S_n和A_n的中心图
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Ｋ２ Ｋ１ Ｕ４ ．
定义 ２２ ［ 。 ，］ 若 盯 Ｓ ， ．（６ Ｐ ４ ） ∈ 仃已经表 示成 互 不相 交 的循 环 的乘 积 ， 盯的循 环类 型 被定 义成 则
２１ ０ １年 １ ２月 源自广西师 范学院学报 ： 自然 科 学 版
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｉＴ ａ ｈ ｒ ｄ ｃ ｔ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＧｕ ｎ ｘ ｅ ｃ ｅｓＥ ｕ ａｉ ｉｅ ｔ ｏ ｓ ｙ： ｔｒ ｌＳ ｉｎ ｅＥ ｔ ｄ ｏ
摘 要 ： Ｇ是一 个群 ， （ 是群 Ｇ的中心图 ． Ｚ Ｇ） 设 Ｇ） ｒ （ 的定义为顶点集 是群 Ｇ 的元 素 ， 对任意 Ｇ中的两个
不 同的元 素 ａ， ， ａ ｂ 若 ６∈ Ｚ（ ， ａ， Ｇ）则 ｂ相连 ， 中 ｚ（ 为 Ｇ 的中心 ． 其 Ｇ） 该文 主要研究 了 元 对称群 Ｓ 和 元交
研究领域 ． 例如环 的零 因子图（ 文献［ ］ ， １ ）半群 的零 因子图 （ 文献 ［ ］ ， ２ ）群的非交换 图（ 文献 ［ ］等等 ． ３）
这 些方 面 的研 究都 得 到 了很 多有趣 的结果 且 引发 了一 些新 的 问题 ， 富 了代 数 系统 与 图论 的研 究 ． 丰 ２ １ 年 Ｐ． ａ ｋｉ ｎｎ在 他 的文 章 中定 义 了群 的 中心 图 （ 献 ［ ］ ， 而研 究 了 中 心 图 的结 构 以 ０１ Ｂｌ ｒｈａ ａ ｓ 文 ４ ）进 及 它 的正 则性 、 正则 性且 说 明了一些 具 体群 的中心 图 ， 二面 体群 Ｄ 等 ． 双 如 本文 中， 图均 为 简单 图 ， 即为 不包 含 环和 重边 的图 ． 任 意 图 ｒ， 们 用 （ 表 示 其 所 有 顶 点 的 对 我 ｒ） 集合 ， ｒ） 示其 所 有边 的集 合 ． ｎ个顶 点 的完 全 图记 作 Ｋ 如果 图里 面 只 含有 一 些 孤 立点 ， Ｅ（ 表 把 ， 这样 的图我 们称 作 空 图 ， 含有 咒个 孤立 点 的 图记作 ｎ ． ｒ 把 Ｋ 若 和 ｒ 是 两个 图 ， ｒ 则 与 厂 的并 图记 为 ｒ Ｕｒ ， ：其顶 点 集 为 （ ） （ ， 集 为 Ｅ（ ＵＥ（１） ｍ 个 完 全 图 Ｋ 的并 记 作 ｍＫ 对 其 ｒ Ｕ ｒ ）边 厂） Ｉ ． ： ． 他 有关 图论 的术语 以及符 号请 读 者参 考 文献 ［］ ８． 设 Ｇ 是一 个 群 ， 的单位 元是 １ Ｇ 中元 素 的个 数 称 为 Ｇ 的阶 ， ０ Ｇ） 示 ， 中元 素 ｇ 的阶 被 它 ， 用 （ 表 Ｇ 定 义 为使 得 ｇ ＝１ 立 的最 小正 整数 ， 果这 样 的 不 存在 ， 称 ｇ是 无 限 阶的 ， ” 成 如 则 同时 元 素 ｇ的 阶记 作
