概率论习题册答案地质大学武汉

概率论习题册答案
第一章 随机事件及其概率
§1.1 样本空间与随机事件
一、
计算下列各题
1.写出下列随机实验样本空间：
(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；
(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；
(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；
(4) 有C B A ,,三只盒子，c b a ,,三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；
(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

解 1（1）}18,,5,4,3{ ； （2）}10,,5,4,3{ ；
（3）},,,,,,{RW B
W B RB RW B W R ；其中B W R ,,分别表示红色，白色和蓝色； （4）{,,;,,;,,;,,;,,,,,}Aa Bb Cc Aa Bc Cb Ab Ba Cc Ab Bc Ca Ac Bb Ca Ac Ba Cb 其中Aa 表示a 求放在盒子A 中，可类推；
（5）}1,0,0,0|),,{(=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示三段之长。

2. 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,运算关系表示下列事件：
（1）A 发生,B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生, 而C 不发生； （3）C B A ,,均发生； （4）C B A ,,至少一个不发生； （5）C B A ,,都不发生； （6）C B A ,,最多一个发生； （7）C B A ,,中不多于二个发生； （8）C B A ,,中至少二个发生。

解 （1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）A B C ++；（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A C B A +++；（7）ABC ；（8）BC AC AB ++
3．下面各式说明什么包含关系？
(1) A AB = ； (2) A B A =+； (3) A C B A =++ 解 （1）B A ⊂； （2）B A ⊃； （3）C B A +⊃
4. 设}7,6,5{ },5,4,3{ },4,3,2{A },10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{====ΩC B 具体写出下列各事件： (1) B A ， (2) B A +， (3) B A ， (4) BC A ， (5))(C B A +. 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；
(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。

5．如下图，令i A 表示“第i 个开关闭合”, 6,5,4,3,2,1=i ，试用621, , ,A A A 表示下列事件，（1）系统Ⅰ为通路，（2）系统Ⅱ为通路。

系统Ⅰ 系统 Ⅱ
1 5
2
3 1 2 3
4 1L 4 1R 2L 6 2R
解 (1) 4321A A A A ++ (2) 526436432151A A A A A A A A A A A A +++。

§1.2 事件的频率与概率
一．填空题
1．设事件B A ,的概率分别为0.5，0.6，且互不相容，则积事件AB 的概率=)(AB P 0 ； 2．设随机事件B A ,及其和事件B A +的概率分别是0.4、0.3和0.6，若B 表示B 对立事件，那么积事件B A 的概率=)(B A P 0.3 ；
3. 已知P (A )=0.4, P(B )=0.3,
(1) 当A ,B 互不相容时, P (A+B )== 0.7; P(AB )= 0 . (2) 当B +A 时, P(A+B )== 0.4 ; P (AB )= 0.3 ； 4. 若γ=β=α=)(,)(,)(AB P B P A P ,=+)(B A P 1g -;=)(B A P b g -;
)(B A P +=
1αγ
-+。

二、选择题
1. 若二事件A 和B 同时出现的概率P(AB )=0则（C ） （A ）A 和B 不相容； （B ）AB 是不可能事件； （C ）AB 未必是不可能事件； （D ）P(A )=0或P(B )=0.
2. 对于任意二事件A 和B 有=-)(B A P (C ) (A) )()(B P A P -; （B ）)()()(AB P B P A P +-; （C ）)()(AB P A P -; （D ）)()()()(B A P B P B P A P -++.
3. 设A , B 是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D ） (A) B A 与不相容; (B)B A 与相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A).
4. 当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生则（B ）
()()()()1;()()()()1;
()()(); ()()().
A P C P A P
B B P
C P A P B C P C P AB
D P C P A B ≤+-≥+-==+
三、计算下列各题
1. 已知16
1
)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，求事件C B A ,,全不发生的概率。

83
81431)]()()()()()()([1 )
(1)()(=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+---++-=++-=++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 解
2 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。

解 报纸分别表示读甲，乙，丙，，设C B A
35
.002.004.005.008.014.016.02.0)()()()()()()()
(=+---++=+---++=++ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P
3. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？
解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70
即该学生这门课结业的可能性为70%。

4. 向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余二个各为0.1. 只要炸中一个，另两个也要爆炸. 求军火库发生爆炸的概率。

解 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D 表示军火库爆炸这个事件，则
P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.
四、证明题
试证）（）（）（）（AB P B P A P B A B A P 2-+=+.
证)()()()() A B P B A P B A B A P B A P B A P B A B A P -+-=-+=+（）（ )(2)()()()()()( AB P B P A P AB P B P AB P A P -+=-+-= 。

§1.3 古典概型与几何概型
一、填空题
1．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为
12
1
； 2．一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概
率是 n N m n M n m M C C C /-- ；
3．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 ；
4．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于
5
6
”的概率为 0.68 ； 5. 将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 1/1260 ；
6.在区间()0,1中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为34。

二、选择题
1. 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是
（B ）
(A) k n C m ; (B) k n k m n C C --1; (C) k
n
k m
n m C C C 1
1-- ; (D) ∑=k
r k n r
m
C C 1. 2. 掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是（B ）
1113
; () ; () ; ().3244
A
B C D （） 三、计算下列各题
1．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。

解 （1） ;45
28
210281=
=C C p 45
1)2(210222==C C p
.454445111 (4) ;4516)
3(242
10
12183=-=-===p p C C C p 2. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。

