2019年湖南省长沙市长郡系小升初数学试卷（5月份）

2019年湖南省长沙市长郡系小升初数学试卷（5月份）
一、填空题（每题5分，共15题，共75分）
1．（5分）用24厘米的铁丝围成一个直角三角形，这个三角形三条边长度的比是3：4：5，这个直角三角形斜边上的高是多少厘米？
2．（5分）一次考试中，总人数的又3人得了3分，总人数的人得了4分，总人数的又5人得了5分，其余人都得2分，已知得2分的人数和得5分的人数一样多，则有人得了4分
3．（5分）两个相同的玻璃杯，都装满了糖水，糖与水的质量比分别是1：7和1：9，现将这两杯糖水混合，混合后糖水的含糖率是%
4．（5分）10个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总质量最少为克
5．（5分）在信息时代，信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“叠3加1取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是
6．（5分）用0﹣9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是
7．（5分）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如右图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的表面积是平方厘米．
8．（5分）如图，C、D为AB的三等分点，8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，在经过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走，甲、乙在C相遇时丙恰好走到D点，甲、丙8：30相遇时乙恰好到A．那么丙出发时是8点分
9．（5分）在方框里分别填入两个相邻的自然数，使下式成立
□＜+++…+＜□
10．（5分）计算： 3.625+0.﹣1＝
11．（5分）盒子中装有很多相同的，但分红、黄、蓝三种颜色的玻璃球，每次摸出两个球，为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸球次
12．（5分）甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元，付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付，付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲元
13．（5分）张老师带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了25%，结果他带的钱恰好可以比原来多买25支，那么降价前这些钱可以买签字笔支．
14．（5分）有一个圆柱体，高是底面半径的3倍，将它如图分成大、小两个圆柱体，大圆柱体的表面积是小圆柱体的表面积的3倍，那么大圆柱体的体积是小圆柱体的体积的
倍．
15．（5分）某岛国的一家银行每天9：00﹣17：00营业，正常情况下，每天9：00准备现金50万元，假设每小时的提款量都一样，每小时的存款量也都一样，到17：00下班时有现金60万元．如果每小时的提款量是正常情况的4倍，而存款量不变的话，14：00银行就没有现金了：如果每小时提款量是正常情况的10倍，而存款量减少到正常情况一半的话，要使17：00下班时银行还有现金50万元，那么9：00开始营业时需要准备现金万
二、计算题（每小题5分，共4题，共20分）
16．（5分）计算：1×100+2×99+3×98+…+99×2+100×1
17．（5分）计算：++…+
18．（5分）求未知数：x+1＝x﹣
19．（5分）解方程：＝1+
三、解答题（每题10分，共5题，共50分）
20．（10分）如图，三角形ABC中，AF：FB＝BD：DC＝CE：AE＝4：3，且三角形ABC 的面积是74，求三角形GHI的面积．
21．（10分）在一个490米长的圆形跑道上，甲、乙两人从相距50米的A、B两地，相背出发，相遇后，乙返回，甲方向不变，继续前进，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高
四分之一，当乙回到B地时，甲刚好回到A地，此时他们都按现有速度与方向前进，请问：当甲再次追上乙时，甲一共走了多少米？
22．（10分）某工地用三种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10：7：6，速度比为3：4：5，运送土方的路程之比为15：14：14，三种车的辆数之比为10：
5：7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，又干了15天才完成任务．求甲种车完成的工作量与总工作量之比．
23．（10分）第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完，在这7天里，第2群牛刚好将三号牧场的草吃完．如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？
