高中数学 3.3.1 基本不等式课后巩固练习 北师大版必修

【世纪金榜】2014年高中数学 3.3.1 基本不等式课后巩固练习 北师大版必修
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(30分钟 50分)
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.(2011·陕西高考)设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( ) (A)a<b<ab <a b 2+ (B)a<ab <a b
2+<b
(C)a<ab <b<a b
2+
(D)ab <a<a b 2+<b
2.给出下列条件：①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使b
a +a
b ≥2成立的条件有( )
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
3.已知m=a ＋1
a 2-(a>2)，n=2x +2(x<1)，则m ，n 之间的关系是( )
（A ）m>n （B ）m<n
（C ）m=n （D ）m ≤n
4.（2011·泰安高二检测）给出下面四个推导过程：
①∵a ，b ∈（0,+∞），∴b a +a b ≥2b a
a b g =2；
②∵x ，y ∈（0,+∞），∴lgx ＋lgy ≥lgx lgy g
③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥4
a a g ；
④∵x ，y ∈R ，xy<0，∴x y
y x ＋=-[(-x
y )＋(-y x )]≤x y
()()y x --g 其中正确的推导为( )
（A ）①② （B ）②③
（C ）③④ （D ）①④
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.（2011·天津高考改编）已知log 2a+log 2b ≥1，则3a ·9b
的最小值为______.
6.若a>0，b>0，a ＋b=2，则下列不等式对一切满足条件的a 、b 恒成立的是_____
(写出所有正确命题的序号)．
①ab ≤1a b 2≤＋a 2＋b 2≥2；
④a3＋b3≥3；⑤11
a b
＋≥2.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.已知a>1,0<b<1，求证：log a b＋log b a≤-2.
8.已知28
x y
+=1（x>0,y>0）,求x+y的最小值.
【挑战能力】
（10分）已知x i∈（0,+∞），i∈{1,2,…,2 011},
求证：（1）
22
12
21
x x
x x
++x1+x2≥2x1+2x2;
（2）
22
12
23
x x
x x
++…+
22
2 010 2 011
2 0111
x x
x x
+≥x1+x2+…+x2 011.
答案解析
1.独具【解题提示】根据不等式的性质，结合作差法、基本不等式或特殊值法等进行比较.
【解析】选B.方法一：已知a<b和ab<a b
2
+
,比较a与ab，因为a2-(ab)2
=a(a-b)<0，所以a<ab,同理由b2-(ab)2=b(b-a)>0得ab<b;作差法：b-a b 2 +
=a b
2
-
>0,所以
a b
2
+
<b，综上可得a<ab<
a b
2
+
<b，故选B.方法二：取a=2,b=8,则ab=4,
a b
2
+
=5,
所以a<ab<a b
2
+
<b，选B.
2.【解析】选C.条件①③④能使b
a
+
a
b
满足基本不等式成立的条件，故选C.
3.【解析】选A.m=a＋
1
a2
-
=(a-2)＋
1
a2
-
＋2≥2
1
a2
a2
-⨯
-
（）＋2=4，n=2x+2<4（x<1），故选A.
4.【解析】选D.①由于a，b∈（0,+∞），∴b
a
,
a
b
∈（0,+∞），符合基本不等式的条件，故①推导正确；
②虽然x，y∈（0,+∞），但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lgx或lgy是负数，故②的推导过程是错误的；
③由a∈R，不符合基本不等式的条件，故4
a
＋a≥2
4
a
a
g=4是错误的．
均为负数，但在推导过程中将整体x y
y x
＋提出负号后，(-x
y
)、(-
y
x
)均变为
④由xy<0，得x y y x 、
正数，符合基本不等式的条件，故④正确.故选D.
5.【解析】∵log 2a+log 2b ≥1,∴a>0,b>0,ab ≥2.
∴3a ·9b =3
a+2b ≥322ab ≥34=81当且仅当a=2,b=1时取等号. 答案：81 6.【解析】令a=b=1，排除②④.由2=a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确；a 2＋b 2=(a ＋b)2-2ab=4-2ab ≥2，命题③正确；1
1a b ＋=a b 2ab ab
+=≥2，命题⑤正确． 答案：①③⑤
7.独具【解题提示】由于log a b<0，log b a<0，利用基本不等式时需把它们转化为正数.
【证明】因为a>1,0<b<1，故log a b<0，log b a<0，
则-log a b>0，-log b a>0，
从而（-log a b ）＋(-log b a)≥2b a log a log b --（)(）=2，即log a b ＋log b a ≤-2.
当且仅当-log a b=-log b a 即ab=1或a=b
又∵a>1，0<b<1，
∴ab=1时等号成立.
8.独具【解题提示】将x+y 视为（x+y ）·1，再将28x y
+=1代入，展开就可以用基本不等式求最值. 【解析】∵28x y
+=1（x>0,y>0）， ∴x+y=（x+y ）（
28x y +）=2+8x 2y y x ++8 =10+8x 2y y x
+≥10+2·16=18. 当且仅当
8x 2y y x =，即x=6，y=12时取等号. 所以当x=6,y=12时，x+y 取最小值18.
独具【方法技巧】不等式的证明技巧
1.利用基本不等式证明有以下几种情况
（1）符合条件直接应用.
（2）经过变形符合条件再利用基本不等式.
（3）通过“1”的巧妙代换，出现符合条件的形式.
2.基本不等式a b 2
+≥ab （a,b ∈（0,+∞））的推广 （1）如果a,b,c ∈（0,+∞）,那么a 3+b 3+c 3≥3abc （当且仅当a=b=c 时取“=”）.（此为阅读材料结论，可
不作要求，供学有余力的同学探讨）.
（2）对上述不等式的理解，要有三个方面的认识：
①条件是a,b,c ∈（0,+∞）.
②结论也可以有多种形式：
a,b,c ∈（0,+∞）,a+b+c ≥33abc ;
abc ≤333a b c 3++,abc ≤(a b c 3
++)3. ③等号成立的条件是：当且仅当a=b=c.
【挑战能力】
【证明】（1）∵x i ∈（0,+∞）,∴212
x x +x 2≥221x =2x 1, 221
x x +x 1≥22x 2, ∴221221
x x x x ++x 1+x 2≥2x 1+2x 2. （当且仅当x 1=x 2时取“＝”）.
（2）∵x i ∈（0,+∞）,i ∈{1,2,…,2 011},
∴212
x x +x 2≥2122x x x g 21x =2x 1 同理：223
x x +x 3≥2x 2 ……
22 0102 011
x x +x 2 011≥2x 2 010 22 0111
x x +x 1≥2x 2 011 ∴(212x x +x 2)+(223x x +x 3)+(234
x x +x 4)+…+(22 0102 011x x +x 2 011)+(22 0111x x +x 1)≥2x 1+2x 2+2x 3+…+2x 2 009+2x 2 010+2x 2 011 ∴212x x +223
x x +…+22 0102 011x x +22 0111x x ≥x 1+x 2+x 3+…+x 2 011. (当且仅当x 1=x 2=x 3=…=x 2 011时取“=”).。