第六届华中地区大学生数学建模b题(房地产调控问题)优秀论文

第六届华中地区大学生数学建模邀请赛
承诺书
我们仔细阅读了第六届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们的参赛报名号为：
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武汉工业与应用数学学会
第六届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会
第六届华中地区大学生数学建模邀请赛
编号专用页
选择的题号：赛题2
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竞赛评阅编号：
第六届华中地区大学生数学建模邀请赛
题目：房地产调控问题
【摘要】
房地产是社会经济发展的重要产业，伴随着房地产业的快速发展，它也带来了诸多问题。

针对房地产领域存在的问题，国家陆续出台了一系列宏观政策，在我国房地产调控的十年中，经历了调控起步期、调控加码期、紧急救市期、调控全面加码期。

在这十年中，我国房地产调控目标逐渐清晰，政策体系也逐渐建立起来。

然而，虽然调控取得一定成绩，但调控多为定性的行政手段，量化调控方案很少，并且调控政策一般只是短暂实用某一特定时期。

在这样的背景下，武汉市出台了调控目标：房价的增长速度不高于GDP的增长速度。

有必要根据武汉市近几年经济数据对这一政策进行建模分析，判断这一政策在多长时间内有效。

针对第一问，我们选取了武汉工资年收入、第二产业值、土地价格等五个与住宅价格有着密切关系的指标作为变量，来研究他们与住宅价格之间的关系，首先分析其中每一个变量与住宅价格之间的线性关系，最终，我们采用多元线性模型，利用Matlab编写代码对这几个变量进行多元线性回归，并确定关于住宅价格的关系式。

对于问题二，关于预测2013年6月至12月间商品住宅价格，我们通过分析确定了可以使用灰色模型来做预测，通过前几年的武汉市商品房的价格，建立相应模型。

最终我们通过预测得到了武汉市2013年6月至12月间商品住宅价格，约为８６７７元每平方米。

同理，我们也用该模型预测了2013年年中大宗商品的价格，为４９２４元。

对于问题三，评价调控政策“商品住宅价格的增长速度不高于GDP的增长速度”在多长时间内有效，我们通过建立数学模型模拟商品住宅价格与GDP及其增速、市民工资水平及其增速、通货膨胀率、贷款利率等与商品住宅价格的关系。

其中贷款利率可由政府来调控，该模型可以帮助政府如何确定合适的贷款利率来稳定房地产市场，既不能使其泡沫过于膨胀，也不能使其过于疲软。

关键字：房价线性回归灰色模型预测数据拟合
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第六届华中地区大学生数学建模邀请赛 0
1问题重述 (2)
2问题分析 (3)
2-1：问题一分析 (3)
2-2：问题二分析 (3)
2-３：问题三分析 (3)
3-1 问题一的求解 (4)
３-１－１：问题一的模型假设及符号说明： (4)
３-１－２：问题一的模型求解： (5)
３－１－３：综合求解 (7)
3-2 问题二的求解 (8)
３-２-１：问题（2）的模型假设与符号说明 (8)
3-3问题三的求解 (13)
３－３－１：问题３的假设与符号说明 (13)
３-３-２：问题（３）模型的建立与求解 (14)
4结果分析与模型优化 (18)
４－１问题１结果分析 (18)
４－２问题２结果分析 (19)
４－３：问题３结果分析及优化 (20)
5参考文献： (21)
6附录 (21)
1问题重述
房地产调控问题
从2002年8月26日六部委颁发217号文件起，我国房地产调控历史走过了十余年。

细心盘点房地产调控的十年，大致可以划分为四个阶段：
第一阶段，调控起步期(2002年至2004年)：主要以收紧土地供给和房地产信贷为主要手段，以抑制房地产市场投资过热为目的。

第二阶段，调控加码期(2005年至2008年上半年)：加码的手段以结构性调整为主，在抑制房地产投资过热的同时，提出稳房价的新目标。

国八条、新国八条、国六条相继出台，重点打击囤地行为、改善商品房和保障房供应结构、提高首付比例、推出税收调控手段，改善供给结构的同时开始调节商品房投资性需求。

第三阶段，紧急救市期(2008年下半年至2009年上半年)：为应对全球性金融危机对中国经济的冲击，政府政策全面转向，以楼市稳定来支持经济稳定，从中央到地方全面放松各项房地产调控措施，甚至出台利率打折等购房刺激政策。

