数学模型课后答案(新)

《数学模型》作业答案
第二章(1)（2012年12月21日）
1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们
要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；
C
,35.23
1
11==
∑=i i
p
N
p q ,33.33
1
22==
∑=i i
p
N
p q 32.43
1
33==
∑=i i
p
N
p q
分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
4 ,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为
,17.92043223521=⨯=Q ,75.92404333322=⨯=Q 2.9331544322
3=⨯=Q
3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n
方法三（d ’Hondt 方法）
此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n
近.
2． 解： 边积分，得
⎰⎰
+=n
t
dn wkn r k vdt 0
)(2π
)22 2
n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v
k w n v rk t ππ+=∴
《数学模型》作业解答
第三章1（2008年10月14日）
1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货
批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．
01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：
kr rT c T c T C ++=
2
)(21
令⎪⎪⎩⎪⎪⎨=∂∂=∂00Q
C
T
， 得到驻点：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧+-
+-+=-
+=
**
3
23222
2
3323213
22
33221)(22c c kr
c c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，
r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的
一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.
又 ∴ 0=dT dC
令
, 得)
(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*
T T C )(取得最小值，即最优周期为： )
(221r k r c k
c T -=
*
r
c c ，T
r k 21
2≈
>>*
时当 . 相当于不考虑生产的情况.
∞→≈*
，T
r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.
第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设
5．t q =)(期分为. 解：又[][]⎰
⎰--+--=2
2
221121)()()()(),(T
T
T dt bp a t q p dt bp a t q p p p
=2
2)(022)(20222011T T
t t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ
=)8
322)(()822)((2
0222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+---
)(2)822(12011bp a T
T T q T p b p -+---=∂∂β )(2
)8322(22022bp a T
T t q T p b p -+---=∂∂β 0,02
1=∂∂=∂∂p p 令
, 得到最优价格为:
⎪⎧⎥⎤
⎢⎡++=)(101T q b a p β=0Q m
t s .
第三章3（2008年10月21日）
6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？
解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）;
每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=212
1
)( 得：k T T
T C 10092500
)(++=
令
(C
1. A 则此问题的数学模型为：
max S=20x+30y
s.t. ⎪⎩
⎪
⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝70
2l
92500
2+-=T
dT dC
以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.
直线l ：20x+30y=c 在可行域内 平行移动.
易知：当l 过1l 与2l 的交点时， x S 取最大值.
由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩
⎨⎧==510
y x
此时 m ax S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）
1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内
平行移动.
2l
l
1x
1l
2x
易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值
由⎩⎨⎧=+=+135224
4521
21x x x x 解得 ⎩⎨
⎧==1
42
1
x x
90110420max =⨯+⨯=z .
3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.
解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：
max S=3x +2y
s.t. ⎪⎩
⎪
⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032
这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解
可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.
直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.
由⎩⎨
⎧=+=+120
24100
32y x y x 解得
⎩⎨
⎧==20
20
y x .
m ax S ＝320220⨯+⨯＝100.
1.对于 （1至.∞s
（2解：.
.)(∞s t s 单调减少至故
（1）.s s(t) .s(t) .1
00≤∴单调减少由若σ
s
;)(,0 .01,1
0单调增加时当
t i dt
di
s s s ∴
-σσ
.)(,0
.01,1单调减少时当t i dt
di
s s ∴-σσ .0)(lim .0)18(t ==∞
→∞t i i 即式知又由书上
.)( .0,
1
m i t i dt
di
s 达到最大值时当∴==
σ
（2）().0 0.1-s ,1,10 dt
di
t s s σσσ从而则若
()().0.0lim ==∴∞∞
→i t i t i t 即单调减少且
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=b
a
初始兵力00y x 与相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2)
解::
现求⎭
⎝⎭⎝11,21λλ()()()t
ab t ab e
C e C t y t x -
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.
