专题47 椭圆原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义,知识梳理、考点突破和分层检测

专题47椭圆（新高考专用）
【知识梳理】 (2)
【真题自测】 (3)
【考点突破】 (4)
【考点1】椭圆的定义及应用 (4)
【考点2】椭圆的标准方程 (5)
【考点3】椭圆的简单几何性质 (7)
【分层检测】 (8)
【基础篇】 (8)
【能力篇】 (11)
【培优篇】 (12)
考试要求：
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质
.
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
其数学表达式：集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：(1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆；(2)若a ＝c ，则集合P 为线段；(3)若a ＜c ，则集合P 为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a >b >0)图形
性质
范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b
－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a
对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，
B 1(0，－b )，B 2(0，b )
A 1(0，－a )，A 2(0，a )，
B 1(－b ，
0)，B 2(b ，0)
轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b
焦距|F 1F 2|＝2c 离心率e ＝c
a ∈(0，1)a ，
b ，
c 的关系
c 2＝a 2－b 2
1.若点P 在椭圆上，F 为椭圆的一个焦点，则(1)b ≤|OP |≤a ；(2)a －c ≤|PF |≤a ＋c .
2.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形，r 1＝|PF 1|，r 2
＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)中：
(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan
θ
2
＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2
a
.
4.AB 为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB 的斜
率k AB ＝－b 2x 0
a 2y 0
.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段B '，P '为垂足，则线段B '的中点M 的轨迹方程为（
）
A ．22
1164
x y +=（0y >）
B ．22
1168x y +=（0y >）
C ．22
1164
y x +=（0y >）
D ．22
1168
y x +=（0y >）
2．（2023·全国·高考真题）设12,F F 为椭圆22
:
15
x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（
）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5
3．（2023·全国·高考真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22
:196
x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，123
cos 5
F PF ∠=
，则||OP =（）
A ．
135
B ．
2
C ．
145
D ．
2
4．（2023·全国·高考真题）设椭圆222
2122:1(1),:14
x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则
a =（
）
A ．
3
B C D 5．（2022·全国·高考真题）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，
B 为
C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-
，则C 的方程为（）
A ．22
1
1816x y +=B ．22
1
98x y +=C ．22
1
32x y +=D ．2
21
2
x y +=6．（2022·全国·高考真题）椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，
且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14
，则C 的离心率为（）
A
B
C ．
12
D ．
13
二、填空题
7．（2022·全国·高考真题）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心
率为
1
2
．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是
．
【考点1】椭圆的定义及应用一、单选题
1．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知1F ，2F 是椭圆2212516
x y
+=的两个焦点，P 是椭圆上一点，则
12PF PF ⋅的最大值是（
）
A ．
254
B ．9
C ．16
D ．25
2．（2024·陕西西安·三模）已知定点()2,0P 与椭圆22
1369x y +=上的两个动点M ，N ，
若PM PN ⊥，则PM NM ⋅ 的最小值为（）
A ．
8
3
B ．13
C ．
233
D
二、多选题
3．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆E ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线
与E 交于M ，N 两点.若127
cos 9
F MF ∠=，1MN MF =.则（）
A ．1F MN △的周长为4a
B ．
22
12
MF NF =C ．MN
的斜率为D ．椭圆E
的离心率为
3
4．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知()2,0A 、()4,1B ，点(),M x y 为曲线C 上动点，则下列结论正确的是（
）
A ．若C 为抛物线28y x =，则(
)min 2MA MB +=+
B ．若
C 为椭圆22
12521
x y +=，则(
)min 10MA MB +=-C ．若C 为双曲线2
2
13
y x -=，则(
)min 2
MA MB +=D ．若C 为圆221x y +=
，则min
122MA MB ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭三、填空题
5．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆22
12512x y +=的左右焦点为12,F F ，椭圆上点P 满足
12:2:3PF PF =，则12PF F 的面积为
.
6．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图所示，已知椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，
点A 在C 上，点B 在y 轴上，11,F A F B ⊥224BF AF =，则C 的离心率为
.
