河北省2019年中考数学第4章第2节三角形的基本概念及全等三角形精讲试题

第二节 三角形的基本概念及全等三角形
为背景利用内外关系求角度24
河北五年中考真题及模拟
三角形三边关系
1．(2019河北中考)如图是边长为10 cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是( A )
,A) ,B) ,C) ,D)
2．(2019河北中考)如图①，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C ＝100°，如图②.则下列说法正确的是( C )
图① 图②
A．点M在AB上
B．点M在BC的中点处
C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远
D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远
3．(2019邢台中考模拟)下列各组数中，能成为一个三角形的三条边长的是( A )
A．2，3，4 B．2，2，4
C．1，2，3 D．1，2，6
4．(2019邯郸中考模拟)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是( D )
A．2或4 B．11或13
C．11 D．13
三角形内外角关系
5．(2019河北中考)如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是( B )
A．20° B．30° C．70° D．80°
,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．(2019河北中考模拟)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( C ) A．45° B．60° C．75° D．90°
7．(2019河北中考)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.
当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝__76__°.
……
若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝__6__°.
三角形的四条重要线段
8．(2019河北中考)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( B )
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心
C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
(第8题图)
(第9题图)
9．(2019河北中考)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC＝( C ) A．2 B．3 C．4 D．5
10．(2019河北中考)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200 m，则A，B间的距离为__100__m.
全等三角形
11．(2019唐山一模)在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3，5，7，9，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
12．(2019河北中考)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
解：(1)∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.
又AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF；
(2)AB∥DE，AC∥DF.
理由如下：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
∴AB∥DE，AC∥DF.
中考考点清单
三角形的分类及三边关系
1．三角形的分类
(1)按角分类
(2)
2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边．任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．
3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．
三角形内角和定理及内外角关系
4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．
5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
三角形中的四条重要线段
ADC
线
全等三角形及其性质
7．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 8．性质：
(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__；
(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．
全等三角形的判定
全等三角形的证明及性质是河北中考的必考点，单独考查过，考查方式均为在解题过程中利用三角形全等的证明及性质得到相关结论．涉及到的背景有：(1)与三角形结合；(2)与四边形结合；(3)与圆结合．每年都在图形的平移、旋转及位似等图形变换的猜想证明题中考查，设问方式为证明线段之间的数量关系．
【方法技巧】证明三角形全等的思路：
判定
三角形全等
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪
⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS
找另一边→SSS
已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA
找边的对角→AAS 已知两角⎩
⎪⎨⎪
⎧找夹边→ASA 找任一边→AAS
线段的垂直平分线
10
．定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 11．判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
,中考重难点突破
三角形三边之间的关系
【例1】若一个三角形的两边长分别是3，8，若第三边长是奇数，则第三边的长是( A ) A ．5或7 B ．7
C ．9
D ．7或9
【解析】先用三边关系确定好第三边的范围，再考虑奇数． 【答案】D
1．(2019
原创)若一等腰三角形的两边长分别为2，4，则此等腰三角形的周长为__10__． 三角形内角和定理、外角与内角的关系
【例2】(乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B＝
35°，∠ACE ＝60°，则∠A ＝( )
A ．35°
B ．95°
C ．85°
D ．75°
【解析】利用角平分线的定义求得∠ACD 的度数，从而利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和求解．
【答案】C
2．(临沂中考)如图，直线AB∥CD，∠A ＝40°，∠D ＝45°，则∠1的度数等于( B ) A ．80° B ．
85° C ．90° D ．95°
(第2题图)
(第3题图)
3．(2019原创)如图，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( A )
A ．50°
B ．60°
C ．40°
D ．30°
全等三角形的性质与判定
【例3】(2019沧州八中一模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC 的度数．
【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E ＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．
【答案】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DC E ＝90°. 又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE.
在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧CB ＝CF ，
∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，
∴△BCD ≌△FCE(SAS)；
(2)由(1)可知△BCD≌△FCE， ∴∠BDC ＝∠E.
∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°， ∴∠BDC ＝90°.