24．（10分）有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍．如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降 2.4%：如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降 2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度．请问：甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是多少？它们的浓度分别
是多少？
2019年湖南省长沙市长郡系小升初数学试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题5分，共15题，共75分）
1．（5分）用24厘米的铁丝围成一个直角三角形，这个三角形三条边长度的比是3：4：5，这个直角三角形斜边上的高是多少厘米？
【分析】用24厘米长的铁丝围成一个直角三角形，也就是这个直角三角形的周长是24厘米，已知这个三角形三条边长度比是5：4：3，先求出总份数，再求出各边占周长的几分之几，分别求出各边的长度．再根据三角形的面积公式：s＝ah，求出这个三角形的面积，进而求出斜边上的高．
【解答】解：3+4+5＝12（份），
24×＝6（厘米），
24×＝8（厘米），
24×＝10（厘米），
8×6×＝24（平方厘米），
24×2÷10＝4.8（厘米）；
答：斜边上的高是 4.8厘米．
【点评】此题是考查了三角形的周长与面积公式的灵活应用，这里关键是根据三边长度
的比和周长求出两条直角边的长度．
2．（5分）一次考试中，总人数的又3人得了3分，总人数的人得了4分，总人数的又5人得了5分，其余人都得2分，已知得2分的人数和得5分的人数一样多，则有195人得了4分
【分析】把总人数看作单位“1”，根据题意可知，得2分的人数也是总人数的又多5人，所以（3+5+5）人就占总人数的（1﹣），根据分数除法的意义，用（3+5+5）除以（1﹣）就是总人数，再用总人数乘即可解答．
【解答】解：（3+5+5）÷（1﹣）
＝13÷
＝780（人）
780×＝195（人）
答：有195人得了4分．
故答案为：195．
【点评】本题考查了比较复杂的分数问题，关键是找出单位“1”和（3+5+5）人占总人数的（1﹣）．
3．（5分）两个相同的玻璃杯，都装满了糖水，糖与水的质量比分别是1：7和1：9，现将这两杯糖水混合，混合后糖水的含糖率是11.25%
【分析】两杯子相同，即糖水的总质量相同．设每杯的质量为“1”，第一杯中糖占总质量的，第二杯中糖占总质量的．用两杯中糖所占的分率之和除以两杯中糖水的质量之和．
设第一杯中糖的质量为“1”，则水的质量为“7”；设第二杯糖的质量为“1”，则水的质量为“9”．两杯混合后糖的质量是“（1+1）”，水的质量是“（7+9）”．糖水的含糖率是糖占糖水质量的百分比，即含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%．
【解答】解：设每杯的质量为“1”，则第一杯中糖占糖水的，第二杯中糖占糖水质量的
（+）÷（1+1）
＝（+）÷2
＝÷2
＝0.1125
＝11.25%
答：混合后糖水的含糖率是11.25%．
故答案为：11.25．
【点评】关键是明白糖水的含糖率是什么意思．含糖率是指糖占糖水质量的百分率．
4．（5分）10个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总质量最少为1023克
【分析】由于无论怎样放都不能使天平平衡，首先可以知道这10个砝码的重量各不相同．最轻的那个砝码至少为1克，次轻的至少为2克，由于1+2＝3，接下来的至少为4克，由此想到，所以砝码重量为1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，都是前面相邻的这个数乘2．因此可将上述各数求出和即为这堆砝码总重量的最少千克数．
【解答】解：10个砝码的重量分别为：1克、2克、4克、8克、16克、32、64、128、256、512克时满足题意，
所以这堆砝码的总重量至少为：1+2+4+8+16+32+64+128+258+512＝1023（克）．
故答案为：1023．
【点评】此题考查用2的次幂解决问题．
5．（5分）在信息时代，信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“叠3加1取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是2009
【分析】根据规则，按照“叠3加1取个位”的方式逐位加密，将2445的每一位数字减去1，再看看哪个一位数字乘3得到的个位数字是这一数，比如2﹣1＝1，7×3＝21，所以第一次加密后的第一个数字就是7，以此类推，得到原来的四位明码即可解答．
【解答】解：2﹣1＝1，7×3＝21，
