高考数学40个考点总动员 考点09 导数的几何意义以及应用(教师版) 新课标

【高考再现】
热点一 导数的几何意义
1.（2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________
2.（2012年高考（广东理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为_______________ 【答案】210x y -+=
【解析】21|3112x y ='=⨯-=,所以切线方程为()321y x -=-,即210x y -+=.
热点二 导数的几何意义的应用
3.（2012年高考（重庆理））设13
()ln 1,22
f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;
(Ⅱ) 求函数()f x 的极值. 【解析】(1)因()13ln 122f x a x x x =+
++,故()21322
a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即
4.（2012年高考（山东文））已知函数ln ()(e x
x k
f x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;
(Ⅱ)求()f x 的单调区间;
(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意2
0,()1e x g x -><+.
5.（2012年高考（湖北文））设函数()(1)(0)n
f x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,
曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=. (1)求,a b 的值;
(2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1
()f x ne
<
.
【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有,ln x
e x 等的函数求导的运算及其应用考查.
6．（2012年高考（北京文））已知函数2
()1f x ax =+(0a >),3
()g x x bx =+.
(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;
(2)当3,9a b ==-时,求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.
当32k -<<时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28.
因此,k 的取值范围是(,3]-∞-
7.（2012年高考（北京理））已知函数2
()1f x ax =+(0a >),3
()g x x bx =+.
(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;
(2)当2
4a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.
8.（2012年高考（安徽文））设定义在(0,+∞)上的函数1
()(0)f x ax b a ax
=+
+> (Ⅰ)求()f x 的最小值;
(II)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3
2
y x =
,求,a b 的值.
【考点剖析】
一．明确要求
1.了解导数概念的实际背景．
2.理解导数的几何意义．
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
4.［理］能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数.
二．命题方向
1.导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不单独命题，而在考查导数应用的同时进行考查．
2.导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题．
3.多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步.
三．规律总结
一个区别
两种法则
(1)导数的四则运算法则．
(2)复合函数的求导法则．
三个防范
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．
3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．
【基础练习】
1.(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )．
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2
)． 答案
C
3.(经典习题)函数f (x )＝ln x
x
在点(x
0，f (x 0))处的切线平行于x 轴，则f (x 0)等于( )
A ．－1e B.1e
C.1e 2 D ．e 2
解析：与x 轴平行的切线，其斜率为0，
所以f ′(x 0)＝1
x 0
·x 0－ln x 0
x 20＝1－ln x 0x 2
0＝0，故x 0＝e ，∴f (x 0)＝1
e
. 答案：B
4. (经典习题)与直线2x －6y ＋1＝0垂直，且与曲线f (x )＝x 3
＋3x 2
－1相切的直线方程是________．
5. (经典习题)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )． A ．－12 B.12 C ．－22 D.2
2
【名校模拟】 一．基础扎实
1．（海南省2012洋浦中学高三第三次月考）曲线
2
x
y x =
+在点（-1，-1）处的切线方程为 A y=2x+1 B y=2x-1 C y=-2x-3 D y=-2x-2
2. （长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2012届第三次模拟文） 函数()1
ln
f x x
=，则此函数图像在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为 （ ） Ａ．０ Ｂ．4π Ｃ．2
π
Ｄ．34π
答案：D 解析：
()()1113(ln )(),11tan ,4
f x x k f x x x π
θθ''''==⨯=-∴==-=∴=.
3.若2a >，则函数3
21()13
f x x ax =-+在(0,2)内零点的个数为 A.3
B.2
C.1
D.0
【答案】C
【解析】'2()2f x x ax =-，由2a >可知，
'()f x 在(0,2)x ∈恒为负，即()f x 在(0,2)内单调递减，又(0)10f =>，8
(2)410
3f a =-+<，∴()f x 在(0,2)只有一个零点. 故选
C.
4.（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟理）函数
()cos x f x e x =，则此函数图像在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为 （ ）
Ａ．０ Ｂ．锐角 Ｃ．直角 Ｄ．钝角
5.(浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）设曲线()a ax x f -=3
2在点(1,)a 处的
切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为 ．
【答案】
1
3
【解析】解：
,2因为f'(x)=6ax f'(1)=6a,而切线的斜率与已知直线的斜率互为负倒数，则16a=2a=
3
∴∴
二．能力拔高
6. (湖北省武汉市2012届高中毕业生五月供题训练（二）理) 已知函数cos (),x x
f x e
=
则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为 A ．10x y -+=
B ．10x y +-=
C ．cos 10x y ⋅+-=
D ．cos 10x
e x x y ⋅+⋅+=
7. (2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)若函数3
21(02)3
x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A ．
4π B ．6
π
C ．56π
D ．34π
8.(2012河南豫东豫北十所名校毕业班阶段性测试(三）文)在函数的图象上，
满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是
(A)O (B)1 (C)2 (D)3
9.(北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)（本小题满分13分）
已知函数()e (1)ax
a f x a x
=⋅++，其中1-≥a .