错 群 Ａ 的 中心 图 ． 关键词 ： 中心 图 ； 称 群 ； 错 群 ； 环 对 交 循
中图分 类号 ： ５ ； ｌ ７ ５ Ｏ１２ Ｏ ５ ．
文献标识码 ： Ａ
１ 引 言
近 年来 ， 给 定 的代数 系 统赋 予一 种 图结 构 ， 而研究 代 数 系统 与 图结 构之 间 的关 系成 为 一个 新 的 对 进
Ｓ ＝ ｛１ ， １ ） （ ３ ，２ ） （ ２ ） （３ ） ， Ｓ ）＝ １ （ ） （２ ， １ ） （３ ， １ ３ ， １ ２ ｝Ｚ（ ３ ．
故 Ｓ 里 面 除 了单 位元 和 二 阶元外 只有两 个 三 阶 元 （２ ） （３ ） 于是 根 据 中心 图定 义 可 知 （ ，兰 １３ ， １２ ， Ｓ）
Ｏｇ ． （ ） 有关群论 的其他术语 以及符号请读者参考文献［ ］ ７．
‘
２ 定 义 及 引 理
定义 ２ １ ［ ， 义 ２ １ ） 设 （ ・是群 且这 个 群 的 中心为 Ｚ（ ， Ｇ 的 中心 图 （ 定 义 为点 ．（４ 定 ．］ Ｇ，） Ｇ）则 Ｇ）
集 （ （ ） Ｇ） ：Ｇ， 边集 Ｅ（ Ｚ Ｇ） ：｛ ～ｂ ａ ｂ ａ Ｇ） ． ｒ （ ） ａ ， Ｇ，ｂ Ｚ（ ｝ ｌ Ｅ Ｅ
明显地 ， Ｇ是交换群且 Ｏ Ｇ） ， 若 （ ＝ 由于 ｚ Ｇ） （ ＝Ｇ， 则有 ｒ （ 兰Ｋ ． Ｚ Ｇ）
根据 近世 代 数 的有关 知 识 可知 ， 一些 结 论是 明 显 的 ． 有 限群 Ｇ 里面 阶 大于 ２的元 素 是成 对 出现 如
收 稿 日期 ：０ １ １ ０ ２ １ —１ —２
Ｄ ｅ ２ １ ｅ．０ １
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ ４ １２ ．
第２ ８卷 第 ４期
文 章编 号 ：０ ２—８ ４ （０ １ ０ —０ １ １０ ７ ３ ２ １ ） ４ ０ ０—０ ４
Ｓ 和 Ａ 的 中 心 图
苏华东 马儇 龙 钟 国 刘原 ， ， ，
（． １ 广西师范学院 数学科学学院 ， 广西 南宁 ５ ０２ ； ３０ ３ ２ 重 庆理 工 大 学 数 学与 统计 学院 ， ． 重庆 ４０ ５ ） ０ ０４
作者简介 ： 华东 （９ ５ ， ， 苏 １７ 一） 男 广西 贵港市人 ， 讲师 ， 士 ， 硕 主要研 究方 向： 与环 的零 因子 图 ， 群 交换代 数 ．
第 ４期
苏华东 ， ： 和 Ａ 的 中心 图 等 Ｓ
・ １・ １
的， 阶小 于 ６的群均 是 交换 群 （ 实最小 阶的非 交换 群 是 Ｓ ） ． 其 ，等 又
基 金项 目： 国家 自然 科 学 基金 项 目（ １ ６ ０ ０ ， ０６ ００ ） 广 西 自然 科 学基 金 项 目（０ ０ ＮＳ Ｂ １ ０ ８ ２ １ １ １ １０ ６ １９ １０ ７ ； ２ １ＧＸ Ｆ ０ ３ ４ ，０ １ Ｇ Ｓ Ａ １ １９ ； ＸＮ Ｆ ０ ８ ３ ） 广西教育厅基金 项 目（０ ９ １ Ｘ ７ ） ２ ０ １ Ｌ ２ ５
