2020—2021年高考总复习数学(理)毕业班质量检查模拟试题及参考答案(精品试题).docx

年普通高中毕业班质量检查
理科数学试题
（满分150分 考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}12,A x
x x =-≤∈Z
,2
{|log (1),}B x y x x ==+∈R ，则A B =I
A ．{1,0,1,2,3}-
B ．{0,1,2,3}
C ．{1,2,3}
D ．{1,1,2,3}-
2．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表中的数据可以求得线性回归方程
$$y bx
a =+$中的
b $为6.6，据此模型预报广告费用为10
万元时销售额为
A ．66.2万元
B ．66.4万元
C ．66.8万元
D ．67.6万元 3．阅读右边的程序框图，输出结果S 的值为 A ．1008- B ．1 C ．1- D ．0
4．已知a ∈R ，i 是虚数单位，命题p ：复数12
1i
z a =+
-对应的点位于第二象限；命题q ：复数2i z a =-的模等于2，若p q ∧是真命题，则实数a 的值等于
A ．1-或1
B ．
C ．
D ．5．已知3cos(π)5
α+=，π(,π)2
α∈，则πtan()4
α-=
A ．17
- B.7-
C. 17
D.7
6．在等比数列{}n a 中，首项11a =，且3454,2,a a a 成等差数列，若数列{}n a 的
前n 项之积为n T ，则10T 的值为 A.921
- B.
36
2 C.1021-
D.452
7．已知直线:1l x y -=与圆22:2210x y x y Γ+-+-=相交于A C ,两点，点B ,D 分
别在圆Γ上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为
A
B
．
C D．
8．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线
画出的是某四棱锥的
三视图，则该几何体的体积为
A．8
3
B．2
C．8 D．6
9．已知点1F是抛物线2:4
C x y
=的焦点，点2F为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过2F作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以12
F F
,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A. B. 1 C. 1 D. 10．设点(,)
x y在不等式组
1,
1,
40
x
y
x y
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+-≤
⎩
所表示的平面区域上，若对于[0,1]
b∈时，不等式ax by b
->恒成立，则实数a的取值范围是
A．2(,4)
3
B．2(,)
3
+∞C．(4,)
+∞D．(2,)
+∞
11．在正四棱柱
1111
ABCD A B C D
-中，AB=12
AA=，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面
于点M ．现点P 从点A 出发，沿着A B C D A →→→→运动一次，则点
M 经过的路径长为
A.
B.
C.
D.
12．已知函数
4
log 3(0),()1() 3 (0),4x x x x f x x x ⎧
+->⎪⎪=⎨
⎪-+≤⎪⎩
若()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，则12||x x -=
A ． 3ln 2-
B ． 3ln 2 C
． D ． 3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22～24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知函数()sin 2f x x x a =--，若()f x 在[0,π]上的最大值为1-，则实数a 的值是_______．
14．在23(2)x x --的展开式中5x 的系数是 （用数字作答）. 15．已知平行四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，1,2AB AD ==,点P 是线段BC 上
的一个动点，则AP DP ⋅u u u r u u u r
的取值范围是__________．
16．在数列{}n a 中，已知2111,1n n n a a a a +>=-+*()n ∈N ，且1
22015
1
11
2a a a +
++=L ，则当201614a a -取得最小值时，1a 的值为________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，2AB =，1cos 3
B =，点D 在线段B
C 上．
(Ⅰ)若3π4
ADC ∠=，求AD 的长；
(Ⅱ)若2BD DC =，△ACD
sin sin
BAD CAD
∠∠的值．
18. （本小题满分12分）
微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用．某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下，对它们抢到的红包个数进行统计，得到如下数据： （Ⅰ）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的
把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？
（Ⅱ）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售．
①求在型号Ⅰ被选中的条件下，型号Ⅱ也被选中的概率； ②以X 表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数，求随机变量X 的分布列及数 学期望()E X ．
A B C
D
下面临界值表供参考：
参考公式：2
()()()()
K a b c d a c b d =++++
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2AD PD ==，
