历年高考数学真题精选52 不等式选讲

历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题52 不等式选讲（学生版）
1．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．
2．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．3．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
4．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．5．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．6．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
7．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝|x−1
2|+|x+
1
2|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
8．（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
9．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+1
a|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f （x ）≥2；
（Ⅱ）若f （3）＜5，求a 的取值范围． 10．（2014•新课标Ⅰ）若a ＞0，b ＞0，且1
a +
1b
=
√ab ．
（Ⅰ）求a 3+b 3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得2a +3b ＝6？并说明理由．
11．（2013•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|2x +a |，g （x ）＝x +3． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；
（Ⅱ）设a ＞﹣1，且当x ∈[−a 2，1
2
]时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．
12．（2011•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x ﹣5|． （1）证明：﹣3≤f （x ）≤3；
（2）求不等式f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集． 13．（2019•新课标Ⅲ）设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1． （1）求（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值；
（2）若（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥1
3
成立，证明：a ≤﹣3或a ≥﹣1． 14．（2019•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明： （1）1
a +
1b
+
1c
≤a 2+b 2+c 2；
（2）（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．
15．（2017•新课标Ⅱ）已知a ＞0，b ＞0，a 3+b 3＝2．证明： （1）（a +b ）（a 5+b 5）≥4； （2）a +b ≤2．
16．（2015•新课标Ⅱ）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b ＝c +d ，证明： （1）若ab ＞cd ，则√a +√b ＞√c +√d ；
（2）√a +√b ＞√c +√d 是|a ﹣b |＜|c ﹣d |的充要条件． 17．（2013•辽宁）（1）证明：当x ∈[0，1]时，
√2
2
x ≤sinx ≤x ； （2）若不等式ax +x 2+x 3
2+2(x +2)cosx ≤4对x ∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围． 18．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】 设a ，b ，c 均为正数，且a +b +c ＝1，证明：
（Ⅰ）ab +bc +ca ≤13
（Ⅱ）a 2b
+
b 2c
+
c 2a
≥1．
历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题52 不等式选讲（学生版）
一．解答题（共18小题）
1．（2019•新课标Ⅱ）已知f （x ）＝|x ﹣a |x +|x ﹣2|（x ﹣a ）． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＜0的解集；
（2）当x ∈（﹣∞，1）时，f （x ）＜0，求a 的取值范围． 解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|x +|x ﹣2|（x ﹣1），
∵f （x ）＜0，∴当x ＜1时，f （x ）＝﹣2（x ﹣1）2＜0，恒成立，∴x ＜1； 当x ≥1时，f （x ）＝（x ﹣1）（x +|x ﹣2|）≥0恒成立，∴x ∈∅； 综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；
（2）当a ≥1时，f （x ）＝2（a ﹣x ）（x ﹣1）＜0在x ∈（﹣∞，1）上恒成立； 当a ＜1时，x ∈（a ，1），f （x ）＝2（x ﹣a ）＞0，不满足题意， ∴a 的取值范围为：[1，+∞）
2．（2018•新课标Ⅰ）已知f （x ）＝|x +1|﹣|ax ﹣1|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞1的解集；
（2）若x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立，求a 的取值范围．
解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣1|={2，x ＞1
2x ，−1≤x ≤1−2，x ＜−1
，
由f （x ）＞1，
∴{2x ＞1−1≤x ≤1或{2＞1x ＞1， 解得x ＞1
2，
故不等式f （x ）＞1的解集为（1
2，+∞），
（2）当x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立， ∴|x +1|﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即x +1﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即|ax ﹣1|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜2 a，
∴a＜2 x
∵2
x
＞2，
∴0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2]．
3．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|={2x+4，x≤−1 2，−1＜x＜2
−2x+6，x≥2
．
当x≤﹣1时，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，