解 .42
1
!10!5!6=⨯=
p 所求概率
3. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？
解 ;7171)
1(8
81⎪⎭
⎫
⎝⎛==p
;7676)
2(8882⎪⎭
⎫
⎝⎛==p 8
3811(3)
1177p ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭。

4．从0 ~ 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求： （1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率p ； （2）取的至少有3个电话号码相同的概率q 。

解 432.010)
1(4
2
92
4110==
A C C p ；
1311104910
4
(2)0.03710
C C A C q +==
5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批,检查产品质量时,在每一批任取一半来检查,如果发现次品不多于一个,则这批产品可以认为是合格的.,求一批产品被认为是合格的概率p 。

解 ,5100 个次品个产品中有可以认为一批
505149
100955955149
95595
50
100
, C C C C C C C p C ==++=基本事件总数有利的基本事件数所求概率 。

6. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率p （2）3名优秀生在同一个班的概率q 。

解 基本事件总数有
！
！！！
5 5 515种 (1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为！！！！4 4 412种, 所以共有！
！！！！4 4 412 3种分法. 所以 p =91255 5 5154 4 4
12 3=！
！！！！！！！！. (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中
分法总数为！！！！5 5 212, 共有！
！！！5 5 2123⨯种, 所以 q =9165 5 5155 5 2
123=⨯！
！！！！！！！。

7. 随机的向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点连线与X 轴的夹角小于
4
π
的概率。

解 这是几何概型, 样本空间占有面积为2 2
1
a π,
所求事件占有面积为222
1
41a a +π
所以, 所求概率πππ121 2
121
4
122
2+=+=a a a p 。

8. 设点),(q p 随机地落在平面区域D: |p |≤1, |q |≤1上, 试求一元二次方程
02=++q px x 两个根 (1) 都是实数的概率, (2) 都是正数的概率。

.
24
13
4)141( ,4
1 ,04 )1( 1
12
2
2=+=≤
≥-⇔⎰-dp p p q q p 率方程两根都是实数的概即方程两根都是实数解 .
48
1441 ,0 ,0 ,04 )2(012
2==><≥-⇔⎰-dp p q p q p 率方程两根都是正数的概方程两根都是正数
§1.4 条件概率
三、计算下列各题
1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率。

解 “任取一件是一等品，“任取一件是合格品”令==B A 72.075.0)04.01()|()()(=⨯-==A B P A P AB P 。

2. 设某种动物由出生而活到20岁的概率为 0.8，活到25岁的概率为0.4，求年龄为20 岁的这种动物活到25岁的概率。

解 岁”“该动物活到岁”，“该动物活到设2520==B A 5.08
.04
.0)()()|(===
A P A
B P A B P 。

3. 在100个次品中有10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率。

解 i A =“第i 次取到正品” i =1，2，3，4.
00069.09790
98899910010)
|()|()|()()(32142131214321=⨯⨯⨯=
=A A A A P A A A P A A P A P A A A A P
4. 比赛规定5局比赛中先胜3局为胜，设甲、乙两人在每局中获胜的概率分别为0.6
和0.4，若比赛进行了两局，甲以2︰0领先，求最终甲为胜利者的概率。

解 设 B =“最终甲胜”，A i =“第i 局甲胜”
936
.06.04
.06.04.06.06.0 )
()()
()()()()()|(22
3
3
3
21543214321321212121=⨯+⨯+=++=
=A P A P A A A P A A A P A A A P A A P A BA P A A B P
四、证明题
1. 若0)(,0)(>>B P A P ，且)()|(A P B A P >证明)()|(B P A B P >。

证 )()()()()
()( ),()|( B P A P AB P A P B P AB P A P B A P >⇒>>则
因为 )()
()
()()()()|( B P A P B P A P A P AB P A B P =>=
所以 。

2. 证明事件A 与B 互不相容，且0<)(B P <1,则）
（）
（）（B P A P B A P -=1|。

证 )(1)
()
()()|B P A P B P B A P B A P -=
=
（。

§1.5 全概率公式和贝叶斯公式
三、 计算下列各题
1. 三个箱子, 第一个箱子里有4个黑球1个白球, 第二个箱子里有3个黑球3个白球, 第三个箱子里有3个黑球5个白球, 求（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子取出一球为白球的概率; （2）已知取出的一个球为白球, 此球属于第二个箱子的概率。

解 i A =“在第i 箱取球” i =1，2，3，B =“取出一球为白球”
3
1
11131553
(1)()()(|)353638120i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=
∑ 22211()(|)20
32(2)(|)53()53120
P A P B A P A B P B ⨯
===
2. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率。

解 设A =｛取得的产品为正品｝， 3,2,1,=i B i 分别为甲、乙、丙三厂的产品
)(1B P =5.0 ，)(2B P =3.0，)(3B P =2.0， 9. 0)|(1=B A P ，7.0)|(, 8. 0)|(32==B A P B A P
所以 ()()∑===3
1
i i i B A P B P A P ）
（0.83。

3. 一群人中有37.5 %的为A 型血型，20.9 %为B 型，7.9 %为 AB 型，33.7 %为 O 型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选一人为需要输血者，问输血者能成功的概率是多少？
解 设A =｛输血成功｝ ,1,2,3,4i B i =分别表示O AB B A ,,,型血型
则1()0.375P B = 2()0.209P B = 3()0.079P B = 4()0.337P B =
114(|) ()()0.712P A B P B P B =+=
同理可求出 234(|)0.288 (|)0.663 (|)1P A B P A B P A B ===，，
则 ()()
4
1
i
i
i P
A P
B P AB ==?å（）0.717。

4. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解 B =｛从人群中任取一人是男性｝， A =｛色盲患者｝
因为 ()
5.0==B P B P ）（ %25.0 )|( %5 )|(==B A P B A P ， 02625.00025.05.005.05.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P 所以 21
20
02625.005.05.0)()|()( )|(=⨯==
A P
B A P B P A B P 。

5. 某一工厂有C B A ,,三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是C B A ,,车间生产的概率。

解 C B A 、、分别表示C B A 、、三车间生产的螺钉，D =“表示次品螺钉”
%25=）（A P %35=）（B P %45=）（C P
%5|=）（A D P %4|=）（B D P %2|=）（C D P
()()()()
D P A D P A P D A P =
=
()()
()()()()()()
C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P ++=
69
25240435525525=⨯+⨯+⨯⨯
同理 ）（D B P |=6928 ； ）（D C P |=69
16。

6. 某高校甲系二年级一、二、三班学生人数分别为16人，25人和25人，其中参加义务献血的人数分别为12人，15人和20人，从这三个班中随机地抽取一个班，再从该班学生中任取2人.（1）求第一次取的是已献血的学生的概率p . （2）如果第二次抽到的是未参加献血的学生，求第一次取的是已献血的学生的概率q .
,
2,1 ,"" ,3,2,1 ,"" ====j j B i i A j i 次抽到未献血的第班的抽取的学生是设解 ,
5
1
)|( ,52)|( ,41)|( .3,2,1 ,31)( 312111=====A B P A B P A B P i A P i 则
,6
12452520)|( ,4124102515)|( ,
51
1541612)|( ,51)|( ,52)|( ,41)|( )2(.
6043
)545343(31)|()()( )1(3212211213222123
1
1=⨯==⨯==⨯=====++===∑=A B B P A B B P A B B P A B P A B P A B P A B P A P B P p i i i i
3
12121
111137
()()(|)().3546180i i i P B B P A P B B A ===++=∑
.60
17)515241(31)|()()( 3
122=++=
=∑=i i i A B P A P B P 所以 12122()37(|)()51
P B B q P B B P B ==
=。

§1.6 事件的独立性
三、计算下列各题
1. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率。

解 A 表示一个灯泡使用时数在1000小时以上
2.0=）（A P
P ｛三灯泡中最多有一个坏｝=P ｛三个全好｝+P ｛只有一个坏｝
= 33C (0.2)3+2
3C (0.2)2(1–0.2)=0.104。

2. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为81
80
, 求该射手的命中率。

解 4
4480121( 0 11), (1)8133P p p p ⎛⎫=-=---=⇒= ⎪⎝⎭
命中次）（。

3. 某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为0.6，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮？
解 设需要配置n 门高射炮
A =“高炮击中飞机”
， 则 6.0=）（A P P ｛飞机被击中｝=P ｛n 门高射炮中至少有一门击中｝
=1–P ｛n 门高射炮全不命中｝ %994.01|)|1(1≥-=--n n A P ⇒01.04.0≤n ⇒02654
0lg 01
0lg ⋅=⋅⋅≥n 至少配备6门炮。

4. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率。

解 设A =｛目标一次射击中被击毁｝i B =｛目标被击中的发数｝，（=i 0，1，2，3，）
则28.05.07.08.0)(0=⨯⨯=B P
)(1B P =0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47 )(2B P =0.2×0.3×0.5+0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5=0.22 )(3B P =0.2×0.3×0.5=0.03
2.0)|( 0)|(10==B A P B A P 9.0)|( 6. 0)|(32==B A P B A P
所以 ()()∑===3
)(i i i B A P B P A P 0.47×0.2+0.2×0.6+0.03×0.9=0.253。

5. . 掷一枚均匀硬币，直到出现3次正面朝上为止，若正好在第6次后停止，求第5次也正面朝上的概率.
解 A =“正好在第6次后停止”，B =“第5次也正面朝上”.
4.02
1)21()21(2121)21(21)
()()|(322531
4=⨯
⨯⨯⨯
⨯⨯⨯
=
=C C A P AB P A B P 四、证明题
设)|()|(, ,10,,A B P A B P A B A =证明和的概率不等于其中是任意二事件是事件B A 与独立的充分必要条件。

证 ，和的概率不等于所以和的概率不等于因为10,10A A
()()
(|)(|)
()()
[1()]()()[()()] ()()(),P AB P AB P B A P B A P A P A P A P AB P A P B P AB P AB P A P B A B =⇔=⇔-=-⇔=即和独立.
第二章 随机变量及其函数的概率分布
§2.1 随机变量与分布函数
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
三、 计算下列各题
1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。

解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(5
10
41
===-k C C k X P k
所以X 的分布列为
2. 一批元件的正品率为4，次品率为4
，现对这批元件进行有放回的测试，设第
X 次首次测到正品，试求X 的分布列。

解 X 的取值为1，2，3，… 且 ,3,2,1 ,434341)(k
1
==⋅
⎪
⎭
⎫
⎝⎛==-k k X P k . 此即为X 的分布列。

3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令X 为取出的球的号码，试求X 的分布列及分布函数。

解 X 的分布列为
由分布函数的计算公式得X 的分布函数为 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3 ,132 ,3
221 ,6
1
1
,0)(x x x x x F
4. 设随机变量X 的分布律为5,4,3,2,1 15
)(==
=k k
k X P 。

