线性方程组解得结构PPT学习教案

……(1)
可用矩阵形式表示为 AX= b ,
对应齐次方程组(2)可用矩阵形式表示为 AX=o.
a11 a12 a1n
x1
其中，A=
a21
a22
a2n
， X=
x2
am1 am2 amn
xn
b1
，b =
b2
bm
0 0 ，o = 0
第2页/共42页 下页
向量方程
含有m个方程n个未知量的线性方程组
即若c1, c2, …, cn是方程组(1)的一个解，则有：
第4页/共42页 下页
若c1, c2, …, cn是方程组(1)的一 个
解①，代则数有方①程②③成立，反之亦然.
a11c1 + a12c2 + + a1ncn = b1 a21c1 + a22c2 + + a2ncn = b2 + + - =
线性方程组解得结构
会计学
1
第1节 高斯消元法
1.1 线性方程组的一般表示形式
代数方程 含有m个方程n个未知量的线性方程组一般形式为
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - =
am1x1+ am2x2+ + amnxn= bm
利用初等变换将方程组化为行阶梯形式的方程组，再利用
回代法解出未知量的过程，叫做高斯消元法.
可以看出，对方程组（1）施行的初等变换，与未知量无关， 只是对未知量的系数及常数项进行运算. 这些运算相当于对方程 组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等变换。
第7页/共42页 下页
1.3 消元法与矩阵的初等行变换
初等行变换把A化为行最简形
矩阵, 不失一般性设其为：
1 0
0 1
0 0
- c1,r+1 - c2,r+1
- c1n - c2n
0 0 1 - cr,r+1 - crn
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
由此得到原方程组的等价方 程组(同解方程组)：
x1 - c1,(r+1) xr+1 - - c1n xn = 0
am1c1+ am2c2+ + amncn= bm
②矩阵方程 c1
A
c2
=
b
cn
③向量方程
c11 + c22 + + cnn = b
其中,
a11 a12 a1n
A=
a21
a22
a2n
，
am1 am2 amn
a1 j
j
=
a2 j
,
j
= 1, 2,..., n
,
amj
则AX＝o可表示为向量组合式
x11 + x22 + + xnn = o.
根据向量组相关性的定义，有
定理1 齐次线性方程组AX＝o有非零解的充要条件是：矩阵 的列向量组1, 2, ，n线性相关. 即r(A)<n.
第10页/共42页下页
定理1 齐次线性方程组AX＝o有非零解的充要条件
是：矩阵的列向量组1, 2, ，n线性相关.即r(A)<n.
x2+2xx33
= =
3 2
x1 -2x2 = -5
x2
= -1 x3 = 2
r3-2r2 ——
1 -2 01
4 2
3 3
0012
r2-2r3 —r1—-4r3
1 -2 01
00
0 -5 0 -1
12
—r1+—2r2
x1
= -7
x2
= -1 x3 = 2
—r1—+2r2
1 0
0 1
0 -7 0 -1
xr+2
=
0
,
xn 0
1 0
,…,
0 1
由(*)式分别得到相应的解 x1, x2,, xr , 从而得到方程组的 n-r个解向量:
x1 = c x 1,(r+1) r+1 + + c1n xn
x2 = c x 2,(r+1) r+1 + + c2n xn
xr = cr,(r+1) xr+1 + + crn xn
2.2 齐次线性方程组解的性质 性质1 若x1，x2 都是齐次线性方程组AX=o的解，则X = x1+x2
也是它这的是解因. 为 A(x1+x2)=Ax1+Ax2=o + o=o.
性质2 若x是齐次线性方程组AX=o的解，k为实数，则X=kx 也是它的解.
这是因 A(kx)=k(Ax)=k(o)=o. 为 推论 如果x1, x2, , xs是齐次线性方程组AX=o的解，则其
……(1)
若b=(b1, b2,…, bm)≠o ，则称(1)为非齐次线性方程组； 若b=(b1, b2,…, bm)＝o ，即
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0 + + - =
am1x1+ am2x2+ + amnxn= 0
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的
增广矩阵施以初等行变换的过程.
例1.
r1r2 —— —rr2—3-+3rr11 —r3—-2r2
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
3 -5 14 12 (Ab)= 1 -2 4 3
-1 4 1 5
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - =
am1x1+ am2x2+ + amnxn= bm
……(1)
可用向量形式表示为
x11 + x22 + + xnn = b,
对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为
x2
- c2,(r+1) xr+1 - - c2n xn = 0
xr - cr,(r+1) xr+1 - - crn xn = 0
进而得到方程组用自由未知 量表示的一般解：
x1 = c x 1,(r+1) r+1 + + c1n xn
x2
=
c x 2,(r+1) r+1
++
c2n xn
xr = c x r,(r+1) r+1 + + crn xn
c1,r +1
c1,r + 2
c1,n
(*)
cr
,r
+1
cr
,r
+
2
cr
,n
x1 = 1 x 2 = 0 ，…，xn-r = 0
0
1
0
0
0
1
第15页/共42页下页
xr+1 1 0
0 下证 x1,x2,,xn-r 是方程组
0012
行最简形矩阵
第9页/共42页 下页
第2节 齐次线性方程组解的结构
2.1 齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组为 AX＝o ,
a11 a12
其中,
A
=
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
X
=
x2
,
0
o
=
0
.
xn
0
若把矩阵A按列分块为A = (1 2 n ),
则称x1, x2, , xs为线性方程组AX=o的一个基础解系.
