数学北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定(3)同步训练(含解析)

2019-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（3）同步训练
一、选择题
1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，AD=7，BF=6，则四边形ABEF的面积为（）
A. 48
B. 35
C. 30
D. 24
2.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E．将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'．设P、P'分别是EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为（）
A. B. C.
D. ﹣8
3.若菱形的周长是16，∠A=60°，则对角线的长度为（）
A. 2
B.
C. 4
D.
4.下列说法中，错误的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.菱形的对角线互相垂直
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
5.如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB，AD的垂线段PE，PF，则PE＋PF等于( )
A. 6
B. 3
C. 1.5
D. 0.75
6.菱形ABCD中，如图，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若BE=EC，则
∠EAF=（）
A. 75°
B. 60°
C. 50°
D. 45°
7.己知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD 上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描
述y与x关系的图像是：( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC 的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）
A. 16
B. 15
C. 14
D. 13
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC
于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（）
A. 20秒
B. 18秒
C. 12
秒 D. 6秒
10.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐
标为（）
A. （1345，0）
B. （1345.5，）
C. （1345，
） D. （1345.5，0）
二、填空题
11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO 上的一个动点，点F为射线DC上一点，若∠ABC=60°，∠AEF=120°，AB=4，则EF可能的整数值是________．
12.如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上一点，若AE=BE=2，
AD=3，则CE=________．
13.如图，在中，，BD为AC的中线，过点C作
于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF．若AF=8，CF=6，则四边形BDFG的周长为________．
14.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________（只
填写序号）．
15.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠ACE＝120°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠AEG＝120°，…，按此规律所作的第n个菱形的
边长是________．
16.如图，菱形中，=2，=5，P 是上一动点（P 不与
重合），∥交于E ，∥交于F ，则图中阴影部分的面积为________。

三、解答题
17.如图，在四边形中，，点E 是边的中点．点F 恰是点E 关于所在直线的对称点．
（1）证明：四边形为菱形；
（2）连接交于点O ．若，求线段的长．
18.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．
19.如图，在平行四边形中，∠BAD的平分线交于E，点F 在上，且，连接．
（1）判断四边形的形状并证明；
（2）若、相交于点O ，且四边形的周长为，，求的长度及四边形的面积.
20.如图，已知菱形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E=60°，AC= ,求菱形ABCD的面积．
21.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）求菱形AEDF的面积；
（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P 从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？
22.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．
（1）证明：BE=CF．
（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
（3）在（2）的情况下，请探究△CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
答案解析部分
一、选择题
1.【答案】D
【考点】菱形的判定与性质，平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵AB ∥EF ，AF ∥BE ， ∴四边形ABEF 为平行四边形， ∵BF 平分∠ABC ，
∴四边形ABEF 为菱形， 连接AE 交BF 于点O ， ∵BF=6，BE=5，∴BO=3，EO=4，
∴AE=8，则四边形ABEF 的面积=6×8÷2=24，故答案为：D
【分析】连接AE 交BF 于点O ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABEF 为平行四边形，再由对角线平分一组对角的四边形是菱形可得四边形ABEF 为菱形，由菱形的性质可得三角形BOE 是直角三角形，用勾股定理可求得OE 的长，则AE=2OE ，所以菱形ABEF 的面积=2
1AE BF 即可求解。

2.【答案】A
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接BD ，DF ，DF 交PP′于H ．
由题意PP′=AA′=AB=CD ，PP′∥AA′∥CD ，∴四边形P P′CD 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形，∵AF=FB ，∴DF ⊥AB ，DF ⊥PP ′，在Rt △AEF 中，∵∠AEF=90°，∠A=60°，AF=4，∴AE=2，EF=2
，∴PE=PF= ，在Rt △PHF 中，∵∠FPH=30°，PF=
，∴HF= 21 PF= ，∵DF= ，∴DH= ﹣
= ，∴平行四边形PP′CD 的面积= ×8= ．故答案为：A ．
【分析】连接BD ，DF ，DF 交PP′于H ．由平移的性质易证
PP′=AA′=AB=CD ，PP′∥AA′∥CD ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形PP′CD 是平行四边形，由菱形的性质易证△ABD 是等边三角形，根据所得的结论解Rt △PHF 可求得HF 的长，则DH 的长可求，所以平行四边形PP′CD 的面积=DH PP′=DH AD 即可求解。