当﹣1＜x＜2时，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2时，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，
∴|x+a|+|x﹣2|≥4，
∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，
∴|a+2|≥4，
解得a≤﹣6或a≥2，
故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
4．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝﹣x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =1
2
的二次函数，
g （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|={2x ，x ＞1
2，−1≤x ≤1−2x ，x ＜−1
，
当x ∈（1，+∞）时，令﹣x 2+x +4＝2x ，解得x =
√17−1
2
，g （x ）在（1，+∞）上单调递
增，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f （x ）≥g （x ）的解集为（1，√17−1
2
]； 当x ∈[﹣1，1]时，g （x ）＝2，f （x ）≥f （﹣1）＝2．
当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g （x ）单调递减，f （x ）单调递增，且g （﹣1）＝f （﹣1）＝2． 综上所述，f （x ）≥g （x ）的解集为[﹣1，
√17−1
2
]； （2）依题意得：﹣x 2+ax +4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x 2﹣ax ﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0
(−1)2−a(−1)−2≤0，解得﹣1≤a ≤1，
故a 的取值范围是[﹣1，1]．
5．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；
（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．
解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−1
2x −1，−1≤x ≤23，x ＞2
，f （x ）≥1，
∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．
（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．
由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1
−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2
，
当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x =1
2＞−1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；
当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x =3
2
∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （3
2）=−9
4+9
2−1=5
4；
当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =1
2＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max =54
，
∴m 的取值范围为（﹣∞，5
4]．
6．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+a ． （1）当a ＝2时，求不等式f （x ）≤6的解集；
（2）设函数g （x ）＝|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围． 解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝|2x ﹣2|+2， ∵f （x ）≤6，∴|2x ﹣2|+2≤6， |2x ﹣2|≤4，|x ﹣1|≤2， ∴﹣2≤x ﹣1≤2， 解得﹣1≤x ≤3，
∴不等式f （x ）≤6的解集为{x |﹣1≤x ≤3}． （2）∵g （x ）＝|2x ﹣1|，
∴f （x ）+g （x ）＝|2x ﹣1|+|2x ﹣a |+a ≥3， 2|x −1
2|+2|x −a 2
|+a ≥3， |x −12|+|x −a 2|≥3−a
2， 当a ≥3时，成立，
当a ＜3时，|x −12|+|x −a 2|≥12|a ﹣1|≥3−a
2＞0， ∴（a ﹣1）2≥（3﹣a ）2， 解得2≤a ＜3，
∴a 的取值范围是[2，+∞）．
7．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）＝|x −12|+|x +1
2|，M 为不等式f （x ）＜2的解集． （Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M 时，|a +b |＜|1+ab |．
解：（I ）当x ＜−1
2
时，不等式f （x ）＜2可化为：1
2
−x ﹣x −12
＜2，
解得：x ＞﹣1， ∴﹣1＜x ＜−12
，
当−12
≤x ≤12
时，不等式f （x ）＜2可化为：1
2
−x +x +12
=1＜2，
此时不等式恒成立， ∴−1
2≤x ≤1
2，
当x ＞12
时，不等式f （x ）＜2可化为：−12
+x +x +12
＜2， 解得：x ＜1， ∴1
2＜x ＜1，
综上可得：M ＝（﹣1，1）； 证明：（Ⅱ）当a ，b ∈M 时， （a 2﹣1）（b 2﹣1）＞0， 即a 2b 2+1＞a 2+b 2，
即a 2b 2+1+2ab ＞a 2+b 2+2ab ， 即（ab +1）2＞（a +b ）2， 即|a +b |＜|1+ab |．
8．（2015•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|x +1|﹣2|x ﹣a |，a ＞0． （Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞1的解集；
（Ⅱ）若f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当a ＝1时，不等式f （x ）＞1，即|x +1|﹣2|x ﹣1|＞1， 即{x ＜−1
−x −1−2(1−x)＞1①，或{−1≤x ＜1
x +1−2(1−x)＞1
②，
或{x ≥1x +1−2(x −1)＞1
③． 解①求得x ∈∅，解②求得2
3＜x ＜1，解③求得1≤x ＜2．
综上可得，原不等式的解集为（2
3
，2）．
（Ⅱ）函数f （x ）＝|x +1|﹣2|x ﹣a |={x −1−2a ，x ＜−1
3x +1−2a ，−1≤x ≤a −x +1+2a ，x ＞a
，
由此求得f （x ）的图象与x 轴的交点A （2a−13
，0），
B （2a +1，0），
故f （x ）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C （a ，a +1）， 由△ABC 的面积大于6， 可得1
2[2a +1−
2a−1
3
]•（a +1）＞6，求得a ＞2． 故要求的a 的范围为（2，+∞）．
9．（2014•新课标Ⅱ）设函数f （x ）＝|x +1
a |+|x ﹣a |（a ＞0）． （Ⅰ）证明：f （x ）≥2；