PA =120PDC ∠=o ，
点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上． （Ⅰ）若12
AF =，求证：CD EF ⊥；
（Ⅱ）设平面DEF 与平面DPA 所成二面角的平面角为θ，
试确定点F 的位置，使得cos θ=
20．（本小题满分12分）
已知点P 是直线2y x =+与椭圆222:1(1)x
y a a
Γ+=>的一个公共点，12,F F 分
别为该椭圆的左右焦点，设12
PF PF +取得最小值时椭圆为C ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
F
E
D
C
B
A P
（Ⅱ）已知,A B 是椭圆C 上关于y 轴对称的两点，Q 是椭圆C 上异于
,A B 的任意一点，直线,QA QB 分别与y 轴交于点(0,),(0,)M m N n ，试判
断mn 是否为定值，并说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x x bx a =-+(,)a b ∈R ，21()12
g x x =+．
（Ⅰ）讨论()f x 在(1,)+∞上的单调性；
（Ⅱ）设1b =，直线1l 是曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线，直线2l 是曲线()y g x =在点22(,())Q x g x 2(0)x ≥处的切线．若对任意的点Q ，总存在点P ，使得1l 在2l 的下方，求实数a 的取值范围．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙1O 与⊙2O 相交于,A B 两点，过点A 作⊙1O 的切线交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙1O ，⊙2O 于点,D E ，DE 与AC 相交于点P ． （Ⅰ）求证:
AD ∥EC ；
（Ⅱ）若AD 是⊙2O 的切线，且6PA =，2PC =，
9BD =，求AD 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,
sin x y αα=+⎧⎨
=⎩
(α为参数
)；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2
C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．
（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线l ：y kx =(0)x ≥与曲线1C ，2C 的交点分别为,A B （,A B 异
于原点），当斜率k ∈时，求||||OA OB ⋅的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数()|||21|f x x a x =-+-()a ∈R ． （I ）当1a =时，求()2f x ≤的解集；
（II ）若()|21|f x x ≤+的解集包含集合1
[,1]2
，求实数a 的取值范围．
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：
1. B
2. A
3. D
4. D
5. B
6. D
7.A
8. B
9. C 10.C 11.A 12.D 二、填空题：
13. 1 14. -3 15.
1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
16. 54
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17
．
解
法
一
：
(Ⅰ
)
在
三
角
形
中
，
1cos ,3B =Q sin B ∴=
…………2分
在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB AD
ADB B
=
∠,
又
2
AB =，
4
ADB π
∠=
，
sin B =
8
3
AD ∴=. …………5分
(
Ⅱ
)
2BD DC =Q ,2ABD ADC S S ∆∆∴=,3ABC ADC S S ∆∆=,
(6)
分
又
ADC S ∆=
，
ABC S ∆∴=
…………7分
1
sin 2
ABC S AB BC ABC ∆=
⋅∠Q ,
6
BC ∴=，
…………8分
1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=
⋅∠Q ，1
sin 2
ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 2ABD ADC
S S ∆∆=sin 2sin BAD AC
CAD AB
∠∴
=⋅
∠，
…………9分
在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠．
AC ∴=，
…………11分
sin
2sin BAD AC
CAD AB
∠∴
=⋅=∠．
…………12分
解法二：(Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ)2BD DC =Q ,3ABC ADC S S ∆∆∴==,
又1
sin 2
ABD S AB BC ABC ∆=⋅∠Q ,6BC ∴=，
4,2
BD CD ∴==．
…………8分
在ABC ∆中，由余弦定理得
2222cos AC AB BC AB BC ABC
=+-⋅⋅∠．
AC ∴=，
…………9分
在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin BD AB
BAD ADB
=
∠∠， 即sin sin 2sin BD ADB BAD ADB AB
⋅∠∠==∠， 同
理在
ACD
∆中，由正弦定理得
sin sin
CD ADC CAD AC ⋅∠∠=
=
…………11分
又Q sin ADB ∠=sin ADC ∠，
sin
sin
BAD
CAD
∠
∴==
∠
．…………12分
18．解：（Ⅰ）根据题意列出22⨯列联表如下：
………………2分
()2
2
10491025
0.4 2.072
55552525
K
-⨯
===<
⨯⨯⨯⨯
，