定义 ２２ ［ 。 ，］ 若 盯 Ｓ ， ．（６ Ｐ ４ ） ∈ 仃已经表 示成 互 不相 交 的循 环 的乘 积 ， 盯的循 环类 型 被定 义成 则
２１ ０ １年 １ ２月 源自广西师 范学院学报 ： 自然 科 学 版
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｉＴ ａ ｈ ｒ ｄ ｃ ｔ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＧｕ ｎ ｘ ｅ ｃ ｅｓＥ ｕ ａｉ ｉｅ ｔ ｏ ｓ ｙ： ｔｒ ｌＳ ｉｎ ｅＥ ｔ ｄ ｏ
摘 要 ： Ｇ是一 个群 ， （ 是群 Ｇ的中心图 ． Ｚ Ｇ） 设 Ｇ） ｒ （ 的定义为顶点集 是群 Ｇ 的元 素 ， 对任意 Ｇ中的两个
不 同的元 素 ａ， ， ａ ｂ 若 ６∈ Ｚ（ ， ａ， Ｇ）则 ｂ相连 ， 中 ｚ（ 为 Ｇ 的中心 ． 其 Ｇ） 该文 主要研究 了 元 对称群 Ｓ 和 元交
研究领域 ． 例如环 的零 因子图（ 文献［ ］ ， １ ）半群 的零 因子图 （ 文献 ［ ］ ， ２ ）群的非交换 图（ 文献 ［ ］等等 ． ３）
这 些方 面 的研 究都 得 到 了很 多有趣 的结果 且 引发 了一 些新 的 问题 ， 富 了代 数 系统 与 图论 的研 究 ． 丰 ２ １ 年 Ｐ． ａ ｋｉ ｎｎ在 他 的文 章 中定 义 了群 的 中心 图 （ 献 ［ ］ ， 而研 究 了 中 心 图 的结 构 以 ０１ Ｂｌ ｒｈａ ａ ｓ 文 ４ ）进 及 它 的正 则性 、 正则 性且 说 明了一些 具 体群 的中心 图 ， 二面 体群 Ｄ 等 ． 双 如 本文 中， 图均 为 简单 图 ， 即为 不包 含 环和 重边 的图 ． 任 意 图 ｒ， 们 用 （ 表 示 其 所 有 顶 点 的 对 我 ｒ） 集合 ， ｒ） 示其 所 有边 的集 合 ． ｎ个顶 点 的完 全 图记 作 Ｋ 如果 图里 面 只 含有 一 些 孤 立点 ， Ｅ（ 表 把 ， 这样 的图我 们称 作 空 图 ， 含有 咒个 孤立 点 的 图记作 ｎ ． ｒ 把 Ｋ 若 和 ｒ 是 两个 图 ， ｒ 则 与 厂 的并 图记 为 ｒ Ｕｒ ， ：其顶 点 集 为 （ ） （ ， 集 为 Ｅ（ ＵＥ（１） ｍ 个 完 全 图 Ｋ 的并 记 作 ｍＫ 对 其 ｒ Ｕ ｒ ）边 厂） Ｉ ． ： ． 他 有关 图论 的术语 以及符 号请 读 者参 考 文献 ［］ ８． 设 Ｇ 是一 个 群 ， 的单位 元是 １ Ｇ 中元 素 的个 数 称 为 Ｇ 的阶 ， ０ Ｇ） 示 ， 中元 素 ｇ 的阶 被 它 ， 用 （ 表 Ｇ 定 义 为使 得 ｇ ＝１ 立 的最 小正 整数 ， 果这 样 的 不 存在 ， 称 ｇ是 无 限 阶的 ， ” 成 如 则 同时 元 素 ｇ的 阶记 作
