2020高考山西数学_文_大一轮复习__第九章 平面解析几何第七节 抛物线

(2)如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D,设准线与x轴交于
点G,设|BF|=a,则由已知条件知|BC|=2a,由定义得|BD|=a,故∠BCD=30°,
在Rt△ACE中,因为|AF|=4,|AC|=4+3a,所以2|AE|=|AC|,所以4+3a=8,从而
得a= 4 ,因为AE∥FG,所以 FG = CF ,即 p = 4,所以p=2,所以抛物线的方程
角);
(3) 1 + 1 = 2 ; | AF | | BF | p
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切.
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛
物线. ( × )
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且焦点坐标是
|PB|+|PF|的最小值为
.
答案 4
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解析 如图,过点B作BQ垂直于准线,交准线于点Q,交抛物线于点P1,连 接P1F,则|P1Q|=|P1F|. 则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4, 即|PB|+|PF|的最小值为4.
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探究1 (变条件)若将本例中的“B(3,2)”改为“B(3,4)”,如何求解?
4.以x=1为准线的抛物线的标准方程为 ( D ) A.y2=2x B.y2=-2x C.y2=4x D.y2=-4x
答案 D 由准线x=1可设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),且 p =1,p=2,所
2
以抛物线的方程为y2=-4x.故选D.
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5.若抛物线y=4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标是
2.应用的规律
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▶提醒 建立函数关系后,一定要根据题目条件探求自变量的取值范 围,即函数的定义域.
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1-1 已知动点P的坐标(x,y)满足方程5 (x 1)2 ( y 2)2 =|3x+4y+12|,则 点P的轨迹是 ( D ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为 2p ,0.
由题意可设直线方程为x=my+ p ,代入y2=2px,
2
得y2=2p my

p 2

,即y2-2pmy-p2=0.(*)
易知y1,y2是方程(*)的两个实数根, 所以y1y2=-p2.
A.y2=8x C.y2=2x
B.y2=4x D.y2=x
答案 (1)D (2)B
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解析 (1)由题易知双曲线的焦点为(- 2 ,0),( 2 ,0).
设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则 p = 2 ,所以p=2 2 ,所以抛物线方程为y2
2
=±4 2 x.
答案 D 由5 (x 1)2 ( y 2)2 =|3x+4y+12|⇒ (x 1)2 ( y 2)2=
| 3x 4 y 12 |,
5
∴动点P到定点(1,2)的距离等于其到直线l:3x+4y+12=0的距离,∴点P的 轨迹是抛物线.
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1-2 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛 物线上,且2x2=x1+x3,则有 ( C ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.|FP1|+|FP3|=2|FP2| D.|FP1|·|FP3|=|FP2|2
答案 C
解析 根据抛物线的定义知
|FP1|=x1+ 2p ,|FP2|=x2+ 2p ,|FP3|=x3+ 2p ,
∴|FP1|+|FP3|
= x1
p 2

