北京牛栏山第一中学九年级数学上册第四单元《圆》测试题(答案解析)

一、选择题
1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）
A ．24π
B ．21π
C ．16.8π
D ．36π 2．点P 到圆上各点的最大距离为10cm ，最小距离为6cm ，则此圆的半径为（ ）
A ．8cm
B ．5cm 或3cm
C ．8cm 或2cm
D ．3cm 3．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧所在的圆的圆心，20cm AB =，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的中点，且5cm CD =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A ．10cm
B ．12.5cm
C ．15cm
D ．17cm
4．给出下列说法：①圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③经过三个点一定可以画一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．正确的有（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．如图，不等边ABC 内接于O ，下列结论不成立的是（ ）
A ．12∠=∠
B ．14∠=∠
C ．2AOB ACB ∠=∠
D ．23ACB ∠=∠+∠ 6．如图所示，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，21BDC ∠=︒，则AOC ∠的度
数是（ ）
A ．136°
B ．137°
C ．138°
D ．139°
7．如图，在等边ABC 中，点O 在边AB 上，O 过点B 且分别与边AB BC 、相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）
A ．若EF AC ⊥，则EF 是O 的切线
B ．若EF 是O 的切线，则EF A
C ⊥ C ．若3BE EC =，则AC 是O 的切线
D ．若B
E EC =，则AC 是
O 的切线 8．如图，PA 、PB 、CD 是O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若60APB ∠=︒，则COD ∠的度数（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．75°
9．如图，大半圆中有n 个小半圆，若大半圆弧长为1L ，n 个小半圆弧长的和为2L ，大半圆的弦AB ，BC ，CD 的长度和为3L ．则（ ）
A ．123L L L =>
B ．123L L L =<
C ．无法比较1L 、2L 、3L 间的大小关系
D ．132L L L >>
10．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P 的面积，那么k 的值是（ ）
A ．12
B ．45
C ．1
D ．43
11．如图，⊙O 的直径2AB AM =，和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，则四边形ABCD 的面积S 的最小值为（ ）
A ．1
B 2
C ．2
D ．4 12．在扇形中，∠AOB =90°，面积为4πcm 2，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的
底面半径为 ( )
A ．1cm
B ．2cm
C ．3n
D ．4cm 二、填空题
13．已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______，第6次点M 的坐标是_______．
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M
是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为
_______________________．
15．如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是____________．
16．如图，已知O 是以数轴上原点O 为圆心，半径为2的圆，45AOB ∠=︒，点P 在x
正半轴上运动，若过点P 与OA 平行的直线与O 有公共点，设P 点对应的数为x ，则x 的取值范围是______．
17．如图，A 是半径为1的O 外一点，2OA =，AB 是O 的切线，点B 是切点，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为________．
18．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线
AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.
19．已知圆心O 到直线l 的距离为5，⊙O 半径为r ，若直线l 与⊙O 有两个交点，则r 的值可以是________．（写出一个即可）
20．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE ，过点 B 作 BG ⊥AE 于点 G ， 连接 CG 并延长交 AD 于点 F ，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为______．
三、解答题
21．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且CD AB ⊥于点E ．
（1）若50A ∠=︒，求OCE ∠的度数；
（2）若42CD =，2AE =，求
O 的半径． 22．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点C 的切线相互垂直，垂足为D ，且交O 于点E ，连接OC ，BE ，相交于点F ．
（1）求证：EF BF =；
（2）若4DC =，2DE =，求直径AB 的长．
23．如图，以Rt ABC 的AC 边为直径作O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点P 为BC 的中点，连接EP ，AD ．
（1）求证：PE 是O 的切线； （2）若O 的半径为3，30B ∠=︒，求P 点到直线AD 的距离．
24．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点C 的坐标为()2,1-．
（1）画出将ABC 关于y 轴对称的111A B C △；
（2）画出ABC 绕点O 的逆时针旋转90°得到的图形222A B C △，并求出在此旋转过程中点A 运动到点2A 所经过路径的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()10,0，点B 的坐标是()8,0，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形．
