广东省高考数学二轮专题复习 专题4 第22课时 空间角的求法课件 理 新人教

解 析 1 证 明 ： 因 为 平 面 ABC D 平 面 AD Q P，
PA AD， 所以PA 平面ABCD. 又 DQ 平 面 ABCD， 所以PA DQ. 而 已 知 PQ DQ， PA 平 面 PAQ， PQ 平 面 PAQ， 且 PA PQ P， 所以DQ 平面PAQ. 而 AQ 平 面 PAQ， 所以DQ AQ.
因
为
ABC
D
A1
B
1
C
1
D
是
1
直
四
棱
柱
，
所 以 平 面 A B C D 平 面 D D1C1C，
所 以 B Q 平 面 D D1C1C，
所
以
D
1Q
是
B
D
在
1
平
面
D
D
1C
1C
上
的
射
影
，
所 以 B D1Q为 所 求 的 角 ．
在 R t B D1Q中 ， B Q 1 ， D1Q 5，
所 以 tan B D1Q
如果图形中有过一点的三线互相垂直的情 况，可以考虑建立空间直角坐标系，求两直线 所在的向量的夹角，就可得到异面直线所成的 角．向量方法的优势在于不需要添加辅助线、 辅助面，只需按程序化过程求解即可．
变 式 1(改 编 题 )如 图 ， 已 知 四 棱 锥 PABCD的 底 面 ABCD 为 等 腰 梯 形 ， AB DC， ACBD， AC与 BD相 交 于 点 O， 且 顶 点 P在 底 面 上 的 射 影 恰 为 O点 ， 又 BO2， PO 2， PBPD.求 异 面 直 线 PD与 BC所 成 角 的 余 弦 值 ．
因为四边形ABCD是等腰梯形， 所以OC OD 1，OB OA 2，OA OB， 所以BC 5，AB 2 2，CD 2. 又AB DC，所以四边形EBCD是平行四边形． 所以ED BC 5，BE CD 2， 所以E是AB的中点，且AE 2.
又PA PB 6，所以 PEA为直角三角形，
BQ D1Q
5. 5
考点3 面面角的计算
例 3 如 图 ， 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， PB 平 面 ABCD， M A PB， PB AB 2M A.
1 证 明 ： A C 平 面 P M D ； 2求 直 线 BD与 平 面 PCD所
成的角的大小；
3求 平 面 PM D与 平 面 ABC D
PQ是其交线． 连接BD交AQ于E，过点E作EFPQ于F，则 EF平面PDQ.
连 接 DF， 所 以 EDF 就 是 BD与 平 面 PDQ所 成 的 角 ． 由 已 知 得 A Q 2， P Q 2， 所 以 PAQ为 等 腰 直 角 三 角 形 ．
所 以 EF 1 ， ED 10 ，
2
2
2
所以EO MA，且EO MA.
所以四边形MAOE是平行四边形，所以ME AC. 又因为AC 平面PMD，ME 平面PMD， 所以AC 平面PMD.
2如图，PB平面ABCD，CD平面ABCD，
所以CDPB. 又因为CDBC，PB BCB，所以CD平面PBC. 因为CD平面PCD，所以平面PBC平面PCD. 过B作BF PC于F，则BF 平面PDC，连接DF， 则DF为BD在平面PCD上的射影．
所以PE PA2 AE2 6 2 2. 在 PED中，由余弦定理得
cosPDE PD2 DE2 PE2 3 5 4 2 15 .
2PD DE
2 3 5 15
故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为2 15 . 15
考点2 线面角的计算
例 2如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD中 ， ADBC， BCCD， ABC45， 直 角 梯 形 ABCD与 矩 形 ADQP所 在 平 面 垂 直 ． 将 矩 形 ADQP沿 PD对 折 ， 使 得 翻 折 后 点 Q落 在 BC 上 ， 设 CD1.