4﹣1＝3，1×3＝3，
5﹣1＝4，8×3＝24，
所以第一次加密后的密码是7118，
7﹣1＝6，2×3＝6，
1﹣1＝0，0×3＝0，
8﹣1＝7，9×3＝27，
所以明码是2009．
故答案为：2009．
【点评】本题主要考查数字问题，利用逆推的方法得到答案是解答本题的关键．
6．（5分）用0﹣9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是99
【分析】0～9中不是合数的是0、1、2、3、5、7，要使凑成合数之和有最小值，就要把这些数变成两位数，且十位上的数字最小，据此可以凑成10+27+35或15+27+30，然后和剩下的一位合数相加即可．
【解答】解：4+6+8+9+10+27+35＝99
4+6+8+9+15+27+30＝99
故答案为：99．
【点评】解答此题应根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数即可解决
问题．
7．（5分）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如右图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的表面积是230平方厘米．
【分析】观察图形可知，这个组合图形的表面积可以看做是棱长5厘米的正方体的表面积与棱长2厘米的正方体的4个面的面积与棱长是1厘米的正方体的4个面的面积之和，据此利用正方体的表面积公式计算即可解答．
【解答】解：5×5×6+2×2×4×4+1×1×4×4，
＝150+64+16，
＝230（平方厘米），
答：这个立体图形的表面积是230平方厘米．
故答案为：230．
【点评】解答此题的关键明确这个立体图形的表面积包括哪几个面的面积．
8．（5分）如图，C、D为AB的三等分点，8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，在经过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走，甲、乙在C相遇时丙恰好走到D点，甲、丙8：30相遇时乙恰好到A．那么丙出发时是8点16分
【分析】乙行完全程正好用了：8：30﹣8：12＝18（分钟）；乙到达C点，甲也到达C 点，乙到C点所用时间为：18÷3×2＝12（分钟），此时甲行了：12+12＝24（分钟），所以甲行完全程所用时间为：24×3＝72（分钟）．甲丙相遇时甲行了全程的：从甲乙相遇
到甲丙相遇，甲丙共行总路程的，所用时间为：8：30﹣8：24＝6（分钟），所以，甲丙行完全程需要：6×3＝18（分钟），所以，丙行完全程所需时间为：1÷（）＝24（分钟），所以丙出发的时间为：8：24﹣24÷3＝8：16．
【解答】解：8：30﹣8：12＝18（分钟）
18÷3×2＝12（分钟）
12+12＝24（分钟）
24×3＝72（分钟）
8：30﹣8：24＝6（分钟）
6×3＝18（分钟）
1÷（）
＝1÷
＝24（分钟）
丙出发的时间为：8：24﹣24÷3＝8：16
答：丙出发时是8点16分．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查相遇问题，关键根据路程和、速度和和相遇时间的关系做题．
9．（5分）在方框里分别填入两个相邻的自然数，使下式成立
□＜+++…+＜□
【分析】+++…+一共有50个加数，它比50个大，比50个小，据此求出+++…+的取值范围是多少，进而判断出在方框里分别填入两个相邻的自然数即可．
【解答】解：∵×50＜+++…+＜×50，
∴＜+++…+＜，
∵在方框里需要填入两个相邻的自然数，
∴0＜+++…+＜1．
故答案为：0、1．
【点评】此题主要考查了分数比较大小的方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是
求出+++…+的取值范围是多少．
10．（5分）计算： 3.625+0.﹣1＝
【分析】把混循环小数0.化成分数，循环节有2个数字，分母就有2个9，0.＝，再约分；然后再运用减法的性质进行简算．
【解答】解：0.＝＝，
3.625+0.﹣1
＝3+﹣1
＝3﹣（1﹣）
＝3﹣
＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了灵活运用减法的性质进行计算的能力．
11．（5分）盒子中装有很多相同的，但分红、黄、蓝三种颜色的玻璃球，每次摸出两个球，为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸球25次
【分析】红、黄、蓝三种颜色的玻璃球，每次摸出两个球，根据排列组合知识可得共有+＝6种组合，看作6个抽屉，每个抽屉里取4个元素，共取了6×4＝24个元素，此时再任意取一个元素，一定有5个元素相同，即至少需要摸球25次．
【解答】答：根据分析可得，
+＝3+3＝6（种）
6×4+1＝25（次）
答：至少需要摸球25次．
故答案为：25．
【点评】本题考查了排列组合知识和抽屉原理的综合应用，关键是构造物体和抽屉．也