反思提升：
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【考点2】椭圆的标准方程一、单选题
1．（2024·辽宁·二模）已知方程
22
148x y k k
+=--表示的曲线是椭圆，则实数k 的取值范围是（）
A ．()4,6
B ．()6,8
C ．()4,8
D ．()()
4,66,8⋃2．（2024·广西桂林·三模）已知椭圆C ：22
143
x y +=的右焦点为F ，过F 的直线与C 交于A 、B 两点，其中
点A 在x 轴上方且2AF FB = ，则B 点的横坐标为（
）
A ．
12
B ．3
2
C ．74
-
D ．
74
二、多选题
3．（2021·全国·模拟预测）已知m 为3与5的等差中项，n 为4与16的等比中项，则下列对曲线22:1x y C m n
+=
描述正确的是（）
A ．曲线C 可表示为焦点在y 轴的椭圆
B ．曲线
C 可表示为焦距是4的双曲线
C ．曲线C
D ．曲线C 可表示为渐近线方程是
y =的双曲线
4．（2023·全国·模拟预测）已知
12,F F 分别为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，直线:1)l y x -过
C 的一个焦点和一个顶点，且与C 交于,M N 两点，则（
）
A ．1F MN △的周长为8
B ．1F MN △
C ．该椭圆的离心率为
1
2
D ．若点P 为C 上一点，设P 到直线4x =的距离为d ，则21
2
PF d
=三、填空题
5．（2023·广东·二模）已知1F ，2F 分别是椭圆C ：
22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．若直线MN 在y 轴上的截距为3，且14MN F N =
，则椭圆C
的标准方程为．
6．（2024·上海·三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，当点D 在滑槽AB 内作往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动，记点N 的运动轨迹为1C ，点M 的运动轨迹为2C .若1ON DN ==，3MN =，且4AB ≥，过2C 上的点P 向1C 作切线，则切线长的最大值为
反思提升：
(1)利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a ＞|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式.(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程x 2a 2＋y 2b 2＝1与x 2a 2＋y 2
b
2＝λ(λ＞0)有相同的离心率.
②与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k ＝1(a ＞b ＞0，k ＋b 2＞0)，恰
当运用椭圆系方程，可使运算简便.
【考点3】椭圆的简单几何性质一、单选题
1．（2024·山西太原·一模）设双曲线22
221x y a b
-=（a 、b 均为正值）的渐近线的倾斜角为α，且该双曲线与
椭圆22
143
x y +=的离心率之积为1，且有相同的焦距，则sin α=（
）A
B
C
．
2
D
．
13
2．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为22
194
x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是
椭圆的右焦点，则2ABF △的周长的最小值为（）
A ．8B
．6+C ．10
D
．8+二、多选题
3．（2024·江西南昌·三模）将椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>上所有的点绕原点旋转02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭角，得到椭圆
2C 的方程：226x y xy +-=，则下列说法中正确的是（
）
A
．a =B ．椭圆2C
C ．(2,2)是椭圆2C 的一个焦点
D ．π4
θ=
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在平面直角坐标系xOy 中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转45︒，即得“斜椭圆”22:1C x y xy ++=，设
()00,P x y 在C 上，则（
）
A ．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为y x
=B ．C
的离心率为
3
C ．旋转前的椭圆标准方程为22
1
2
23
x y +=D
．0y ≤三、填空题
5．（2025·黑龙江大庆·一模）已知F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线()0y kx k =≠交椭圆C 于
,M N 两点.若2π
3,3
FM FN MFN ∠==
，则椭圆C 的离心率为.
6．（2023·广西·一模）如图，一个光学装置由有公共焦点12,F F 的椭圆C 与双曲线C '构成，一光线从左焦点1F 发出，依次经过C '与C 的反射，又回到点1F .，历时m 秒；若将装置中的C '去掉，则该光线从点1F 发出，
经过C 两次反射后又回到点1F 历时n 秒，若C '的离心率为C 的离心率的4倍，则
m n
=.
反思提升：
1.求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝c
a 求解.
(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝
1－b 2
a
2求解.(3)构造a ，c 的齐次式.离心率e 的求解中可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .
2.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.(2)将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围.