3.【答案】C
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD 的周长是16，
∴AB=AD=CD=BC=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴AB=AD=BD=4.
∴对角线BD的长度为4.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质易证△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解。

4.【答案】B
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故不符合题意；
B.根据菱形的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故符合题意；
C.根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，故不符合题意；
D.根据平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的判定和性质、菱形的判定定理和性质对各选项逐一判断。

5.【答案】B
【考点】菱形的性质，平行四边形的面积
【解析】【解答】解：Θ菱形ABCD的周长为16, =
∴BC4, 菱形面积为12，BC边上的高为3，
Θ∠ABD=∠CBD,P到BC距离等于h=PE, ∴PE＋PF=h+PF=3.所以选B.
【分析】根据菱形的性质和周长可求得边长为4，由菱形的面积可求得三角形ABD 的面积=21菱形的面积=21AB PE+2
1AD PF ，代入即可求解。

6.【答案】B
【考点】等边三角形的判定与性质，多边形内角与外角，菱形的性质 【解析】【解答】解：连接AC ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD ，
∵AE 垂直平分边BC ，AF 垂直平分边CD ，
∴AB=AC ，AC=AD
∴△ABC ，△ACD 均是等边三角形，
∴∠BCA=60°，∠DCA=60°
∴∠BCD=120°
∴在四边形AECF 中，
∠EAF=360°-180°-120°=60°．
故答案为：B
【分析】连结AC ，由菱形的性质和已知条件得出△ABC ，
△ACD 均是等边三角形，得出∠BCA=60°，∠DCA=60°，∠BCD=120°，由四边形内角和定理求出∠EAF 的度数即可。

7.【答案】A
【考点】根据实际问题列二次函数关系式，菱形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．
∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM= x，NE= （1-x），BG= ,
∵△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积，∴y=
=
当x=0或x=1时，S△EFB有最大值；
故答案为：A。

【分析】过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．由菱形的性质可将EM、NE用含x的代数式表示出来，用勾股定理可求得BG的长，根据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE 的面积-△FCB的面积即可写出y与x之间的函数关系式，由题意知，当x=0或x=1时，函数有最大值，由此即可判断正确的图像。

8.【答案】A
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形.
∴AF∥BE，
∴∠FAE=∠BEA.
又∵AE平分∠BAD.
∴∠FAE=∠BAE.
∴∠BEA=∠BAE.
∴AB=BE.
同理可得AB=AF.
∴四边形ABEF为平行四边形.
又∵AB=BE.
∴四边形ABEF为菱形
∴AE⊥BF.
又∵BF=12，AB=10.
∴BO=6，A0=8.
∴AE=16.
故选：A
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质，可知四边形ABEF是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，可知BF的一半为6，由勾股定理可求得AE=16.
9.【答案】A
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意CD=4t ，AE=2t ， ∵DF ⊥BC 于F ， ∴∠DFC=90°
在Rt △DFC 中，∵∠C=30°，
∴DF= 2
1 CD=2t ， ∴DF=AE ，
∵∠CFD=∠B=90°，
∴DF ∥CE ，
∴四边形DFEA 是平行四边形，
∴当DF=AD 时，四边形DFEA 是菱形．
∴120﹣4t=2t ，
∴t=20s ，
∴t=20s 时，四边形DFEA 是菱形．
故选A ．
【分析】首先证明四边形DFEA 是平行四边形，再根据AD=DF ，列出方程求出t 即可解决问题．
10.【答案】B
【考点】菱形的性质，探索图形规律
【解析】【解答】解：连接AC ，如图所示． ∵四边形OABC 是菱形， ∴OA=AB=BC=OC ．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2019=336×6+1，
∴点B1向右平移1344（即336×4）到点B2019．
∵B1的坐标为（1.5，），
∴B2019的坐标为（1.5+1344，），
∴B2019的坐标为（1345.5，）．
故答案为：（1345.5，）．
【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于
2019=336×6+1，因此点B1向右平移1344（即336×4）即可到达点B2019，根据点B5的坐标就可求出点B2019的坐标．
二、填空题
11.【答案】2，3，4
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=4，∠ABC=60°， ∴BD=4 ，
当点E 和点B 重合时，∠FBD=90°，∠BDC=30°，则EF=4；
当点E 和点O 重合时，∠DEF=30°，则△EFD 为等腰三角形，则EF=FD=2，
∴EF 可能的整数值为2、3、4．
【分析】根据菱形的性质可得，当点E 和点B 重合时，易求得EF=4；当点E 和点O 重合时，易求得EF=FD=2，即2≤EF ≤4，所以EF 可能的整数值为2、3、4．
12.【答案】2
5
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD ，交AC 于O 点，设EO=x ，
因为菱形ABCD ，∴AD=AB ，BD ⊥AC ，AO=OC
在直角三角形△ABO 和△EBO 中，根据勾股定理
∴AB 2﹣AO 2=BO 2=BE 2﹣EO 2
∵AE=BE=2，AD=3
∴3×3﹣（2+x ）2=2×2﹣x 2
解得x= 4
1 ， ∴CE=OC+EO=OA+EO=2+x+x= 2
5 ，
∴CE= 2
5 ． 【分析】连接BD ，交AC 于O 点，设EO=x ，由菱形的性质可知△ABO 和△EBO 是直角三角形，根据勾股定理可得，，将已知条件代入即可求得EO 的值，则CE=OC+EO=OA+EO 即可求解。