再由初始条件，得
()()2 220000 t
ab t
ab e y x e
y x t x -⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
又由().1ay
bx dx dy =可得
其解为 ()3 ,2
02022 bx ay k k bx ay -==-而
(1)
又令(x 注意到(2) 00().,4rdy aydy bxdx bx
r
ay dy dx -=-+-=即得
由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222
2
20.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了
.a r 乙方取胜的条件为.,022202
0a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝
⎛
- 亦即 第五章2（2008年11月14日）
6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲
解: (1)(2)(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010t
k e
D k t f -=
()()()
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=≠--=---0101
01001 ,,01k k te V kD k k e e k k V D k t C kt t k kt
3种情况下的血药浓度曲线如下：
8. 3.0
求解
)⎭⎝⎭
⎝=Q ()10/10==l M w 其中，
()()97628571.050
20
02.008.02
1
2
===⨯--
--e
e Q Q v
l b β
(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-=-v
bl a e b a v aw Q '
103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=--v
bl a v bl
e e b a v aw Q 1
'21'04 .256531719.1
1012.004.05010002.03.05010002.043'
≈-=-=-=⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯⨯-
e e e e e e e e Q Q v abl v bl v bl a v
bl 3≈Q 4．在 (1) (2) 解::
现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=00b a A ab ab b a
A E ±=∴=-==
-1,22 .0λλλ
λλ
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()t
ab t ab e
C e C t y t x -
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.
再由初始条件，得
又由(1(1) 又令(x 注意到0
0(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则
()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 y
y x x bx dt
dy
r ay dt dx
().,4rdy aydy bxdx bx
r ay dy dx -=-+-=即得
由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222
2
20.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了
.a r 乙方取胜的条件为.,022202
0a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝
⎛
- 亦即
1.在(1)(2)解
(1). 即
()102
=+-h rx x N
r )4(42N
h
r r N rh r -=-
=∆ ， (1)的解为：2
412,1N rN
h
N x -
±=
①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点；
②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为2
0N x =
. N
rx
r N rx N x r x F 2)1()('-
=--
=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN
N x rx x F --= ，即0 dt
dx ．∴0x 不稳定；
③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：
2411N rN
h
N x --=
， 2
412N rN
h N x -
+=
(2)易得 但*
0x 2.与中r 平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平0x ．
解：()t x 变化规律的数学模型为
()Ex x
N
rx dt t dx -=ln 记 Ex x
N
rx x F -=ln
)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex x
N
rx ∴r E
Ne x -=0，01=x ．
∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r x
N
r x F --=ln
'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.
x *
03 其中10
20
．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*
0x . 解：10
．)(t x 变化规律的数学模型为
h N
x
rx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即
02
=+-h rx x N
r ----（1）)4(42N
h
r r N rh r -=-
=∆ ， （1）的解为：2
412,1N rN
h
N x -
±=
① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；
② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为2
0N
x =
. N
rx r N rx N x r x f 2)1()('-
=--
= ，0)(0'
=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx
∴0x 不稳定；
③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：
411rN
h
N N x --=
， 412rN
h N N x -
+=
∴20即.
1（1价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.
2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和
)2
(
1
1-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，
并讨论稳定平衡条件.
3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2
(
11k
k k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
2． （1第+k 决于k y （2.试分解：（1⎩
+1k k 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到
⎪⎩⎪⎨⎧
>-=->-+-=-+++)2( 0
, )()
1( 0),2
(0010101 ββααy y x x x x x y y k k k k k 由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β
（1）代入（3）得 )2
(
0102x x x x x k
k k -+-=-++αβ 0012222 x x x x x k k k αβαβαβ+=++∴++
对应齐次方程的特征方程为 02 2
=++αβαβλλ
特征根为4
8)(22
,1αβ
αβαβλ-±-=
当
（2由（5 4 ∴对应齐次方程的特征方程为(7) 024 2
3
=+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且4
2 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
-
==++-=++424
3211
33221321
αβλλλαβλλλλλλαβλλλ 对（7）作变换：,12
αβ
μλ-
=
则
,03
=++q p μμ
其中 2
23322其中求出2产周期解k k 2
(
1
1-+k k k 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：
0,)(00 ααx x y y k k --=- ----------------------（1）
0,)2
(
01
01 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2） 从上述两式中消去k y 可得
,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：
022
=++αβαβλλ
容易算出其特征根为
4
8)(22
,1αβ
αβαβλ-±-=
---------------（4）
当αβ从而λ故3． 产周期.试建解g ：
0,)2
(
0101 ααx x x y y k
k k -+-=-++ --------------------（1） 0,
)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）
由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3） （1）代入（3），可得)2
(
0102x x x x x k
k k -+-=-++αβ
∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：
022
=++αβαβλλ
容易算出其特征根为
4
8)(22
,1αβ
αβαβλ-±-=
---------------（4）
当αβ从而λ故
1． （1） （2） 证明： （1）由一致阵的定义知：A 满足
ik jk ij a a a =⋅，n k j i ,,2,1,, =
于是对于任意两列j i ,，有
ij jk
ik
a a a =，()n k ,,2,1 =.即i 列与j 列对应分量成比例. 从而对A 作初等行变换可得：
∆⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡−−−→−00000011211 n b b b A 初等行变换
B 这里0≠B .()1=∴B 秩，从而秩()1=A
再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P ，使B PA =，于是
⎥⎥⎤
⎢
⎢⎡--000112111
1 n c c c 矩阵有（2(k a A ,1nk k k 217. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.