（1）求CD 的长；
（2）求直线BC 的解析式．
26．已知PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝80°，C 为⊙O 上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB 的大小；
（Ⅱ）如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D ．若AB ＝AD ，求∠EAC 的大小．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：圆锥的底面周长6π=， 所以圆锥的侧面积165152
ππ=⨯⨯=， 圆锥的底面积239ππ=⨯=，
所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
2．C
解析：C
【分析】
分析题意，本题应分两种情况讨论：（1）点P 在圆内；（2）点P 在圆外；根据“一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上”可知，点P 到圆的最大距离与最小距离的和或差即是圆的直径，进而即可得出半径的长．
【详解】
当点P 在圆内时，圆的直径是10+6=16cm ，所以半径是8cm ．
当点P 在圆外时，圆的直径是10-6=4cm ，所以半径是2cm ．
故选C ．
【点睛】
本题考查了圆的有关性质，熟知一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据题意，可以推出AD＝BD＝10，若设半径为r，则OD＝r﹣5，OA＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】
解：∵OC⊥AB，AB＝20，
∴AD＝DB＝10，
在Rt AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣5）2+102，
解得：r＝12.5，
∴这段弯路的半径为12.5，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OA的长度．
4．C
解析：C
【分析】
根据对称轴是一条直线，即可判断①；根据外心的性质即可判断②；利用确定圆的条件即可判断③；根据弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，即可判断④；根据垂径定理的推论，即可判断⑤．
【详解】
∵圆是轴对称图形，直径所在直线是它的对称轴，∴①错误；
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴②正确；
∵经过不在同一直线上的三点确定一个圆，∴③错误；
∵平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，∴④错误；
∵垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，∴⑤正确；
综上，正确的是②⑤，共2个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理及其推论，三角形的外接圆与外心等知识点的应用，正确把握相关定义是解题关键．
5．B
解析：B
【分析】
利用OB=OC可对A选项的结论进行判断；由于AB≠BC，则∠BOC≠∠AOB，而∠BOC=180°-
2∠1，∠AOB=180°-2∠4，则∠1≠∠4，于是可对B选项的结论进行判断；根据圆周角定理可对C选项的结论进行判断；利用∠OCA=∠3，∠1=∠2可对D选项的结论进行判断．【详解】
解：∵OB=OC，
∴∠1=∠2，所以A选项的结论成立；
∵OA=OB，
∴∠4=∠OBA，
∴∠AOB=180°-∠4-∠OBA=180°-2∠4，
∵△ABC为不等边三角形，
∴AB≠BC，
∴∠BOC≠∠AOB，
而∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1，
∴∠1≠∠4，所以B选项的结论不成立；
∵∠AOB与∠ACB都对弧AB，
∴∠AOB=2∠ACB，所以C选项的结论成立；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠3，
∴∠ACB=∠1+∠OCA=∠2+∠3，所以D选项的结论成立．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．
6．C
解析：C
【分析】
利用圆周角定理求出∠BOC即可解决问题．
【详解】
解：∵∠BOC=2∠BDC，∠BDC=21°，
∴∠BOC=42°，
∴∠AOC=180°-42°=138°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．7．D
解析：D
【分析】
A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB=OE，根据等边三角形的性质得到
∠BOE=∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到
AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH=
3
2
A O≠OB，于是得到C选
项正确；由于C正确，D自然就错误了．【详解】
解：A、如图，连接OE，
则OB=OE，
∵∠B=60°
∴∠BOE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOE=∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、如图，∵3
，
∴23BE，
∵AB=BC，BO=BE，
∴23OB，
∴3，
∴AC是⊙O的切线，
∴C选项正确．
D、∵∠B=60°，OB=OE，
∴BE=OB ，
∵BE=CE ，
∴BC=AB=2BO ，
∴AO=OB ，
如图，过O 作OH ⊥AC 于H ，
∵∠BAC=60°，
∴OH=3AO≠OB ， ∴D 选项错误；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．B
解析：B
【分析】
连接AO ，BO ，OE 由切线的性质可得90PAO PBO ︒∠=∠=，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出AOB 的度数，再由切线长定理即可求出COD 的度数.
【详解】
如图，连接AO ，BO ，OE ，
∵PA 、PB 是O 的切线，
∴∠PAO =∠PBO =90∘，
∵60APB ∠=︒，
∴36029060120AOB ∠=︒-⨯︒-︒=︒，
∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，
∴∠ACO =∠ECO ，∠DBO =∠DEO ，
∴∠AOC =∠EOC ，∠EOD =∠BOD ，
∴1602
COD COE EOD AOB ∠=∠+∠=
∠=︒， 故选B.
【点睛】
本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.