就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算．
12．（5分）甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元，付钱时，甲先乙后，10元，10元
地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付，付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲2元
【分析】篮球的总价为n2．由题意“首先由甲付10元，然后乙付10元，甲再付10元，乙再付10元，…直到某次甲付10元后，乙只需要再付不足10元“可知，每轮他们付20元，最后一轮甲付了10元后乙没付够10元，所以他们支付的总价格的十位上必定是奇数．
由下面可以推出十位上是奇数个位必定是6：
假设一个数为n＝10x+y，其中x和y是整数，且0＜y≤9，于是，我们有：
n*n＝100x*x+20xy+y*y．
＝20x（5x+y）+y*y
如果n*n的十位数字是奇数，那么y的平方十位数字是奇数，由此推得
y的平方等于16或36
所以n的平方个位数字是6
所以最后乙付得钱肯定是6元，由此可以作答．
【解答】解：总价为n2，由题意的，总价的十位数上为奇数，所以个位数上必定为6．所以最后一轮乙支付了6元，甲支付了10元．
所以乙需要给甲（10+6）÷2﹣6＝2（元）
答：按照约定，乙需要再给甲2元．
故答案为：2．
【点评】本题考差了平方数的一些规律，灵活运用即可作答．
13．（5分）张老师带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了25%，结果他带的钱恰好可以比原来多买25支，那么降价前这些钱可以买签字笔75支．
【分析】把原价看作单位“1”，这种笔降价了25%，结果他带的钱恰好可以比原来多买25支，设原来可以买x支，则现在买了（x+25）支，根据单价×数量＝总价，由题意得：1×x＝（x+25）×（1﹣25%），解此方程即可．
【解答】解：设原来可以买x支，则现在买了（x+25）支，
1×x＝（x+25）×（1﹣25%）
x＝（x+25）×0.75
x＝0.75x+18.75
0.25x＝18.75
x＝75．
答：降价前这些钱可以买签字笔75支．
故答案为：75．
【点评】此题考查的目的是理解掌握百分数的意义及应用，关键是找出等量关系，设出
未知数，列方程解答比较简便．
14．（5分）有一个圆柱体，高是底面半径的3倍，将它如图分成大、小两个圆柱体，大圆柱体的表面积是小圆柱体的表面积的3倍，那么大圆柱体的体积是小圆柱体的体积的11倍．
【分析】根据题意可知：把一个大圆柱分成两个小圆柱，高是底面半径的3倍，设这个圆柱体底面半径为r，那么高为3r，小圆柱体高为h，则大圆柱体高为（3r﹣h）；根据两圆柱体表面积3倍的关系，求出h＝，则大圆柱的高是r，又由于两圆柱体底面积相同，那么高的比就是体积的比，所以大圆柱的体积是小圆柱体积的11倍．
【解答】解：设这个圆柱体底面半径为r，那么高为3r，小圆柱体高为h，则大圆柱体高为（3r﹣h）；
因为大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍，
所以h＝，则大圆柱的高是r，
又由于两圆柱体底面积相同，
所以大圆柱的高是小圆柱高的：r÷＝11，
因为大小圆柱的底面积相同，所以高的比就是体积的比．
所以大圆柱的体积是小圆柱体积的11倍．
故答案为：11．
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱的表面积、体积公式及应用，利用等量代换的
方法解答，根据大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍，表示出大圆柱体的高与小圆柱体的高是解答此题的关键．
15．（5分）某岛国的一家银行每天9：00﹣17：00营业，正常情况下，每天9：00准备现金50万元，假设每小时的提款量都一样，每小时的存款量也都一样，到17：00下班时
有现金60万元．如果每小时的提款量是正常情况的4倍，而存款量不变的话，14：00银行就没有现金了：如果每小时提款量是正常情况的10倍，而存款量减少到正常情况一半的话，要使17：00下班时银行还有现金50万元，那么9：00开始营业时需要准备现金330万
【分析】从9：00到17：00共计8个小时，现金从50万元增加到60万元，增加了10万元，所以每小时存款量比取款量多10÷8＝1.25（万元）；从9：00到14：00共计5个小时，每个小时的提款量是正常情况的4倍，而存款量不变，这5个小时中每小时提款量比存款量多50÷5＝10（万元）．所以正常情况下每小时的提款量为：（10+1.25）÷（4﹣1）＝3.75（万元），存款量为 3.75+1.25＝5（万元）．如果每小时提款量是正常情况的10倍，即每小时提款 3.75×10＝37.5（万元），存款量减少到正常情况一半，即每小时存款5÷2＝2.5（万元），则银行每小时减少存款37.5﹣2.5＝35（万元），8个小时共减少35×8＝280（万元）开始时要准备现金50+280＝350（万元）．