第四阶段，调控全面加码期(2010年至今)：遏制房价过快上涨或促进房价合理回归成为突出调控目标。

国十一条、新国十条、限购令等号称史上最严厉调控措施相继出炉，涵盖土地供给、信贷、税收、保障房等各方面的住房差别化调控体系逐渐形成。

近十年，从单一供给管理转向供给与需求综合管理，从防止房地产市场投资过热转向重点遏制房价过快上涨，我国房地产调控目标逐渐清晰，政策体系逐渐建立。

然而，虽然调控取得一定成绩，但调控多为定性的行政手段，量化调控方案很少。

并且调控政策一般只是短暂实用某一特定时期。

近期武汉市出台调控目标：房价的增长速度不高于GDP的增长速度。

请根据武汉市近年经济数据解决以下问题：
1、收集整理武汉市近十年各片区商品住宅价格变化数据、大宗商品价格变化数据、工资收入和GDP数据等。

并挖掘它们之间的关系。

2、根据近十年已知数据建立数学模型并预测2013年6月至12月间商品住宅价格，大宗商品价格变化趋势。

3、结合武汉市市民工资收入的具体情况，评价调控政策“商品住宅价格的增长速度不高于GDP的增长速度”在多长时间内有效。

并尝试建立数学模型模拟商品住宅价格、GDP增速、市民工资水平之间的关系。

2问题分析
2-1：问题一分析
本问要求收集整理武汉近十年的各片区商品住宅价格变化数据、大宗商品变化数据、工资收入和GDP数据等，并找出它们之间的关系。

经过查询发现，武汉各片区数据很难找到，很多都不全，于是我们对问题进行一定的简化，以武汉整体的历年数据来代替各片区，对整体进行分析。

接着我们分析影响住宅价格的因素，最终确定：1.以武汉市住宅价格均值代替各区住宅价格；2.以历年武汉市第二产业值作为大宗商品价格变化数据；3.工资收入以年来计算；4.以武汉年总GDP来代替各区GDP；5.考虑银行存款利率对住宅价格的影响。

然后我们对收集来的数据进行处理分析，并根据这些影响房价的因素之间的关系确立变量，建立相关的数学模型，其次，对分析结果进行合理性分析。

通过以上准备，利用Matlab进行拟合，我们发现这是一个多元线性回归的模型。

2-2：问题二分析
本问是关于对未来房价及大宗商品价格的变化趋势。

经分析可看出，房地产市场具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，即该系统为灰色系统。

已确定该系统为灰色系统，所以我们可以用灰色模型来进行建模，并预测未来的房地产市场的商品住宅价格。

灰色预测的特点是单数列预测。

灰色系统理论把受众多因素影响,而又无法确定那些复杂关系的量,称为灰色量。

对灰色量进行预测,不必拼凑一堆数据不准,关系不清、变化不明的参数,而是从自身的时间序列中寻找有用信息,建立和利用模型,发现和认识内在规律,并进行预测。

但并不是说,灰色量不受任何因素的影响,而是说,时间序列数据的动态变化,正是那些主要的、次要的,直接的、间接的,已知的、未知的,明显的、隐含的众多因素相互联系、相互制约的体现以及协同作用的结果。

在这里，我们就是从本身由题目的所得商品住宅价格的时间序列出发建立GM(1,1)模型进行预测。

2-３：问题三分析
本问是要求建立数学模型模拟商品住宅价格、GDP增速、市民工资水平等因素之间的关系，房屋作为一种消费品，其价格的合理性当然要从消费者和房地产开发商两个角度来考虑。

房地产开发商会考虑的是其利润率（房价）与承受能力（房地产商向银行的贷款额度以及贷款利率），而消费者对房价的合理性判断当然基于自己的承受能力，我们分别从房地产开发商和购房者这两个角度分别进行建模，分别得出供应量与商品住宅价格、GDP增速、市民工资水平等因素之间的关系和需求量与商品住宅价格、GDP增速、市民工资水平等因素之间的关系。

通过这两个角度进行建模，我们可以得到供应量的函数关系式及需求量的函数关系式，将两式分别联立，我们假设两函数的交点为模拟房价，从而就可以得到商品房的价格的数学表达式，能够定量的表示房价与各个因素之间的关系。

在建模过程中，我们主要考虑商品房价格与GDP及其增长率，居民年收入及其增长率，通货膨胀率，银行贷款利率的关系。

由于水平有限，再加上很多资料很难查到，
所以我在建模过程中只考虑房地产商向银行的贷款利率对房地产市场的影响，不考虑国家在其他方面的干涉手段（诸如限制用户贷款和限购等）。