求 ).3( )3( ),31( )2( ),2
5
21( )1(>≤≤<<X P x P X P
解 ,5
1
152151)2()1()2521( )1(=+==+==<<X P X P X P
.
5
3
155154)5()4()3( )3(,5
2
153152151)3()2()1()31( )2(=+==+==>=++=
=+=+==≤≤X P X P X P X P X P X P x P
5. （1）设随机变量X 的分布律为0 ;,2,1 !
)(>λ=λ== k k a k X P k
为常数，试
确定a 。

（2）设随机变量Y 只取正整数值N ，且)(N Y P =与2N 成反比，求Y 的分布律。

解 （1）因为
∑∞===1
,1)(k k X P 及0 ,1!
1
>-=∑∞
=λλλe k k k
，所以.1
1
-=
λ
e a （2）令
;,2,1N )(2
===N k
a
N Y P 类似上题可得 26π=k 。

所以Y 的分布律为 ,2,1,6
)(2
2=π=
=N N N Y P
6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X 的概率分布
解 X =0, 1, 2, 3, i A =“汽车在第i 个路口遇到红灯.”，i =1，2，3.
)()0(1A P X P ===
21, )1(=X P =412
1221==）（A A P )2(=X P
113321==
）（A A A P ，)3(=X P =8
1
2133
21==）（A A A P
为所求概率分布
7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数X 的概率分布律.
,2,1 ,36
11
)36111()()( ,,2,1 ,36
11
)( ,"6" 1121=⋅-=====
=--k A P k X P X i A P i A k k k i i 的概率分布为所以点次出现第设解
四、证明题
，是两个常数，且都是分布函数，又和设1 ,0 ,0)()(21=+>>b a b a x F x F 试证明： .)()()(21也是分布函数x bF x aF x F +=
1112220)1, 0)
1 0))1;0)1,0)F x aF x a aF x bF x a b F x bF x b ≤≤≤≤⎧⇒≤+≤+=⎨≤≤≤≤⎩（（解（）因为（（（（
[]111212212211121221221212))
(2) , ))
()))))(),(). 3 lim ()lim ))lim )lim )1
x x x x aF x aF x x x bF x bF x F x aF x bF x aF x bF x F x F x F x aF x bF x a F x b F x a b →+∞
→+∞
→+∞
→+∞
≤⎧∀<⎨
≤⎩⇒=+≤+==+=+=+=（（有（（（（（（所以是不减函数（）（（（（[]1212 lim ()lim ))lim )lim )000
x x x x F x aF x bF x a F x b F x a b →-∞
→-∞
→-∞
→-∞
=+=+=⨯+⨯=（（（（ .
)()()()()()0()0()0()4(2121是分布函数质，所以满足分布函数的四个性由于x F x F x F x bF x aF x bF x aF x F =+=+++=+
§2.3 连续型随机变量及其概率密度函数
三、计算下列各题
1. 设连续型随机变量X 的密度函数为⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-≤<=其它 ,021 ,21
0 ,)(x x x x x f ；求X 的分布函数。

解 ⎰
∞
-=x
dx x f x F )()( ， ⎪
⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧>≤<--≤<≤=2
,121 ,12210 ,20 ,0)(2
2
x x x x x x x x F 2. 设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-0 ,00
,)1(1)(x x e x x F x ；求X
X P )2( );1( )1(≥的密度函数。

解 ;2)21(1)1()()1( )1(11--=--=-+∞=≥e e F F X P
⎩⎨⎧<≥='=-0 ,00
,)()( )2(x
x xe x F x f x
3. 设连续型随机变量X 的密度函数为⎩
⎨⎧<<=其它 ,01
0 ,4)(3x x x f ；
（1） 求常数a ，使)()(a X P a X P <=>； （2）求常数b ，使05.0)(=>b X P 。

解 （1）因为 )()(a X P a X P <=>，所以),()(1a X P a X P <=<-故
44032
1
,214)(==
==<⎰a a dx x a X P a
所以。

（2） 因为 ,20
19
)(,05.0)(1,05.0)(4=
=≤=≤-=>b b X P b X P b X P
4
19
,0.987220
b b =
=≈所以即 4. 在半径为R ，球心为O 的球内任取一点P ，X 为点O 与P 的距离，求X 的分布函数及概率密度。

解 当R x ≤≤0时，设x OP =，则点P 落到以O 为球心，x 为半径的球面上时，它到O 点的距离均为x ，因此
3333434)(⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ππ==
≤R x R
x
V V x X P OR
OP ，
所以，X 的分布函数为30, 0
(), 01, x x F x x R R x R
<⎧⎪⎪⎛⎫=≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎩
X 的密度函数为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧><≤≤='=R x x R x R x x F x f ,0 ,00 ,3)()(3
2
5. 设随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=,–∞<x <+∞,试求 (1) 系数A 与B ,
(2) P (–1<x <1), (3) X 的概率密度函数.
解 ,12112021)(0)( 1 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=
=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+=-⇒⎩⎨⎧=+∞=-∞πππB A B A B A F F ）（
+∞
<<∞-+='==-+-+=--=<<-x x x F x f F F x P ,)
1(1
)()( )3( ,
2
1
))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11( )2( 2πππ
6. 设随机变量X 的概率密度为⎩
⎨
⎧<<=其它，
）（ ,010 2x x x f , 以Y 表示对X 进行三次独立观察中{X ≤
2
1
}出现的次数,求概率P (Y =2). 解 p = P (X ≤21)=41221
0 21
==⎰⎰∞-xdx dx x f ）（, 由已知 Y ~B (3, 4
1
)
所以 64
943412223
===）（）（C Y P 7. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从)100,50(N ；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从)16,60(N ，问
（1） 要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？ （2） 要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？ 解 （1）因为 .9938.0)4
60
70()70(,9772.0)105070(
)70(21=-Φ=≤=-Φ=≤X P X P 所以走第二条。

