人教版初一(上)数学第10讲：角

角
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一、知识梳理
1.角的定义与表示方法
（1）角的定义：角的定义有两种，一种是静态的组成定义，一种是动态的形成定义。

①角的组成定义：有______的两条射线组成的图形叫做角，这个______是角的顶点，这两条射线是角的两条边。

②角的形成定义：由一条射线绕着它的______旋转而形成的图形叫做角。

（2）角的表示方法：①用三个大写的英文字母表示，其中表示顶点的字母应该写在____，如图1所示，表示为∠AOB；②用一个大写的英文字母表示，这个字母表示角的____，如图1，还可以表示为∠O（这种方式适用于顶点处只有一个角的情况）。

③用一个小写的希腊字母表示，如图2所示，表示∠α；④用数字表示标注，如图3所示，表示为∠1.
（3）易混淆点
角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。

另外，若没有特别说明，一般指的角都是小于平角的角。

2.角的度量及换算
（1）常用的角的度量单位为___、___、___，这种角的度量制叫做角度制。

1ﾟ=__,1’=__。

除角度之外，角的度量还有弧度制、密度制等。

（2）常见的角的分类：①锐角：大于0ﾟ，小于90ﾟ的角；钝角：大于90ﾟ，小于180ﾟ的角；1直角=__，1平角=，1周角=。

（3）角的度量工具有：量角器、经纬仪、测角器等。

（4）借助三角尺可以画出30ﾟ，45ﾟ，60ﾟ，90ﾟ等特殊角，借助量角器可以画出任何给定的角。

3.角的比较与运算
（1）角的比较与运算
①______，把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边叠合在一起，再比较另一条边的位置，如图所示。

______，即用量角器量出角的度数，再按照度数比较角的大小。

（2)易混淆点
在用叠合法比较大小时，易忽略两个角的（一边重合，另一边在重合的这条边的同侧）。

4.角平分线
（1）定义：从一个角的____出发，把这个角分成两个____的角的，叫做这个角的平分线。

（2）角的n等分线：类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，叫做角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等。

5.角平分线的几何表示。

6.易混淆点
不能在角平分线的多种几何表达形式之间灵活转换。

7.余角和补角
（1）定义：如果两个角的和等于90ﾟ，就说这两个角互为__角，简称________，其中一个角是另一个角的余角。

如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角，简称________，其中一个角是另一个角的补角。

（2）互余、互补至于两个角的数量关系有关，与位置无关。

8.余角、补角的性质
（1）余角的性质：同角的余角相等。

（2）补角的性质：同角的补角相等。

9.方位角
（1）定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动的方向的夹角为方位角。

（2）注意事项：方位角在叙述是，一般先说____，后说____，如南偏东30ﾟ。

但与南北方向夹角为45ﾟ时，常简称东北、东南、西北、西南，如南偏东____，即为东南方向。

参考答案
1.公共端点公共端点端点中间顶点
2.度分秒 60’ 60” 90ﾟ 180ﾟ 360ﾟ
3.叠合法度量法
4.顶点相等射线
7.余两个角互余 180ﾟ两个角互补
9.南北东西 45ﾟ
二、例题讲解
1.角的定义及表示方法
【例1】下列对角的表示方法理解错误的是( )
A.角可用三个大写字母表示,顶点字母写在中间,每边上的点写在两旁
B.任何角都可以用一个字母表示
C.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字表示
D.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示
【解析】A,C,D都符合角的表示方法的要求,B,当角的顶点处只有一个角时,才能用一个字母表示,B说法错误.
答案：B.
总结：角的表示方法：
1.角可用三个大写字母表示
2.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字表示
3.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示
练1. 下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大; ③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误；
②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故本选项错误；
③角的边是射线，不能延长，故本选项错误；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．
所以只有④一个选项正确．
答案： A
练2. 下列说法中，不正确的是（）
A.∠AOB的顶点是O点
B.∠AOB的边是两条射线
C.射线BO,射线AO分别是∠AOB的边
D.∠AOB与∠BOA表示的是同一个角
【解析】A三个大写字母表示角，则中间一个字母表示角的顶点；B角的两边是两条射线；C 射线BO端点为B向BO方向延伸，而射线AO延AO方向延伸，而角是由两条射线共端点组成的，所以错误；D角的两边是射线。