4．(宜昌中考)如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有( C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）.
A．8% B．9% C．10% D．11%
2．已知：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199＝（）
A．7500 B．10000 C．12500 D．2500
3．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点为60°角与直尺交点，点为光盘与直尺唯一交点，若，则光盘的直径是（）．
A. B. C.6 D.3
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）
A.一直增大
B.一直减小
C.先减小后增大
D.先增大后减少
5．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（）
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ABE＝90°D．BE平分∠DBC
6．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（）
A．2B．2C．1D1
7．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1，BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B②
当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形③当x＝2时，△BDD1为等边三角形④s（x﹣2）2（0＜x＜2），其中正确的有（）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
8．下列运算正确的是（）
A．2a+3b＝5ab B．2（2a﹣b）＝4a﹣b
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a+b）2＝a2+b2
9．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝与y轴交于点B1，以OB1为一边在OB1右侧作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于y轴，交直线l于点B2，以A1B2为一边在A1B2右侧作等边三角形
A2A1B2，过点A2作A2B3平行于y轴，交直线l于点B3，以A2B3为一边在A2B3右侧作等边三角形
A3A2B3，……则点A2019的纵坐标是（）
A. B. C. D.
10．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝36°，那么∠2＝（）
A ．54°
B ．56°
C ．44°
D ．46°
11．抛物线y ＝（x+3）2
﹣4的对称轴为（ ） A ．直线x ＝3
B ．直线x ＝﹣3
C ．直线x ＝4
D ．直线x ＝﹣4
12．如图，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，BC ∥x 轴，∠OAB ＝90°，点C （3，2），连接OC ．以OC 为对称轴将OA 翻折到OA′，反比例函数y ＝k
x
的图象恰好经过点A′、B ，则k 的值是（ ）
A ．9
B ．
133
C ．
169
15
D ．二、填空题 13．已知
112a b +=，求535a ab b a ab b
++=-+_____． 14．如图，a//b ，点B 在直线b 上，且AB ⊥BC ，∠1=35°，那么∠2=______．
15．已知关于x 的方程（a+2）x 2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x 1和x 2， 抛物线y=x 2
﹣（2a+1）
x+2a ﹣5与x 轴的两个交点分别为位于点（2，0）的两旁，若|x 1|+|x 2，则a 的值为________．
16．函数1y =-x 的取值范围是____________ 17．已知：如图，∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是__．
18．已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于_____厘米． 三、解答题
19．已知a 、b 、c 是等腰ABC ∆的三条边，其中4a =，如果b 、c 是关于x 的一元二次方程
260x x m -+=的两个根，求
m 的值．
20．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝
m
x
(x ＞0)的图象交于点P(n ，2)，与x 轴交于点A(－4,0)，与y 轴交于点C ，PB ⊥x 轴于点B ，点A 与点B 关于y 轴对称．
(1)求一次函数、反比例函数的解析式； (2)求证：点C 为线段AP 的中点．
21．用A4纸在某眷印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费1元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.4元，在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.8元，当复印的张数超过20页时，请问答以下问题．
（1）复印张数为多少页时，某眷印社与某图书馆的收费相同？ （2）如何选择更省钱？
22．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：3(2)41213
x x x x --⎧⎪
+⎨>-⎪⎩…
23．“全民阅读”活动，是中央宣传部、中央文明办和新闻出版总署贯彻落实关于建设学习型社会要求的一项重要举措．读书必须要讲究方法，只有按照一定的方法去阅读，才能取得事半功倍的效果．常用的阅读方法有：A ．圈点批注法；B ．摘记法；C ．反思法：D ．撰写读后感法；E ．其他方法．某县某中学张老师为了解本校学生使用不同阅读方法读书的情况，随机抽取部分本校中学生进行了调查，通过数据的收集、整理绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题： 中学生阅读方法情况统计表
（1）请你补全图表中的a ，b ，c 数据：a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ； （2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有 人；
（3）小明从以上抽样调查所得结果估计全县6000名中学生中有1200人采用“撰写读后感法”读书，
你同意小明的观点吗？请说明你的理由．
（4）该校决定从本次抽取的“其他方法”4名学生（记为甲，乙，丙，丁）中，随机选择2名成为学校阅读宣讲志愿者，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．
24．计算:22
12cos302-⎛⎫-︒- ⎪⎝⎭ 25．随着科技的发展，油电混合动力汽车已经开始普及，某种型号油电混合动力汽车，从甲地到乙地燃油行驶纯燃油费用80元，从甲地到乙地用电行驶纯电费用30元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元
（1）求每行驶1千米纯用电的费用；
（2）若要使从甲地到乙地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过50元，则至多用纯燃油行驶多少千米？
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．13
14．55°
15．﹣1
16．X≥2
17．：125°
18．7
三、解答题
19．9m =或8.