（2）类似的走第一条。

§2.4 随机变量函数的分布
三、计算下列各题
1. 设随机变量X 的分布律如下，求12+=X Y 的分布律。

解
2. 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，求X Z e Y X ln 2 )2( ; )1(-==的密度函数。

解 X 的密度函数为 1, 01
()0, 0,1
x f x x x <<⎧=⎨
≤≥⎩
（1）
设X
e Y =，则有 ⎰∞
-=
≤=≤=≤=x
X
X
Y dt t f
x X P x e P x Y P x F ln )()ln ()()()(。

所以 )(ln 1
)(x f x
x f X Y =
，因此当1≤x 及e x ≥时，由0)(=x f X 知0)(=x f Y ； 当e x <<0时，由1)(=x f X 知x x f Y 1)(=，所以所求密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤<<=e
x x e
x x x f Y ,1 ,01 ,1
)(
（2） 类似的可得：2
1, 0
()20, 0x
Z e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
3. 设)1,0(~N X ，求(1) ; (2) ||X Y e W X ==的密度函数。

解 （1）X 的密度函数为 )( 21)(2
2+∞<<-∞π
=
-x e x f x X ，X e Y = 的分布函数为
ln ()()()(ln )(), 0y
X
Y X F y P Y y P e y P X y f t dt y -∞
=≤=
≤=≤=≥⎰
0 , 0)(<=y y F Y
所以X
e Y = 的密度函数为 2
()21
., 0()0, 0Iny Y y f y y
y -⎧>=≤⎩
（2）|| X W =的分布函数为 )|(|)()(y X P y W P y F W ≤=≤= 0 221)(0
2
2
22≥π
=
π
=
≤≤-=⎰⎰-
--
y dt e
dt e
y X y P y
t y
y
t
0 , 0)(<=y y F W
所以|| X W =的密度函数为 ⎪⎩
⎪⎨⎧<≥π=-0 ,00
,2)(22
y y e y f y W
4. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧π
<<π=其它 ,00 ,2)(2x x
x f ；求X Y sin =的概率密度。

解 01()()(sin ) Y y F y P Y y P x y <<=≤=≤当时，
arcsin 2
2
2
arcsin (0arcsin )(arcsin )
222arcsin ,
y
y
P X y P y X x
x
y
dx dx π
ππππππ-=<≤+-≤≤=
+
=
⎰
⎰
所以 ⎪
⎩⎪⎨⎧
><
≤≤-π=1,0 ,010 ,12)(2
y y y y y f Y
5. 若球的直径D 的测量值在],[b a 上均匀分布，求球的体积V 的概率密度。

⎪
⎩⎪
⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤==⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-=-其它
所以其它
解 ,066 ,92166)( ,66)61()( ,
61V , ,0 ,1
)( 3
332
31
33
3333b v a v a b v v f v f v F v D P v D P v F D b d a a b d f D V D V D πππππππππ 6. 将长度为2a 的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于2
2
a 的
概率。

22
122
2221 "222" "220"2)2(0)20()
2( , ,020 ,21
)( ]2,0[ , 2 , 2 22-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-+-=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<<++-<<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<=<<-=⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=-a a a a a a X a a a a X P a X a X P a Y P X a X Y a
x a x f a X X a X a X 面积其它上均匀分布在两部分的直线分成长为解 四、证明题
1. 设的密度函数为试证若是取正值的随机变量， ),,(~ln 2X N X X σμ . ,0 ,00,)(l n 21e x p 21)(22这称为对数正态分布⎪⎩
⎪⎨⎧≤>⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=x x x x x p μσπσ 证 的密度为所以X x e x e X N X Y y Y ,0,,),,(~ln 2>='==σμ
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0 ,00,)(l n 21e x p 210 ,00,1)(l n )( 22x x x x x x x
x f x p Y μσπσ 2. 设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布, 证明x e Y 21--=在区间(0,1)服从均匀分布。

证 X 服从参数为0.5的指数分布,则概率密度为 ⎩⎨⎧≤>=-0 ,00
22x x e x f x X ，）
（ x e Y 21--=, ,022>='-x e y 函数y 单调可导,其反函数为 ）
（y x --=1ln 2
1
由公式 ⎩
⎨⎧<<='----
=其它）（））（（）（ ,010 ,1|1ln 21
(|1ln 21y y y f y f X Y
所以 x e Y 21--=在区间(0,1)服从均匀分布。

第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 二维随机变量的概率分布
三、计算下列各题
1. 已知随机变量Y X 和的联合密度为⎩
⎨⎧≤≤≤≤=其它，，，
），（ 01010 4y x xy y x f , 求Y X 和的联合分布函数),(y x F 。

解 因为 ()⎰
⎰
∞-∞
-=x y
dxdy y x f Y X F ),(,
22
12
(1)00(,)0,(,)0(2) 01 01, (,)4(3) 1, 01, (,)4x
y
y
x y f x y F x y x y F x y dx xydy x y x y F x y dx xydy y <<==≤≤≤<==>≤≤==⎰⎰⎰⎰或时，由得，时时
1
2
(4) 01, 1, (,)4(5) 1, 1, (,)1
x x y F x y dx xydy x x y F x y ≤≤>==>>=⎰⎰时时
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧>>>≤≤≤≤><≤≤≤<<=1 ,1 ,11 ,10
,10 ,1 ,10 10
,00
,0),( 2
22
2y x y x x y x y y x y x y x y x F ，或所以
2. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以Y X 和分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出Y X 和的概率分布律。