（Ⅱ）若f （3）＜5，求a 的取值范围．
解：（Ⅰ）证明：∵a ＞0，f （x ）＝|x +1
a |+|x ﹣a |≥|（x +1
a ）﹣（x ﹣a ）|＝|a +1
a |＝a +1
a ≥2√a ⋅1
a =2， 故不等式f （x ）≥2成立． （Ⅱ）∵f （3）＝|3+1
a |+|3﹣a |＜5，
∴当a ＞3时，不等式即a +1
a
＜5，即a 2﹣5a +1＜0，解得3＜a ＜5+√21
2
． 当0＜a ≤3时，不等式即 6﹣a +1a ＜5，即 a 2﹣a ﹣1＞0，求得1+√5
2
＜a ≤3． 综上可得，a 的取值范围（
1+√52
，
5+√212）．
10．（2014•新课标Ⅰ）若a ＞0，b ＞0，且1a
+1b
=
√ab ．
（Ⅰ）求a 3+b 3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得2a +3b ＝6？并说明理由． 解：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，且1
a
+
1b
=
√ab ，
∴√ab =1
a +1
b ≥2√1
ab ，∴ab ≥2， 当且仅当a ＝b =√2时取等号．
∵a 3+b 3 ≥2√(ab)3≥2√23=4√2，当且仅当a ＝b =√2时取等号， ∴a 3+b 3的最小值为4√2．
（Ⅱ）∵2a +3b ≥2√2a ⋅3b =2√6ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号． 而由（1）可知，2√6ab ≥2√12=4√3＞6， 故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立．
11．（2013•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|2x +a |，g （x ）＝x +3． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；
（Ⅱ）设a ＞﹣1，且当x ∈[−a 2，1
2
]时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．
解：（Ⅰ）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3＜0． 设y ＝|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，则y ={
−5x ，x ＜1
2
−x −2，12≤x ≤13x −6，x ＞1，它的图象如图所示：
结合图象可得，y ＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （Ⅱ）设a ＞﹣1，且当x ∈[−a
2
，1
2]时，f （x ）＝1+a ，不等式化为1+a ≤x +3，
故x ≥a ﹣2对x ∈[−a 2
，1
2
]都成立．
故−a 2
≥a ﹣2， 解得a ≤4
3，
故a 的取值范围为（﹣1，4
3]．
12．（2011•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x ﹣5|．
（1）证明：﹣3≤f （x ）≤3；
（2）求不等式f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集．
解：（1）f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x ﹣5|={−3，x ≤2
2x −7，2＜x ＜53，x ≥5
．
当2＜x ＜5时，﹣3＜2x ﹣7＜3．
所以﹣3≤f （x ）≤3．
（2）由（1）可知，
当x ≤2时，f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为空集；
当2＜x ＜5时，f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为{x |5−√3≤x ＜5}；
当x ≥5时，f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为{x |5≤x ≤6}．
综上，不等式f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为{x |5−√3≤x ≤6}．
13．（2019•新课标Ⅲ）设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1．
（1）求（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值；
（2）若（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥13成立，证明：a ≤﹣3或a ≥﹣1．
解：（1）x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1，
由柯西不等式可得
（12+12+12）[（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2]≥（x ﹣1+y +1+z +1）2＝4，
可得（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2≥43，
即有（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值为43； （2）证明：由x +y +z ＝1，柯西不等式可得
（12+12+12）[（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2]≥（x ﹣2+y ﹣1+z ﹣a ）2＝（a +2）2，
可得（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥(a+2)23， 即有（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2的最小值为
(a+2)23， 由题意可得(a+2)23≥13， 解得a ≥﹣1或a ≤﹣3．
14．（2019•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明：
（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；
（2）（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．
证明：（1）分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．
要证（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；因为abc ＝1．
就要证：abc a +abc b +abc c ≤a 2+b 2+c 2；
即证：bc +ac +ab ≤a 2+b 2+c 2；
即：2bc +2ac +2ab ≤2a 2+2b 2+2c 2；
2a 2+2b 2+2c 2﹣2bc ﹣2ac ﹣2ab ≥0
（a ﹣b ）2+（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2≥0；
∵a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．
∴（a ﹣b ）2≥0；（a ﹣c ）2≥0；（b ﹣c ）2≥0恒成立；当且仅当：a ＝b ＝c ＝1时取等号． 即（a ﹣b ）2+（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2≥0得证．
故1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2得证．