分层检测
【基础篇】一、单选题
1．（2024·江西九江·三模）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ,过1F 且倾斜角为π6的直
线交C 于第一象限内一点A .若线段1AF 的中点在y 轴上,12AF F △的面积为则C 的方程为（）
A ．2
21
3
x y +=B ．22
1
32x y +=C ．22
1
93
x y +=D ．22
1
96
x y +=
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在x
轴上的椭圆的离心率为3
，焦距为，则该椭圆的方程为（
）
A ．2
21
3
x y +=B ．2
21
9
x y +=
C ．22
1
97x y +=D ．22
1
3628
x y +=
3．（2024·福建泉州·二模）若椭圆2221(0)3
x y a a +=>，则该椭圆的焦距为（）
A
B C ．D ．4．（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线()2R mx ny m n m n +=+∈,
始终与椭圆22
2:13
x y C a +=（0a >且a ≠）
有公共点，则C 的离心率的取值范围是（）
A ．02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭，B ．0⎛ ⎝⎭C ．12⎫
⎪⎢⎪⎣⎭D ．1⎫
⎪⎪⎣⎭
二、多选题
5．（2024·河南开封·三模）椭圆()22
22
:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另
一个交点为B ，若12π
3
F AF ∠=，则（）
A ．C 的焦距为2
B ．
C 的短轴长为
C ．C
D ．2ABF △的周长为8
6．（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆C ：22
194
x y +=的焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，则（）
A ．C 的焦距为
B ．
C 的离心率为
3
C ．
12F PF 的周长为3D ．12F PF 面积的最大值为7．（20-21高三上·江苏南通·期末）嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为s t ，已知远月点到月球表面的最近距离为km m ，则（
）
A ．圆形轨道的周长为()2km
vt π
B ．月球半径为km 2vt n π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C ．近月点与远月点的距离为km
t m n νπ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭D ．椭圆轨道的离心率为m n m n
-+三、填空题
8．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆22
:12516
x y C +=，1F 、2F 为C 的左、
右焦点，P 是椭圆上的动点，则12F PF 内切圆半径的最大值为．
9．（2024·广东江门·二模）已知圆22:(1)1A x y ++=内切于圆P ，圆P 内切于圆22:(1)49B x y -+=，则动圆P 的圆心的轨迹方程为
.
10．（2023·贵州毕节·一模）勒洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形（如图），已知椭圆2221(02)4x y b b
+=<<的焦点和顶点能作出一个
勒洛三角形，则该勒洛三角形的周长为．
四、解答题
11．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C ：()22
2210+=>>x y a b a b
的左，右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，
过
2F 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且1△MNF 的周长为8，12MF F △(1)求椭圆C 的方程；
(2)设1b >，是否存在x 轴上的定点P ，使得PMN 的内心在x 轴上，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
12．（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，且经过点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
(1)求椭圆C 的方程：
(2)求椭圆C 上的点到直线l ：2y x =的距离的最大值．【能力篇】一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左右焦点为12,F F ，右顶点为A ，已知点P
在椭圆E 上，若12290,45F PF PAF ∠=∠=
，则椭圆E 的离心率为（
）
A ．5
7B C ．2D 1
二、多选题
2．（2024·江西·模拟预测）已知()2,0A -，()2,0B ，()1,0C ，动点M 满足MA 与MB 的斜率之积为34
-，动点M 的轨迹记为Γ，过点C 的直线交Γ于P ，Q 两点，且P ，Q 的中点为R ，则（）
A ．M 的轨迹方程为22143
x y +=B ．MC 的最小值为1
C ．若O 为坐标原点，则OPQ △面积的最大值为3
2
D ．若线段PQ 的垂直平分线交x 轴于点D ，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍
三、填空题
3．（2024·浙江杭州·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm ，开口直径为8cm ．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于．
四、解答题
4．（2024·山东淄博·二模）已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，设1122()A x y B x y ,,(,)，满足12124x x y y ＝．①求证：直线AB 和直线BC 的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD 面积的最大值．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）已知O 为坐标原点，椭圆(22
22:10)x y C ab a b
+=>的焦距为P 在椭圆上，213PF PF =且11sin 3
OPF ∠=，则C 的方程为（）A ．2214
x y +=B ．22152x y +=C ．22163x y +=D ．22174
x y +=二、多选题2．（2024·安徽合肥·三模）椭圆222:1(0)4x y C m m
+=>的两个焦点分别为12,F F ，则下列说法正确的是（）
A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，
B 两点，则1ABF 的周长为8
B ．若
C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅= ，则m 的取值范围为()
⎡⋃+∞⎣C ．若直线10kx y -+=与C 恒有公共点，则m 的取值范围为[)
1,+∞
D ．若1,m P =为C 上一点，()1,0Q -，则PQ 三、填空题
3．（2021·河北张家口·三模）已知)F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为23π，则椭圆C 的长轴长为.。