解. ,.6610
)0,1( ,6645)0,0( 1
11
1121101211111219110========C C C C Y X P C C C C Y X P 66
1
)1,1( ,6610)1,0( 1111121
11211111212110=
=======C C C C Y X P C C C C Y X P
3. 给定非负函数⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧∞<<++==⎰∞+其它
又设它满足 ,0,0 ,)
(2),(,1)(),(22220
y x y x y x g y x f dx x g x g π,
问),(y x f 是否是随机变量Y X 和的联合概率密度?说明理由。

解 ),(y x f 是Y X 和的联合概率密度只要满足),(y x f ≥0与
(,)1f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
,0),( ,0)( ,)( ,0 ,,02222≥≥+>+∞<<y x f y x g x g y x y x 故所以非负由于
2
2
()
(,)1g r f x y dxdy d rdr r
π
θπ
+∞+∞
+∞
+∞
-∞
-∞
-∞
-∞
==
=⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
所以),(y x f 是随机变量Y X 和的联合概率密度。

4. 设随机变量 (Y X ,) 的联合密度为()6, 02,24
0, k x y x y f x y --<<<<⎧⎪=⎨
⎪⎩（，）其它
，求：
（1）系数k ； （2）{}1,3P X Y <<； （3）{}1.5P X <； （4）{}4P X Y +≤。

解：（1）4
2
20
1
(,)(6)81.8
f x y dxdy dy k x y dx k k +∞
+∞
-∞-∞=--==⇒=⎰⎰⎰⎰ （2）{}312013
1,3(6).88P X Y dy x y dx <<=--=⎰⎰
（3）{}4 1.520127
1.5(6).832
P X dy x y dx <=--=⎰⎰ （4）{}4P X Y +≤={}442012
1.5(6).83
y P X dy x y dx -<=--=⎰⎰ 5. 设随机变量 (Y X ,) 的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧<++-=其它
），（ ,01 ),1(2222y x y x a y x f , 求 (1) 系数a , (2) 概率）（4
1
22≤+Y X P 。

解 .313)1(),( )1( 1
20
π
=⇒=π=
-θ=⎰⎰⎰
⎰π+∞∞-+∞∞
-a a rdr r a d dxdy y x f ⎰
⎰⎰⎰
=-πθ==
≤+π
≤
+21
20
4
12
2
.2
1)1(3),()4
1
( )2( 22
rdr r d dxdy y x f Y X P Y X
6.袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X ，Y ，Z 分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数， （1） 求{}
10P X Z ==；
（2） 求二维随机变量(),X Y 的概率分布。

解：（1）在没有取白球的情况下取了一次红球相当于只有1个红球，2个黑球有放回的取两次，其中摸到一个红球
{}12113324
109
C P X Z C C ⨯∴====⨯；
（2）X ，Y 的取值范围为0,1,2，故
{}{}{}{}{}{}{}{}{}113311
66111
0,0,1,0,2,0,4636
11
0,1,1,1,2,10,
391
0,2,1,20,2,20,
9
C C P X Y P X Y P X Y C C P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ============================
§3.2 边缘分布 §3.3 条件分布
§3.4 随机变量的独立性
三、计算下列各题
1. 设随机变量X 在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y 在1~X 中等可能取一个整数值，求（1）),(Y X 的联合分布律；（2）X ，
Y 的边缘分布律。

解：由题意{},,1,2,3,4,,X i Y j i j i j ===≤其中为整数， 则由概率的乘法公式有
{}{}{}111
,,1,2,3,4,.44P X i Y j P X i P Y j X i i j i i i
======
=
==≤ 因此
2. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
, ,)
9)(4(),(222+∞<<∞-++π=
x y x y x f
+∞<<∞-y （1）求关于Y X 和的边缘概率密度. （2）问Y X 与是否独立？
2222222262
(1) ()(,), (4)(9)(4)
63
()(,), (4)(9)(9)
(2) (,)()(), ,X Y X Y f x f x y dy dy x x y x f y f x y dx dx y x y y f x y f x f y X Y ππππ+∞
+∞
-∞-∞+∞+∞-∞-∞===-∞<<+∞+++===-∞<<+∞
+++=⎰
⎰
⎰⎰解所以独立.
3. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为()21
,01,02,
,3
0,.x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它 求：（1）关于X 和关于Y 的边缘密度函数，并判断X 与Y 是否相互独立？ （2）()1P X Y +≥。