在建模过程中，我们使用了住房可支付性指数HAI，住房可支付性指数是用来评价居民住房支付能力。

根据对住房消费比例(住房消费支出占收入比例)的上限要求,考察住房市场中处于中位数收入水平的家庭,对处于中位数房价住房的承受能力如何.如果中位数收入的家庭正好能够承受中位数房价的住房,则此时的HAI为100;如果该家庭只能承受更低价格的住房,则HAI小于100;大于100的指数说明该家庭能够承受价格更高的住房.
3模型的建立与求解
3-1 问题一的求解
３-１－１：问题一的模型假设及符号说明：
假设：
假设一：武汉市各片区的数据之间的关系与整个武汉市的数据之间的关系一致
假设二：大宗商品价格变化数据可以用历年全市第二产业值来代替
假设三：所收集的数据不考虑政策、经融危机等各种因素的干扰
假设四：银行存款利率在一年内保持不变
问题一的符号说明：
houseprice：住宅价格（元）
pay ：工资年收入（元）
landprice：地价（元）
secondary：第二产业（亿元）
gdp：全市总GDP（亿元）
rate：存款利率(%)
年份住宅价格
（元）
地价（元/
平方米）
工资年收
入（元）
第二产业
（亿元）
总GDP（亿
元）
存款利率
2003年2353.40 2066.79 9080.00 752.39 1622.00 2.52 2004年2667.60 2282.42 10039.00 825.78 1882.00 3.24 2005年3345.80 2668.39 11719.00 1019.26 2238.00 3.69 2006年3633.30 3218.71 13818.00 1195.74 2590.00 3.96 2007年4665.30 2604.45 17455.00 1440.00 3145.00 5.22 2008年5463.70 2185.41 22999.00 1867.21 3960.08 4.77 2009年5296.00 2244.14 27213.00 2142.14 4560.02 3.33 2010年6184.49 2630.17 33320.00 2532.82 5565.90 4.15 2011年6414.76 3070.00 39303.00 3254.02 6756.20 4.5 2012年6349.70 3423.00 45643.00 3490.00 8003.82 4.25
３-１－２：问题一的模型求解：
（１）住宅价格（元）houseprice与工资年收入（元）pay 之间的关系回归方程：houseprice =p1*pay + p2
利用MATLAB解得：
p1 = 0.1111 ，p2 = 2075；
相关系数：r= 0.9330 正相关较好
相关指数：R^2= 0.8706 回归效果很好
残差平方和：2.767e006
（２）住宅价格（元）houseprice与地价（元/平方米）landprice之间的关系：回归方程：houseprice =p1*landprice + p2
解得：p1 = 1.457 ，p2 = 791.8
相关系数：r= 0.4406 正相关较差，说明二者线性关系不强
相关指数：R^2= 0.1942 回归效果较差
残差平方和：1.722e007
（3）住宅价格（元）houseprice与第二产业（亿元）secondary之间的关系：回归方程：houseprice =p1* secondary + p2
解得：p1 = 1.68 ，p2 = 1640
相关系数：r= 0.9485 正相关较好
相关指数：R^2= 0.8996 回归效果很好
残差平方和：1.82e006
（4）住宅价格（元）houseprice与总GDP（亿元）之间的关系：
回归方程：houseprice =p1*gdp+ p2
解得：p1 = 0.6561 ，p2 = 1992
相关系数：r= 0.9235 正相关较好
相关指数：R^2= 0.8528 回归效果很好
残差平方和：3.146e006
（5）住宅价格（元）houseprice与存款利率rate之间的关系：
回归方程：houseprice =p1*rate+ p2
p1 = 1241 , p2 = -281.2
相关系数：r= 0.6419 正相关较好
相关指数：R^2= 0.412 回归效果较好
残差平方和：1.257e007
３－１－３：综合求解
综合考虑以上因素，因为房价与地价的线性相关程度不高，在建立模型时将其视为常量，由以上方程组合在一起，我们利用Matlab 多元线性回归的模型，得到：Y=b0+b1*X1+b2*X2+b3*X3+b4*X4
其中符号的意义：
b0 常量, b1、b2、b3、b4 回归系数
X1 工资年收入（元）
X2 第二产业（亿元）
X3 总GDP（亿元）
X4 银行存款利率（%）
Y 该年的房价
bint 回归系数的区间估计
r 残差
rint 置信区间
stats 用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数、F 值、与F 对应的概率p
rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间
说明：相关系数r^2越接近1，说明回归方程越显著，F>F1-alpha(p,n-p-1) 时
拒绝 H0，F 越大，说明回归方程越显著，与 F 对应的概率 p<alpha 时拒绝 H0,回归模型成立。