9．A
解析：A
【分析】
利用圆周长公式计算1L 和2L 的长．根据圆周长公式分别写出1L 和2L 的表达式进行比较，再根据“两点之间线段最短的性质”得出13L L >，即可选出答案．
【详解】
解：设n 个小半圆半径依次为1r ，2r ，⋯，n r ．
则大圆半径为()12n r r r ++⋯+
()112n L r r r π∴=++⋯+，
212n L r r r πππ=++⋯+
()12n r r r π=++⋯+，
12L L ∴=；
根据“两点之间线段最短的性质”可得：13L L >，
123L L L ∴=>．．
故选A ．
【点睛】
本题考查了半圆弧长的计算，两点之间线段最短的性质，是基础题，难度不大． 10．C
解析：C
【分析】
连接PC ，PA ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，根据切线的性质可知PC ⊥y 轴，故可得出四边形PDOC 是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB 的长，由垂径定理可得出AD 的长，故可得出OD 的长，进而得出P 点坐标，再把P 点坐标代入直线y=kx-1即可得出结论．
【详解】
解：连接PC ，PA ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，
∵⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），
∴PC ⊥y 轴，
∴四边形PDOC 是矩形，
∴PD=OC=3，
∵A（1，0），B（7，0），∴AB=7-1=6，
∴AD=1
2AB=
1
2
×6=3，
∴OD=AD+OA=3+1=4，
∴P（4，3），
∵直线y=kx-1恰好平分⊙P的面积，
∴3=4k-1，解得k=1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P点坐标即可得出结论．
11．C
解析：C
【分析】
由切线的性质得到AM、BN与AB垂直，过点D作DF⊥BC于F，，构造一个直角三角形DFC，再由切线长定理和勾股定理列方程，得出关于y的函数关系式，根据直角梯形的面积公式求解．
【详解】
∵AB是直径，AM、BN是切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN．
过点D作DF⊥BC于F，则AB∥DF．
∴四边形ABFD为矩形．
∴DF＝AB＝2，BF＝AD．
∵DE、DA，CE、CB都是切线，
∴根据切线长定理，设DE＝DA＝x，CE＝CB＝y．
在Rt△DFC中，DF＝2，DC＝DE+CE＝x+y，CF＝BC﹣BF＝y﹣x，
∴（x+y）2＝22+（y﹣x）2，
∴y ＝1x
， ∴四边形的面积S ＝
12AB （AD +BC ）＝12×2×（x +1x ），即S ＝x +1x （x ＞0）． ∵（x +
1
x ）﹣2＝x ﹣2+1x 2≥0，当且仅当x ＝1时，等号成立． ∴x +1x
≥2，即S ≥2， ∴四边形ABCD 的面积S 的最小值为2．
故选：C ．
【点睛】
考查了切线的性质、平行线的判定、矩形的性质和勾股定理，解题关键是作出辅助线． 12．A
解析：A
【分析】
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而要先求扇形的弧长，根据扇形的面积公式2
360
n R S π=，可以求出扇形的半径，就可以求出弧长． 【详解】 解：根据扇形的面积公式2360n R S π=得到：2
904360
R ππ=； ∴R=4，则弧长9042180
cm ππ⋅=
=， 设圆锥的底面半径为r ，则2π=2πr ；
∴r=1cm ．
故选：A ．
【点睛】 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】先将正方形旋转六次的图形画出确定六次旋转之后点的位置然后通过添加辅助线构造出直角三角形进而利用含角的直角三角形的性质求得再根据勾股定理求得再根据正六边形的性质线段的和差即可求得即可得解【详解
解析：
13
,1
2
⎛⎫
+
⎪
⎪
⎝⎭
33
,
2
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
【分析】
先将正方形旋转六次的图形画出，确定六次旋转之后点M的位置，然后通过添加辅助线构造出直角三角形，进而利用30含角的直角三角形的性质求得
1
2
FH=、
1
2
CJ=，再根据
勾股定理求得
6
3
JM=，再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得
3
2
JF=，即可得解．
【详解】
解：经历六次旋转后点M落在点6
M处，过M作MH x
⊥于点H，过6
M作
6
M J x
⊥
于点J ，连接6
IM，如图：
∵在Rt AFH中，1
AF=，60
AFH
∠=︒，30
FAH
∠=︒
∴11
22
FH AF
==
∵已知点M的纵坐标是3
1
3
1
MH=
∴点M的坐标是：13
,1
22
⎛
+
⎝⎭
；
∵在
6
Rt CJM中，
6
1
CM=，
6
60
JCM
∠=︒，
6
30
CM J
∠=︒
∴
6
11
22
CJ CM
==，22
66
3
2
JM CM CJ
=-=
∵点I 是正六边形的中心
∴1IC IF == ∴32
JF IF IC CJ =+-=
∴点6M 的坐标是：32⎛ ⎝⎭
．
故答案是：1,122⎛+
⎝⎭；3,22⎛ ⎝⎭
【点睛】
本题考查了正多边形、旋转变换、含30角的直角三角形、勾股定理、线段的和差以及坐标系中的图形与坐标，体现了数形结合的数学思想． 14．【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点利用点ABC 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3AB 的垂直平分线为直线y=x 从而得到M 点的坐标然后计算MB 得到⊙M 的半径【详解】解：∵点ABC 的坐标分别是（