【解析】
【分析】
分a 为腰和底两种情况根据三角形三边关系定理及等腰三角形的特点，确定另两边的长，从而确定m 的值．
【详解】
①若4a =为底，则b c =，即方程有两个相等的实数根.
∴2640m ∆=-=，解得：9m =, 4，3，3符合题意.
②若4a =为腰，则方程必有一根为4，则46,4,x x m +=⎧⎨
=⎩解得2,8.x m =⎧⎨=⎩ 三角形三边为4，4，2符合题意.
∴综上：9m =或8
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质分类讨论，难度不大．
20．（1）8y x =，114y x =+ ；（2）详见解析. 【解析】
【分析】
（1）由A 、B 关于y 轴对称，可知B 点坐标，进而知道P 点坐标，就可求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）利用平行线等分线段定理可求证明．
【详解】
（1）∵A （-4，0），点A 与点B 关于y 轴对称，
∴B （4，0），
∵PB ⊥x 轴于点B ，
∴P （4，2），
把P （4，2）代入y=
m x ，求得m=8， ∴y=8x
． 把A （-4，0）和P （4，2）代入一次函数y=kx+b 中，
4042k b k b -+⎧⎨+⎩
＝＝
∴
1
4
1 k
b
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
＝＝
∴y=1
4
x+1．
（2）∵PB⊥x轴，y轴⊥x轴，
∴PB∥y轴，
∵A、B关于y轴对称，
∴O为AB中点，
∴点C为线段AP的中点．
【点睛】
本题运用了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式的知识点，还运用了平行线分线段成比例定理的知识点，体现了数形结合的数学思想．
21．（1）复印张数为30页时，某眷印社与某图书馆的收费相同；（2）当复印张数大于0小于30页时，选某图书馆；当复印张数为30页时，两店一样；当复印张数大于30页时，选某眷印社．
【解析】
【分析】
（1）复印张数超过20页时，某眷印社收费为：20+0.4（x-20），某图书馆收费为：0.8x'，两者相等列方程求解．
（2）求某眷印社收费大于某图书馆的x值，再比较说明．
【详解】
解：（1）设复印张数为x页，（x＞20），列方程得：
20+0.4（x﹣20）＝0.8x
解得：x＝30
答：复印张数为30页时，某眷印社与某图书馆的收费相同．
（2）20+0.4（x﹣20）＞0.8x
解得：x＜30
答：当复印张数大于0小于30页时，选某图书馆；当复印张数为30页时，两店一样；当复印张数大于30页时，选某眷印社．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，是一次方程和不等式综合运用的常考题型，找出其中的数量关系列出方程与不等式是解答本题的关键．
22．x≤1，见解析.
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
解不等式1+2
3
x
＞x﹣1，得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23．（1）32，8，10%；（2）96；（3）1200人；（4）1
6
.