答案:C
练3如图，下列表示角的方法错误的是（）
A.∠1与∠AOB表示同一个角
B.∠AOC可用∠O来表示
C.图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOC
D.∠β表示的是∠BOC
【解析】A同一个角的两种表示方法
B一个端点有多个点公用时，不可以用一个点来表示角。

O
1
β
C
C、D正确。

答案：B
2.角的度量与比较大小
【例2】钟表在3点40分时,它的时针和分针所成的钝角的度数是.用10倍的放大镜观察,这个角应是.
【解析】每小时分针转360°，时针转动30°；每分钟分针旋转6°，时针旋转0.5°
答案：130°130°
总结：角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。

练4.(2014濮阳一中)已知∠AOB=120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：3的两个角，那么∠AOC的度数为( )
A． 40° B．40°或80° C．30° D．30°或90°
【解析】120除以（1+3）=30°。

由于OC可能靠近OA，或OB所以出现了两种可能，
两种结果，∠AOC=30°或∠AOC=90°
答案：D
练5.如图,平角AOB被分成的三个角∠AOC,∠COD,∠DOB的比为2∶3∶4,则其中最大的角是度.
【解析】设∠AOC=2x°,则∠COD=3x°,∠DOB=4x°,
根据题意得:2x+3x+4x=180,解得:x=20,
则最大的角是4×20°=80°.
答案：80
练6.比较大小:38°15′___ 38.15度(填“>”“=”或“<”).
【解析】因为1°=60′,所以38.15°=38°+(0.15×60)′=38°9′,所以
38°15′>38.15度.
答案：>
练7 . 51°28′30"=________度
【解析】51度28'30''= 51度28.5'=51度+(28.5/600度=51度+0.475度=51.475度
答案：51.475
3.角平分线
【例3】（2015北京文汇期末）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）
50° B．60° C．65° D．70°
【解析】∵ OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=12∠COE=1
2×60°=30°，
∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°． 答案：D
练8. 已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分EOC ∠，EOC ∠=70º，则BOD ∠的度数是多少？
O
B
D
C
A
E
【解析】∵EOC ∠=70º∴∠EOD=100º ∵OA 平分角EOC ∴∠COA=∠EOA=35°
又∵∠BOD=180º-∠EOA-∠EOD=180º-35º-100º ∴∠BOD=55° 答案：55°
练9. 已知∠AOE=100º，∠DOF=80º。

OE 平分∠DOC ，OF 平分∠AOC 。

求∠EOF 的度数。

D
E
C
F
A
O
【解析】已知∠AOE ＝∠AOC+∠COE ＝100°，∠DOF ＝∠DOC+∠COF ＝80°，∠DOC ＝ 2∠COE ，∠AOC ＝2∠COF ，∠EOF ＝∠COE+∠COF 。

则有∠AOE+∠DOF ＝∠AOC+∠COE+∠DOC+∠COF
＝3∠COF+3∠COE＝3∠EOF＝180°，则∠EOF＝60°
答案：60°
练10.如图，∠AOB=90º，∠AOC是锐角，OF平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠EOF的度数。

B
E
A
O
F
C
【解析】OF平分∠AOC,∠FOC=1/2*∠AOC
OE平分∠BOC,∠EOC=1/2*∠BOC
∠EOF=∠FOC+∠EOC
=1/2*∠AOC+1/2*∠BOC
=1/2(∠AOC+∠BOC)
=1/2*∠AOB
=1/2*90°
=45°
答案：45º
4.余角与补角方位角
【例4】如果一个角的补角是120°,则这个角的余角是( )
A.150°
B.90°
C.60°
D.30°
【解析】这个角的补角是120º，那么这个角为60º，所以余角为30º。

答案：30º
总结：互为补角的两个角和为180度，互为余角的两个角和为90度。

练11.A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是（）
（A）南偏东60°（B）南偏西60°（C）南偏东30°（D）南偏西30°
【解析】反过来看，参照物不同，位置相反为南偏西30º。

答案：D
练12.70°的余角是________ ，补角是_________。

【解析】互为余角的两个角和90º，互为补角的两个角和为180º。

答案：20º 110º
练13.∠α（∠α <90 °）的余角是 _________，它的补角是 ___________。

答案：90º-∠α 180º- α。

练14.若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数。

【解析】设补角为4x度，则余角为x度，据题意列方程得：
4x-x=90º x=30º
90 º-30 º =60 º 答案：60º
三、课堂练习
1.下列说法正确的是（ ） A.两点之间直线最短
B .用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大
C .把一个角分成两个角的射线叫角的平分线
D .直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上呢
2.下图中，小于平角的角有（ ）
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
3.（2014前门外国语期末）如图所示，射线OA 表示的方向，射线OB 表示的方向,则 ∠AOB=( )
A.155 °
B.205 °
C.85°
D.105°
4.一个人从A 点出发向北偏东60°方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，那么∠ABC=（ ）
A .60°
B .15° C.45° D.70° 5.角也可以看作由 旋转面形成的图形。