解析：()3,3【分析】
M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点，利用点A 、B 、C 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3，AB 的垂直平分线为直线y=x ，从而得到M 点的坐标，然后计算MB 得到⊙M 的半径．
【详解】
解：∵点A ，B ，C 的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC 的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB ，
∴△OAB 为等腰直角三角形，
∴AB 的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x ，
∵直线x=3与直线y=x 的交点为M 点，
∴M 点的坐标为（3，3），
∵
MB ==
∴⊙M
．
故答案为（3，3．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．
15．【分析】连接DO 交AC 于点F 由垂径定理得F 是AC 中点再由中位线定理得接着证明得到DF=CB 就可以求出OF 的长就得到BC 的长最后用勾股定理求出AC 的长【详解】解：如图连接DO 交AC 于点F ∵D 是的中点∴
解析：4
2
【分析】
连接DO ，交AC 于点F ，由垂径定理得F 是AC 中点，再由中位线定理得12
OF BC =，接着证明()EFD ECB AAS ≅，得到DF=CB ，就可以求出OF 的长，就得到BC 的长，最后用勾股定理求出AC 的长．
【详解】
解：如图，连接DO ，交AC 于点F ，
∵D 是AC 的中点，
∴OD AC ⊥，AF CF =，
∴90DFE ∠=︒，
∵OA OB =，AF CF =，
∴12
OF BC =， ∵AB 是直径， ∴90ACB ∠=︒，
在EFD △和ECB 中，
90DFE BCE DEF BEC
DE BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()EFD ECB AAS ≅，
∴DF BC =， ∴12OF DF =， ∵3OD =，
∴1OF =，
∴2BC =，
在Rt ABC 中，2242AC AB BC =
-=．
故答案是：2
【点睛】
本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理．
16．【分析】根据题意知直线和圆有公共点则相切或相交相切时设切点为C连接OC根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径2求得斜边是2所以x的取值范围是0＜x≤2【详解】解：设切点为C连接OC则圆的半径OC=2O
解析：022
<≤
x
【分析】
根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径2，求得斜边是22．所以x的取值范围是0＜
x≤22．
【详解】
解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC=2，OC⊥PC，
∵∠AOB=45°，OA//PC，
∴∠OPC=45°，
∴PC=OC=2，
∴OP=22
+=22，
22
所以x的取值范围是0＜x≤22，
故答案为0＜x≤22．
【点睛】
此题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．
17．【分析】连接OCOB易证△OAB为等边三角形由BC∥OA得S△OCB＝
S△ACB把阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积【详解】连接OCOB∵是的切线∴OB⊥AB在Rt△OBA中∵OB=1OA=2∴∠
π
解析：
6
【分析】
连接OC，OB，易证△OAB为等边三角形，由BC∥OA，得S△OCB＝S△ACB，把阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积．
【详解】
连接OC，OB
∵AB是O的切线
∴OB⊥AB
在Rt △OBA 中
∵OB=1，OA=2
∴∠AOB=60°
又∵//BC OA
∴∠OBC=60°
∵OB=OC
∴△OAB 为等边三角形
又∵BC ∥OA
∴S △OCB ＝S △ACB
∴S 阴＝S 扇形OBC =2601360
π⨯⨯ =6π
故答案为：
6
π 【点睛】 本题考查扇形面积的求解，将不规则图形转化成规则的扇形是解题的关键．
18．3或5【分析】分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切过P 作PE ⊥CD 与E 根据切线的性质得到PE=1cm 再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm 则⊙P 的圆心在直线AB 上
解析：3或5
【分析】
分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE ⊥CD 与E ，根据切线的性质得到PE=1cm ，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm ，则⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，即可得到⊙P 移动所用的时间；当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE ⊥CD 与F ，同前面一样易得到此时⊙P 移动所用的时间．
【详解】