13.【答案】20
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AG ∥BD ，BD=FG ，
∴四边形BGFD 是平行四边形， ∵CF ⊥BD ，
∴CF ⊥AG ，
又∵点D 是AC 中点，
∴BD=DF= 21 AC=5， ∴四边形BGFD 是菱形，
∴四边形BDFG 的周长=4GF=20．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BGFD 是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=DF=2
1AC ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BGFD 是菱形，所以四边形BDFG 的周长=4GF 。

14.【答案】②
【考点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵BD=CD ，DE=DF ， ∴四边形BECF 是平行四边形，
①BE ⊥EC 时，四边形BECF 是矩形，不一定是菱形；
②AB=AC 时，∵D 是BC 的中点，
∴AF 是BC 的中垂线，
∴BE=CE ，
∴平行四边形BECF 是菱形．
③四边形BECF 是平行四边形，则BF ∥EC 一定成立，故不一定是菱形； 故答案是：②．
【分析】根据点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是线段AD 及其延长线上，且DE=DF ，即可证明四边形BECF 是平行四边形，然后根据菱形的判定定理即可作出判断．
15.【答案】
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接DB ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD=AB ，AC ⊥DB ，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB 是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM= 2
1 ，
∴AM=
， ∴AC= ，
同理可得AE= AC=( )2 ， AG= AE=3
=( )3 ， 按此规律所作的第n 个菱形的边长为(
)n−1 ， 故答案为( )n−1.
【分析】连接DB 交AC 于点M ，由菱形的性质易证△ADB 是等边三角形，根据等边三角形的性质易求得AM=，则AC=2AM=，同理可得AE= AC=，依次类推可得第n 个菱形的边长=。

16.【答案】2.5
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD,BO=OD=
21 12BD=2.5， ∴△ABC 的面积是 2
1 ×AC×BO=2.5， ∵AD ∥BC,AB ∥DC ，
又∵PE ∥BC,PF ∥CD ，
∴PF ∥AB,PE ∥AD ，
∴四边形AEPF 是平行四边形，
∴△AEF 的面积和△PEF 的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC 的面积是2.5.
故答案为：2.5.
【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEPF
是平行四边形，由平行四边形的性质可得△AEF 的面积=△PEF 的面积，则阴影部分的面积=△ABC 的面积即可求解。

三、解答题
18.【答案】（1）证明：
，点E 是AB 变的中点
Θ 点F 恰是点E 关于AC 所在直线的对称点
∴ 四边形 为菱形
（2）解：∵四边形
是菱形， ∴
， ∴
，
∴ 【考点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和对称点的性质易证CE=EA=AF=CF ，根据四条边都相等的四边形是菱形可得 四边形CFAE 为菱形；
（2）由菱形的性质可得OE=OF=21EF=2
1BC 即可求解。

19.【答案】（1）证明：∵CE ∥DB ，BE ∥DC ，
∴四边形DBEC 为平行四边形．
又∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是AC 的中点，
∴CD=BD= 2
1 AC ，
∴平行四边形DBEC 是菱形
（2）解：∵点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，AD=3，DF=1，
∴DF 是△ABC 的中位线，AC=2AD=6，S △BCD = 21 S △ABC ∴BC=2DF=2．
又∵∠ABC=90°， ∴AB= = =4 ． ∵平行四边形DBEC 是菱形，
∴S 四边形DBEC =2S △BCD =S △ABC = 21 AB•BC= 21 ×4 ×2=4 ．
【考点】平行四边形的判定，菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形DBEC 为平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD= 2
1AC ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形DBEC 是菱形；
（2）根据等底同高的两个三角形的面积相等可得三角形ABD 的面积=三角形CBD 的面积，所以S 四边形DBEC =2S △BCD =S △ABC =21AB•BC 可求解。