【解析】
【分析】
(1)先根据“摘记法”的频数及其频率求得总人数，再根据频数、频率与总数间的关系可得a、b、c的值；
(2)总人数乘以样本中“反思法”学生所占比例可得；
(3)利用总人数乘以撰写读后感法的百分比即可解答
（4）用树状图表示出四人中随机抽取两人有12种可能，即可解答
【详解】
解：（1）本次调查的学生有：20÷25%＝80，
a＝80×40%＝32，
b＝80×（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝80×10%＝8，
c＝（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝10%，
故答案为：32，8，10%；
（2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有：960×10%＝96人，
故答案为：96；
（3）同意小明的观点；理由如下：
全县6000名中学生中采用“撰写读后感法”读书的有：6000×20%＝1200人；
（4）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能， ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是21=126
．
【点睛】
此题考查树状图法，扇形统计图，解题关键在于看懂图中数据
24．【解析】
【分析】
根据负指数幂运算法则、锐角三角函数值、二次根式化简即可求出答案.
【详解】
221()2cos302
--︒-
4222
=+⨯
-
2=【点睛】 本题主要考查了实数混合运算，熟知负指数幂运算法则、锐角三角函数值、二次根式化简是解题关键.
25．（1）每行驶1千米纯用电的费用为0.3元；（2）至多用纯燃油行驶40千米．
【解析】
【分析】
（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元，可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题；
（2）根据从甲地到乙地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过50元，结合（1）中用电每千米的费用列出不等式，解不等式即可解答本题．
【详解】
解：（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x 元， 根据题意，得8030x 0.5x
=+， 解得，x ＝0.3，
经检验，x＝0.3是原分式方程的解，
即每行驶1千米纯用电的费用为0.3元；
（2）从甲地到乙地油电混合行驶，设用纯燃油行驶y千米．
根据题意，得
30
(0.30.5)y y0.350
0.3
⎛⎫
++-⨯≤
⎪
⎝⎭
，
解得，y≤40．
即至多用纯燃油行驶40千米．
【点睛】
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程与不等式，注意分式方程要检验．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．若函数22y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )
A.1b <且0b ≠
B.1b >
C.01b <<
D.1b <
2．如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 边上一点，若AE ：AD ＝1：3，则S △AEF ：S △CDF ＝( )
A ．1：2
B ．1：3
C ．1：4
D ．1：9
3．利用计算器求值时，小明将按键顺序为
的显示结果为a ，
的显示结果为b ，则a 与b 的乘积为（ ） A.﹣16 B.16
C.﹣9
D.9 4．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，在以下四个结论中，正确的是（ ）
A.abc ＞0
B.4a+2b+c ＜0
C.a ﹣b+c ＞0
D.a+b ＞0
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
A. B. C. D.
6．如图，将正五边形ABCDE 沿逆时针方向绕其顶点A 旋转，若使点B 落在AE 边所在的直线上，则旋转的角度可以是（ ）
A．72°B．54°C．45°D．36°
7．为落实“垃圾分类”，换位部门将某住宅小区的垃圾箱设置为,,
A B C三类。

广宇家附近恰好有,,
A B C三类垃圾箱各一个，广宇姐姐将家中的垃圾对应分为,A B两包，如果广宇将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的概率是（）
A．1
3
B．
2
9
C．
1
9
D．
1
6
8．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示。

对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（）
A．中位数是90 B．众数是90 C．极差是15 D．平均数是90
9．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D为圆上一点，连接AD，分别过点B和点C作AD延长线的垂线，垂足分别为点E和点F，连接BD、CD，已知EB=3，FC=2，现在有如下4个结论：①∠CDF=60°；②
△EDB∽△FDC；③BC=
3；④
3
5
ADB EDB
S S
，其中正确的结论有（）个
A．1
B．2
C．3
D．4
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF∥BC，EF与AB、CD分别相交于点E、F，则△DOF的面积与△BOA的面积之比为（）
A ．1：2
B ．1：4
C ．1：8
D ．1：16
11．如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
12．下列计算正确的是（ ）
A ．=
B ．1)(11+-=
C ．﹣（﹣a ）4÷a 2＝a 2
D ．2
111(xy)xy xy 24-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、填空题
13．分式方程3512
x x =++的解为_____． 14．如图数轴上A ，B 两点间的距离为10，点A 表示的数为6，且B 在A 左侧．动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发．当点P 运动_____秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度．
15．若2x 2x 3-=，则多项式22x 4x 3-+=______．
16．若37
a b =，则a b b +=_______． 17．如图，AB ∥CD ，若∠E ＝34°，∠D ＝20°，则∠B 的度数为_____．
18．因式分解：244a a -+=____.