所 成 的 二 面 角 (锐 角 )的 正 切 值 ．
切 入 点 ： 此 题 包 含 线 面 平 行 的 证 明 与 两 种 角 度 的 计 算 ， 且 两 种 角 度 的 计 算 都 可 以 用 几 何 法 与 向 量 法 解 决 ．
解析 1证明：如图，取PD的中点E，连接EO，EM.
因为EO PB，EO 1 PB，MA PB，MA 1 PB，
(1) 利 用 平 行 四 边 形 证 明 线 线 平 行 ， 再 利 用判定定理证明线面平行；(2)利用线面角的 定义通过线面垂直找线面角，再利用解直角三 角形求角度，或用空间向量；(3)利用二面角 的定义，先找交线再找面内的垂线，找到平面 角后再通过解直角三角形求平面角的正切值， 也可用空间向量．
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/172022/1/172022/1/171/17/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/172022/1/17January 17, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/172022/1/172022/1/172022/1/17
所以BC ( 2，0,0)，AC1 ( 2， 2，2)，
所以cos
BC, AC1
=
BC AC1 BC AC1
=
2 22
= 1， 22
所以向量
BC与
AC1所成的角为
3
，
即异面直线AC1与BC所成的角的大小为
3
.
线线角包括相交直线所成的角及异面直线 所成的角．相交直线所成的角通常用平面几何 方法或解三角形来求解；异面直线所成的角， 转化为相交直线所成的角，这种转化是通过平 移直线来实现的．一般来说，将两条异面直线 中的一条或两条平移到特殊点(端点、中点等) 处相交，然后构造三角形，求出该角的某一三 角函数值即可．
线 所 成 的 角 ， 这 里 BC//B1C1， 所 以 B1C1A或 其 补 角 就 是 异 面 直 线 AC1与 BC所 成 的 角 ．
解析 1证明：因为CC1 平面ABC，AB平面ABC，
所以CC1 AB. 又因为CD平面ABC1，且AB平面ABC1， 所以CD AB. 又CC1 CDC， 所以AB平面BCC1B1
2方 法1： 几 何 法
因
为
B
C
//B1C
，
1
所 以 B1C1 A或 其 补 角 就 是 异 面 直
线
A
C
与
1
B
C
所
成
的
角
．
连 接 AB1.
由 1知 AB BC .
又 A C 2， 所 以 A B B C 2，
所
以
A
B
2 1
A
A
2 1
A1
B
2 1
22
(
2 )2 6.
在
R
t
A
C
C
中
1
，
A
而 M A A N A， 所 以 D G 平 面 M A N ， 所以MN DG. 所 以 M NA是 平 面 PM D与 平 面 ABCD所 成 的 二 面 角 的 平 面 角(锐 角)．
在 Rt MAN中 ， tanMNA MA 2 . NA 2
所以平面PM
D与平面ABCD所成的二面角的正切值是 2 . 2
所 以 BDF 是 直 线 BD与 平 面 PDC 所 成 的 角 ． 不 妨 设 AB 2， 则 在 Rt PBC中 ，
PB BC 2， BF PC， 所 以 BF 1 PC 2. 2
因 为 B D 2 2， 所 以 在 R t B F D中 ， B F 1 B D， 2
所以BDF . 6
是 直 四 棱 柱 ， 所 以 DD1 平 面 ABCD， 所 以 BC DD1. 又 由 AB AD 1， DD1 CD 2， 可知BC BD.
因 为 DD1 BD D， 所 以 BC 平 面 BD1D， 所 以 BC BD1.
设 C D1的 中 点 为 P， 则 P是 直 角 三 角 形 BD1C 和 直 角 三 角 形 D D1C的 公 共 斜边的中点，
C
2 1
AC 2
C
C
2 1
22
22
8.Leabharlann 在AB1C
中
1
，
由
余
弦
定
理
知
co s B1C1 A
B
1C
2 1
A
C
2 1
A
B
2 1
2 B1C1 A C1
2 2 8 6 1 ， 2 22 2 2
所
以
B1C 1 A
3
.
