高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》解析

新数学高考《三角函数与解三角形》复习资料
一、选择题
1．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2
π
ϕ<图象的一个对称中心为(
3
π
，0)，
其相邻一条对称轴方程为712
x π
=
，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】
根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+
(其中0A >，)2π
ϕ<
的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 可得1A =，
1274123
πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23
π
ϕπ⋅+=，
可得：3
π
ϕ=
，
可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
故把()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos23
6y x x π
π⎛
⎫
=++
= ⎪⎝
⎭
的图象， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规
律，诱导公式的应用，属于中档题．
2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且
1,a b ==c =（ ）
A B
C D 【答案】B 【解析】
由题意得，三角形的面积1
sin 2
S ab C C ==，所以tan 2C =，
所以cos 5
C =
，
由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B.
3．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】
∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4
∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，
∴由余弦定理：c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC ，所以cosC=
2222a b c ab
+-=222
4916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】
本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
4．已知函数f （x ）＝2x －1
，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩
（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋
∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）
A ．1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．[]1,
1,22⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
U
【解析】 【分析】
对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】
当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =2
2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],
因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜
1
2
，即a ＜0. 当a ＞0时，y =2
2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥
2
3时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨
+≥⎩
. 当0＜a ＜
23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜1
2
. 综合得a 的范围为a ＜1
2
或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫
⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的部分图象如图所示，其中()01f =，
5
||2
MN =
，则点M 的横坐标为（ ）
A ．
12
B ．25
-
C ．1-
D ．23
-
【答案】C 【解析】
由(0)1f =求出56
πϕ=，由5||23MN π
ω=⇒=，再根据()2f x =可得答案.
【详解】
由函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫
⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的部分图象，
可得(0)2sin 1f ϕ==，56
πϕ∴=
，
5||23MN πω===， ∴函数5()2sin 3
6f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
令52sin 236x π
π⎛⎫
+
= ⎪⎝⎭
， 得
52,03
62
x k k π
ππ
π+
=+=得1x =-. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3
π
ω=
，属于中档题.
6．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56
x π
=
，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：
①实数a 的值为1；
②()()1,x f x 和()()
22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为
23
π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．①④
D ．③④
【答案】B 【解析】 【分析】 根据56
x π
=
是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间
()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为
2
T
π=，然后由()()12f x f x =-，得到()()1
1
,x f x 和()()2
2
,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.
【详解】 ∵56x π
=
是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 令0x =，得()503
f f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭
，即-1a =，①正确； ∴(
)sin 2sin 3π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭f x x x x ．
又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为
2
T
π=，且()()12f x f x =-， ∴()(
)11,x f x 和()()
22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，
∴121233223
x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π
，k Z ∈， ∴12223
x x k π
π+=+，k Z ∈，
当0k =时，12x x +取最小值23
π
，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.
7．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当
π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()sin f x x =，则
5π3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为( ) A ．12
-
B
C
． D ．
12
【答案】B 【解析】 分析：要求53
f π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上，再应用其解析式求解
详解：()f x Q 的最小正周期是π
552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()f x Q 是偶函数
33f f ππ⎛⎫⎛⎫
∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
53
3f f π
π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q 当02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，()sin f x x =，
则5 sin 333f f πππ⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
故选B
点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．
8．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛
⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
（ ） A
B
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
令()cos 0,1t x =∈，()3
2
61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >.
故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
9．已知sin α，sin()10
αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．
512
π
B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22
π
π
αβ-
<-<
，利用三角函数的基本关系式，分别求得
cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.
【详解】
由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2
π.
又sin(α－β)，∴cos(α－β).
又sin αcos α ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
－×⎛ ⎝⎭＝2
.∴β＝4π. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．若函数tan 23y x k π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭，0,6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．)
+∞ B ．
)
+∞
C ．()
+∞
D ．()
【答案】A 【解析】 【分析】
计算tan 203x π⎛
⎫<-< ⎪
⎝
⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案. 【详解】
∵0,
6x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，∴203
3x π
π
-
<-
<，∴tan 203x π⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭，
函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的图象都在x 轴上方，
即对任意的0,6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，都有tan 203x k π⎛⎫
-
+> ⎪⎝
⎭，即tan 23x k π⎛
⎫->- ⎪⎝
⎭，
∵tan 23x π⎛
⎫
-> ⎪⎝
⎭
k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】
本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.
11．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若
121
cos 4
F MF ∠=
,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( )
A ．y =
B ．y x =
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点
∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 1212
122
2
122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2
2
2
1
(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得
:b =
Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=±
则双曲线渐近线方程为
: y = 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
12．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则()f x 的最大值为（ ） A ．2
B
C
．D
或【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则有()(0)2
f f π
-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】
因为函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称， 所以()(0)2f f π
-=，
即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，
当2a =-
时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫
=--=-
⎪⎝
⎭
，此时()f x 的最大值为
；
当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛
⎫=+-=- ⎪⎝
⎭，此时()f x ；
综上()f x 或. 故选：D 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
13．ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且
tanC cos cos c B A =，若c =4a =，则b 的值为（ ）
A ．6
B ．2
C ．5
D
【答案】A 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sin tan C C C =，结合
sin 0C ≠，可求得tan C =()0,C π∈，可求C ，从而根据余弦定理
24120b b --=，解方程可求b 的值．
【详解】
解：∵tan cos cos c C B A =， ∴由正弦定理可得：
)()
sin tan sin cos sin cos C C A B B A A B C =+=+=，
∵sin 0C ≠，
∴可得tan C = ∵()0,C π∈， ∴3
C π
=
，
∵c =4a =，
∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得2
1
2816242
b b =+-⨯⨯⨯
，可得24120b b --=，
∴解得6b =，（负值舍去）． 故选：A ． 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，难度一般.利用边角互化求解角度值时，注意三角形内角对应的角度范围.
14．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D ，2BD =
，
1
cos 4
BAC ∠=
，则AD =（ ） A ．
2 B ．2
C ．3
D ．
6 【答案】A 【解析】 【分析】
先求出6
sin BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】
∵2
1cos 12sin 4
BAC BAD ∠=-∠=， ∴6
sin 4
BAD ∠=
.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠， ∴3
sin 222sin 6
B
AD BD BAD =⋅
=⋅=∠. 【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15．如图所示，已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支
上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是( )
A 27
B ．
52
C 7
D 7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于
原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，
60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得22221
4962
c a a a =+-⨯，
2247c a =，
所以双曲线的离心率为：7e =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
16．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =
c =( )
A ．3
B ．2
C 2
D ．1
【答案】B 【解析】
1333sin A ===3
cos A =
, 所以2
22313
23c c =
+-2
320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0
30,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想. 当求出3cos A =
00
30,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.
17．已知曲线1:sin C y x =，21
:cos 2
3C y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）
A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个
单位长度，得到曲线2C
B ．把1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3
π个单位长度，得到曲线2C
C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个
单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3
π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】
A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12
倍得：sin 2y x =；向右平移3π
个单位长度后
得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=-=-=--=-- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，A 错误；
B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin
2
y x =；向右平移3π
个单位长度后
得：11121sin sin cos cos 232622
632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；
C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12
倍得：sin 2y x =；向左平移3π
个单位长度后
得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+=++=+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，C 错误；
D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin
2
y x =；向左平移3π
个单位长度后
得：1111
sin sin cos cos 232622
623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变
换后的函数解析式.
18．函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ） A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ） B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ） C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ） D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得()23f x sin x πωϕ⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6
π
=
ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间． 【详解】
由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6
π=
ω， ∴()26
3f x sin x π
πϕ⎛⎫=++
⎪⎝⎭．
又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
++=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴cos 1ϕ=， ∴2()k k Z ϕπ=∈，
∴()26
3f x sin x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由22,2632
k x k k Z π
π
π
π
ππ-
+≤
+
≤
+∈，
得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，
∴()f x 的单调增区间为[]
()512,112k k k Z -++∈． 故选B ． 【点睛】
解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．
19．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；④tan 24y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．②④
D ．①③
【答案】A 【解析】
逐一考查所给的函数：
cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T π
π=
= ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为
1
22
ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为22T π
π== ； 函数tan 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的最小正周期为22T ππ== ； 综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
关于（ ） A ．直线3
π
θ=对称
B ．直线6
π
θ=
对称
C ．点2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
对称 D ．极点对称
【答案】A 【解析】 【分析】
由4sin 6πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，得直角坐标方程：22
20x x y -+-= ，圆心为( ，又
因为直线3
π
θ=
即：y = 过点(，由此便可得出答案.
【详解】
由曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，即：2
4sin 6πρρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，又因为cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩，化简得曲线
的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .
又因为直线3
πθ=,直角坐标方程为：y = ，直线y =过点(，故曲线关于
直线3
π
θ=
对称
故选：A. 【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。