当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE ⊥CD 与E ，
∴PE=1cm ，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2cm ，
∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，
∴⊙P 移动所用的时间=822
-=3（秒）； 当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE ⊥CD 与F ，
∴PF=1cm ，
∵∠AOC=∠DOB=30°，
∴OP=2PF=2cm ，
∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8+2）cm 后与CD 相切，
∴⊙P 移动所用的时间=
822
+=5（秒）． 故答案为3或5．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质. 19．答案不唯一如516等（满足即可）【分析】根据直线与圆的位置关系可得出圆的半径与圆心距之间的关系再取r 的值即可【详解】解：∵直线l 与⊙O 有两个交点圆心O 到直线l 的距离为5∴∴在此范围内取值即可如516
解析：答案不唯一，如5.1，6等（满足5r >即可）
【分析】
根据直线与圆的位置关系可得出圆的半径与圆心距之间的关系，再取r 的值即可．
【详解】
解：∵直线l 与⊙O 有两个交点，
圆心O 到直线l 的距离为5，
∴5r >
∴在此范围内取值即可，如5.1，6等．
【点睛】
此题主要考查了直线与圆的位置关系---相交，熟知直线与圆相交满足的条件是解答此题的关键．
20．8【分析】以AB 为直径作圆O 则∠AGB=90º当CF 与圆O 相切时AF 最大AF=2由切线长定理的AF=FGBC=CG 过F 作FH ⊥BC 与H 则四边形ABHF 为矩形AB=FHAF=BH=2设正方形的边长为x
解析：8．
【分析】
以AB 为直径作圆O ，则∠AGB=90º，当CF 与圆O 相切时，AF 最大，AF=2，由切线长定理
的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，在Rt△FHC中，由勾股定理得x2+(x-2)2=(x+2)2解之即可．
【详解】
以AB为直径作圆O，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90º，
当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，
由切线长定理的AF=FG，BC=CG，
过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，
设正方形的边长为x，
则HC=x-2，FC=2+x，FH=x，
在Rt△FHC中，由勾股定理得，
x2+(x-2)2=(x+2)2，
整理得：x2-8x=0，
解得x=8，x=0（舍去），
故答案为：8．
【点睛】
本题考查圆的切线问题，涉及切线长，直径所对的圆周角，引辅助圆与辅助线，正方形的性质，矩形的性质与判定，能综合运用这些知识解决问题特别是勾股定理构造分析是解题关键．
三、解答题
21．（1）10 ；（2）3
【分析】
(1)首先求出∠ADE 的度数，再根据圆周角定理求出∠AOC 的度数，最后求出∠OCE 的度数；
(2)由弦CD 与直径 AB 垂直，利用垂径定理得到 E为CD 的中点，求出 CE 的长，在直角三角形 OCE 中，设圆的半径 OC = r ，OE = OA-AE ，表示出 OE ，利用勾股定理列出关于 r 的方程，求出方程的解即可得到圆的半径 r 的值．
【详解】
解：()1CD AB ⊥，50A ∠=︒，
40ADE ∴∠=︒．
280AOC ADE ∴∠=∠=︒，
908010OCE ∴∠=︒-︒=︒；
()2因为AB 是圆O 的直径，且CD AB ⊥于点E ，
所以1122
CE CD ==⨯= 在Rt OCE 中，222OC CE OE =+，
设圆O 的半径为r ，则OC r =，2OE OA AE r =-=-，所以222(2)r r =+-， 解得：3r =．
所以圆O 的半径为3．
【点睛】
此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 22．（1）见解析（2）10
【分析】
（1）根据题意和平行线的性质、垂径定理可以证明结论成立；
（2）根据题意，利用矩形的性质和勾股定理可以解答本题．
【详解】
（1）证明：∵OC ⊥CD ，AD ⊥CD ，
∴OC ∥AD ，
∴∠AEB ＝∠OFB ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝90°，
∴∠OFB ＝90°，
∴OF ⊥BE 且平分BE ，
∴EF ＝BF ；
（2）∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝90°，
∵∠OCD ＝∠CFE ＝90°，
∴四边形EFCD 是矩形，
∴EF ＝CD ，DE ＝CF ，
∵DC ＝4，DE ＝2，
∴EF ＝4，CF ＝2，
设⊙O 的为r ，
∵∠OFB ＝90°，
∴OB 2＝OF 2＋BF 2，
即r 2＝（r−2）2＋42，
解得，r ＝5，
∴AB ＝2r ＝10，
即直径AB 的长是10．
【点睛】
本题考查切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23．（1）证明见解析；（2）1221.7 【分析】
（1）连接CE ，由AC 是⊙O 的直径，得出CE ⊥AE ，由P 为BC 的中点，可得EP=BP=CP ，可得∠PEC=∠PCE ， 再由∠ACB=90°，即可得到结论．
（2）设P 点到直线AD 的距离为d ，根据三角形的面积得到PD AC d AD