即
异
面
直
线
A
C
与
1
B
C
所
成
的
角
的
大
小
为
3
.
方 法 2： 向量 法
由 1知 AB BC，
专题四 立体几何
考点1 线线角的计算
例1
直
三
棱
柱
ABC
A1
B
1
C
中
1
，
CC1 CA 2， AB BC， D是
B C1上 一 点 ， 且 C D 平 面 A B C1.
1 求
证
：
AB
平
面
B
C
C
1
B
；
1
2
求
异
面
直
线
A
C
与
1
B
C
所
成
角
的大小．
切 入 点 ： 将 异 面 直 线 所 成 的 角 转 化 为 相 交 直
2 设 CQ x， AD y.
因 为 AQ DQ， 所 在 Rt AQD中 ，
y2 DQ2 AQ2 x2 1 y x2 1，
所以y x 1 2，当且仅当x 1时取等号． x
所 以 AD长 度 的 最 小 值 为2， 此 时 CQ 1.
3由DQ平面PAQ，知平面PDQ平面PAQ，
1求 证 ： AQDQ； 2求 线 段 AD长 度 的 最 小 值 ， 并 指 出 此 时 点 Q的 位 置 ； 3当 AD长 度 最 小 时 ， 求 直 线 BD与 平 面 PDQ所 成 的 角
的 正 弦 值 ．
切 入 点 ：
1根 据 线 面 垂 直 有 关 定 理 证 明 ； 2利 用 勾 股 定 理 构 造 函 数 ， 再 利 用 基 本 不 等 式 ．
所 以 PB PC PD1 PD， 所 以 点 P是 三 棱 锥 C BD1D的 外 接 球 的 球 心 ， 从 而 C D1是 直 径 ．
2 设 C D的 中 点 为 Q， 连 接 B Q， D1Q， 则 有 B Q //A D .
又 AB AD， AB //C D， 所 以 BQ C D.
又 AC 2， 所以AB BC 2. 于 是 ， 可 以 以 B为 原 点 ， 分 别 以 B C、 B A、 B B1所 在 直 线 为 x、 y、 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则有关点的坐标如下：
B 0, 0, 0 ， C ( 2，0, 0)， A(0， 2，0)， C1 ( 2，0, 2 )，
2
所 以 sin ED F EF 10 . ED 10
新课程标准强调立体几何的学习要经历直 观感知—动手操作—思维确认的学习过程．折 叠问题无疑是很好的载体，翻折过程中的动点 的变化与翻折前后的定图中的不变量的内在联 系的探究是折叠问题的关键，评讲时不妨也回 归到折纸活动中去进一步增加学生对感知结果 的认同感，体验操作也是解决问题的一种方法， 尤其是三棱锥的等体积法的使用．
解 析 因 为 PO 平 面 ABCD， 所 以 PO BO. 又 P B P D， B O 2， P O 2， 由 平 面 几 何 知 识 得 O D 1 ， P D 3，
PB 6. 过 D作 DE BC交 AB于 E， 连 接 PE， 则 PDE或 其 补 角 为 异 面 直 线 PD与 BC所 成 的 角 ．
所以直线BD与平面PCD所成的角是 . 6
3 如 图 ， 分 别 延 长 PM ， BA， 设 PM BA G，
连 接 DG， 则 平 面 PMD 平 面 ABCD DG. 不 妨 设 AB 2， 因 为 M A PB， PB 2M A， 所 以 GA AB 2. 过 A作 AN DG于 N， 连 接 M N . 因 为 PB 平 面 ABCD， 所 以 M A 平 面 ABCD， 所以MA DG.
变式2(改编题)如图所示，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AB//CD，AB AD 1，DD1 CD 2，AB AD.
1求证：线段CD1是三棱锥C BD1
D的外接球的直径；
2求BD1与平面DD1C1C所成角的正
切值．
解 析 1 证 明 ： 因 为 ABC D A1B1C1D1