2.3 齐次线性方程组解的结构
定理2 设A是m×n矩阵，若r(A)=r<n，则齐次线性方程
组
即当r(A)=r<n时，齐
次AX线=o的基础解系含有n-r个解向量.
性方程组AX＝o解向量组的秩为n-r.
第13页/共42页下页
证：因为r(A)= r , 所以可利用
x1 -2x2+4x3 = 3
x2+2xx33
= =
3 2
第6页/共42页 下页
由上述求解过程可看出，对方程组的化简施行了三种运算：
• 互换两个方程的位置；
• 用一个非零数乘以方程；
• 用某个数乘以某一方程然后加到另一方程上去.
我们称上述三种运算为线性方程组的初等变换. 显然，对方程 组施行初等变换得到的方程组与原方程组同解.
x2+2xx33
= =
3 2
r3-2r2 ——
1 -2 01
4 2
3 3
0012
第8页/共42页 下页
1.3 消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的
增广矩阵施以初等行变换的过程. 行阶梯形矩阵
—r3—-2r2
r2-2r3 —r1-—4r3
x1 -2x2+4x3 = 3
方程组的n-r 个解向量:
②再证明方程组的任意一个解
都可由 x1,x2 ,,xn-r 线性表示.
c1,r
+1
c1,r + 2
c1,n
cr
,r
+1
cr,r+2
cr
,n
x1 = 1 x 2 = 0 ，…，xn-r = 0
0
1
0
k1
k2
设
ξ
令
xr+2
=
0
,
xn 0
1 0
,…,
0
1
的一个基础解系.
①先证明向量组x1,x2 ,,xn-r
由(*)式分别得到相应的解 x1, x2,, xr , 从而得到方程组的 n-r个解向量:
线性无关. 由左下式可以看出
x1,x2 ,,xn-r
c1,r
+1
c1,r + 2
线性组合 k1ξ1 + k2ξ2 + + ksξs ,仍是AX=o的解. 其中 k1, k2 , ks
为任意常数.
第12页/共42页下页
基础解系的概念
定义3 设x1, x2, , xs 都是AX=o的解,并且 (1) x1, x2, , xs线性无关； (2) AX=o的任一个解向量都能由x1, x2, , xs线性表示，
推论1 如果齐次方程组中方程的个数小于未知量 的个数，则该方程组必有非零解.
推论2 齐次线性方程组AX＝o只有唯一零解的充要 条件是：矩阵的列向量组a1, a2, ，an线性无关. 即 r(A)=n.
推论3 n个方程n个未知量的齐次线性方程组有
非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于
零.
第11页/共42页下页
第14页/共42页下页
x1 - c1,(r+1) xr+1 - - c1n xn = 0
x2
- c2,(r+1) xr+1 - - c2n xn = 0
xr - cr,(r+1) xr+1 - - crn xn = 0
由此得到方程组用自由未知
量表示的一般解：
xr+1 1 0
0
令
b1
b
=
b2
.
bm
第5页/共42页 下页
1.2 消元法解方程组过程
例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
解：
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
=
kr kr +1
x1 3-xx11
--25xx22++144xx33 +4x2+ x3
=3 =12 =5
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
—r1 —r2
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
—rr2—3-+3rr11
1 -2 01
4 2
3 3
0258
x1 -2x2+4x3 = 3
A称为方程组的系数矩阵.
a11 2
A = (A
b)
=
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
amn bm
A~ 称为方程组的增广矩阵.
方程组的解 定义2 若以n个数组成的有序数组c1, c2, …, cn替代未知量x1,
x2, …, xn，使方程组(1)的每一个方程都成为恒等式，则称该有 序数组c1, c2, …, cn是方程组(1)的一个解.
x11 + x22 + + xnn = o.
其中， j
a1 j
=
a2
j
,
j
= 1, 2,..., n ,
b1
b
=
b2
,
amj
bm
0
o
=
0
.
0
第3页/共42页 下页
系数矩阵与增广矩阵
定义1 a11 a12 a1n
A=
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
c1,n
cr
,r
+1
cr,r+2
cr
,n
x1 = 1 x 2 = 0 ，…，xn-r = 0
0
1
0
0
0
1
的后n-r个分量，就是n-r个n-r维 单位向量，它们是线性无关的， 因而添加了r 个分量的向量组也 是线性无关的.
第16页/共42页下页
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2 x2 =3-2x3=-1 x1=3+2x2-4x=3 -7
方程组的解为
x1=- 7 x2=- 1 x3= 2
—r3—-2r2
……(2)
则称(2)为齐次线性方程组, 或(1) 的导出组.
第1页/共42页 下页
矩阵方程 含有m个方程n个未知量的线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - =