2014三垂直模型相关练习[含答案解析]

WORD文档下载可编辑
2013年三垂直模型
相关练习
一．选择题（共13小题）
1．（2010•雅安）如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是（）
2．（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）
3．（2012•郯城县一模）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cosα=（）
B
4．如图，有三条相互平行的直线，一块等腰直角三角板的一直角边与最上面的直线重合．然后绕直角顶点顺时针旋转30°，恰好B点在中间的一条直线上，A点在下面的一条直线上．上、中两平行线间的距离是m，中、下两平行线间的距离是n，那么n：m等于（）
：1 B﹣
5．如图，在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、3、3.5，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（）
6．如图，△ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A，∠D=∠E=90°，则下列结论正确的个数有（）
①CD=AE；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④AD=BE．
7．如图所示，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC的中点，且AE⊥BD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（）
8．（2012•乐山）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E 不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为．
其中正确结论的个数是（）
9．（2013•拱墅区一模）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF 的最大距离为．其中正确的结论是（）
10．在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=，则AC的长为（）
11．两个全等含30°、60°角的三角板ADE与三角板ABC按如图所示放置，E、A、C三点在同一条直线上，连接BD，取BD的中点M，分别连接ME、MC，那么∠MEC等于（）
12．（2006•菏泽）如图，D为△A BC的AB边上的一点，∠DCA=∠B，若AC=cm，AB=3cm，则AD的长为（）
cm B
cm cm
13．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）
二．填空题（共4小题）
14．（2012•绥化）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a 于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为_________ ．
15．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，
PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①BE=AF，②S△EPF的最小值为，③tan∠PEF=，④S四边形AEPF=1，⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论始终正确是_________ ．
16．（2013•昆都仑区一模）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC 边上运动（点E不与点A，C重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．在此运动变化过程中，有下列结论：
①△DEF是等腰直角三角形
②四边形CEDF不可能为正方形
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化
④点C到线段EF的最大距离为
其中正确的有_________ （填上你认为正确结论的所有序号）
17．如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，则CF= _________ ．
三．解答题（共6小题）
18．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
19．（2005•扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题．
20．（2002•崇文区）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，
且ED⊥FD．求证：S四边形EDFC=S△ABC．
21．（2000•河南）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G，求证：BD=CG．
22．如图，已知在△CDE中，∠DCE=90°，CD=CE，直线AB经过点C，DA⊥AB，EB⊥AB，垂足分别为A、B，试说明AC=BE的理由．
解：因为DA⊥AB，EB⊥AB（已知）
所以∠A=∠（_________ ）
因为∠DCA=∠A+∠ADC（_________ ）
即∠DCE+∠RCB=∠A+∠ADC．
又因为∠DCE=90°，
所以∠_________ =∠ECB．
在△ADC和△ECB中，
所以△ADC≌△ECB（_________ ）
所以AC=BE（_________ ）
23．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，写出DE、AD、BE具有的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，写出DE、AD、BE具有的数量关系，不必说明理由；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，问DE、AD、BE具有怎样的数量关系，不必说明理由；
2013年三垂直模型相关练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2010•雅安）如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是（）
AB=．
2．（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）
（
3．（2012•郯城县一模）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cosα=（）
B
中，
AD=，
=．
4．如图，有三条相互平行的直线，一块等腰直角三角板的一直角边与最上面的直线重合．然后绕直角顶点顺时针旋转30°，恰好B点在中间的一条直线上，A点在下面的一条直线上．上、中两平行线间的距离是m，中、下两平行线间的距离是n，那么n：m等于（）
：1 B﹣
，得（）﹣
=﹣=﹣
（
5．如图，在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、3、3.5，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（）
6．如图，△ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A，∠D=∠E=90°，则下列结论正确的个数有（）①CD=AE；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④AD=BE．
7．如图所示，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC的中点，且AE⊥BD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（）
8．（2012•乐山）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E 不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为．
其中正确结论的个数是（）
是等腰直角三角形，，此时点
是等腰直角三角形，
取最小值=2 ，∵CE=CF=2，∴此时点的最大距离为EF=
9．（2013•拱墅区一模）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF 的最大距离为．其中正确的结论是（）
是等腰直角三角形，，此时点
=
是等腰直角三角形，
=2，
的最大距离为EF=
10．在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=，则AC的长为（）
=，=，
（
11．两个全等含30°、60°角的三角板ADE与三角板ABC按如图所示放置，E、A、C三点在同一条直线上，连接BD，取BD的中点M，分别连接ME、MC，那么∠MEC等于（）
12．（2006•菏泽）如图，D为△ABC的AB边上的一点，∠DCA=∠B，若AC=cm，AB=3cm，则AD的长为（）
cm
B
cm cm
cm
=
13．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）
=5，
∴小正方形的边长为
二．填空题（共4小题）
14．（2012•绥化）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a 于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为13 ．
15．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①BE=AF，②S△EPF的最小值为，③tan∠PEF=，④S四边形AEPF=1，⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论始终正确是①②④⑤．
S（2×2÷2）
的最小值为
16．（2013•昆都仑区一模）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC 边上运动（点E不与点A，C重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．在此运动变化过程中，有下列结论：
①△DEF是等腰直角三角形
②四边形CEDF不可能为正方形
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化
④点C到线段EF的最大距离为
其中正确的有①④（填上你认为正确结论的所有序号）
是等腰直角三角形，，此时点
是等腰直角三角形，
取最小值=2，
EF=
17．如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，则CF= 8 ．
三．解答题（共6小题）
18．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
19．（2005•扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题．
20．（2002•崇文区）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，
且ED⊥FD．求证：S四边形EDFC=S△ABC．
S
21．（2000•河南）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G，求证：BD=CG．
22．如图，已知在△CDE中，∠DCE=90°，CD=CE，直线AB经过点C，DA⊥AB，EB⊥AB，垂足分别为A、B，试说明AC=BE的理由．
解：因为DA⊥AB，EB⊥AB（已知）
所以∠A=∠（垂线的性质）
因为∠DCA=∠A+∠ADC（外角的性质）
即∠DCE+∠RCB=∠A+∠ADC．
又因为∠DCE=90°，
所以∠CDA =∠ECB．
在△ADC和△ECB中，
所以△ADC≌△ECB（AAS ）
所以AC=BE（全等三角形对应边相等）
23．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，写出DE、AD、BE具有的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，写出DE、AD、BE具有的数量关系，不必说明理由；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，问DE、AD、BE具有怎样的数量关系，不必说明理由；
中
中，。