解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton 图.其一个有向Hamilton 圈为332541→→→→→.所以此竞赛图是双向连通的.
32154→→→→13542→→→→4
2135→→→→
→→→41325→
等都是完全路径.
此竞赛图的邻接矩阵为
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎡=1010000001
0110001010A
令()S 1=()S 3=
.1=λ
1.图.
2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？
答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.
3
n 答： 一λ=n ．
1．在 解：两种情况的钩子数均为m 2．第一种办法是m 2个位置，单钩放置m 2个钩子；第二种办法是m 个位置，成对放置m 2个钩子．
① 由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-
-=n
m n m D 21112 当
m
n
2较小，1 n 时，有
()m n m n n m n m D 41
181211122
--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≈
E D -=1 ， m
n
E 4≈
② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：
对于m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m 个钩对．
任一只钩对被一名工人接触到的概率是
1
； 记为m ∴ ③ ()()2
1
1
2211111m
n n m n m n --+--
≈⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-- ∴ ()()2
6211'm n n D ---
≈
当1 n 时，并令'1'D E -=，则 2
2
6'm
n E ≈ ④ 两种办法的比较：
由上知：m
n
E 4≈，2
26'm n E ≈ ∴ m n E E 32/'=
，当n m 时，132 m
n
， ∴ E E '． 所以第二种办法比第一种办法好．
《数学模型》作业解答
第九章（2008年12月23日）
7 G(3)=(05.012⨯-35.02125.0101.01⨯+⨯+⨯-))1.015.0(21+⨯+4.14= G(4)=(05
.016⨯-15.02835.01725.061.05⨯+⨯+⨯+⨯-)1.028⨯+15.13=
G(5)=05.020⨯-1.03515.02435.01325.021.09⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 25.10= 当报童每天订300份时，收益的期望值最大.
数模复习资料
第一章
1. 原型与模型
原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型, 按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.
模型⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨
⎧数学模型如地图、电路图
符号模型如某一操作
思维模型
抽象模型如某一试验装置物理模型如玩具、照片等直观模型形象模型
2.
3. 化,
4.数学建模的步骤
依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用 5.数学模型的分类
数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：
a. 按模型的应用领域分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨⎧再生资源利用模型
水资源模型城镇规划模型生态模型环境模型（污染模型）交通模型
人口模型
b. 按建模的数学方法分类
数学模型 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨⎧规划论模型
概率模型组合数学模型图论模型微分方程模型几何模型
初等数学模型
c. 按建模目的来分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧控制模型
决策模型优化模型预报模型
分析模型描述模型
d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验
e.n 阶正互反正A 是一致阵的充要条件为A 的最大特征值为n
f.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法
4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.
解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB 与CD 的对称轴为x 轴，用中心点的转角θ表示椅子的位置.将相邻两脚A 、B 与地面距离之和记为)(θf ;C 、D 与地面距离之和记为
)(θg .并旋转0180.于是，设,0)0(,0)0(=g f 就得到()()0,0=ππf g .
数学模型：设()()θθg f 、是[]π2,0上θ的非负连续函数.若[]πθ2,0∈∀,有
()()0=θθg f ,且()()()()0,0,00,00==ππf g f g ,则[]πθ2,00∈∃,使()()000==θθg f .