四、课后作业
1.下列说法中，正确的是（ ）
A ．平角是一条直线。

B.一条直线是一个周角 C ．两边成一条直线的角是平角 D.直线是平角
2.（2014五中分月考）已知如图：试用三个大写字母表示:∠1就是 ，
∠2就是 ，∠3就是 ，∠4就是 。

3.在时刻8：30，时钟上的时针与分针之间的夹角是______,20时15分，时针与分针的夹角
北
西南东
75︒
40︒O
B
A
2题图
3题图 4题图
是_______,2:25时，时针与分针的夹角是________. 4. 如图，AB 是直线，∠1=∠2=50°36′求∠3的度数。

5.在∠AOB 的内部引一条射线OC,可得几个小于平角的角? 引两条射线OC 、OD 呢?引三条射
线OC 、OD 、OE 呢? 若引n 条射线一共会有多少个角?
6.已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 和OC ，使∠AOB=600
，∠BOC=200
， 则∠AOC 的度数为_____________
7.如图,把∠AOB 绕着O 点按逆时针方向旋转一个角度,得∠A ′OB ′,指出图中所有相等的角,并简要说明理由.
O
A
B
B '
A '
8.如图,BD 平分∠ABC,BE 分∠ABC 分2:5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC 的度数。

9.（2014吉安期末）直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC=90°， ∠1=40°，求∠2与∠3的度数。

10.如图1，点A 在O 的北偏东 °，点B 在O 的 ° 点C 在O 的 °，点D 在O 的 °.
C
D
1 2 A
O
3
B
E
F
D
B
C
A O
1
32A
E
D
C
B
北
东 60O 7545
75
A
D
11．如图2所示，下列说法中错误的是（）
A．OA的方向是北偏东40︒ B．OB的方向是北偏西15︒
C．OC的方向是南偏西30︒ D．OD的方向是正东南方向
12．（2014中山一中期末）书店、学校、食堂在平面上分别用点A、B、C来表示，书店
∠应该是（）在学校的北偏西30︒，食堂在学校的南偏东15︒，则平面图上的ABC
A．65︒ B．35︒ C．165︒ D．135︒
13．甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B,乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C,则∠BAC的度数是( )
A.85°
B.160°
C.125°
D.105°
14．A看B的方向是北偏东50︒，则B看A的方向是 .
15.（2014成都中考）如果∠α和∠β互补，且α>β，则下列表示β的余角的式子中正
确的有_______
①90°—β②α—90°③½（α+β）④½（α—β)
A.①②③④
B.①②④
C.①②③
D.①②
参考答案
当堂检测
1.D
2.D
3.A
4.C
5.一条射线绕着它的端点
家庭作业
1.C
2.∠ABD ∠CBD ∠BDA
3. 90º 157.5º 77.5º
4.79º28’
5. 3 6 10 （n+1）（n+2）/2
6.40º或者80º
7. ①∠AOB=∠A′OB′．
因∠A′OB′是由∠AOB旋转得到的．
②∠AOA′=∠BOB′．
∵∠AOB=∠A′OB′，
∴∠AOB-∠A′OB=∠A′OB′-∠A′OB，
∴∠AOA′=∠BOB′．
8. ∵BE分∠ABC为2∶5两部分
∴∠ABE：∠EBC=2：5
∴2∠EBC=5∠ABE
设∠ABD=x
∴∠EBC=x+21°，∠ABE=x°-21°
∴2（x+21°）=5(x-21°）
∴x=49°
∴∠ABC=2x=98°
9. ∠3＝180°－∠FOC－∠1
＝180°－90°－40°
＝50°
∠AOD＝180°－∠3
＝180°－50°
＝130°
∵OE平分∠AOD
∴∠2＝½×∠AOD
＝½×130°
＝65°
10.30 南偏东45 南偏西 75 北偏西 75
11.A
12.C
13.C
14.南偏西50º
15.B。