在直角三角形中如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
二定理：直角三角形的两个锐角互余
三勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
3 判定：一定义：有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形
二定理：有两个角互余的三角形是直角三角形
三勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
4 逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题
5 逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理
例1 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°AC=2,求AB,BC的长
例2 命题平行四边形的对角线互相平分的逆命题
例3 AD为△ABC边BC上的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF=AC,FD=CD,求证BE⊥AC
例4 在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数
例5 已知∠A=60°，∠B=∠ADC=90°，AB=2,CD=1,求BC和AD的长
例6 在四边形ABCD中，AB=2,BC=5,CD=5,DA=4,∠B=90°，求四边形的面积
例7 公路L的同侧有A,B两个送奶站，C为公路L上一供奶站，CA和CB为供奶站供奶路线，现已测得
AC=8KM,BC=15KM,AB=17KM,∠1=30°，若有一人从C处出发，沿公路L行走，速度为2.5KM/H，问多长
时间后这个人距B送奶站最近
例8 一个圆柱，高为10cm，底面圆的直径为8cm,动点P从点A出发，沿圆柱侧面移动到BC的中点S
的最短距离是多少（π取3）
例9 写出下面命题的逆命题，并判断这对命题的真假。

如果ab≠0，那么a≠0，b≠0
例10 AD是△ABC中∠BAC的平分线，且BD=DC，求证AB=AC
三线段的垂直平分线
1 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
2 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（1和2互为逆定理）
3 三角形三条边的垂直平分线的性质：相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
例1 要在街道上修建自来水站，向A,B两个居民区提供自来水，自来水站应建在什么地方，才能
使它到A,B两个居民区的距离相等
例2 某地准备建一所希望小学，要求希望小学的位置到已知三个村庄A,B,C的距离相等
例3 在锐角三角形ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于点D，求证CD=AB+BD
例4 在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，DE是边AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E
连接BE，求∠CBE的度数
例5 在△ABC中，M,N是AC的垂直平分线，交AC于点M，交BC于点N，若CM=4
△ABC的周长是27，求△ABN的周长
例6 AD为∠BAC的平分线，AE=AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段
EF的垂直平分线，若是，请证明，若不是，请说明理由
四角平分线
1 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
2 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
3 三角形三条角平分线的性质：并且这一点到三条边的距离相等
例1 在△ABC中，∠ACB=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D,E,F是垂足，且AB=10,BC=8,则点O到三边AB,AC,BC的距离分别是多少
例2 在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AD⊥EF
例3 AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC,∠NCA的平分线，AP，CP相交于点P，
过点P做PD⊥BM，垂足为点D，PF⊥BN，垂直为点F，求证BP是∠ABC的平分线
例4 在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB，垂足为M，
DN⊥AC交AC的延长线于点N，你认为BM与CN之间在数量上有什么关系，证明你的结论
例5 两个城镇A,B与两条公路ME,MF的位置如图，现电信部门需在C处修建
一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等，到两条公路的
距离也必须相等，且在∠FME的内部，那么点C应选在何处？（尺规做图，只做图）
例6 在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1
求BC的长
例7 有一块三角形的闲地，其三边长分别为30,40,50，现要把它分为面积比为3:4:5的三部分，
分别种植不同的花，请你设计一种方案，并说明
例8 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，若BC=10cm
求△DCE的周长。