模型求解:令)()()(θθθg f h -= .就有,0)0( h 0)(0)()()( ππππg g f h -=-=.再由()()θθg f ,的连续性,得到()θh 是一个连续函数. 从而()θh 是[]π,0上的连续函数.由连续函数的介值定理：()πθ,00∈∃,使()00=θh .即()πθ,00∈∃,使
()0θf
9． （1. 次日早 解：（1 （I ）（I I
t
早8 0t 晚5
方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为)(t f (即t 时刻走的路程为)(t f ),同样设从山顶到山下旅店的路函数为)(t g ,并设山下旅店到山顶的距离
为a (a >0).由题意知：,0)8(=f a f =)17(,a g =)8(,0)17(=g .令)()()(t g t f t h -=,则有0)8()8()8(<-=-=a g f h ，0)17()17()17(>=-=a g f h ，由于)(t f ,)(t g 都是时间t 的连续函数,因此)(t h 也是时间t 的连续函数,由连续函数的介值定理,]17,8[0∈∃t ,使0)(0=t h ,即)()(00t g t f =.
（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n 队需赛1-n 场，若k k n 22
1
≤- ，则需赛k 轮.
2产周期.试建解g ：
由（2 （1 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：
022
=++αβαβλλ
容易算出其特征根为
4
8)(22
,1αβ
αβαβλ-±-=
---------------（5）
当αβ≥8时，显然有
4
48)(22αβ
αβαβαβλ-
≤---= -----------（6） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 2
2,1αβ
λ=
要使特征根均在单位圆内，即
2,1λ1 ，必须 2 αβ．
故
3 其中r （1）（2）．*0x .
解：（1记1）
① f ('但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( N rx x f --= ，即0 dt ∴0x 不稳定；
③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：
2411rN
h
N N x --=
， 2
412rN
h N N x -
+=
易知 21N x
， 2
2N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.
（2）．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨
⎧=0
)(..max x f t s h
即 )1(max N x rx h -
=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2
*
0N x =这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2
N
.
5．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：
品种 原材料 能源消耗(百元)
劳动力(人)
利润(千元)
甲 2 1 4 4 乙
3
6
2
5
现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.
设安排生产甲产品x 件，乙产品y 件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为
Z
y x y x y x y x y x t s y x S ∈≥≥≤+≤+≤++=,,0,020********
61400
32..54max
模型的求解：
用图解法.可行域为：由直线
,0200022400614003===+=+=+y y x y y x
组成的凸五边形区域.
C y x =+54:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过31l l 与的交点时，S 由⎩⎨
⎧=+=+2000
241400
32y x y x 解得：200,400==y x
260020054004max =⨯+⨯=S （千元）.
故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元. 6.
货物 体积
（立方米/箱）
重量 （百斤/箱）
利润 （百元/箱）
甲 5 2 20 乙
4
5
10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种
货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为
211020 m ax x x z +=
⎪⎩⎪
⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,135224452
12121
这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线
2445:211=+x x l
1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内
平行移动.
易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值 由⎩⎨
⎧=+=+13
52244521
21
x x x x 解得 ⎩⎨
⎧==1
42
1x x
90110420max =⨯+⨯=z .
7.深水中的波速v 与波长λ、水深d 、水的密度ρ和重力加速度g 有关，试用量纲分析方法给出波速v 的表达式.
解：设v ,λ,d ,ρ，g 的关系为),,,,(g d v f ρλ=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1
，[λ]=LM 0T 0
，
[d ]=LM 0T 0
，[
ρ]=L -3MT 0， [g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.
---------4分
量纲矩阵为
2l
l
1x
1l
2x
A=)
()()()()()
()()(200010
100013111g d v T M L ρλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--- 齐次线性方程组Ay=0 ，即
⎪⎩⎪
⎨
⎧===+-++02y - y -0 y 03y y 51
454321y y y
1
1由量纲 第二章15．解: 设[P]=齐次线性方程组为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=+=-++0
30
32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y
由量纲i P 定理得 1
1
31ρπs v P -=， 1
1
3ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义
是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.
解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1
，[ρ]=L -3
MT 0
，
[μ]=MLT -2
（LT -1L -1
）-1L -2
=MLL -2T -2
T=L -1
MT -1
，[g ]=LM 0T -2
,其中L ，M ，T 是基本量纲.