三、解答题
19．请你将下式化简，再求值：（x+2）（x ﹣2）+（x ﹣2）2+（x ﹣4）（x ﹣1），其中x 2﹣3x ＝1．
20．包头市第二届互联网大会于2017年12月26日在石拐区召开,大会以“智慧包头 共享未来”为主题,为反映我市作为全国首批信息化建设的试点城市的成果,我市某调查公司按大会主办方要求对我市青山区居民使用互联网时间情况进行统计,现将调查结果分成五类:A.平均一天使用时间不超过1小时;B.平均一天使用1~4小时;C.平均一天使用4~6小时;D.平均一天使用6~10小时(每个时间段不包括前一个
数值,包括后一个数值);E.平均一天使用超过10小时.并将得到的数据绘制成了如图所示两幅不完整的统计图,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)将扇形统计图和条形统计图补充完整;
(2)若一天中互联网使用时间超过6小时,则称为“网络达人”.包头市青山区共有居民55万人,试估计青山区可称为“网络达人”的人数;
(3)在被调查的平均一天使用时间不超过1小时的4位我市青山区居民中有2男2女,现要从中随机选出两位居民去参加此次大会的座谈,请你用列表法或树状图法求出所选两位居民中至少有一位女士的概率.
21．如图，已知抛物线y＝x2+ax﹣3交x轴于点A，D两点，交y轴于点C，过点A的直线与x轴下方的抛物线交于点B，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
（1）求a的值；
（2）连结BD，求△ADB面积的最大值；
（3）当△ADB面积最大时，求点C到直线AB的距离．
22．2019年3月19日，河南省教育厅发布《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学为落实方案，给学生提供了以下五种主题式研学线路：A．“红色河南”，B．“厚重河南”C．“出彩河南”，D．“生态河南”，E．“老家河南”为了解学生最喜欢哪一种研学线路（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．根据以上信息解答下列问题：调查结果统计表
（1）本次接受调查的总人数为 人，统计表中m ＝ ，n ＝ ．
（2）补全条形统计图．
（3）若把条形统计图改为扇形统计图，则“生态河南”主题线路所在扇形的圆心角度是 ．
（4）若该实验中学共有学生3000人，请据此估计该校最喜欢“老家河南”主题线路的学生有多少人．
23．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m≠n，请判断关于t 的方程t 2+mt+n ＝0是否有实数根，并说明理由．
24．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，点D 与点B 在AC 同侧，DAC BAC ∠>∠，且DA DC =，过点B 作//BE DA 交DC 于点,E M 为AB 的中点，连接,MD ME .
（1）如图1，当90ADC ∠=时，线段MD 与ME 的数量关系是 ；
（2）如图2，当ADC 60∠=时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当ADC α∠=时，求ME MD
的值.
25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx k =+与双曲线4
=y x
（x>0）交于点1)（，A a ．
（1）求a ，k 的值；
（2）已知直线l 过点(2,0)D 且平行于直线y kx k =+，点P （m ，n ）（m>3）是直线l 上一动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交双曲线4=y x （x>0）于点M 、N ，双曲线在点M 、N 之间的部分与线段PM 、PN 所围成的区域（不含边界）记为W ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当4m =时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内的整点个数不超过8个，结合图象，求m 的取值范围．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．12
14．1或9.