解：（1）
()()222012
,01201
,33
0,0,X x xy dy x x x x f x f x y dy +∞
-∞
⎧⎛⎫⎧+≤≤+≤≤⎪⎪ ⎪===⎝⎭⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰
，其它其它 ()()12011
,0202,3630,0,Y y x xy dx y y f y f x y dx +∞
-∞
⎧⎛⎫⎧+≤≤+≤≤⎪⎪ ⎪===⎝⎭⎨⎨⎪⎪⎩⎩
⎰⎰
，其它其它 由于 (,)()(), .X Y f x y f x f y X Y ≠所以和不独立 （2）()()1
1
200
1651,1.372x D
P X Y f x y dxdy dx x xy dy -+⎛⎫
+≥==-+= ⎪
⎝
⎭⎰⎰⎰⎰
4. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为(),02,,
(,)
0,kx x y x x y x f x y -≤≤-≤≤⎧=⎨⎩其它
（1）求常数k ； （2） 求关于Y X 和的边缘概率密度， （3）问Y X 与是否独立？
解 2
2
20
(1)
(,)()()x
x
x
x
f x y dxdy kx x y dxdy kx kxy dxdy +∞+∞
-∞
-∞
--=-=-⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
1
16811/82
k k k =
==∴=
3311
(2) ()(,)()2,02,0
84
x
X x f x f x y dy kx x y dy x x x +∞
-∞
-==-==≤≤⎰⎰其它为 即
3
,02
()40, X x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它
()()()()()2
3
23
33,02111520,83448111102,
8344811
5,20344811
1,02
34480Y y Y y Y y x x x y
y f y x x y dx y y y f y x x y dx y y y y y f y y y y -≤≤≤∴≥-≤≤=-=-+<≤=-=-+⎧-+-≤≤⎪⎪
⎪=-+<≤⎨⎪
⎪
⎪⎩⎰
⎰当时，当时，则，其它.
()()()(3),X Y f x y f x f y X
Y ≠显然，，因此，与不相互独立
.
5. 雷达的圆形屏幕的半径为R
，设目标出现点),(Y X
在屏幕上均匀分布，（1）求Y X ,的边缘概率密度，（2）问Y X ,是否独立？
⎩⎨⎧≤+π=其它
解 ,0 ),/(1),( 2
222R y x R y x f
21 ||(1) ()(,)0, || ()0, X Y dy x R f x f x y dy R y R
f y π+∞
-∞
⎧⎪=≤==⎨⎪⎩
≤=⎪⎩⎰⎰
其它同理其它
. ),()(),( )2(不独立和所以Y X y f x f y x f Y X ≠
6. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它
， ,00 ),(y
x Ae y x f y ，求（1）常数A （2）
随机变量Y X ,的边缘密度，（3）概率)1(≤+Y X P 。

解 （1） 1, ),0===⎰⎰⎰
⎰+∞+∞
-+∞∞-+∞∞
-A A dy e dx A dxdy y x f x y 得（.
⎩⎨
⎧≤>===>--∞
+-⎰
0 ,00 ,)(,)( ,02x x e x f e dy e x f x x X x
x
y
X ）（ ，⎩
⎨⎧≤>=-0 ,00
,)( y y ye y f y Y 同理 (3) 2
11
121
1
21),()1(-
---≤+-+===
≤+⎰⎰
⎰⎰e
e dy e dx dxdy y x
f Y X P x
x y y x .
7.
且(0)1P XY ==.（1）求Y X ,的联合分布，（2）问Y X ,是否独立？为什么？ 解 (0)1, , (1,1)(1,1)0,P XY P X Y P X Y ===-=====因为所以有
（1）设Y X ,的联合分布为
05.05.0 ,5.0 ,5.0,25.0,25.0 212221223111=-==+===p p p p p p 故由于则 的联合分布律为因此),(,Y X
21(2) 00.50.5,
p =≠⨯由于故
8. 设X 与Y 为两个相互独立的随机变量，X 在区间()0,1上服从均匀分布，Y 的概率密度为
()/21,
0,2
0,
0.
y Y e y f y y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，求：
（1）X 与Y 的联合概率密度；
（2）设含有a 的二次方程为2
20a Xa Y ++=，试求a 有实根的概率。

解：（1）
()()()/2
/2
11,01,
0,,2
0,0,0.
1,01,0,
,2
0,
.y X Y y x e y f x f y y e x y f x y --⎧<<>⎧⎪==⎨⎨⎩⎪≤⎩⎧<<>⎪∴=⎨⎪⎩其它其它
（2）含有
a 的二次方程为220a Xa Y ++=有实根的充要条件为
22440.X Y X Y ∆=-≥≥，即
.
而
()(
)()()2
21
2
/2
1,1100.1445.2
x y x y
P X Y f x y dxdy dx e dy -≥≥=
==Φ-Φ=⎤⎦⎰⎰
⎰⎰
四、证明题
设随机变量(),X Y 具有分布函数()()1,0,01,,1,
0,1,00,.ax ax
e y x y F x y e x y a --⎧-≥≤≤⎪⎪=-≥>>⎨⎪⎪⎩
其它， 证明：X 与Y 相互独立。

证明：
()()()()()()()1,0,
, 0,
0,,01,,1,1,0.0,.,.
ax X Y X Y e x F x F x a y y F y F y y a F x y F x F y X Y -⎧-≥=∞=>⎨⎩
≤≤⎧⎪
=∞=>>⎨⎪⎩∴=∴其它.其它与相互独立
§3.5 两个随机变量函数的分布
三、计算下列各题
1. 设两个独立随机变量Y X 与的分布律为6.0)2(,7.0)3(,3.0)1(======Y P X P X P , .21,4.0)4(的分布律）的分布律，（）求（Y X W Y X Z X P -=+===
解 由独立性可得
所以 Y X Z +=的分布律为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛28.054.018.0753,Y X W -=的分布律为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--42.046.012.011
3
2. 设Y X ,独立, ][),,(~2ππ-σμ，在Y N X 服从均匀分布, Z Y X Z ，求+=的概率密度.(用标准正态分布函数)(x Φ表示)。