alpha 表示显著性水平(缺省时为 0.05)。

利用MATLAB 中的regress 函数进行求解得
0ˆb =276.0577, 0ˆb 的置信区间为)0.1259,9.706(-
0.5474 ˆ1=b
， 1ˆb 的置信区间为)9.0,2.0( 0.3686ˆ2=b ， 2ˆb 的置信区间为()1.3,4.2- -2.8808ˆ3
=b ， 3ˆb 的置信区间为()2.1,5.4-- 674.6070 ˆ4
=b ， 4ˆb 的置信区间为()4.966,8.382 1
0001.0104
2=⨯=r ，1040.0104 104=⨯=F ，0.0000 =p 05.0<p ，所以回归模型：
4
3216070.6748808.23686.0*5474.00577.276X X X X Y +-++= 成立
3-2 问题二的求解
３-２-１：问题（2）的模型假设与符号说明
假设：
假设1：选取的数据是武汉2002~2011十年间年房产完全均价； 假设2：所取得的数据不考虑政策等政府因素干扰； 假设3：数据波动在合理范围之内； 假设4：在建模过程中不考虑非正常需求引起的物价上涨，如房地产投机者炒房等； 符号说明：
a ：待估参数向量；
0X ：原始数据序列； 1X ：0X 的生成数据序列； 1Z ：1X 的紧邻均值生成； 1ˆX
：1X 的模拟值序列； 0ˆX
：为0X 的模拟值序列； ε：残差；
S ：X 的灰色关联度；
S
ˆ：X ˆ的灰色关联度； 0ε：小误差概率；
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=1)10(1)9(1)8(1)7(1)
6(1)5(1)4(1)3(1)2(1
111
11
11
1z z z z z z z z z B ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)10()9()8()7()6()5()4()3()2(00
0000000x x x x x x x x x Y 对问题的分析求解：
首先，我们找到了2002~2011这十年间武汉房地产的均价数据，如下表所示： 年份 房价（元/平方米） 年份 房价（元/平方米） 2002 2066.79 2007 4665.3 2003 2353.4 2008 5463.7 2004 2667.6 2009 5296 2005 3345.8 2010 6184.49 2006 3633.3 2011 6414.76
我们可记原始数据序列0X 为：
{}
)
14.766184.49,6463.7,5296,,4665.3,545.8,3633.32667.6,334,4.2353,79.2066()
10(),3(),2(),1(00000==x x x x X
其相应的数据生成序列为1X
{}
)()3(),2(),1(11111n x x x x X =
其中n k i x k x k
i 2,1)
()(1
01
==∑=
将以上数据代入得：
)
14.42091,38.35676,
89.29491,89.24195,19.18732,89.14066,59.10433,79.7087,19.4420,79.2066(1=X
1Z 为1X 紧邻均值生成序列：
{}
)(,),3(),2(),1(11111n z z z z Z = n k k x k x k z ,2,1)
1(5.0)(5.0)(111=-+=
将以上数据代入得：
)76.38883,14.32584,89.26843,
04.21464,89.16399,24.12250,69.8760,99.5753,49.3243,79.2066(1=Z
再根据上面的定义，得矩阵B ，Y 如下：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---------=76.641449.618452967.54633.46653.36338.33456.26674.2353176.38883114.32584189.26843104.21464189
.16399124.12250169.8760199.5753149.3243Y B
⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡⨯-⨯-⨯=9106618413.1106618413.1107689972943755043.4][559
B B T
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡==-095633946669916013089652268.177787503705484465435694667030.11800615-)(1Y B B B a T T 接下来，我们就可以确定模型（灰微分方程）：b ax dt
dx =+11
得：
1778.2268118.011
=-∂∂x t
x 及时间响应函数：
6271187
19221.8457627119e 21288.6357/)/)1(()1(ˆ0.118k 01-=+-=+-a b e a b x k x
ak
那么可以求出1X 的模拟值：
)
809767842348.0716*******,35495.09682995159,29404.88513315141,23992.53803284492,19182.60659517583,14908.0393*******,11109.24848533840,
7733.277938323906,4733.06626,79.2066(ˆ1=X
还原0X 的模拟值，由)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ110k x k x k x
-+=+ 得：
)
16746556852.974859350530,6090.211696800182,5412.347090306491,4809.931507669088,4274.567131882691,3798.790944759299,3375.970510209934,
3000.211678323906,2666.27626,79.2066(ˆ0=X
序号 年份
实际数据
模拟数据
残差
相对误差
)(0k x
)(ˆ0k x
)(ˆ)()(00k x
k x k -=ε
)
()
(0
k x k k ε=
∆
2 2003
2353.4 2666.276 -312.876 0.132946375 3 2004 2667.6 3000.2 -332.6 0.124681362 4 2005 3345.8 3375.97 -30.17 0.009017275 5 2006 3633.3 3798.79 -165.49 0.045548124 6 2007 4665.6 4274.567 390.733 0.083753028 7 2008 5493.7 4809.93 653.77 0.119657009 8 2009 5296 5412.347 -116.347 0.021968844 9 2010 6184.49 6090.2 94.29 0.015246205 10 2011 6414.76 6852.97
-438.21
0.068312766
317
1031354.04)10()9()8()7()6()5()4()3()2(])10()9()8()7()6()5()4()3()2([=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅==εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεT
s 平均相对误差
40.069014559110
2
=∆=∆∑=k k
计算X 与X
ˆ的灰色关联度 14931.585))1()10((21))1()((9
2
=-+-=
∑=k x x x k x S 19287.050))1(ˆ)5(ˆ(21))1(ˆ)(ˆ(ˆ9
2
=-+-=∑=k x x x k x S
058.102))]1(ˆ)5(ˆ())1()10([(21
))]1(ˆ)(ˆ())1()([(ˆ9
2
=---+---=-∑=k x x x x x k x x k x S S
精度为：.997026430ˆˆ1ˆ10=-+++++=
S S S
S S S ε
精度为一级，可以用
6271187
19221.8457627119e
21288.6357/)/)1(()1(ˆ0.118k
01-=+-=+-a b e a b x k x
ak
)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ110k x k x k x
-+=+ 预测。