量纲矩阵为
A=)
()()()()()()
(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----
由量纲16*
比例解：设[v ]=LM 0T -2
)
()()()()
(g v μργ齐次线性方程组Ay=0 即
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为
⎪⎩
⎪⎨⎧
---=--=)
21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21
y y
得到两个相互独立的无量纲量
⎩⎨⎧==-----2
/112/32
2
/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==
πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(1
2
1-=πϕπ
20.解,(t f 1
1)][--=LT L t 0=L 的基本解为
⎪⎩
⎪⎨⎧
--=-=)
1,21
,1,21,0()0,21,0,21,1(21
Y Y 得到两个相互独立的无量纲量
⎩⎨⎧==---2
2
/112/11
2/12/1ππk g m l g tl
∴g l t =
1π, )(21πϕπ=, 2/12
/12mg kl =π ∴)(2/12
/1mg
kl g l t ϕ=
，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为
t ,'
t ；l ,'
l ;m ,'
m . 又)(2/12/1g
m l k g l t '''=
'ϕ
第三章2. 在 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．
02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-++
=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 2
3221)(221),( 222332
2221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C
--+--=∂∂
T
k rT Q c c rT Q
c Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q C
T
C
， 得到驻点：
r ，
k 1c ，r >>和
又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =
0 , ∴ 贮存费变为 k
T
T r k r c 2)(2⋅-= 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为
k
T
r k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=
k r k r c T
c dT dC 2)
(2
21-+-=. 0=dT dC
令
, 得)
(221r k r c k c T -=
* 易得函数处在*
T T C )(取得最小值，即最优周期为： )
(221r k r c k
c T -=
*
2.
2千
克, B .问如解： S 取最大值. 由⎩⎨
⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩
⎨⎧==510
y x
此时 m ax S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）
2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物 体积
（立方米/箱）
重量 （百斤/箱）
利润 （百元/箱）
甲 5 2 20 乙
4
5
10
.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为
211020 m ax x x z +=
⎪⎩⎪
⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,135224452
12121
这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线
2445:211=+x x l
1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内
平行移动.
易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值 由⎩⎨
⎧=+=+13
52244521
21
x x x x 解得 ⎩⎨
⎧==1
42
1x x
90110420max =⨯+⨯=z .
3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12
2l
l
1x
1l
2x
台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.
解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为： max S=3x +2y
s.t. ⎪⎩
⎪
⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032
这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解
可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.
直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值. 由⎩⎨
⎧=+=+120
24100
32y x y x 解得
⎩
⎨⎧==2020
y x .
m ax S ＝320220⨯+⨯＝100.
第五章2（2008年11月14日）
6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.
解: 设给药速率为()()(),,,,0V t C t x t f 容积为血药浓度为中心室药量为
()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数
(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e V
D
t C V D C t f -==
=解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得
中心室
()t C ,()t x
V
k 排除
()t f 0
()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vk
k t e Vk
k t C t k kt kt
,10 ,10
(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010t
k e
D k t f -=
()()()
⎪⎪⎨⎧≠--=--01
01001,01k k e e k k V D k t C t k kt
3种情况下的血药浓度曲线如下：
4．在 (1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,y
y x x bx dt
dy
ay dt dx
现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=00b a A
,21λλ(∴又由(100(1) ()().2
3
1000202011y a b y a bx ay a
k t y t x =-=-==
=时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为
.2
3
0y
又令().0222,01
1
00001=-⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭
⎫
⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（
注意到0
00020022,1
x y y x e
y x t ab -+=
=得. .43
ln ,312
1
b
t e
t ab =
∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则
()4由ay k =.a r 1.在(1)定状况．
(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．
解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为
h N
x
rx dt t dx --=)1()( 记h N
x
rx x F --
=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：
由()0=x F ，得0)1(=--
h N
x
rx ． 即
()102
=+-h rx x N
r )4(42N
h
r r N rh r -=-
=∆ ， (1)的解为：2
412,1N rN
h
N x -
±=
①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点；
但x ∀1x ∴(2)即易得 但2
*
0x =这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2
N
x >，且尽量接近2N ，但不能等于2N ．
第八章（2008年12月9日）
1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构
图.
2.3个层答. 3．A 答：为：CI
7. 路径，用适当方法排出5位选手的名次.
解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton 图.其一个有向Hamilton 圈为332541→→→→→.所以此竞赛图是双向连通的.
32154→→→→1
3542→→→→42135→→→→ →→→41325→
等都是完全路径.。