探究式学案：3.2.2 函数模型的应用实例

3.2.2 函数模型的应用实例
学习目标
1．培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合，并列出函数解析式．
2．初步掌握函数拟合思想，并会用函数拟合思想解决实际问题．
重点：怎样根据实际问题建立函数关系式．
难点：利用函数模型解决实际应用问题．
预习导引
问题1：(1)建立数学模型的方法是怎样的？
(2)在解决实际问题过程中，该如何做才能找到合适的数学模型？
(3)解函数应用问题的基本步骤是什么？
问题2：(1)对于一些函数实际应用问题，我们该如何分析？
(2)数学模型的实质是什么？
预习自测
问题1：某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一番？(下列数据供参考：lg 2≈0.3010，lg 5.4≈0.7324，lg 5.5≈0.7404，lg 5.6≈0.7482)
合作探究
例1燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行
速度可以表示为函数v＝5log2Q
10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
例2 2008年5月12日，四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震．在随后的几天中，地震专家对汶川地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
注：地震强度是指地震时释放的能量．
(1)画出震级(y)随地震强度(x)变化的散点图．
(2)根据散点图，从下列函数中选取一个函数描述震级(y)随地震强度(x)的变化关系：y ＝kx＋b，y＝a lg x＋b，y＝a·10x＋b.
(3)四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震时释放的能量是多少？(取lg 2＝0.3)
【方法指导】通过观察图表，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机对数据进行处理，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题．
【小结】函数模型的选择一方面要分析题中的实际意义，另一方面要考虑函数本身的特点．
〖拓展问题〗为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y，现有连续10年的实测资料，如下表所示．
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度的图象．
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象．
方法总结
1．解决实际问题的解题过程：
(1)对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
(2)建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学中，我们建立的函数模型一般都是基本初等函数；
(3)求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点，正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解．
这些步骤用框图表示：
2．在把实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两个变量之间的联系．
3．利用数学模型反映原来问题中量与量之间的内在联系．在抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制．由于所建模型带有主观性，所以必须检验数学模型的解与实际数据的拟合程度．
课程反馈检测
1．某新产品电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()．
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100log2x＋100
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()．
A．一次函数B．二次函数
C．指数型函数D．对数型函数
3．某种动物的繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为y＝a log2(x＋1)，已知该动物第一年繁殖100只，则第15年会繁殖________只．
4．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步
降低？
(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
5．如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )．
6．已知每隔5年液晶电视的价格就降低1
3，现在价格为2700元的液晶电视，经过15
年的价格为( )．
A ．800
B ．760
C ．750
D ．810
7．有一批材料可围成200 m 长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成并排三个相邻且全等的矩形场地，所围成的矩形总面积的最大值是________．
8．某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少8
5
t 万件．
(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数．
(2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？
参考答案
预习导引
问题1：(1)一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓的建立数学模型．
(2)①建系：建立直角坐标系，画出散点图；
②初步选择函数模型：根据散点图设想比较接近的可能的函数模型．
例如：一次函数型、二次函数型、指数、对数函数型．
③择优函数模型：利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型．
(3)第一步：阅读理解，审清题意．
第二步：引进数学符号，建立数学模型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步：将所得结果再转译成具体问题的答案．
问题2：(1)把问题模型化，思考我们要研究的问题与我们学习过的知识有何关系，把实际问题转化为函数模型去研究，利用函数性质特点求解出数学问题，再转化为实际问题的解．
(2)数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，数学模型可采用各种形式，如方程(组)，函数解析式，图形与网络等．
预习自测
问题1：【解析】设经过x年后能使现有资金翻一番，则2000×(1＋8%)x＝4000，即1.08x ＝2.
两边取对数，有x＝
lg 2
lg 1.08＝
lg 2
lg
5.4
5
＝
lg 2
lg 5.4－（1－lg 2）≈
0.3010
0.7324－1＋0.3010≈9.01.
所以，经过10年后才能使现有资金翻一番．
合作探究
例1【解析】(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中的公式，得0＝5log2Q 10，
解得Q＝10(个单位)．
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q ＝80代入题中的公式得： v ＝5log 280
10
＝5log 28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 例2【解析】(1)散点图如图：
(2)根据散点图，宜选择函数y ＝a lg x ＋b .
解得：a ≈0.66，b ≈－7.76. ∴y ＝0.66lg x －7.76. 当y ＝8.0时，x ≈1024 J.
〖拓展问题〗【解析】(1)利用计算机几何画板软件，描点如图．
(2)从上图可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性模型：y ＝a ＋bx .取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，代入y ＝a ＋bx ，
用计算器可得a ≈2.4，b ≈1.8，
这样，我们得到一个函数模型：y ＝2.4＋1.8x ，画图略．
课程反馈检测
1．【解析】可将三组数据一一代入检验，发现y ＝50×2x 较吻合题中所给的数据． 【答案】C
2．【解析】对数型函数开始增长迅速，后来增长越来越慢，故选D. 【答案】D
3．【解析】由题意100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，将x ＝15代入，得y ＝400. 【答案】400
4．【解析】(1)y ＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9. 所以，当0≤x ≤13时，学生的接受能力逐步增强； 当13≤x ≤30时，学生的接受能力逐步下降． (2)当x ＝10时，y ＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59. 即第10分钟时，学生的接受能力为59. (3)当x ＝13时，y 取最大值．
所以，在第13分钟时，学生的接受能力最强．
5．【解析】开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢，与B 图象相吻合．
【答案】B
6．【解析】15年后的价格为2700×(1－13)3＝800.
【答案】A
7．【解析】设每个全等的小矩形宽为x ，则长为(200－3x )÷4＝50－34x ，∴S ＝3x (50－3
4x )
＝－94x 2＋150x ，∴x ＝1502×94
＝100
3
时，S max ＝2500(m 2)．
【答案】2500 m 2
8．【解析】(1)设每年销售是x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税金为y ＝250x ·t %.依题意，x ＝40－85t .所求的函数关系式为y ＝250(40－8
5
t )t %.
(2)依题意，250(40－8
5t )·t %≥600，即t 2－25t ＋150≤0，
∴10≤t ≤15，即税率应控制在10%～15%之间为宜．。