乘法公式(基础)知识讲解

乘法公式（基础）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
要点一、平方差公式
平方差公式：22
()()a b a b a b +-=-
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-
（3）指数变化：如3232()()m n m n +-
（4）符号变化：如()()a b a b ---
（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+
（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++
要点二、完全平方公式
完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
()2222a b a b ab +=+-()2
2a b ab =-+ ()()22
4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式
2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2
233()()a b a ab b a b ±+=±； 33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．
(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++；
(3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-；
(5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．
举一反三：
【变式】计算：（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+-
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
； （2）(2)(2)x x -+--； （3）(32)(23)x y y x ---．
2、计算：
(1)59.9×60.1； (2)102×98．
举一反三：
【变式】（莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：
（1）1232﹣124×122 （2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）
类型二、完全平方公式的应用
3、计算：
(1)()23a b +； (2)()232a -+； (3)()22x y -； (4)()2
23x y --．
4、（吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．
（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．
（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；
（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．
5、已知7a b +=，ab ＝12．求下列各式的值：
(1) 22a ab b -+；(2) 2
()a b -．
举一反三：
【变式】已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22a b +和ab 的值．
【巩固练习】
一.选择题
1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A.))((n m n m +--
B.()()3333x y x y -+
C.))((b a b a ---
D.()()2222c d d c -+
2．若x y +＝6，x y -＝5，则22x y -等于( )．
A.11
B.15
C.30
D.60
3．下列计算正确的是( )．
A.()()55m m -+＝225m -
B. ()()1313m m -+＝213m -
C.()()24343916n n n ---+=-+
D.( 2ab n -)(2ab n +)＝224ab n -
4．下列多项式不是完全平方式的是( )．
A.244x x --
B.m m ++241
C.2296a ab b ++
D.24129t t ++
5．（重庆校级期中）已知关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m 的值为（
）
A ．10
B ．±10
C ．﹣20
D ．±20
6．下列等式不能恒成立的是( )．
A.()222396x y x xy y -=-+
B.()()22a b c c a b +-=--
C.22241)21(n mn m n m +-=-
D.()()()2
244x y x y x y x y -+-=-
二.填空题
7．若2216x ax ++是一个完全平方式，则a ＝______．
8. 若2294x y +＝()232x y M ++,则M ＝______．
9. 若x y +＝3，xy ＝1，则22x y +＝_______.
10.（陕西校级期末）（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）= ．
11. ()2
5(2)(2)21x x x -+--=___________.
12.若()212x -=，则代数式225x x -+的值为________.
三.解答题
13.（兴平市期中）用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．
（1）69×71； （2）992．
14.先化简，再求值：22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+a a a a ，其中3=a ．
15.已知：22
25,7x y x y +=+=，且,x y >求x y -的值.。