错 群 Ａ 的 中心 图 ． 关键词 ： 中心 图 ； 称 群 ； 错 群 ； 环 对 交 循
中图分 类号 ： ５ ； ｌ ７ ５ Ｏ１２ Ｏ ５ ．
文献标识码 ： Ａ
１ 引 言
近 年来 ， 给 定 的代数 系 统赋 予一 种 图结 构 ， 而研究 代 数 系统 与 图结 构之 间 的关 系成 为 一个 新 的 对 进
Ｓ ＝ ｛１ ， １ ） （ ３ ，２ ） （ ２ ） （３ ） ， Ｓ ）＝ １ （ ） （２ ， １ ） （３ ， １ ３ ， １ ２ ｝Ｚ（ ３ ．
故 Ｓ 里 面 除 了单 位元 和 二 阶元外 只有两 个 三 阶 元 （２ ） （３ ） 于是 根 据 中心 图定 义 可 知 （ ，兰 １３ ， １２ ， Ｓ）
Ｏｇ ． （ ） 有关群论 的其他术语 以及符号请读者参考文献［ ］ ７．
‘
２ 定 义 及 引 理
定义 ２ １ ［ ， 义 ２ １ ） 设 （ ・是群 且这 个 群 的 中心为 Ｚ（ ， Ｇ 的 中心 图 （ 定 义 为点 ．（４ 定 ．］ Ｇ，） Ｇ）则 Ｇ）
集 （ （ ） Ｇ） ：Ｇ， 边集 Ｅ（ Ｚ Ｇ） ：｛ ～ｂ ａ ｂ ａ Ｇ） ． ｒ （ ） ａ ， Ｇ，ｂ Ｚ（ ｝ ｌ Ｅ Ｅ
明显地 ， Ｇ是交换群且 Ｏ Ｇ） ， 若 （ ＝ 由于 ｚ Ｇ） （ ＝Ｇ， 则有 ｒ （ 兰Ｋ ． Ｚ Ｇ）
根据 近世 代 数 的有关 知 识 可知 ， 一些 结 论是 明 显 的 ． 有 限群 Ｇ 里面 阶 大于 ２的元 素 是成 对 出现 如
收 稿 日期 ：０ １ １ ０ ２ １ —１ —２
Ｄ ｅ ２ １ ｅ．０ １
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ ４ １２ ．
第２ ８卷 第 ４期
文 章编 号 ：０ ２—８ ４ （０ １ ０ —０ １ １０ ７ ３ ２ １ ） ４ ０ ０—０ ４
Ｓ 和 Ａ 的 中 心 图
苏华东 马儇 龙 钟 国 刘原 ， ， ，
（． １ 广西师范学院 数学科学学院 ， 广西 南宁 ５ ０２ ； ３０ ３ ２ 重 庆理 工 大 学 数 学与 统计 学院 ， ． 重庆 ４０ ５ ） ０ ０４
作者简介 ： 华东 （９ ５ ， ， 苏 １７ 一） 男 广西 贵港市人 ， 讲师 ， 士 ， 硕 主要研 究方 向： 与环 的零 因子 图 ， 群 交换代 数 ．
第 ４期
苏华东 ， ： 和 Ａ 的 中心 图 等 Ｓ
・ １・ １
的， 阶小 于 ６的群均 是 交换 群 （ 实最小 阶的非 交换 群 是 Ｓ ） ． 其 ，等 又
基 金项 目： 国家 自然 科 学 基金 项 目（ １ ６ ０ ０ ， ０６ ００ ） 广 西 自然 科 学基 金 项 目（０ ０ ＮＳ Ｂ １ ０ ８ ２ １ １ １ １０ ６ １９ １０ ７ ； ２ １ＧＸ Ｆ ０ ３ ４ ，０ １ Ｇ Ｓ Ａ １ １９ ； ＸＮ Ｆ ０ ８ ３ ） 广西教育厅基金 项 目（０ ９ １ Ｘ ７ ） ２ ０ １ Ｌ ２ ５