+ x3
p 2

=(x1+x3)+p=2x2+p
=2 x2
p 2

=2|FP2|.
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当焦点坐标为(4,0)时,设方程为y2=2px(p>0),则 p =4,
2
所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x. 所以所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
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抛物线的定义
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典例1 设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,若B(3,2),则
(B )
A. 17 B. 15 C. 7 D.0
16
16
8
答案 B 抛物线的标准方程为x2= 1 y,M到准线的距离等于M到焦点的
4
距离,又准线方程为y=- 1 ,
16
设M(x,y),则y+ 1 =1,∴y=1 5 .
16
16
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6.若抛物线的焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点,则抛物线的标准
2
2
所以焦点坐标为(1,0).故选B.
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抛物线的几何性质
典例3 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线
与抛物线的两个交点,求证:
(1)y1y2=-p2,x1x2=
p2 4
;
(2) 1 + 1 为定值; | AF | | BF |
2.抛物线的标准方程和几何性质
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知识拓展
1.抛物线的焦半径公式
抛物线上任意一点P(x0,y0)到焦点F的距离称为焦半径.有以下结论(p>0):
(1)对于抛物线y2=2px,|PF|= 2p +x0; (2)对于抛物线y2=-2px,|PF|= 2p -x0; (3)对于抛物线x2=2py,|PF|= 2p +y0; (4)对于抛物线x2=-2py,|PF|= 2p -y0.
方程为
.
答案 x2=-12y或y2=16x
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解析 对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3,令y=0,得x=4,所以抛物线 的焦点坐标为(0,-3)或(4,0).
当焦点坐标为(0,-3)时,设方程为x2=-2py(p>0),则 p =3,所以p=6,此时抛物
2
线的标准方程为x2=-12y;
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2-1 (2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该
抛物线的焦点坐标为 ( B )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
答案 B 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=- p ,
2
由题设知- p =-1,即 p =1,
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2.抛物线的几个常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=
p2 4
,y1y2=-pcos
α
,|BF|= p
1 cos
α
,弦长|AB|=x1+x2+p= si2np2α
(α为弦AB的倾斜
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3.(教材习题改编)抛物线y=- 1 x2的焦点坐标是 ( A )
4
A.(0,-1) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,0)
答案 A 抛物线y=- 1 x2的标准方程为x2=-4y,抛物线的开口向下,p=2,则
4
p =1,故焦点为(0,-1).
2
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第七节 抛物线
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教 1.抛物线的概念 材 研 2.抛物线的标准方程和几何性质 读
考 考点一 抛物线的定义
点 突
考点二 抛物线的标准方程
破 考点三 抛物线的几何性质
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1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离① 相等 的点 的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的② 焦点 .直线l叫做抛物线的 ③ 准线 .
3
AE AC 4 8
为y2=4x.故选B.
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方法技巧 抛物线的标准方程的求法 (1)定义法:根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距 离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.抛物线的标准方程有四种形式, 要注意选择. (2)待定系数法:①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形 式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线 的标准方程.
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2.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P的轨迹方程 为 ( C ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 答案 C P到F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,因此P到F(0,2) 的距离与它到直线y+2=e20的距离相等,故P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准 线的抛物线,所以P的轨迹方程为x2=8y.
a4 ,
0

a
,准线方程为x=- 4 .
(
×
)
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(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( × ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫 做抛物线的通径,那么抛物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a. ( √ )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
| | BF
=
|
x1
1
p 2
+
x2
1
p 2
=因x为1x2 x1xx2p12=(xx1p422,xx2p1)+x2p4=2 |A.B|-p,
解析 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部, ∵|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点之间的距离,F(1,0), ∴|PB|+|PF|≥|BF|= 42 (2)2 =2 5, 即|PB|+|PF|的最小值为2 5 .
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探究2 (变问法)在本例条件下,求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的 距离之和的最小值. 解析 如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1, 由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到F的距离. 于是,问题转化为在抛物线上求一点P使点P到点A(-1,1)的距离与点P到 F(1,0)的距离之和最小. 显然,连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点, 此时最小值为 [1 (1)]2 (0 1)2 = 5 .
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探究3 (变问法)在本例条件下,求点P到直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1的距 离之和的最小值.
解析 由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,抛物线的焦点为F(1,0),则
动点P到l2的距离等于|PF|,故动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小
值即F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是 | 4
因为 y12=2px1, y22=2px2,所以 y12 y22 =4p2x1x2,
所以x1x2=
y12 y22 4 p2
= p4
4 p2
=
p2 4
.
(2)由题意知|AF|=x1+ p ,|BF|=x2+ p ,
2
2
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所以 1 | AF
+ 1
0 5

6
|
=2.
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规律总结 1.利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关 的轨迹是不是抛物线. (2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时, 注意在解题中利用两者之间的相互转化. ▶提醒 一定要验证定点是否在定直线上.
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抛物线的标准方程
典例2 (1)已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点, 则抛物线C的方程是 ( D ) A.y2=±2 2 x B.y2=±2x C.y2=±4x D.y2=±4 2 x (2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点 A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则抛物线的方程为 ( C )
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②当焦点位置不确定时,有两种方法解决.一种是分情况讨论,注意要对 四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x轴上的抛物线,若开口方向 不确定需分为y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)两种情况求解.另一种是设成y2 =mx(m≠0),若m>0,则开口向右;若m<0,则开口向左;若m有两个解,则抛物 线的标准方程有两个.同理,焦点在y轴上的抛物线可以设成x2=my(m≠ 0).