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.
（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)x
f x x
=⋅+，211
()e (2)x
f x x x
'=⋅+-
．…………2分 由于(1)3e f =，(1)2e f '=，
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． ……4分 （Ⅱ）解：2
(1)[(1)1]
()e
ax
x a x f x a x
++-'=，0x ≠． …………6分
10.(北京市西城区2012届高三下学期二模试卷理)（本小题满分14分）
已知函数22
21
()1
ax a f x x +-=+，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．
② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21
x a
=
，()f x 与()f x '的情况如下： x
1(,)x -∞ 1x 12(,)x x
2x
2(,)x +∞
故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,
)a +∞；单调增区间是1(,)a a
-． ………7分
③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：
所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1
(,)a a
-
-，(,)a -+∞． ………………9分
()f x ' - 0
+ 0
- ()f x
↘
1()f x
↗
2()f x
↘
x
2(,)x -∞ 2x 21(,)x x 1x 1(,)x +∞ ()f x ' +
- 0
+
()f x
↗ 2()f x
↘
1()f x
↗
11.(浙江省宁波市鄞州区2012届高三高考适应性考试（3月）文)已知函数
),()(2a ax x e x f x -+=其中a 是常数.
（1）当1=a 时，求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）求)(x f 在区间[),0+∞上的最小值.
12.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)（本小题满分12分）已知函数
.)2ln()(2c bx x x x f ++-+=在点x=1处的切线与直线0273=++y x 垂直，且f
（-1）=0，求函数f (x )在区间[0，3]上的最小值.
【解析】：
.
221
)(b x x x f +-+=
' 与直线
0273=++y x 垂直的直线的斜率为
4,37
)1(,37=='b f 得令，又f （－1）=ln （2－1）－1－4+c =0，所以c =5， 4221)(+-+=
'x x x f ，由
223,0)(=='x x f 得，当]22
3,0[∈x 时，f′（x ）≥ 0，f （x ）单调递增；当
]3,22
3(
∈x 时，f′（x ）≤ 0，f （x ）单调递减.
又f （0）=ln2+5，f （3）=ln5+8，所以f （x ）在[0，3]最小值为ln2+5.
13.（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试文）（本小题满分12分） 已知函数()().ln 122
x a x a x x f ++-=
（I ）当2=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程； （II ）求函数()x f 的单调区间.[中~国%&*教育出^版网]
三．提升自我
14．(湖北八校2012高三第二次联考文)
15.(湖北武汉2012适应性训练理)（本小题满分14分）设函数()(1)ln(1)(1).f x x x x x =-++>-
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）证明：当0n m >>时，(1)(1)m n n m +<+； （Ⅲ）证明：当2012n >，且123,,,
,n x x x x +∈R ，1231n x x x x +++
+=时，
112
2
222012
31
2123
111112013n
n n x x x x
x x x x ⎛⎫⎛⎫
++++
>
⎪ ⎪++++⎝⎭
⎝⎭.
解：（Ⅰ）由()(1)ln(1)f x x x x ，有()ln(1)f x x '=-+， 2分
16. (北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理)（本小题满分14分）
已知函数2
2()ln (0)a f x a x x a x
=++≠． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：2
1()e 2
g a ≤
．
17.(湖北省武汉外国语学校 钟祥一中2012届高三4月联考文)（本小题满分14分）
已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-. (I) 讨论函数()f x 的单调性； (II)
若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为2-.
(i) 求()f x 的解析式；
(ii)
求证：当()1ln 0111
f x x
x x x x x x >≠++>
+-且时，
18.(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文)（本小题满分12分）
已知函数32,(1)
()ln ,(1)
x ax bx x f x c x x ⎧-++ <=⎨ ⎩≥的图像在点(2,(2))f --处的切线方程为
16200x y ++=.
⑴求实数a 、b 的值；
⑵求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值；
⑶曲线()y f x =上存在两点M 、N ，使得△MON 是以坐标原点O 为直角顶点的直角
三角形，且斜边MN 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围. 【试题解析】解：⑴当1x <时，2
()32f x x ax b '=-++.
因为函数图像在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=.