20.【答案】（1）解：∵AE 是∠BAF 的角平分线，∴∠BAE=∠FAE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAE=∠AEB ，
∴∠BAE=∠AEB ，∴AB=BE ．∵AB=AF ，∴BE=FA ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∵AB=AF ，∴四边形ABEF 为菱形
（2）解：∵四边形ABEF 为菱形，且周长为20，∴AB=5，AE ⊥BF ，BO= 2
1 FB=3，AE=2AO ，在Rt △AOB 中，AO= =4，∴AE=2AO=8，菱
形ABEF 面积= 21 AE×BF= 2
1 ×8×6=24
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质易证BE=FA ，AD ∥BC ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABEF 为平行四边形，再由题意根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABEF 为菱形；
（2）①由菱形的性质，在直角三角形AOB 中，用勾股定理可求得AO 的长，根据AE=2AO 可求解；
②根据菱形ABEF 面积=2
1AE×BF 可求解。

21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=CD ，AB ∥CD.；
又∵BE=AB ，
∴BE=CD.
∵BE ∥CD,
∴四边形BECD 是平行四边形
（2）解：∵四边形BECD 是平行四边形，
∴BD ∥CE.
∴∠ABO=∠E=60°.
又∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC 丄BD,OA=OC.
∴∠BOA=90°，
∴∠BAO=30°.
∵AC= ,
∴OA=OC=
.
∴OB=OD=2.
∴BD=4. ∴菱形ABCD 的面积=
【考点】平行四边形的判定，菱形的性质 【解析】【分析】（1）由菱形的性质易证BE=CD ，BE ∥CD ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BECD 是平行四边形； （2）由菱形的性质和直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半易求得OA=OC=21AC ，由勾股定理可求得OB=OD 的值，则菱形ABCD 的
面积=2
1×
AC×BD 可求解。

22.【答案】（1）证明：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，
∴D 为BC 的中点．
∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，
∴DE 和DF 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥AC ，DF ∥AB ，
∴四边形AEDF 是平行四边形．
∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，AB=AC ，
∴AE=AF ，
∴四边形AEDF 是菱形
（2）解：∵EF 为△ABC 的中位线，
∴EF= 21 BC=5． ∵AD=8，AD ⊥EF ，
∴S 菱形AEDF = 21 AD•EF= 2
1 ×8×5=20 （3）解：∵EF ∥BC ，
∴EH ∥BP ．
若四边形BPHE 为平行四边形，则须EH=BP ，
∴5﹣2t=3t ，
解得：t=1，
∴当t=1秒时，四边形BPHE 为平行四边形．
∵EF ∥BC ，
∴FH ∥PC ．
若四边形PCFH 为平行四边形，则须FH=PC ，
∴2t=10﹣3t ，
解得：t=2，
∴当t=2秒时，四边形PCFH 为平行四边形
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE ∥AC ，DF ∥AB ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF 是平行四边形；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件易证AE=AF ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEDF 是菱形； （2）根据菱形AEDF 的面积=2
1AD•EF 可求解；
（3）①若四边形BPHE 为平行四边形，由平行四边形的性质可得EH=BP 列方程求解；
②若四边形PCFH为平行四边形，由平行四边形的性质可得FH=PC列方程求解。

23.【答案】（1）证明：连接AC，
∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABC、△ACD为等边三角形
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF．（ASA）
∴BE=CF
（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF．
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，
是定值．
作AH ⊥BC 于H 点，
则BH=2，
S 四边形AECF =S △ABC =
=
= （3）解：由“垂线段最短”可知，
当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．
故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，
正三角形AEF 的面积会最小，
又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ， 则△CEF 的面积就会最大．
由（2）得，S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF = ﹣ = ．
【考点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）连接AC ，由菱形的性质和已知条件用角边角易证△ABE ≌△ACF ，则BE=CF ；
（2）作AH ⊥BC 于H 点，根据全等三角形的面积相等可得S △ABE =S △ACF ，则S 四边形AECF =S △ABC ， 而三角形ABC 的面积是定值，且三角形ABC 的面积=21BC •AH ，所以四边形AECF 的面积即可求解；
（3）由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短，根据（2）中的结论即可求解。