15．9
16．107
17．54°
18．（a-2）2
三、解答题
19．3x 2﹣9x+4，7
【解析】
【分析】
运用平方差公式、完全平方公式和多项式的乘法的运算法则计算，再合并同类项，然后整体代入求值．
【详解】
(x+2)(x ﹣2)+(x ﹣2)2+(x ﹣4)(x ﹣1)，
＝x 2﹣4+x 2﹣4x+x 2﹣5x+4，
＝3x 2﹣9x+4，
当x 2﹣3x ＝1时，
原式＝3x 2﹣9x+4，
＝3(x 2﹣3x)+4，
＝3×1+4，
＝7．
【点睛】
本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式的乘法，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键，注意整体代入思想．
20．(1)补全统计图,如图所示.见解析；(2)青山区可称为“网络达人”的人数为15.4万人；(3) 所选两位居民中至少有一位女士的概率为
56
. 【解析】
【分析】
（1）先根据C 类求出总人数，再由条形统计图计算出B 类人数， 然后计算B 所占百分比，根据数据补全扇形统计图和条形统计图即可;．
（2）先计算超过6小时的比例，再乘以求出55万即可；
（3）用列表法或树状图法列出所有可能的情况，按概率公式计算即可．
【详解】
(1)根据题意得:20÷40%=50(人),
则B 类的人数为50-(4+20+9+5)=12(人),
B 类的人数所占百分比:12÷50×100%=24%,
补全统计图,如图所示.
(2)根据题意得:5950
×55=15.4(万人),
答:青山区可称为“网络达人”的人数为15.4万人.
(3)树状图如下:
或列表如下:
所有等可能的情况有12种,其中所选两位居民中至少有一位女士共有10种,
则P(至少有一位女士)=10
12
=
5
6
.
答:所选两位居民中至少有一位女士的概率为5
6
.
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图，两图结合是解题的关键．
21．（1）－2；（2）8；（3）CE
【解析】
【分析】
（1）点A（-1，0），代入二次函数表达式即可；
（2）当点B在抛物线顶点上时，△ABD的面积最大；
（3）求出直线AB的解析式为：y=-2x-2，过点C作CE⊥AB于E，证明△AOF∽△CEF，即可求解. 【详解】
（1）∵点A（﹣1，0），
∴1﹣a﹣3＝0，
∴a＝﹣2；
（2）当点B在抛物线顶点上时，△ABD的面积最大，
∴B（1，﹣4），
∴S ＝12
×4×4＝8； （3）∵设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，
将点A （﹣1，0），B （1，﹣4）代入，得
04k b k b =-=⎧⎨-=+⎩
， k 2b 2=-⎧∴⎨=-⎩
， ∴直线AB 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣2，
∴AO ＝1，OF ＝2，CF ＝1，
过点C 作CE ⊥AB 于E ，
∴∠AOF ＝∠CEF ＝90°，∠AFO ＝∠CFE
∴△AOF ∽△CEF
AO AF CE CF
∴=，
∴AF
∴CE =； 【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，三角形相似；掌握代入系数法求解析式，利用三角形相似求边是解题的关键．
22．（1）300、90、25；（2）见解析；（3）60°；（4）500（人）
【解析】
【分析】
（1）由C 主题人数及其所占百分比可得总人数，再根据百分比=主题对应人数÷总人数×100%求解可得；
（2）由（1）所求结果即可补全图形；
（3）用360°乘以“生态河南”主题线路人数所占比例；
（4）用总人数乘以样本中“老家河南”主题线路的学生人数所占比例即可得．【详解】
（1）本次接受调查的总人数为45÷15%＝300（人），
则m＝300×30%＝90（人），n%＝
75
100
×100%＝25%，即n＝25，
故答案为：300、90、25；（2）补全图形如下：
（3）“生态河南”主题线路所在扇形的圆心角度是360°×60
300
＝60°，
故答案为：60°；
（4）估计该校最喜欢“老家河南”主题线路的学生有3000×60
300
＝500（人）．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根．
【解析】
【分析】
（1）将已知点的坐标代入二次函数列出方程组，解之即可；
（2）因为（m，k），（n，k）是关于直线x＝﹣1的对称点，所以
+
2
m n
＝﹣1 即m＝﹣n﹣2，于是 b2﹣
4ac＝m2﹣4n＝（﹣n﹣2）2﹣4n＝n2+4＞0，所以此方程有两个不相等的实数根．【详解】
（1）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3）
9a﹣3b+c＝0。