= ①由勾股定理得63BC =，根据平行线的性质得到∠OPC=∠B=30°，推出OEA △为等边三角形，得到∠EOA=60°，在Rt ACD △中，由勾股定理得：2237AD AC CD =
+=，将以上数据
代入①得即可得到结论． 【详解】
证明：（1）连接CE ，如图所示：
∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠AEC=90°．
∴∠BEC=90°．
∵点P 为BC 的中点，
∴EP=BP=CP ．
∴∠PEC=∠PCE ．
∵OE=OC ，
∴∠OEC=∠OCE ．
∵∠PCE+∠OCE=∠ACB=90°，
∴∠PEC+∠OEC=∠OEP=90°．
E 在O 上，
∴EP 是⊙O 的切线；
（2）解：设P 点到直线AD 的距离为d ， 连接,AP OP ，
则有：1122PAD S
AD d PD AC ==， ∴PD AC d AD
= ①
∵⊙O 的半径为3，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，AC=6，AB=12， 由勾股定理得：3BC = ∴33PC =
∵O ，P 分别是AC ，BC 的中点，
∴//OP AB ，
∴∠OPC=∠B=30°，
∵OE=OA ，∠OAE=60°，
∴OEA △为等边三角形，
∴∠EOA=60°，
∴∠ODC=90°-∠COD=90°-∠EOA=30°，
∴∠ODC=∠OPC=30°，
∴OP=OD ，
∵OC ⊥PD ， ∴33CD PC ==，
在Rt ACD △中，由勾股定理得：2237AD AC CD +=
将以上数据代入①得： 631221737
PD AC d AD ===． 【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，等腰三角形，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30的直角三角形的性质，等面积法，掌握以上知识是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）图见解析，52
π
【分析】
（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；
（2）依据旋转中心、旋转方向和旋转角度，即可得到△A 2B 2C 2，再根据弧长计算公式，即可得出旋转过程中点A 运动到点A 2所经过路径的长．
【详解】
解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；
（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；
∵OA=22345+=，∠AOA 2=90°，
∴在此旋转过程中点A 运动到点A 2所经过路径的长为：
90551802ππ⨯⨯=． 【点睛】
本题主要考查了利用轴对称变换以及旋转变换进行作图，勾股定理，以及弧长公式，熟练掌握旋转变换与轴对称变换的定义和性质是解题的关键．
25．（1）8CD =；（2）32477y x =-
+ 【分析】
（1）根据平行四边形的性质即可求得答案；
（2）添加辅助线构造直角三角形，根据平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、线段的和差即可求得()1,3C
，再根据待定系数法即可求得直线解析式．
【详解】
解：（1）∵点B 的坐标是()8,0
∴8OB =
∵四边形OCDB 是平行四边形
∴8CD OB ==．
（2）过点M 作MN CD ⊥，连接MC ，过点C 作CH OA ⊥，如图：
∵MN CD ⊥，8CD =
∴142
CN CD == ∵()10,0A
∴10OA = ∴152
OM OA == ∴在Rt CMN
中，3MN ==
∵四边形OCDB 是平行四边形
∴//CD OB
∵CH OA ⊥
∴四边形CHMN 是平行四边形
∴3CH MN ==，4HM CN ==
∴1OH OM HM =-=
∴()1,3C
∴设直线BC 的解析式为：y kx b =+ ∴083k b k b =+⎧⎨
=+⎩ ∴37247k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线BC 的解析式为：32477
y x =-
+． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定、垂径定理、勾股定理、线段的和差、待定系数法等，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．
26．（Ⅰ）50°；（Ⅱ）20°
【分析】
（I ）连接OA 、OB ，根据切线的性质可得∠OAP ＝∠OBP ＝90°，利用四边形内角和即可求解；
（II ）连接CE ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACE ＝90°，利用圆周角定理即可得到∠BAE ＝∠BCE ＝40°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可求解．
【详解】
解：（Ⅰ）连接OA 、OB ，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
由圆周角定理得，∠ACB＝1
2
∠AOB＝50°；
（Ⅱ）连接CE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ACB＝50°，
∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAE＝∠BCE＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等内容，作出合适的辅助线是解题的关键．。