下面我们用该模型来预测2012，2013年武汉市的房价均值：
2012年房价均值预测：
7817221
50059.3412 627118719221.8457627119e 21288.6357)11(ˆ100.1181=-=⨯x
71954317711.26959)10(ˆ)11(ˆ)11(ˆ110=-=x x x
201３年房价均值预测：
8358238
58736.4019627118719221.8457627119e 21288.6357)12(ˆ110.1181=-=⨯x
54101718677.06070)11(ˆ)12(ˆ)12(ˆ110=-=x x x
下图为近几年房地产价格的走势，其中线是表示实际房地产价格的走势。

同理，我们可以用此模型来预测２０１３年大宗商品的价格，得到如下等式：
2510.50521
3262.8952e
/)/)1(()1(ˆ0.19486k
01-=+-=+-a b e a b x k x
ak
)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ110k x k x k x
-+=+ 代入，解得２０１３年的大宗商品价格为：４９２４.１亿元
其中用Ｍａｔｌａｂ求解的代码见附录
3-3问题三的求解
３－３－１：问题３的假设与符号说明
假设：
假设1：由于中国大部分房地产开发商开发房地产的模式近似，都是在房屋尚未竣工之前，就打出广告进行宣传，提前可以冲购房者的手中套取一大笔的现金，再用这笔资金支持剩下的工程并向银行还清房贷，所以我们考虑房地产商向银行的贷款均可在短时间（1年）内还清。

假设2：就国家政策对房地产商的影响，只考虑贷款利率对房地产市场的影响。

假设3：购房者都是用按揭付款的方式买房的（即贷款方式）。

假设4：购房者用按揭付款方式买房时，其首付比例与贷款利率都是一个定常数。

假设5：就GDP 对房地产市场的影响，我们只考虑它对开发商开发房地产的成本（即开发商向银行贷款数额）的影响。

假设6：需求量受到住房可支付性指数HAI 的影响。

假设7：住房可支付性指数HAI 受到实际房价和购房者进行按揭抵押贷款时每月所要支付的还款有关
假设8：供应量受到上一年的房价数额和房地产商要向银行所还贷款数额有关。