【解答】解：9：00﹣17：00是8个小时，9：00﹣14：00是5个小时
（60﹣50）÷8
＝10÷8
＝1.25（万元/时）
50÷5＝10（万元/时）
提款速度为：
（10+1.25）÷（4﹣1）
＝11.25÷3
＝3.75（万元/时）
需要准备现金：
（3.75×10﹣5÷2）×8+50
＝（37.5﹣2.5）×8+50
＝35×8+50
＝280+50
＝330（万元）
答：开始营业时需要准备现金330万．
【点评】根据条件求出正常情况下的存款速度和提款速度是解决本题的关键．
二、计算题（每小题5分，共4题，共20分）
16．（5分）计算：1×100+2×99+3×98+…+99×2+100×1
【分析】先把算式变形为1×（101﹣1）+2×（101﹣2）+3×（101﹣3）+…+99×（101﹣99）+100×（101﹣100），再根据乘法的分配律、加法交换律、加法结合律、连减式简
算的方法即可．
【解答】解：1×100+2×99+3×98+…+99×2+100×1
＝1×（101﹣1）+2×（101﹣2）+3×（101﹣3）+…+99×（101﹣99）+100×（101﹣100）
＝1×101+2×101+3×101+…+99×101+100×101﹣1×1﹣2×2﹣3×3﹣…﹣99×99﹣100×100
＝（1+2+3+…+99+100）×101﹣（12+22+32+…992+1002）
＝（100+1）×100÷2×101﹣100×（100+1）（2×100+1）÷6
＝5050×101﹣100×101×201÷6
＝510050﹣338350
＝171700
【点评】本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律、加法交换律、加法结合律以
及连减式简算的理解和灵活应用．
17．（5分）计算：++…+
【分析】根据拆项公式＝1+拆项后通过加减相互抵消即可简算．
【解答】解：++…+
＝（1+）+（1+）+…+（1+）
＝1×17+（++…+）
＝17+×（1﹣+﹣+…+﹣）
＝17+×（1+﹣﹣）
＝17+
＝17
【点评】本题考查了分数拆项公式＝1++的灵活应用．18．（5分）求未知数：x+1＝x﹣
【分析】先把方程的两边同时减去x，再把方程的两边同时加，最后把方程的两边同时除以即可．
【解答】解：x+1＝x﹣
x+1﹣x＝x﹣﹣x
x﹣＝1
x﹣+＝1+
x＝
x＝
x＝
【点评】本题属于稍复杂的方程，计算时找清楚每一步需要在方程两边同时加减或者乘
除的数，从而解决问题．
19．（5分）解方程：＝1+
【分析】先把方程的两边同时乘2和4的最小公倍数4，去掉分母，化简，得到5x﹣3＝2x+6，然后方程的两边先同时减去2x，再同时加上3，最后同时除以3即可．
【解答】解：＝1+
×4＝1×4+×4
5x﹣3＝4+（x+1）×2
5x﹣3＝4+2x+2
5x﹣3＝2x+6
5x﹣3﹣2x＝2x+6﹣2x
3x﹣3＝6
3x﹣3+3＝6+3
3x＝9
3x÷3＝9÷3
x＝3
【点评】解决这类等号两边含有分母的方程，先把方程的两边同时乘分母的最小公倍数，去掉分母，然后化简，再根据等式的性质求解．
三、解答题（每题10分，共5题，共50分）
20．（10分）如图，三角形ABC中，AF：FB＝BD：DC＝CE：AE＝4：3，且三角形ABC 的面积是74，求三角形GHI的面积．
【分析】本题考察三角形的面积计算．考虑到△HIG的面积不能直接求，可以计算出△AGC、△BIC、△BAH的面积，再用整体减去这三部分，剩余的就是△GHI的面积，依此解答．
【解答】解：如图，连接BG，
设△AGC的面积为12份，根据燕尾定理，
S△AGC：S△BGC＝AF：FB＝4：3＝12：9，
S△AGB：S△AGC＝BD：DC＝4：3＝16：12，
得△BGC的面积为9份，△ABG的面积为16份，
则△ABC的面积为9+12+16＝37（份），
因此△AGC的面积为74÷37×12＝24，
同理连接AI、CH得△ABH的面积为74÷37×12＝24，△BIC的面积为74÷37×12＝24，所以△GHI的面积为74﹣24×3＝2．
【点评】本题关键在于利用燕尾定理求出围在△GHI外部的三个三角形的面积，利用整
体法进行计算即可．
21．（10分）在一个490米长的圆形跑道上，甲、乙两人从相距50米的A、B两地，相背出发，相遇后，乙返回，甲方向不变，继续前进，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高
四分之一，当乙回到B地时，甲刚好回到A地，此时他们都按现有速度与方向前进，请问：当甲再次追上乙时，甲一共走了多少米？
【分析】从相遇点到B点这段路程，已知乙的速度提高，可知乙从相遇点返回B点的时间是从B点到相遇点的，而这段时间中甲是从相遇点返回到A点，并且速度提高，所以甲前后两段的路程比为1：（）＝25：24；而圆形跑道总长是490米，按照逆时针方向，A点到相遇点250米，相遇点到B点190米，B点到A点50米，即甲和乙的速度之比是24：19，所以当甲跑圈的时候，乙跑圈，甲第一次追上乙，此时甲共跑（米）．
【解答】解：1+＝
1：（）＝25：24
490×＝250（米）