解 由已知X 的密度函数为+∞<<∞-σ
π=
σμ--
x e
x f x X ,21)( 2
22)(
Y 在[-π,π]服从均匀分布, 则⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-=其它 ,0 ,21
)(π
ππy y f Y , X 和Y 独立, 由公式
][21212121
212
222
）（）（
，令）（）（）（）（σ
μ
-π-Φ-σμ-π+Φπ
=
π
π
=
σ
μ--=π⋅
σ
π=-=⎰
⎰
⎰σμ
-π+σ
μ-π--
ππ
-σ
μ---
∞+∞
-z z dt e
y z t dy e
dy y f y z f z f z z t y z Y X Z
3．设随机变量,X Y 相互独立，且2
2
1122~(,),(,)X N Y N μσμσ求X Y -的概率密
度。

解 ∵,X Y 独立，
∴221212()()1212
1(,)2x y f x y e
μμσσπσσ⎡⎤
---+⎢⎥⎢⎥
⎣⎦=
又∵2
21122~(,),(,)X N Y N μσμσ=> ()221212
ˆ~,Z X Y N μμσσ=--+， 令ˆ||Z
X Y Z
=-=，则 (){}{}
()()()()()
()()()(
)()()2
2
1212222212122
212122222
1212ˆˆ()()22ˆˆ()()22ˆ0,.00.
0,
0,0.Z Z Z
z z Z Z Z Z z z Z z F z P Z z P Z z F z F z f z f z f z e e
z f z e e z f z z μμμμσσσσμμμμσσσσ-+--+--
++-+--+--
++>=≤=≤=--⎡⎤
⎥=+-=+⎥⎥⎦
≤=⎡⎤⎥+>⎥=⎥⎦≤当时，当时，，即⎧⎪⎩
4. 已知随机变量),(Y X 服从二维正态分布, 其联合密度为)(21
2221),y x e y x f +-=π（, +∞<<∞-+∞<<-∞y x ,, 求随机变量)(3
1
22Y X Z +=的概率密度函数。

解⎰⎰≤+=⎪⎭⎫
⎝⎛≤+=z
Y X Z dxdy y x f z Y X P z F )(3
12222),()(31)(
⎪⎩⎪
⎨⎧>≤=-=θπ
=>=≤---π
⎰⎰0 ,230 ,0)( ,121)( ,0 ,0)( ,0 2
32
3
3021202z e z z f e rdr e d z F z z F z z
Z z z r Z Z 所以时当时当
5. 已知随机变量X 与Y 相互独立，且都服从[]0,a 区间上的均匀分布，求X Z Y
=的概
率密度函数。

解：∵X 与Y 相互独立，且(),~0,X Y U a ，
()()()()()2
1
,0,0,0,
.,X Y Z x z
y
x a y a
f x y f x f y a X F z P z f x y dxdy
Y ≤⎧≤≤≤≤⎪∴==⎨⎪⎩⎧⎫
∴=≤=⎨⎬⎩⎭⎰⎰其它 ()()()()22002002
0,0,
111
11,2101,.
2
0,01
,01
21, 1.2
Z a a
a x x Z x z a zy Z Z z F z z F z dx dy dx dy a a z z
z F z dy dx a z f z z z z -≤=>=+=-<≤==⎧⎪≤⎪⎪∴=<≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎰⎰
⎰⎰⎰⎰当时当时，当时
6. 设随机变量),(Y X 的联合概率密度⎩
⎨⎧<<<<=其它，
），（ ,00 ,10 3x y x x y x f , 求Y X Z -=的概率密度。

解⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧≥
≤≤-=+<=≤-=⎰⎰⎰⎰-1 ,110 ,2123330
,0)()( 3100z z z z xdy dx xdy dx z z Y X P z F x z x z x
z Z
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它的密度函数为所以
,01
0 ,2
323)( ,2
z z z f Z Z . 7. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()1
1,0,13
P X i i ==
=-，Y 的概率密度为()101
0Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它
，记Z X Y =+
（1）求102P Z X ⎧⎫≤
=⎨⎬⎩⎭
（2）求Z 的概率密度。

解：(I) 1
201
(0,)11112(0)(0)()122(0)22
P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤==
=≤===⎰ (II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤
{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=
[]1
{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =
≤++≤+≤- []1
(1)()(1)3
Y Y Y F z F z F z =+++- 所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1
,12
30,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它
8. 设二维变量(,)x y 的概率密度为 2(,)0
x y
f x y --⎧=⎨
⎩ 01,01x y <<<<其他
()I 求{2}P X Y >；
()II 求z X Y =+的概率密度。

解：
（Ⅰ）{}2(2)D
P X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部分
区域；
求此二重积分可得{}11
200
2(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰
1
2
05()8x x dx =
-⎰ 7
24
=
（Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤
当0z ≤时，()0Z F z =；
当2z ≥时，()1Z F z =；
当01z <<时，32
00
1()(2)3
z
z x
Z F z dx x y dy z z -=
--=-+⎰⎰
当12z <<时，1132
115()1(2)2433
Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰
于是22
2,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+<<⎨⎪⎩
其他
9. 假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为
θ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电
路正常工作时间T 的概率分布。

解 以i X 表示第i 个元件无故障工作时间，则321,,X X X 独立且分布函数为
12310
, 1, 2, 3, min{,,}0, t 0
i
t
X e t F t i T X X X -⎧⎪->===⎨⎪≤⎩（）. =）（t F T 33
11,01(1())0, 0
i
t X i e t F t t θ-=⎧⎪->--=⎨⎪≤⎩∏. 所以T 服从参数为3θ的指数分布 10. 随机变量x 的概率密度为()()21
,1021
,02
,,4
0,x x f x x Y X F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩
令其他为二维随机变
量(X , Y )的分布函数， (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ；。