假设9：房地产商向银行贷款数额本是受到建材，土地等价格的影响，在这里我们将其假设为只受GDP 和通胀率的影响。

假设10：供应直线和需求直线所交叉的那个点所对应的房价即为模拟房价。

假设11：购房者用按揭付款方式买房时，其还款年限取一定值。

符号说明：
R ：开发商向银行贷款数额； T ：开发商的还款年限；
W ：房地产商向银行定期的还款数额； Ω：房地产商向银行贷款的利率；
n ：首付比例；
t ：购房者还款年限；
w ：购房者定期向银行还款数额； ω：购房者的年贷款利率；
n G ：当年的武汉GDP 值； n
G ˆ：当年武汉GDP 增长率 n P ：当年的房价；
n Q ：当年购房者当年的收入； n
Q ˆ：当年购房者年收入增长率； n Z ：当年全国通货膨胀率； Supply ：房屋的供应量； Need ：房屋的需求量；
)3,2,1(,, =i c b a i i i ：为了表示各个指标的线性关系而设的系数，是个定常数；
３-３-２：问题（３）模型的建立与求解
通过上述分析，我们可以分别从房地产商和购房者两个角度分析，分别作出房屋的供应函数和房屋的需求函数，将这两个方程联立，从而可得出房地产价格和GDP 增速，人均工资水平，国家宏观调控贷款利率，通货膨胀等因素之间的关系。

我们先从购房者的角度去考虑。

由以上假设可得，购房者向银行的贷款额度为
)1(n P n -即：
ω
ωωωωωω1
)1()
1(1])1(1[1)1()1()1)(1(21-+⋅
=+-+-⨯⋅
=+++++=+---t t t t t w w w
w w n p
即： t n t
n P w )1()1(1
)1(ωωω
+⋅-⋅⋅-+=
由假设7，住房可支付性指数HAI 受到实际房价和购房者进行按揭抵押贷款时每月
所要支付的还款有关，我们可以建立一个HAI 与n
Z Q Q w ,ˆ,,之间的关系： )ˆ(111n
n n
Z Q c Q w a b HAI -⋅+⋅
-= 我们可以用单调性来分析其合理性，当购房者定期还款额度w 增大时，函数单调递减，可支付性指数HAI 减少；反之，HAI 增大；当人均工资n Q 增大时，函数单调递增；当工资增长率超过通胀率且差距加大时，函数递增，HAI 增多。

这些都与实际情况是符合的，所以该函数关系是合理的。

由假设6，需求量受到住房可支付性指数HAI 的影响，我们可以建立一个需求量与HAI 的关系：
22b HAI a Need +⋅= 联立二式，得：
2
111221112)]ˆ()1()1(1
)1([)]ˆ([b Z Q c Q n P a b a b Z Q c Q w a b a Need n n n
t
n
t n n n
+-⋅++⋅-⋅⋅-+⋅
-⋅=+-⋅+⋅
-⋅=ωωω
下面我们再从开发商的角度去建模，去建立一个供应函数。

就开发商向银行贷款的问题，我们可以建立以下的函数关系式：
Ω
-Ω+⋅
=Ω+-Ω+-⨯⋅
=++Ω++Ω+=Ω+--1)1()1(1])1(1[1)1()1()1(21T T T T T W W W
W W R
即： T T
R W )1(1
)1(Ω+⋅⋅-Ω+Ω
=
由假设9，房地产商向银行贷款数额本是受到建材，土地等价格的影响，在这里我们将其假设为只受GDP 和通胀率的影响，我们可以建立一个有关贷款数额R 的函数关系式：
)ˆ(4n
n n Z G G a R -⋅⋅= 由假设8，供应量受到上一年的房价数额和房地产商要向银行所还贷款数额有关，
我们可以建立一个有关供应量Supply 的函数关系式：
3
133
13)
1(1
)1()
1()
1(b R Z P a b W
Z P a Supply T
T n n n n +Ω+⋅⋅-Ω+Ω+⋅=++⋅
=-- 由假设10，供应直线和需求直线所交叉的那个点所对应的房价即为模拟房价，我们可以将供需两函数联立，得：
)ˆ()1()1(1
)1()
1(1
)1()]ˆ([)1(42
1112313n
n n t n t
T
T n n n
n n Z G G a R n P w R W b Z Q c Q w a b a b W Z P a Need Supply -⋅⋅=+⋅-⋅⋅-+=
Ω+⋅⋅-Ω+Ω=
+-⋅+⋅-⋅=++⋅=-ωωω
至此，模型建立已经初步完成。

考虑到这个模型仍较为复杂，求解不太容易。

下面，我们再依据假设对模型进行进一步的简化。

由假设1：由于中国大部分房地产开发商开发房地产的模式近似，都是在房屋尚未竣工之前，就打出广告进行宣传，提前可以冲购房者的手中套取一大笔的现金，再用这笔资金支持剩下的工程并向银行还清房贷，所以我们考虑房地产商向银行的贷款均可在短时间内还清。