490﹣250＝240（米）
490﹣250﹣50＝190（米）
240：190＝24：19
（米）
答：当甲再次追上乙时，甲一共走了2602米．
【点评】本题考查追及问题，找到甲和乙速度的比例关系是解决本题的关键．
22．（10分）某工地用三种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10：7：6，速度比为3：4：5，运送土方的路程之比为15：14：14，三种车的辆数之比为10：5：7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，又干了15天才完成任务．求甲种车完成的工作量与总工作量之比．
【分析】根据题意，甲种车的一半干25天，另一半干15天，相当于所有甲种车都干20天，所以甲、乙、丙三种车工作时间之比为20：25：25＝4：5：5，相同时间内，三种车
各一辆完成的工作量之比为：：＝14：14：15，甲、乙、丙三种车完成的工作量之比为（14×10×4）：（14×5×5）：（15×7×5）＝112：70：105．进而求得甲种车完成的工作量与总工作量之比．
【解答】解：甲、乙、丙三种车工作时间之比为20：25：25＝4：5：5
三种车各一辆完成的工作量之比为：：＝14：14：15
甲、乙、丙三种车完成的工作量之比为（14×10×4）：（14×5×5）：（15×7×5）＝112：70：105
甲种车完成的工作量与总工作量之比为
112：（112+70+105）＝112：：287＝16：：41
答：甲种车完成的工作量与总工作量之比是16：41．
【点评】此题重点考查了工效×工时＝工作总量；工作总量÷工时＝工效；工作总量÷
工效＝工时的运用情况．
23．（10分）第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完，在这7天里，第2群牛刚好将三号牧场的草吃完．如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？
【分析】15头牛，2天吃完1号牧场也就是3公顷，15头牛，5天吃完2号牧场也就是5公顷；因为要计算草的生长速度，所以，设每头牛吃草速度为每天X公顷，每公顷草的生长速度为每天Y公顷，可得方程：2（15X）＝2（3Y）+3，5（15X）＝7（5Y）+5求解得，X＝0.125，Y＝0.125；所以列第2群牛的方程，就是要设这群牛有n头，则方程为：7（0.125n）＝7（7×0.125）+7
求解，n＝15 所以第2群也是15头牛．据此解答即可．
【解答】设每头牛吃草速度为每天X公顷，每公顷草的生长速度为每天Y公顷
可得方程：
2×15X＝2×3Y+3，
30X＝6Y+3
30X÷3＝（6Y+3）÷3
10X＝2Y+1①
5×15X＝7×5Y+5
75X＝35Y+5
75X÷5＝（35Y+5）÷5
15X＝7Y+1②
由①得：10X×1.5＝（2Y+1）×1.5
即为：15X＝3Y+1.5代入②得：
3Y+1.5＝7Y+1
3Y+1.5﹣3Y﹣1＝7Y+1﹣1﹣3Y
0.5＝4Y
4Y÷4＝0.5÷4
Y＝0.125
把Y＝0.125代入①得：
10X＝2×0.125+1
10X÷10＝1.25÷10
X＝0.125
设第2群牛有n头，可得方程
7×0.125n＝7×7×0.125+7
7×0.125n÷7÷0.125＝（7×7×0.125+7）÷7÷0.125
n＝15
答：第二群牛有15头．
【点评】本题属于典型的牛吃草问题，解答时认真分析所给的条件，根据条件列方程解
答即可解决．
24．（10分）有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍．如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降 2.4%：如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降 2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度．请问：甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是多少？它们的浓度分别
是多少？
【分析】设乙溶液的浓度为x%，甲乙丙三种溶液的质量分别为：A．B．C，甲乙混合后浓度为：x+6﹣2.4%＝x+3.6，乙丙混合后浓度为：x﹣2.25，甲丙混合后浓度为x．【解答】解：设乙溶液的浓度为x%，甲乙丙三种溶液的质量分别为：A．B．C，则有：
甲的浓度为：（x+6），丙的浓度为，
依题意有如下关系：①2.4A＝3.6B2A＝3B
②B＝
③6A＝
整理三个式子得：x＝4，甲的浓度为：4%，乙的浓度为：10%，丙的浓度为1%．
A：B：C＝3：2：6
答：甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是：3：2：6，甲的浓度为：4%，乙的浓度为：10%，丙的浓度为1%
【点评】据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮
助理解题意．。