19（浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )（本小题满分15分）已知函数
()x x f ln =，()x e x g =．
（Ⅰ）若函数()()1
1
-+-
=x x x f x ϕ，求函数()x ϕ的单调区间； （Ⅱ）设直线l 为函数的图象上一点()()00,x f x A 处的切线．证明：在区间()+∞,1上存
在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()x g y =相切．
结合零点存在性定理，说明方程()0x ϕ=必在区间2(,)e e 上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x ．故结论成立．
20.(2012黄冈市模拟及答题适应性试理)（本题满分14分）已知函数
)0.()2
1
21ln()(2>-++=a a ax x ax x f 为常数，
（1） 求证：当上是增函数；）在时，),21
[(20+∞≤<x f a
若对任．意．的),2,1(∈a 总存在．．0
x ],1,2
1[∈使不等式)1()(2
0a m x f ->成立，求实数m 的取值范围。

21．(湖北省八校2012届高三第一次联考理)（本小题满分14分）
已知函数2
4()1x a
f x x +=
+的单调递增区间为[,]m n
（1）求证()()4f m f n =-；
（2）当112212,(,),(,)()n m P x y Q x y a x x n -<<<取最小值时点是函数()f x 图象上的两点，若存在210010221
()()
(),||.f x f x x f x x x x x x -'=
<<-使得求证
22．(湖北省八校2012届高三第一次联考理)（本小题满分12分）
设()log (1)log (1)(1)a a f x x x x x a =+--> （1）判断()f x 的单调性；
（2）已知444,0,0,log log m n m n m m n n +=>>+且求的最小值。

44log log m m n n ∴+的最小值为2. …………（12分）
23. (华中师大一附中2012届高考适应性考试理)（本小题满分14分）设函数322()21(2)f x x mx m x m m =---+->-的图象在x =2处的切线与直线x －5y －12=0垂直． （Ⅰ）求函数()f x 的极值与零点；（Ⅱ）设1()ln x
g x x kx
-=
+，若对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)若0a ≥，0b ≥，0c ≥，
且1a b c ++=，证明：
2229
11110
a b c a b c ++≤
+++
24.. (湖北黄冈中学2012届高高考模拟理) (本小题满分14分)已知函数
()()ln 0x a
f x ax a x
-=-
≠ （Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n ，均有11
11ln 23
!
n
e n n +++
+≥（e 为自然对数的底数）； （Ⅲ）当a ＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数y ＝f （x ）的图象相切? 若存
在，有多少条?若不存在，说明理由．
25.. (湖北八校2012高三第二次联考文)
26.. (湖北省武汉市2012届高三下学期4月调研测试理)（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax 在x ＝－1
2处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求a 的值及f (x )的最大值；
（Ⅱ）证明：1＋12＋13＋ (1)
＞ln(n ＋1)（n ∈N *
）；
（Ⅲ）设g (x )＝b (e x
－x )，若f (x )≤g (x )恒成立，求实数b 的取值范围．
27. (湖北八校文2012届高三第二次联考)（本题满分14分）
已知函数f(x)=2121ln(1)(1)2
mx x x m -+++≥; (1)求y=f(x)在点P （0,1）处的切线方程；
（2）设g(x)=f(x)+x －1仅有一个零点，求实数m 的值；
（3）试探究函数f(x)是否存在单调递减区间？若有，设其单调区间为[t,s],试求s －t
的取值范围？
若没有，请说明理由。

＝1＞0，∴h(x)=0在(1,)-+∞上一定存在两个不同的实数根s,t, (12)
分
28. （湖北襄阳五中2012高三年级第二次适应性考试文）（本题14分）已知函数
() g x
=
sin
x x
λ+
是区间
[,]
22
ππ
-
上的增函数．
（1）求λ
的取值集合D；
（2）是否存在实数t
，使得
()
g x21
t tλ
>++
对
∀[1,1]
x∈-
且
D
λ∈
恒成立；
（3）讨论关于x的方程
2
ln
sin()(2)
x
x g x x e x k
x
λ
+=+-++
的根的个数．
【原创预测】
1.如下左图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()2ln ()g x x f x =+在点（b,g(b)）处切线的斜率的最小值是（ ）
A ．1
B .
3 C.2 D.22
2.设函数2
2()ln (0)a f x a x a x =+≠． y x O 1 1 x y 2 3 －1 O 4
（Ⅰ）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 的斜率为23a -，求实数a 的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有()3f x x ≥-．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知2()ln f x x x
=+. 设()()(3)g x f x x =--，即2()ln 3g x x x x =+
+-. 2222
122(1)(2)()1(0)x x x x g x x x x x x +--+'=-+==>. ………10分 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：。