再查阅相关资料可得出，一般开发商的贷款可在1年内还清，即我们取T=1；
由假设4和假设11，购房者用按揭付款方式买房时，其首付比例与贷款利率都是一个定常数；购房者用按揭付款方式买房时，其还款年限取一定值。

通过查阅相关资料可知，首付n 一般为30%的房价，即n=0.3；还款年限平均为15年。

取 )1(1
)1()1(n m t
t
-⋅-++=ωωω 即：
)ˆ()]ˆ([122121221112n n n
n n n n
Z Q c a Q P m a a b b a b Z Q c Q w a b a Need -+⋅-+=+-⋅+⋅
-⋅=
3
4133133
13)ˆ()1()
1()1(1
)1()
1()
1(b G Z G a Z P a b R Z P a b W
Z P a Supply n
n n n n T
T
n n n n +⋅-⋅⋅Ω++⋅=+Ω+⋅⋅-Ω+Ω
+⋅=++⋅
=---
再联立得：
n
n n n n
n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n Z Q c a b b a b Q P c a m a a G Z G Z P c a a a Z Q c a b b a b Q P m a a G Z G Z P a a Z Q c a Q P m a a b b a b G Z G a Z P a Need
Supply -=--+⋅+⋅-⋅Ω++⋅-=--+⋅+⋅-⋅Ω++⋅-+⋅-+=+⋅-⋅⋅Ω++⋅=---ˆ)()ˆ()1()1()ˆ()()ˆ()1()1()ˆ()ˆ()1()1(1221231221112431221232114312212123413 取 1
221231
2211
243
)
(c a b b a b r c a m a a q c a a a p --=
==
代入，得：
n
n n n n
n n n n Z Q r Q P q G Z G Z P p -=+⋅+⋅-⋅Ω++⋅
-ˆ)ˆ()1()1(1 于是，我们可以根据2009、2010、2011年的各项相关指标，分别代入上式中，即
可算出p q r 的值，从而可以得出上式各项指标间的函数关系，从而定量分析商品房价格与GDP 及其增长率，年收入及其增长率，通货膨胀率，银行贷款利率的关系。

商品房价格（元） 年工资（元） 年工资增长率 总GDP （亿元） GDP 增长率 贷款利率（%） 通货膨
胀率（%） 2008 5463.70 22999 0.32 3960.08 0.25916 7.29 5.9 2009 5296.00 27213 0.18 4560.02 0.15149 5.4 -0.7 2010 6184.49 33320 0.22 5565.90 0.22058 5.6 3.3 2011 6414.76 39303 0.18 6756.20 0.21385 6.1 5.4 2012 6349.70 45643 0.16 8003.82 0.18466 6.4 2.7
我们取2009，2010，2011这三年的各项数据代入上式来计算p q r 的值。

即，分别取n=2009; n=2010; n=2011代入
n n n n n n n n Z Q r Q P q Z G Z P p -=+⋅+-⋅Ω++⋅
-ˆ)ˆ()1()1(1 得：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎩
⎪⎨⎧==++==++==++-8883.95787.787711.0089.0187.0126.011946.0122.711856.0332.61163.095.32009089.01946.0122.72010187
.01856.0332.62011126.0163.095.31B A X B
AX B r q p X A n r q p n r q p n r q p
即得： n n n n n
n n n Z Q Q P Z G Z P -=+⋅--⋅Ω++⋅-ˆ8883.95787.78)ˆ()1()1(7711.01 4结果分析与模型优化
４－１问题１结果分析
残差分析：在Matlab 命令窗口中输入
int),(r r rcoplot
得到残差图如下图所示：
从“残差图”可以直观地看出残差的绝对数值都比较小，所描绘的点都在以0为横轴的直线上下随机散布，回归直线对各个观测值的拟合情况是良好的。

说明变量X与y 之间有显著的线性相关关系。

综合以上结论分析可以看出：商品住宅价格与地价呈一个不太稳定的关系，两者并没有因果关系，在房价一路上涨的趋势下，地价却起伏不定；由此也说明了房价的涨跌并不依赖与低价，它对于地价有一定程度的独立发展空间，国家调控地价并不能直接影响到房价。