（2）证（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24成立；
即：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．
（a +b ）为正数；（b +c ）为正数；（c +a ）为正数；
（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥3（a +b ）•（b +c ）•（c +a ）；
当且仅当（a +b ）＝（b +c ）＝（c +a ）时取等号；即：a ＝b ＝c ＝1时取等号； ∵a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．
（a +b ）≥2√ab ；（b +c ）≥2√bc ；（c +a ）≥2√ac ；
当且仅当a ＝b ，b ＝c ；c ＝a 时取等号；即：a ＝b ＝c ＝1时取等号；
∴（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥3（a +b ）•（b +c ）•（c +a ）≥3×8√ab •√bc •√ac =24abc ＝24；
当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号；
故（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．得证．
故得证．
15．（2017•新课标Ⅱ）已知a ＞0，b ＞0，a 3+b 3＝2．证明：
（1）（a +b ）（a 5+b 5）≥4；
（2）a +b ≤2．
证明：（1）由柯西不等式得：（a +b ）（a 5+b 5）≥（√a ⋅a 5+√b ⋅b 5）2＝（a 3+b 3）2≥4， 当且仅当√ab 5=√ba 5，即a ＝b ＝1时取等号，
（2）∵a 3+b 3＝2，
∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2，
∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2，
∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2，
∴(a+b)3−23(a+b)=ab ，
由均值不等式可得：(a+b)3−23(a+b)
=ab ≤（a+b 2）2， ∴（a +b ）3﹣2≤3(a+b)34
， ∴14（a +b ）3≤2， ∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．
16．（2015•新课标Ⅱ）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b ＝c +d ，证明：
（1）若ab ＞cd ，则√a +√b ＞√c +√d ；
（2）√a +√b ＞√c +√d 是|a ﹣b |＜|c ﹣d |的充要条件．
证明：（1）由于（√a +√b ）2＝a +b +2√ab ，
（√c +√d ）2＝c +d +2√cd ，
由a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b ＝c +d ，ab ＞cd ，
则√ab ＞√cd ，
即有（√a +√b ）2＞（√c +√d ）2，
则√a +√b ＞√c +√d ；
（2）①若√a +√b ＞√c +√d ，则（√a +√b ）2＞（√c +√d ）2，
即为a +b +2√ab ＞c +d +2√cd ，
由a +b ＝c +d ，则ab ＞cd ，
于是（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，
（c ﹣d ）2＝（c +d ）2﹣4cd ，
即有（a ﹣b ）2＜（c ﹣d ）2，即为|a ﹣b |＜|c ﹣d |；
②若|a ﹣b |＜|c ﹣d |，则（a ﹣b ）2＜（c ﹣d ）2，
即有（a +b ）2﹣4ab ＜（c +d ）2﹣4cd ，
由a +b ＝c +d ，则ab ＞cd ，
则有（√a +√b ）2＞（√c +√d ）2．
综上可得，√a +√b ＞√c +√d 是|a ﹣b |＜|c ﹣d |的充要条件．
17．（2013•辽宁）（1）证明：当x ∈[0，1]时，
√22x ≤sinx ≤x ； （2）若不等式ax +x 2+x 32
+2(x +2)cosx ≤4对x ∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围． （1）证明：记F （x ）＝sin x −
√22x ，则F ′（x ）＝cos x −√22． 当x ∈（0，π4）时，F ′（x ）＞0，F （x ）在[0，π4]上是增函数；
当x ∈（π4，1）时，F ′（x ）＜0，F （x ）在[π4，1]上是减函数； 又F （0）＝0，F （1）＞0，所以当x ∈[0，1]时，F （x ）≥0，即sin x ≥√22x ，
记H （x ）＝sin x ﹣x ，则当x ∈（0，1）时，H ′（x ）＝cos x ﹣1＜0，所以H （x ）在[0，1]上是减函数；则H （x ）≤H （0）＝0，
即sin x ≤x ．
综上，√22
x ≤sin x ≤x ． （2）∵当x ∈[0，1]时，ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ﹣4
＝（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）sin 2x 2
≤（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）(√24x)2
＝（a +2）x ，
∴当a ≤﹣2时，不等式ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ≤4对x ∈[0，1]恒成立，
下面证明，当a ＞﹣2时，不等式ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立． ∵当x ∈[0，1]时，ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ﹣4
＝（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）sin 2x 2≥（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）(x 2)2
＝（a +2）x ﹣x 2−x 32≥（a +2）x −32x 2=−32x [x −23（a +2）]．
所以存在x 0∈（0，1）（例如x 0取a+23和12中的较小值）满足
ax 0+x 02+x
032+2（x 0+2）cos x 0﹣4＞0，
即当a ＞﹣2时，不等式ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
18．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】
设a ，b ，c 均为正数，且a +b +c ＝1，证明：
（Ⅰ）ab +bc +ca ≤13
（Ⅱ）a 2b +b
2c +c 2a ≥1．
证明：（Ⅰ）由a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ， 由题设得（a +b +c ）2＝1，即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝1，
所以3（ab +bc +ca ）≤1，即ab +bc +ca ≤13．
（Ⅱ）因为a
2b +b ≥2a ，b
2c +c ≥2b ，c 2a +a ≥2c ，
故a 2b +b 2c +c
2a +（a +b +c ）≥2（a +b +c ），即a 2b +b
2c +c 2a ≥a +b +c ．
所以a 2b +b 2c +c 2a ≥1．。