所以没有85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关．………………4分
（Ⅱ）①令事件C为“型号I被选中”；事件D为“型号II被选中”，则1
2
3
4
33
55
33
(),()
510
C
C
P C P CD
C C
====,
所以
()1
()
()2
P CD
P D C
P C
==．………………6分
②随机变量X的所有可能取值为1,2,3, ………………7分
()1232353
110C C P X C ⋅===；()12233
5325C C P X C ===； ()33351
310
C P X C ===
．
………………10分
故X 的分布列为
()123 1.810510
E X ∴=⨯
+⨯+⨯=
………………12分
19．解：（Ⅰ）在PCD ∆中，2PD CD ==，
∵E 为PC 的中点， ∴DE 平分PDC ∠，60PDE ︒∠=,
∴在Rt PDE ∆中，cos601DE PD ︒=⋅=，…………
2分
过E 作EH CD ⊥于H ，则12
DH =，连结FH ， ∵12
AF =，∴四边形AFHD 是矩形， ………………4分 ∴CD FH ⊥，又CD EH ⊥，FH EH H =I ，∴CD ⊥平面EFH ， 又
EF ⊂平面
EFH
，∴
CD EF ⊥． ………………5分
H
P A
B
C
D
E F
（Ⅱ）∵2AD PD ==
，PA =AD PD ⊥，又AD DC ⊥，∴AD ⊥平面
PCD ，
又
AD ⊂
平面
ABCD
，∴平面
PCD ⊥
平面
ABCD ． ………………6分
过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，则由平面PCD ⊥平面ABCD 知，DG ⊥平面ABCD ，
故,,DA DC DG 两两垂直，以D 为原点，以,,DA DC DG 所在直线分别为
,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系
O xyz -，
………………7分
则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C
，(0,P -，又知E 为PC 的中点，
E 1(0,2，
设(2,,0)F t ，
则1(0,2DE =u u u r ，(2,,0)DF t =u u u r
，
(0,DP =-u u u r ，(2,0,0)DA =u u u r
． (8)
分
设平面DEF 的法向量为111(,,)x y z =n ，
则0,0,
DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n
∴1111
10,2220,y z x ty ⎧+
=⎪⎨⎪+=⎩ 取
12
z =-，可求得平面DEF 的一个法向
量
(,2)=-n ， (9)
分
设平面ADP 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,
0,
DP DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u r
m m 所
以
2220,20,
y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩
取
=m ． ………………10分
x
∴cos cos,
4
m n
θ=<>==
u r r
，解得4
3
t=
∴当4
3
AF=时满
足cosθ=．………………12分20．解法一：（Ⅰ）将2
y x
=+代入椭圆方程22
2
1
x
y
a
+=，
得
2222
(1)430
a x a x a
+++=，……
…………1分
Q直线2
y x
=+与椭圆有公共点，
∴422
164(1)30
a a a
∆=-+⨯≥，得23
a≥
，a
∴≥………………3分
又由椭圆定义知122
PF PF a
+=，
故
当a=时，12
PF PF
+取得最小值，此时椭圆C的方程为
2
21
3
x
y
+=.………………4分
（Ⅱ）设
111100
(,),(,),(,)
A x y
B x y Q x y
-，且(0,),(0,)
M m N n，
Q
QA QM
k k
=，010
010
y y y m
x x x
--
∴=
-
，即001
01
()
x y y
y m
x x
-
-=
-
，
m y
∴=-001
01
()
x y y
x x
-
-
=0110
01
x y x y
x x
-
-
．………………6分
同理可得
n=0110
01
x y x y
x x
+
+
． (8)
分
2222
01100110011022
010101x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x -+-∴=⋅=
-+-， ……
…………10分
又220013x y +=，221113x y +=，2
2
0013x y ∴=-
，2
211
13
x y =-
，
2
22
2
012201012222
0101
(1)(1)
331x x x x x x mn x x x x ----∴===-- 则
mn
为定值
1． ………………12分
解法二：（Ⅰ）由对称原理可知，作1F 关于直线2y x =+的对称
点1F '，
连结12F F '交直线于点P 时，12
PF PF +取得最小值，
此
时
满
足
1212122PF PF PF PF F F a ''+=+==． ………………1分
设点12(,0),(,0)F c F c -，可求得点1(,0)F c -关于直线的对称点1F '的坐
标为()2,2c --+，
∴
122F F a
'=，
即
2a =，
………………3分
又
221
c a =-，解得23a =，此时椭圆
C
的方程为
2
213
x y +=． ………………4分
（Ⅱ）同解法一．
21．解：（Ⅰ）由()ln f x x x bx a =-+，所以()ln 1f x x b '=+-， 因
为
(1,)
x ∈+∞，所以
ln 0x >，
…………………1分
①当10b -≥，即1
b ≤时，
()0
f x '>，所以
()
f x 在
(1,)
+∞上单调递
增．…………………2分
②当10b -<，即1b >时，令()ln 10f x x b '=+-=，得1e b x -=， 当1(1,e )b x -∈时，0ln 1x b <<-，所以()0f x '<； 当1(e ,+)b x -∈∞时，ln 1x b >-，所以()0f x '>， 所以