除此之外，商品住宅价格与存款利率有一定的线性关系，不过并不是太大。

除了这两条以外，商品住宅价格与其他几个因素（工资，第二产业产值，GDP）都有很强的线性关系。

４－２问题２结果分析
想知道今年房价怎么走，一定要分析一下去年房价是怎么涨起来的。

中国社会的高速发展，社会财富的迅猛增加，在中国高速发展的大背景下，导致房价在长期趋势中的单边上升是必然的趋势，道理很简单，社会财富以每年10%左右的速度增加，单位货币就以相同的速度缩水，以该货币标价的房价自然应该上涨。

然后国家对货币投放量的增加，使社会资金供应十分充裕，2009年房价上涨过快和2009年货币投放量太大有直接关系，货币投放量增加一是导致单位币值的货币加速贬值，二是使市场流动性增加，这些都加速了房价的上涨。

还有一个很关键的因素是国家出台的相关政策。

08年底09年初，为应对国际金融海啸，国家各种鼓励投资和消费的政策出台，包括二手房的税收优惠，大力支持“房贷”，甚至对于按揭降低首付款比例、降低利率，这一切都是国家政策引导资金流向房地产业，促进了房价的升高。

到２０１０年，我国进入调控全面加码期，国十一条、新国十条、限购令等号称史上最严厉调控措施相继出炉，涵盖土地供给、信贷、税收、保障房等各方面的住房差别化调控体系逐渐形成，从各个方面抑制了投机者的炒房行为。

所以从１１年以后所得数据与预测值有所偏差２０１１年后到２０１２年，房价首次出现下跌趋势。

综上分析，国家宏观调控政策在短期内可以取得很大的成效，在很大程度上能够有效控制市场经济中房价的异常变动，在没有政府干涉的情况下，房地产的价格是由市场经济的自然法则决定的，一旦引入了政府干预手段，那这个时候政府对市场的调控就起
着主导作用。

４－３：问题３结果分析及优化
下面我们来检验该模型的可靠性，我们用该模型来预测2012年的房地产价格： 将以上表格中2012年的数据代入方程式中，得：
79302012=P
我们通过问题（３）中建立的模型预测了２０１２年武汉市的房价，结果比实际要高，原因是因为近年来国务院实施的房屋限购政策，这个没在建模中考虑到。

关于问题３模型的优化，我们可以设一个限购因子ε，用来衡量限购令对房地产商投资楼市的影响，ε取值在０到１之间，ε越大，限购越强，对房地产泡沫过速膨胀打压力度也越大。

将其带入上式中，得：
3413313)
ˆ()1()1)(1()1)(1(b Z G a Z P a b W Z P a Supply n n n n n n +-⋅⋅Ω+-+⋅=+-+⋅
=--εε 再联立得：
n n n n n
n n n n Z Q c a b b a b Q P c a m a a G Z G Z P c a a a Need
Supply -=--+⋅+⋅-⋅Ω+-+⋅=-ˆ)()ˆ()1()1)(1(122123122111243ε 根据实际情况，我们可以取6.0=ε
这个结果带入计算与实际较为接近，预测２０１２年商品房的价格为６５７２元，与实际较为符合。

我们用该模型来评价调控政策“商品住宅价格的增长速度不高于GDP 的增长速度”在多长时间内有效，由以上模型可以看出，商品住宅价格与人均年收入及其增长率，上一年的房价呈正相关，与限购因子ε，贷款利率，GDP 及其增长率呈反相关。

n n n n n
n n n Z Q Q P Z G Z P -=+⋅--⋅Ω+-+⋅-ˆ8883.95787.78)ˆ()1()6.01)(1(7711.01 在建模过程中，我们还有一个因素未做考虑，就是关于部分房地产开发商投机者违反市场基本经济规律的恶意炒房行为。

就武汉市政府日前提出调控政策的目标“商品住宅价格的增长速度不高于GDP 的增长速度”，由以上的建模关系我们可以看出，在政府不加入外界干涉的情况下，房价是受制于市场经济中的自然规律，但一旦引入了政府干预，那这个时候政府对楼价的走势就起着主导作用，所以就未来“商品住宅价格的增长速度不高于GDP 的增长速度”在多长时间内有效是可以由政府来决定的，政府可以通过限制房地产商的贷款（提高银行存款准备金率），限购或提高银行的贷款利率等几个方面有效地干涉房价走势。

综合以上分析，再结合我国实际国情，我们可以给政府在调控房价上如下建议：房地产的发展有利于国民经济的快速增长，但它同时也能够成为经济泡沫的载体，给国家经济带来极大危害。

由于我国市场化水平还不高，加之房地产起步较晚，管理制度还不健全，单纯依靠市场来起作用，无法实现房地产市场的健康发展。

因此，在市场经济。