()
f x 在
1(1,e )
b -上单调递减，在
1(e ,+)
b -∞上单调递
增． …………………4分． （Ⅱ）由()ln f x x x x a =-+，得()ln f x x '=，
所以曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线1l 的方程为
111ln ()
y y x x x -=-，即
11ln y x x x a =-+． …………………5分
由21()12
g x x =+，得()g x x '=，
所以曲线()y g x =点22(,())B x g x 2(0)x ≥处的切线2l 的方程为
222()
y y x x x -=-，
即
2
222112
y y x x x -=-+．
…………………6分
要使直线1l 在直线2l 的下方，当且仅当122
12ln ,
112x x a x x =⎧⎪⎨-<-+⎪⎩
恒成立， 即
22
211
2
x a e x <-+2(0)
x ≥恒成
立． …………………8分
设21()1(0)2
x x e x x φ=-+≥，则()x x e x φ'=-，
令()x t x e x =-，则()1x t x e '=-，当[0,)x ∈+∞时，()(0)0t x t ''≥=， 所
以
()x t x e x
=-在
[0,)
+∞上是增函
数， …………………10分
则()(0)10t x t ≥=>，即当[0,)x ∈+∞时，()0x φ'>， 也就是21()12
x x e x φ=-+在[0,)+∞上是增函数，
所以21()12
x x e x φ=-+在0x =处取得最小值为2，
综
上可知，实数
a
的取值范围是
2a <．
…………………12分
22．解：（Ⅰ）连接AB ，∵AC 是⊙1O 的切线，∴
BAC D ∠=∠， (3)
分
又∵
BAC E
∠=∠，∴
D E
∠=∠，
∴
AD
∥
EC ． ………………5分
（Ⅱ）设BP x =，PE y =，∵6PA =，2PC =，∴12xy =，① ………………6分
∵AD ∥EC ，∴
96
2
DP AP x PE PC y +=⇒=， ∴39x y =-,② ………………7分
由①②可得，34
x y =⎧⎨=⎩或⎩⎨⎧-=-=112
y x （舍去）………8分
∴916DE x y =++=，
∵AD 是⊙2O 的切线， ∴
2916AD DB DE =⋅=⨯，
…
……………9分
∴
12
AD =.
………………10分
23．解：（Ⅰ）由1cos ,
sin ,
x y αα=+⎧⎨=⎩得22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，
所以1C 的极坐标方程为
2cos ρθ=． ………………3分
由2cos sin ρθθ=得22cos sin ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为
2x y =． (5)
分
（Ⅱ）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，则射线的极坐标方程为
θα=， …………6分
且tan k α=∈，
联立2cos ,
ρθθα
=⎧⎨
=⎩得
1||2cos OA ρα==，
………………7分
联立2cos sin ,ρθθθα
⎧=⎨=⎩得
22sin ||cos OB αρα
==
， ………………9分
所以122sin ||||2cos 2tan 2cos OA OB k α
ρρααα
⋅=⋅=⋅
==(2,∈，
即||||OA OB ⋅
的取值范围是
(2,．
………………10分
解法二：（Ⅰ）同方法一．
（Ⅱ）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α， 则射线的参数方程cos sin x t y t α
α
=⎧⎨
=⎩，其中t 为参数，
将cos ,sin ,
x t y t αα=⎧⎨=⎩代入1C :2220x y x +-=，得22cos 0t t α-=， 设点A 对应的参数为A t ，则
2cos A t α
=， ………………7分
同理，将cos ,
sin ,
x t y t αα=⎧⎨
=⎩代入2y x =，得22sin cos t t αα=，
设点B 对应的参数为B t ，则
2sin cos B t αα
=
， ………………9分
所以2sin ||||2cos 2tan 2cos A B OA OB t t k α
ααα
⋅=⋅=⋅==，
∵k ∈，∴||||OA OB ⋅
的取值范围是
(2,． ………………10分
24. 解：（I ）当1a =时，()|1||21|f x x x =-+-，
()2f x ≤⇒|1||21|2x x -+-≤，
上述不等式可化为1,21122,x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或11,
21212,
x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或1,1212,x x x ≥⎧⎨
-+-≤⎩ 解得1,20,x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或11,22,x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩或1,
4.3x x ≥⎧⎪⎨
≤⎪⎩
(3)
分
∴102
x ≤≤或112
x <<或413
x ≤≤， ∴
原
不
等
式
的
解
集
为
4
{|0}3
x x ≤≤.
………………5分
（II ）∵()|21|f x x ≤+的解集包含1[,1]2
， ∴
当
1[,1]
2
x ∈时，不等式
()|21|
f x x ≤+恒成
立， ………………6分
即|||21||21|x a x x -+-≤+在1[,1]2
x ∈上恒成立，
∴||2121x a x x -+-≤+， 即||2x a -≤，∴22x a -≤-≤， ∴
22
x a x -≤≤+在
1[,1]
2
x ∈上恒成
立， ………………8分
∴max min (2)(2)x a x -≤≤+， ∴512
a -≤≤， ∴
a
的取值范围是
5
[1,]2
-． ………………10分。